2016-2017年浙江工业大学高数A期中

浙东北(ZDB)教学联盟2016-2017学年第二学期期中考试高一数学试卷含答案

浙东北（ZDB ）教学联盟2016-2017学年第二学期期中考试高一数学试卷答案一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分．请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出一个符合题意的正确选项填入答题卷，不选、多选、错选均得零分．） 1．计算3sinπ的值（ C ）A、21 B、21-C、23D、23-2．已知α是第二象限角，那么2α是（ D ）A 、第一象限角B 、第二象限角 C、第一或第二象限角D、第一或第三象限角3．等比数列1，2a ，3a ，81，……的前5项的和为（ A ） A、1631B、3231C、815D、16154．若31sin =α，则α2cos 的值等于（ A ）A、97 B、98C、924D、3225．已知数列}{n a 前n 项和为an nS n+-=22，若该数列是等差数列，则=a（ B ）A、1-B、0 C、1D、不确定6．已知53sin =α)2(παπ<<，则)3sin(πα-=（ B ）A、10334-B、10334+C、10343-D、5334+7．已知ABC ∆中，若CB A 222sin sin sin<+，则这个三角形一定是（B ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C、直角三角形D、等腰三角形8．将函数xy2cos =的图象向右平移4π个单位后所得函数图象的解析式是（ C ）A、)42cos(π-=x yB、)42cos(π+=x yC、xy 2sin =D、xy2sin -=9．已知数列}{n a 是等比数列，5a ，7a 是函数34)(2+-=x xx f 的两个零点，则=102a a （ D ）A、3-B、1C、2D、3 10．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若Bac b ca tan 3222=-+，则角B 的值为（ C ）A、6πB、3πC、6π或65π D、3π或32π11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若786S S S <<，则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ C ）A 、12B、13C、14D、1512．已知函数xx f cos )(=，若存在实数1x ，2x，，mx 2(≥m ，)N m∈满足条件π6021≤<<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(|121=-++--m m x f x f x f x f ，则m 的最小值为（ B ）A、6B、7C、8D、9二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卷上．） 13．函数1cos2)(2-=x x f 的最小正周期为π． 14．已知21)sin(-=-απ，则=--)2sin(απ21 ．15．已知等差数列}{n a 的首项为1，公差为3，若35=nS ，则=n5．16．计算=︒︒15tan 15sin241 ．17．在A B C∆中，1=a ，3=b ，3π=B ，则ABC∆的内切圆的半径是213- ．18．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，311=a ，且对任意m ，*N n ∈，nm n m a a a ⋅=+，若aS n<恒成立，则a 的最小值为 21 ．三、解答题（本大题有5小题，共46分．请将解答过程写在答题卷上．） 19．（本题8分）已知)2,0(πθ∈，53sin =θ．（Ⅰ）求)6sin(πθ-的值；（Ⅱ）求θ2tan 的值．解：（Ⅰ）)2,0(πθ∈，53sin =θ，54cos =∴θ)6sin(πθ-6sincos 6cos sin πθπθ-= …………………………2分1043321542353-=⨯-⨯= …………………………4分（Ⅱ）43tan=θθ2tan =θθ2tan1tan 2- …………………………6分7241691432=-⨯= …………………………8分20．（本题9分）设函数x x x f ωωcos 3sin )(+=)0(>ω的周期为π．（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）说明函数)(x f 的图象可由xysin =的图象经过怎样的变换而得到．解：（Ⅰ）x x x f ωωcos 3sin )(+=）（x x ωωcos 23sin 212+=)3sin(2πω+=xπωπ==∴2T ，即2=ω，)32sin(2)(π+=∴x x f …………………………3分223222πππππ+≤+≤-k x k ，Zk∈∴12125ππππ+≤≤-k x k故)(x f 的单调递增区间：]12,125[ππππ+-k k Zk ∈ …………………………5分（Ⅱ）法一：把xy sin =的图像向左平移3π个单位，得到)3sin(π+=x y的图象；再把)3s i n (π+=x y 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到)32sin(π+=x y 的图象；最后把)32sin(π+=x y的图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到)32sin(2)(π+=x x f 的图象． …………………………9分（不对酌情给分）法二：把xy sin =的图像上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到xy2sin =的图象；再将xy2sin =的图像向左平移6π个单位，得到)32sin(π+=x y的图象；最后把)32sin(π+=x y的图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到)32sin(2)(π+=x x f 的图象． …………………………9分（不对酌情给分）21．（本题9分）已知各项为正数的数列}{n a ，满足1111+=+n n a a ，*N n ∈，其中11=a ，nS为其前n 项的和．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫n S 1的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）1111+=+n n a a即11=-+n n a a ，所以数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列 …………………………2分na n =∴ …………………………3分（Ⅱ）2)1(+=n n S n…………………………5分∴])1(1321211[211121+++⨯+⨯=+++=n n S S S T nn)]111()3121()211[(2+-++-+-=n n…………………………7分12)111(2+=+-=n n n …………………………9分22．（本题10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，02cos 222cos=++C C ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ab2=，ABC ∆的面积为BA sin sin 22，求Asin及边长c 的值．解：（Ⅰ）02cos 222cos=++C C∴01cos 22cos22=++C C …………………………1分∴0)1cos 2(2=+C 即22cos-=C又),0(π∈C，43π=∴C …………………………3分（Ⅱ）Cab ba ccos 2222-+=2222523aaac=+=∴即ac5= …………………………5分由正弦定理Cc Bb Aa sin sin sin ==得aa Ba Aa 10225sin 2sin ===即10105sin sin==C A …………………………7分55sin =B 即=∆ABCS B A sin sin 2210155101022=⋅⋅=………………………8分又222221sin 212aa a C ab S ABC=⋅⋅==∆55=∴a 即1=c …………………………10分23．（本题10分）设公比0>q的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，245S S =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，nnb n T 2=，*N n ∈．（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若nn C C <+1，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）245S S =即22225S q S S =+，42=∴q 又>q ，2=∴q12-=∴n n a …………………………2分又⎪⎩⎪⎨⎧-==--1212)1(n n n n b n T b n T )2(≥n ，两式作差得111+-=-n n b b n n )2(≥n得)1(2112211+⋅=⋅⋅⋅⋅=---n n b b b b b b b b n n n n n，当1=n时也满足，故)1(2+⋅=n n b n． …………………………4分（Ⅱ） 12-=nn S ∴)12(2λ-+=n C nn ， …………………………6分则0)1224(21<-+-+=-+λn n C C nn n 对*N n ∈都成立，即1224+-+>n n λ对*N n ∈都成立 …………………………8分而322)2)(1(21224++=++=+-+n n n n nn n故当1=n或2=n时31)1224(max =+-+n n31>∴λ …………………………10分。

