2016-2017年浙江工业大学高数A期中

y

x[ln x ln(1
x)] ，
y' y

ln
1
x
x

x
1 x

1 ， 1 x
y'


1
x
x

x
ln
1
x
x

1
1
x

．
dy
3．
dy dx

dt dx
dt

1

1
1 t
2
2t
1 t2
t ， d2 y 2 dx 2
d dy dt dx
16/17(一)浙江工业大学高等数学 A 期中考试试卷
一、填空选择题(每小题 4 分)
1． lim 1 x
2 3 x4 x 1
＝
．
2．设
y

xe
1 x
，则
dy
＝
．
dx
3．设 y esin x2 ，则 dy＝
．
4．由方程 xy 2 e xy 2 0 确定的隐函数 y y( x) 的导数 dy ＝ dx
5． lim n[ln(n 3) ln n] ＝
．
n
6．下列极限中，正确的是( )．
A． lim sin x 1 x x
B． lim sin x 1 x0 2x
C． lim x sin 1 1
x
x
．
sin 1
D． lim x0
x 1
1
x
7．函数 y f ( x) 在 x0 处可导， y f ( x0 h) f ( x0 ) ，则当 h 0 时有( )．

2
0 ，∴ 0, 1 ，有 F ( ) 0 即 2
f ( )
f (

1) ，综上可得：存在 2
[0,1] ，使得 f ( ) f 1 ． 2
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lim
x0
(tan
x

x)(tan x 4x3

x)

0
，
lim
x0
f (x) x
f (0) lim ax x0 x
a ，∵
f (x) 在 x 0处
可导，∴ a 0 ，∴ f '(0) 0 ．
2．证明： '( x)
xf '( x) x2
f (x)
，又
f ( x) 在 (,) 可微，而 ( x) 在
x

a

0 处有极值，∴ '(a)
0，
∴ af '(a) f (a) ，∴曲线 y f ( x) 在 x a 处的切线： y f (a) f '(a)( x a) ，∵ af '(a) f (a) ，∴曲
线 y f ( x) 在 x a 处的切线必过原点．
3．证明：令
2
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16/17(一)浙江工业大学高等数学 A 期中考试参考答案
一、填空选择题(每小题 4 分)
1．e6
1
2． e x

1
1
ex
x
3． 2 x cos x 2e 2x2 dx
4．
y 2 ye xy xe xy 2 xy
6．C
7．C
8．D
二、(10 分)判断下列各命题(结论)是否正确(在括弧内填入√或×)
1．×
2．√
3．×
三、试解下列各题(每小题 7 分)
9．C 4．×
1．原式＝
lim
x0
ex 1 x x(e x 1)

lim
x0
ex
x x2
1

lim
x0
ex 1 2x

1 2
．
5．3 10．B 5．√
2． ln
五、试解下列各题(每小题 4 分) 1．设函数 f ( x) 满足 | f ( x) | x 2 , x (1,1) ，讨论 f ( x) 在 x 0 处的可导性． 2．设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) f (1) ，证明存在 [0,1]，使得 f ( ) f 1 ．
x
x
x0
x
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∴ f ( x) 在 x 0 处可导．
2．证明：令 F ( x)

f (x)
f
x

1 2

，则
F
(
x)
在
0,
1 2

上连续，又
F
(0)

f (0)
f
1 , F 1 2 2
1．求极限
lim x0
1 x

1 ex
1
．
2．设
y


1
x
x
x
，求：源自文库
dy dx
．
3．设
x y

ln(1 t 2 ) t arctan t
，求：
dy dx
，
d2 y dx 2
．
四、试解下列各题(每小题 7 分)
tan x x
1．设函数
f (x)
tan x x
，∴
f '(x)
x sec2
x tan x x2
，
令 g( x) x sec2 x tan x ，则 g'( x) sec2 x 2x sec2 x tan x sec2 x 2x sec2 x tan x ，∴当 0 x 时， 2
g'( x) 0 ，则有
f '( x) 0 ，则有
f ( x) ↑，∴当 0
x1