2016-2017年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及答案

2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．104．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1设直线的倾斜角为α，∴tanα=1∵α∈[0，π]∴α=．故选：B．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm故选：A．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，∵B为锐角，∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，∴0＜2p2﹣3＜1，解得：＜p＜，综上，p的取值范围为＜p＜，故选：D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）∵，∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，故答案为：1．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面ABC的面积为：×2×2=2，高VA=1，故三棱锥的体积V=，AB=AC==，故侧面VAB和VAC的面积均为：=，侧面VBC的高VD==，故侧面VBC的面积为：×=，故三棱锥的表面积为：；故答案为：，11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．故答案为90°，30°．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．过答案为，3x﹣y﹣5=0．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）OP的斜率k==1，∴﹣3≤z≤．故答案为：．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，即ab=1且a＞0；又a＞b，∴a﹣b＞0；∴==（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；∴的最小值是．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，可得sinC=，可得角C的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，可得边c的长为．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），∴b n=n（n+1）．（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，不等式恒成立，即k≥恒成立，设d n=，则d n+1﹣d n=，∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；即d1＜d2＞d3＞d4＞…，∴数列最大项为，∴．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则，=8，此时O到AB的距离为，，当时，S△AOBmax∴S=8，直线AB的方程为．△AOBmax（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，，∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，∴，∴﹣32﹣6m=0，，∴．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

数学---浙江省杭州市五县七校2016-2017学年高一上学期期中联考试题

浙江省杭州市五县七校2016-2017学年高一上学期期中联考数学试题第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果A ={x |x 2+x =0}，那么（） A ．B ．C ．D ．2．下列四组函数，两个函数相同的是( ) A ．x x g x x f ==)( ,)(2 B ．333)(,3log )(x x g x f x ==C ．x x g x x f ==)( ,) ()(2D ． 0)(,)(x x g x x f ==3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A. 3y x =B.y =lg xC.D.4．已知2log ,)31(,)21(21221===-c b a ,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.b >a >c 5．函数xx f x 3log 333)(+-=的定义域为（） A ． {}1x x < B ．{}01x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}1x x >6.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，则)]21([f f 的值是( )A ．－3B ．3 C.13 D ．－137．函数y ＝xx ln 的图象大致是 ( )0,+∞（）||y x =1y x -=8．已知2)(93++=bx ax x f 在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么f(x)在(－∞，0)上的最小值为 ( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．59．已知函数⎩⎨⎧>+≤-=0),1lg(0,)(2x x x x x f ，若2(2)(),f x f x ->则的取值范围是（）A.()(),12,-∞-+∞B. ()2,1-C.()1,2-D. ()(),21,-∞-+∞10.设31133)(-+=x x x f ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()y f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（）A. {}0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分，请把正确答案填在题中横线上) 11．已知幂函数()⋅αfx =k x 的图象过点)41,21(则k +α = 。

浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中数学试卷含解析

2016-2017学年浙江省湖州市高一（上)期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．设集合A=｛x｜x≤2｝,m=,则下列关系中正确的是（）A．m⊆A B．m∉A C．｛m}∈A D．m∈A2．函数y=log a（a﹣x)（a＞0且a≠1）的定义域为（）A．（﹣∞,a） B．（0，a) C．（a，+∞）D．(0，+∞）3．与角﹣终边相同的角是(）A． B． C．D．4．当a∈{﹣1,,2,3}时,幂函数f（x）=x a的图象不可能经过（)A．第二、四象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知函数y=f（x)定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣3x+b，则f（﹣2）=（) A．﹣2 B．2 C．10 D．﹣106．若定义在R上的偶函数f（x）在［0,+∞）内是增函数，且f(3)=0,则关于x的不等式x•f（x)≤0的解集为（）A．{x|﹣3≤x≤0或x≥3} B．{x|x≤﹣3或﹣3≤x≤0}C．{x|﹣3≤x≤3｝D．｛x|x≤﹣3或x≥3｝7．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f(x）=,设b＞a≥0，若f(a）=f(b），则a•f（b）的取值范围是（)A．[，2）B．[﹣，+∞）C．[﹣,﹣） D．［﹣，]二、填空题:（本大题共7小题,第9—12题每小题6分，第13—15题每小题6分，共36分）9．若角α的终边上有一点P（1，﹣3），则sinα=，cosα+tanα=．10．已知函数f(x）=（x﹣a）（x+2)为偶函数，若g（x)=，则a=,g[g （﹣）]=．11．计算：×2+（)=,2=．12．已知A是△ABC的一个内角，sinA+cosA=，则sinAcosA=,tanA=．13．若函数f（x)=2•a x﹣b+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点（2，3)，则b的值是．14．直线y=1与函数y=x2﹣2｜x｜+a的图象有四个不同交点，则实数a的取值范围是．15．已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）16．集合A=｛x|3≤x＜9｝，B={x|1＜x＜7}，C={x｜x＞m}．(Ⅰ）求A∪B;（Ⅱ）求（∁R A）∩B；（Ⅲ)若B⊆C，求实数m的取值范围．17．已知二次函数f（x）=x2+bx+c,当x∈R时f（x）=f（2﹣x)恒成立,且3是f（x）的一个零点．（Ⅰ）求函数f（x)的解析式;（Ⅱ)设g（x）=f(a x）(a＞1），若函数g（x）在区间［﹣1，1]上的最大值等于5，求实数a的值．18．已知函数f（x)=log(x2﹣ax+b）．(Ⅰ）若函数f（x）的定义域为(﹣∞，2）∪(3,+∞），求实数a,b的值；(Ⅱ) 若f（﹣2）=﹣3且f（x）在（﹣∞，﹣1］上为增函数，求实数b的取值范围．19．已知f（x)=max{x2﹣ax+a，ax﹣a+1}，其中max｛x,y}=．（Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f(x）=x2﹣ax+a，求实数a的值;（Ⅱ）若a＞1,求f(x)的最小值m（a）．20．已知定义在区间(0，+∞）上的函数f（x）=｜t（x+）﹣5｜，其中常数t＞0．（Ⅰ）若函数f（x)分别在区间（0,2），（2，+∞）上单调，试求实数t的取值范围；（Ⅱ）当t=1时,方程f（x）=m有四个不相等的实根x1，x2，x3,x4．①求四根之积x1x2x3x4的值；②在［1，4］上是否存在实数a，b（a＜b）,使得f（x)在［a，b]上单调且取值范围为［ma，mb]？若存在,求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2016—2017学年浙江省湖州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．设集合A=｛x｜x≤2｝，m=，则下列关系中正确的是(）A．m⊆A B．m∉A C．{m}∈A D．m∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定A为集合，m为元素，｛m｝为集合，从而恰当选择符号．【解答】解：∵m=＜2，∴m∈A，故选D．2．函数y=log a（a﹣x）（a＞0且a≠1）的定义域为（）A．（﹣∞,a) B．（0，a）C．(a，+∞） D．（0，+∞)【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．【解答】解：由a﹣x＞0,得x＜a．∴函数y=log a(a﹣x)（a＞0且a≠1)的定义域为（﹣∞,a）．故选：A．3．与角﹣终边相同的角是（)A． B． C．D．【考点】终边相同的角．【分析】直接写出终边相同角的集合得答案．【解答】解：∵与﹣角终边相同的角的集合为A=｛α｜α=﹣+2kπ，k∈Z}，取k=1，得α=．∴与﹣角终边相同的角是．故选：C．4．当a∈｛﹣1，,2，3}时，幂函数f（x）=x a的图象不可能经过（）A．第二、四象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的图象与性质判断即可．【解答】解：由幂函数的图象与性质可得，当a∈｛﹣1，，2,3｝时，幂函数f（x）=x a的图象不可能经过第四象限，故选D．5．已知函数y=f(x）定义在R上的奇函数，且当x≥0时,f(x）=x2﹣3x+b，则f（﹣2)=（）A．﹣2 B．2 C．10 D．﹣10【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇函数的性质,首先由f（0）=0得到b,然后利用f（﹣2)=﹣f（2），求f(2）的值．【解答】解：因为函数y=f（x）定义在R上的奇函数,且当x≥0时，f（x)=x2﹣3x+b,所以f（0）=0即b=0，所以当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，所以f（2)=22﹣3×2=﹣2，所以f（﹣2）=﹣f(2）=2;故选B：6．若定义在R上的偶函数f（x)在[0,+∞）内是增函数,且f（3）=0，则关于x的不等式x•f(x）≤0的解集为（)A．{x|﹣3≤x≤0或x≥3} B．{x｜x≤﹣3或﹣3≤x≤0｝C．｛x|﹣3≤x≤3｝D．｛x｜x≤﹣3或x≥3｝【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性可得,原不等式即①,或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解:∵定义在R上的偶函数f(x）在[0，+∞）内是增函数,且f(3）=0,∴数f（x)在（﹣∞，0）内是减函数，且f（﹣3)=0，则关于x的不等式x•f（x）≤0，即①,或②．解①求得0≤x≤3，解②求得x≤﹣3，故原不等式的解集为{x｜x≤﹣3或﹣3≤x≤0｝,故选：B．7．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g （x）=log a(x+k）的图象是（)A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数f（x)=ka x﹣a﹣x，(a＞0，a≠1)在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x,(a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞)上是奇函数则f(﹣x）+f（x)=0即(k﹣1)（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x)=ka x﹣a﹣x,（a＞0,a≠1）在（﹣∞,+∞）上是增函数则a＞1则g(x）=log a（x+k）=log a（x+1)函数图象必过原点，且为增函数故选C8．已知函数f(x)=，设b＞a≥0，若f（a）=f(b），则a•f（b)的取值范围是（）A．[，2) B．[﹣,+∞) C．［﹣，﹣）D．［﹣，］【考点】函数的值．【分析】：由函数f（x）=，作出其图象如，利用数形结合思想能求出a•f （b）的取值范围．【解答】解:由函数f(x）=,作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞)上都是单调函数，所以,若满足a＞b≥0，时f（a)=f(b)，必有b∈［0，1），a∈[1，+∞）,由图可知，使f（a）=f（b）的b∈［，1），f（a）∈[1，2）．由不等式的可乘积性得:b•f（a）∈[，2）．∴a•f（b)的取值范围是［，2）．故选：A．二、填空题：（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13—15题每小题6分，共36分) 9．若角α的终边上有一点P（1,﹣3），则sinα=﹣，cosα+tanα=﹣2．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用三角函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1,y=﹣3，r=，∴sinα==﹣；cosα+tanα=﹣3=1﹣3=﹣2故答案为﹣；﹣2．10．已知函数f（x)=（x﹣a）(x+2)为偶函数，若g(x）=,则a=2，g[g（﹣)］=．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R,都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可求出a,利用分段函数,即可得出结论．．【解答】解：因为函数f（x）=(x﹣a）（x+2）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x)．所以∀x∈R，都有（﹣x﹣a）•（﹣x+2)=（x﹣a)•（x+2)即x2+（a﹣2）x﹣2a=x2+（﹣a+2）x﹣2a所以a=2．g［g(﹣）]=g（）=g（﹣2）=2﹣2=故答案为：2,．11．计算：×2+（）=4，2=9．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可,【解答】解：×2+(）=+=2+2=4，∵log23+log49=log23+=2log23=log29∴2=9，故答案为：4，912．已知A是△ABC的一个内角,sinA+cosA=，则sinAcosA=﹣，tanA=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】把条件sinA+cosA=,平方可得sinAcosA的值，A为钝角,且tanA＜﹣1．