x2

2
时， f ( x1 )
f
(
x2
)
，即
tan x2 x2

tan x1 x1
，
即 tan x2 x2 ． tan x1 x1
五、试解下列各题(每小题 4 分)
1．当 x 0 时， | f (0) | 0, f (0) 0,0 f ( x) f (0) x 2 | x | ，令 x 0 ，则有 lim f ( x) f (0) 0 ，
C． f '(0) 存在
B． lim f ( x) 存在，但 f ( x) 在 x 0 处不连续 x0
D． f ( x) 在 x 0 处连续，但不可导
x1
9．函数
f (x) 1 2
x 1
的间断点类型是(
2 2x
A．一个可去间断点，一个跳跃间断点 C．一个跳跃间断点，一个无穷间断点
5 ． 设 函 数 f (x) 在 a 的 一 个 领 域 U(a) 内 有 定 义 ， 则 函 数 f (x) 在 x a 点 可 导 的 充 分 必 要 条 件 是
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lim f (a) f (a 2h) 存在．( )
h0
h
三、试解下列各题(每小题 7 分)
3．设 f ( x) 在 a 的一个领域 U (a) 内满足 f ( x) f (a) ，则必有 f '(a) 0 ．( )
4．若函数 f ( x) 、g( x) 在区间 [a, b]上可导，且满足 f ( x) g( x) ，则在区间 [a, b]上有 f '( x) g'( x) ．( )

f
1 2
f (1) ，
而 f (0) f (1) ， 若 f (0) f 1 ， 则 取 0 即 可 ， 若 f (0) f 1 ， 则
2
2
F
(0)F

1 2



f (0)
f

1 2

0 处连续，
∴ b 1 ，又 lim
3
x0
f (x) x
f (0) lim
x0
tan x x 1
x3
3
x

lim
x0
3 tan
x 3x 3x4

x3

lim
x0
3 sec 2
x3 12x 3

3x2

lim
x0
3(tan2 x 12 x 3
x2
)
A．dy 是 h 的等价无穷小 C． y dy 是 h 的高阶无穷小
B．dy 是 h 的高阶无穷小 D． y dy 是 h 的同阶无穷小
8．设
f
(x)


x sin
1 x
x 0 ，则 f ( x) 在 x 0 处(
)．
0
x0
A． lim f ( x) 不存在 x0
dx dt
1
2 2t 1 t2
1 t2 4t
．
四、试解下列各题(每小题 7 分)
1． lim x0
f (x)
lim
x0
tan x x3
x

lim
x0
sec2 x 1 3x2

lim
x0
tan2 x 3x2

1 ， lim 3 x0
f ( x) b ，∵
f (x) 在 x
)．
B．一个无穷间断点，一个可去间断点 D．两个无穷间断点
10．方程 x 3 3x 1 0 在区间 (0,1) 内( )．
A．无实根
B．有唯一实根
C．有二个实根
D． 有三个实根
二、(10 分)判断下列各命题(结论)是否正确(在括弧内填入√或×)
1．两个无穷小的商也是无穷小．( )
2．设函数 f ( x) 在 x a 处连续，且 f (a) 0 ，则存在 a 的一个领域 U (a) ，在此领域内有 f ( x) 0 ．( )
f
(x)


x3
ax b
x 0 ，试确定常数 x0
a, b ，使函数 f ( x) 在 x 0 处连续、可导；并求 f '(0) ．
y f ( x) 在 x a 处的切线必过原点．
3．当 0
x1

x2

2
时，证明不等式
tan x2 tan x1

x2 x1
．
2 ． 设 f ( x) 在 (,) 可 微 ， 证 明 当 函 数 (x) f (x) 在 x a 0 处 有 极 值 时 ， 曲 线 x