再利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值．【解答】解：∵A是△ABC的一个内角,sinA+cosA=，平方可得1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=﹣,∴A为钝角，且sinA＞｜cosA｜，∴tanA＜﹣1．再根据sinAcosA===﹣,∴tanA=﹣（舍去），或tanA=﹣，故答案为：﹣；﹣．13．若函数f（x）=2•a x﹣b+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点(2,3），则b的值是2．【考点】指数函数的图象变换．【分析】直接由指数函数的性质结合函数的图象平移得答案．【解答】解：函数y=2a x经过（0，2），而函数f(x）=2•a x﹣b+1（a＞0且a≠1）的图象是把y=2a x右移b个单位，且上移1个单位得到的，且经过定点（2,3）,∴b=2．故答案为：2．14．直线y=1与函数y=x2﹣2|x|+a的图象有四个不同交点，则实数a的取值范围是(1，2）．【考点】函数的图象．【分析】画出函数的图象，结合题意可得a＞1，且函数的最小值a﹣1＜1，由此求得a的范围．【解答】解：由于直线y=1与函数y=x2﹣2|x｜+a的图象有四个不同交点,如图所示：故a＞1，且函数的最小值a﹣1＜1，求得1＜a＜2，故答案为：(1，2)．15．已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0,则b a的取值范围是（1，3）．【考点】函数恒成立问题;对数函数的图象与性质．【分析】分类讨论a的范围，把y≤0转化为的符号的判断问题即可求解．【解答】解：设g(x）=x2+bx﹣4,①若0＜a＜1，当0＜x＜1时，易知log a x＞0，故问题可转化为g(x）≤0在(0，1）上恒成立，则有g(0)≤0，g(1）=b﹣3≤0，解得：b≤3;当x≥1时，log a x≤0，此时不等式可转化为g(x）≥0在［1，+∞）上恒成立,∴g（1）=b﹣3≥0，即b≥3,∴b=3，∵0＜a＜1，∴1＜b a＜3,②若a＞1，当0＜x＜1时，log a x＜0，故g（x）≥0恒成立，但g（0）=﹣4＜0，故不成立；由此可知当a＞1时，不等式不可能恒成立．综上可知b a∈(1，3)．故答案为：（1，3)．三、解答题:(本大题共5小题，共74分）16．集合A=｛x|3≤x＜9｝,B=｛x|1＜x＜7｝，C=｛x|x＞m｝．（Ⅰ）求A∪B;（Ⅱ)求（∁R A）∩B；（Ⅲ)若B⊆C，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【分析】（Ⅰ）根据并集的定义求出A∪B即可；(Ⅱ）根据补集和交集的定义进行计算即可；（Ⅲ）利用子集的定义，即可求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x|3≤x＜9}，B=｛x｜1＜x＜7｝，∴A∪B={x|1＜x＜9｝; …（Ⅱ）∁R A=｛x|x＜3或x≥9｝,(∁R A)∩B=｛x|1＜x＜3｝;…（Ⅲ）∵B={x|1＜x＜7},C=｛x｜x＞m｝,且B⊆C，∴m≤1．…17．已知二次函数f(x）=x2+bx+c,当x∈R时f（x）=f（2﹣x）恒成立，且3是f(x)的一个零点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（a x）（a＞1)，若函数g（x)在区间[﹣1，1］上的最大值等于5,求实数a的值．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（I）由已知可f（x）=f（2﹣x)恒成立，且3是f（x）的一个零点，求出b，c的值,可得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设t=a x（a＞1),由x∈[﹣1，1]，可得：t∈[,a]，结合函数g（x）在区间［﹣1，1］上的最大值等于5,分类讨论，可得满足条件的a值．【解答】解：(Ⅰ）由x∈R时f（x）=f(2﹣x)恒成立得函数的图象关于直线x=1对称;，∴=1．解得:b=﹣2 …又v的一个零点，∴9﹣6+c=0．解得：c=﹣3．…∴f(x）=x2﹣2x﹣3 …（Ⅱ）设t=a x，（a＞1），∵x∈［﹣1，1］，∴t∈［，a]…若f(a）=5，则由a2﹣2a﹣3=5得a=4，或a=﹣2（舍去），此时f（a）＞f（），符合题意；…若f（)=5,则可得a=(舍去）,或a=﹣(舍去）,∴a=4 …18．已知函数f（x）=log（x2﹣ax+b）．（Ⅰ）若函数f(x）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），求实数a,b的值;（Ⅱ）若f（﹣2）=﹣3且f（x）在(﹣∞，﹣1］上为增函数，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】（Ⅰ)由题意,不等式x2﹣ax+b＞0 的解集是(﹣∞，2）∪（3，+∞）,所以2，3是方程x2﹣ax+b=0 的两实根，由韦达定理，可得实数a，b的值；（Ⅱ) 设g（x）=x2﹣ax+b，若f（﹣2)=﹣3且f（x）在（﹣∞，﹣1］上为增函数,则g（﹣2）=8,g（x）=x2﹣ax+b在（﹣∞，﹣1]上是减函数且恒为正数，进而可得实数b的取值范围．【解答】解：(Ⅰ）由题意，不等式x2﹣ax+b＞0 的解集是（﹣∞，2）∪（3，+∞）,所以2,3是方程x2﹣ax+b=0 的两实根，∴2+3=a且2×3=b，即a=5，b=6 …(Ⅱ）设g(x）=x2﹣ax+b,由f(﹣2)=﹣3得g(﹣2）=4+2a+b=8,即a=（4﹣b）…又f(x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数,所以g（x）=x2﹣ax+b在（﹣∞，﹣1］上是减函数且恒为正数,∴，也即,解得：b∈（﹣6,8］．…19．已知f（x）=max｛x2﹣ax+a，ax﹣a+1｝，其中max{x，y｝=．（Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f(x)=x2﹣ax+a，求实数a的值；（Ⅱ）若a＞1，求f（x)的最小值m（a）．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：对x∈R时，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，整理可知：x2﹣2ax+2a ﹣1≥0恒成立根据二次函数性质可知：△＜0，即可求得a的值；（Ⅱ）由当x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1，即（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]≥0，由a＞1，则2a﹣1＞1，因此不等式的解为：x≤1或x≥2a﹣1，分类当≤1，即1＜a≤2 时及当＞1，即a＞2 时，根据函数的单调性即可求得f（x)的最小值m（a)的表达式．【解答】解：（Ⅰ)由对任意x∈R，恒有f（x)=x2﹣ax+a，∴对x∈R时，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，…即x2﹣2ax+2a﹣1≥0恒成立∴△=4a2﹣4（2a﹣1)≤0,即（a﹣1）2≤0,∴a=1，实数a的值1；…（Ⅱ）若x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1,则x2﹣2ax+2a﹣1≥0,即（x﹣1)[x﹣（2a﹣1）]≥0，∵a＞1，∴2a﹣1＞1，∴不等式的解为:x≤1或x≥2a﹣1，∴f(x）=，…(1)当≤1，即1＜a≤2 时,f（x）在（﹣∞，) 递减,在（,+∞)递增，∴f（x）的最小值m（a）=f（）=﹣+a,…（2）当＞1,即a＞2 时，f（x）在（﹣∞,1）递减，在（1，+∞）递增∴f（x）的最小值m(a）=f(1)=1，∴m（a)=．…20．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x）=｜t（x+）﹣5|，其中常数t＞0．（Ⅰ)若函数f（x）分别在区间（0，2)，（2，+∞)上单调,试求实数t的取值范围;（Ⅱ）当t=1时，方程f（x）=m有四个不相等的实根x1,x2，x3，x4．①求四根之积x1x2x3x4的值；②在［1，4］上是否存在实数a，b(a＜b)，使得f(x）在[a，b]上单调且取值范围为[ma，mb］？若存在，求出m的取值范围；若不存在,请说明理由．【考点】分段函数的应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）设h（x)=t（x+）结合对勾函数的图象和性质，可得函数h(x）在区间（0,2），(2，+∞）上单调，且h（x)≥4t，要使函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调,只需4t﹣5≥0,解得:实数t的取值范围；（Ⅱ）当t=1时，由f(x）=m得｜（x+）﹣5|=m，即（x+）﹣5=m,或（x+)﹣5=﹣m，即x2﹣（m+5）x+4=0,或x2+（m+5）x+4=0，①由韦达定理，可得四根之积x1x2x3x4的值;②f(x)在区间（0，1），（1，2），（2，4)，（4,+∞）上均为单调函数，(1）当[a,b]⊆（1，2]时，f(x）在[a，b]上单调递增,则；(2）当［a，b］⊆（2，4］时，f（x）在[a，b］上单调递减，则;综合讨论结果，可得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设h（x）=t（x+）∵t＞0，∴函数h（x）在区间（0，2)，（2，+∞）上单调，且h（x）≥4t，要使函数f(x)分别在区间（0，2），(2,+∞）上单调，只需4t﹣5≥0，∴t≥…（Ⅱ）①当t=1 时，由f（x）=m得｜（x+)﹣5｜=m，∴（x+）﹣5=m，或（x+）﹣5=﹣m，即x2﹣（m+5)x+4=0,或x2+（m+5）x+4=0∵x1，x2，x3，x4是方程f(x)=m的四个不相等的实根,∴x1x2x3x4=4×4=16…②f（x）在区间（0，1），（1，2），（2,4），（4，+∞）上均为单调函数(1）当［a，b]⊆（1,2］时，f（x）在[a，b]上单调递增，则即m=在a∈(1，2］时，有两个不等实根而令，则=φ（t）=﹣4（t﹣）2+,则φ（t）=﹣4(t﹣）2+=m在［，1)上有两个根，由当t=时，函数φ（t)取最大值,当t=时，φ（)=,当t=1时，φ（1）=0，故…（2）当［a,b］⊆（2，4]时，f（x）在［a，b］上单调递减,则两式相除得（a﹣b)（a+b﹣5）=0∴a+b=5,∴b=5﹣a＞a,∴2＜a＜，由﹣a﹣+5=mb得：m==1+∈（，）,综上，m的取值范围为(，）…2016年12月14日。

高数(线代)2016-2017(二)期中试卷A

第1 页上海应用技术大学继续教育学院国际教育中心2016-2017(二）期中考试考试科目：高数（线代）试卷A 考试时间：2017.4专业：考试形式：闭卷所需时间： 90 分钟班级：中文名：英文名：任课教师：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 8 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效一、填空题（共24分，每小题4分）1. |2011−4−1−183|= 。

2. 排列x 1x 2x 3x 4 逆序数与排列x 4x 3x 2x 1 逆序数之和为：。

3. 行列式|10x246xx 2424x 6x122x|展开式中x 4的系数为：。

4. 设矩阵A =[101010], B =[020202],则3A +4B = 。

5. 设矩阵A =[123456789]，B =[200020002]，C =AB = 。

6. 设A =[a00b 00c],求A 2017= 。

二、判断题（共24分，每小题4分）1. 如果两个矩阵A,B 可以相乘，则A 的行数与B 的列数相同。

（）2. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

（）第2 页3. 行列式与它的转置行列式互为倒数。

（）4. 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数k ，然后加到另一行的对应元素上去，行列式的值不变。

（） 5. 若A ，B 都是n 阶矩阵，且AB =E ,那么我们可以认为A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆矩阵。

（） 6. 若A ，B 是n 阶可逆矩阵，则有(AB)−1=B −1A −1。

（）三、计算题（共45分，每小题9分）1. （9分）计算行列式A =|31−12−513−4201−11−53−3|的值。

2. （9分）计算行列式A =|x +21111x +21111x +21111x +2|的值。

2016-2017高等数学(2-1)期中考试试卷答案(3)

2016—2017学年第一学期《高等数学（2-1）》期中考试卷答案( 工科类)专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2016年11 月19 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

正确 ? 在题后的括号内打“√”或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确，请举一个反例进行说明。

1．如果数列{x n }有界，则数列{x n }收敛．（ ╳ ）………… 2分反例：数列 {x n }={(−1)n }有界，但是不收敛. ………… 2分 2．如果lim x→0|f(x)|=0，则lim x→0f(x)=0．（ √ ）………… 2分证明：∀ε>0, 由lim x→0|f(x)|=0，可得 ∃δ>0, 当x ∈U o (0,δ) 时，||f (x )|−0|<ε,即|f (x )−0|<ε, 故lim x→0f(x)=0. (2)3. 如果函数f (x )在x 0可导，则|f(x)|在x 0也可导．（ ╳ ）………… 2分反例：f (x )=x , 在x =0处可导，但|f(x)|在x =0处不可导． ………… 2分4. 如果函数f (x )在x 0处既存在左导数又存在右导数，则函数f(x)在x 0处连续．（ √ ） ………… 2分证明：由f′+(x 0)=lim x→x 0+f (x )−f(x 0)x−x 0可知lim x→x 0+f (x )=f(x 0),由f′−(x 0)=lim x→x 0−f (x )−f(x 0)x−x 0可知lim x→x 0−f (x )=f(x 0),故lim x→x 0f (x )=f(x 0), 即函数连续. ………… 2分1．求极限lim n→∞(1+n)1n.由海涅定理可得：原式=lim x→+∞(1+x)1x ………… 2分=lim x→+∞eln(1+x)x………… 2分=elimx→+∞11+x=e 0=1 (2)2. 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→3212lim .原式=lim x→∞(1+42x−3)2x−34∙4x2x−3………… 4分=e 2 ………… 2分3. 求极限1e 1cos lim 2--→x x x .原式=limx→0√cos x−1x 2 ………… 2分=limx→0−sin x 2√cos x2x=lim 4√cos x−１４…………三．（共3小题，每小题6分，共计18分）1．设函数⎩⎨⎧>+≤-+=1,1,1)(3x b ax x x x x f 在1=x 处可导，求常数a 和b .解. 因为函数在x=1处可导，所以连续，故lim x→1−(x 3+x −1)=1=lim x→1+(ax +b )=a +b ………… 2分因为在x=1处可导，可得：f +′(1)= f −′(1) ………… 2分而： f +′(1)=lim x→1+f (x )−f(1)x−1=a f −′(1)=lim x→1−f (x )−f(1)x−1=4故 a =4 , 从而ｂ＝−３ ………… 2分 2．指出函数325)(-=x x x f 的间断点及其类型．解. x=3 是间断点. ………… 3分因为lim x→3+f (x )=5limx→3+2x x−3=+∞所以x=3是无穷间断点. ………… 3分3. 设方程43=+x y y x (x >0,y >0)确定了隐函数y =y (x )，求)1(y '.解. 方程变形得：3e y ln x +e x ln y =4 ………… 2分两边同时关于x 求导得：3e y ln x (y ′ln x +yx )+e x ln y (ln y +xy y ′)=0 ………… 2分把x=1带入原方程可得y=1，把x=1,y=1带入上式可得：y ′(1)=−4 ………… 2分四．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．求曲线2211x x e y e--+=-的所有渐近线方程．解. 因为 lim x→01+e −x21−e −x2=∞ 所以x=0是铅直渐近线.………… ３分a =limx→±∞f(x)x=0 b =lim x→±∞(f (x )−ax)=1所以有水平渐近线：y=1 ………… ３分2．设函数x x x f sin )1()(2+=，求f (50)(π2) ．解. 由莱布尼兹公式可得：f (50)(x )=(x 2+1)∙sin (x +50∙π2)+50∙2x ∙sin (x +49∙π2)+50∙492∙2∙sin(x +48∙π2)=−(x 2+1)∙sin x +100x ∙sin (x +π2)+2450∙sin x (4)所以f (50)(π2)=−(π24+1)+2450 ………… 2分1. 设参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y tt x tsin e 3确定了函数y =y (x )，求dx dy ，22dx y d . 解. dxdy=e t +cos t 3t 2+1 ………… 2分22dxyd =d dt (e t +cos t 3t 2+1)∙dt dx =(e t −sin t)(3t 2+1)−6t(e t +cos t)(3t 2+1)2∙13t 2+1 =(e t −sin t)(3t 2+1)−6t(e t +cos t)(3t 2+1)3 (4)2. 求()()32132--=x x x f 的单调区间和极值．解. 定义域是:R =(−∞,+∞)f ′(x )=23−23(x −1)−13x=1是不可导点，f ′(x )=0可得x=2 ………… 2分列表如下：极大值：f (1)=23 极小值：f (2)=13 ………… 1分1．讨论函数y =xe x 的凸性区间和拐点．解. y ′=(x +1)e x ,y ′′=(x +2)e x令y ′′=0, 得x =−2 ………… 2分列表如下：拐点是：(−2,−2e −2) ………… 1分 2．证明：当x <1时，e x ≤11−x．证明. 令 f (x )=e x (1−x), ………… 2分则 f ′(x )=−xe x =0,可得x=0所以当x <0时，f ′(x )>0, 当0<x <1时,f ′(x )<0 ………… 2分故函数在x=0处取得最大值，即f (x )≤f (0)=1 综上可得当x <1时，e x ≤11−x． (2)七．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．加热一块半径为2cm 的金属圆形薄板，其半径以0.01cm/s 的速率增大，求当半径为2.1cm 时，面积的变化率．解. 设t 时刻圆形薄板得半径为r, 面积为S(r)则 S (r )=π∙r 2 ………… 2分两边关于t 求导可得 dSdt =2πr drdt ………… 2分所以当r=2.1时，ｄＳｄｔ＝２π∙２．１∙０．０１＝０．０４２π ｃｍ２／ｓ3．设函数f (x )在[0,b]上连续，在(0,b)内可导，且f (b )=0，证明存在一点ξ∈(0,b),使得f (ξ)+ξ∙f′(ξ)=0．解．令Ｆ(ｘ)＝ｘｆ（ｘ）， ………… 2分则Ｆ(ｘ)在［０，ｂ］上连续，在（０，ｂ）内可导，并且Ｆ(０)＝Ｆ(ｂ)＝０， ………… 2分由罗尔定理可知，∃ξ∈（０，ｂ）使得Ｆ′(ξ)＝０即f (ξ)+ξ∙f′(ξ)=0． ………… 2分。

072浙江工业大学高数期中A2

2 2 2 2
1 3
与 x + y = 2az
2 2
(a > 0) 所围成的立体体
2
3
y
2 3
2
dy ∫ y y x 2 + y 2 dx 。
3
2
⎧ x2 y 2 , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ 2 2 32 ，证明： f ( x, y ) 在点（0，0）处连四、（10 分）设 f ( x, y ) = ⎨ ( x + y ) 2 2 ⎪ 0 , x +y =0 ⎩
续且偏导数存在，但不可微分。五、（8 分）通过点 M ( 2 , 1 , ) 的所有平面中哪一个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小，试求出该平面方程。六、（8 分）求曲面 x + y + z = 3a 积。
三、试解下列各题（每小题 7 分）： 1、
∫∫
D
sin y dxdy , 其中 D 为曲线 y = y
2
x 及直线 y = x 所围成。
2、
∫∫ ydxdy ，其中区域 D 由曲线 x
D
− 2 y + y 2 = 0 所围成。
3、求积分 I＝
∫
2
0
dy ∫ y y x 2 + y 2 dx + ∫
⎧ z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 , z 0 ) 处有切线，其中 z 0 = f ( x0 , y 0 ) ； ⎩ y = y0
。
在上述陈述中正确的是
7、设函数 z = z ( x , y ) 由方程 f ( y − x , yz ) = 0 所确定，其中 f 具有连续的二阶偏导数，

2016-2017年浙江省杭州市五县七校联考高一上学期数学期中试卷带答案

对于 A：元素与集合应该是属于，即 0∈A；
对于 B，集合与集合之间的关系，应该是 { 0} ? A；
对于 C：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 ?? A；
对于 D：{ 0} ? A 子集，所以 D 对．
故选： D．
2．（4 分）下列四组函数，两个函数相同的是（
）
A．f （x）= ，g（x）=x B．f（x）=log33x，g（x）=
10．（ 4 分）设 f（ x） =
﹣ ，若 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y=[ f
（ x）] 的值域是（） A．{ 0，﹣ 1} B．{ 0，1} C．{ ﹣1，1}
D． { ﹣ 1， 0， 1}
【解答】解： f（x） =
﹣
=1﹣﹣=﹣ Nhomakorabea，
∵ 3x＞0，
∴ 0＜
＜1，
∴﹣ ＜ ﹣
（ x）] 的值域是（） A．{ 0，﹣ 1} B．{ 0，1} C．{ ﹣1，1}
D． { ﹣ 1， 0， 1}
二、填空题（本大题共 7 个小题，每小题 4 分，共 28 分，请把正确答案填在题
中横线上）
11．（ 4 分）已知幂函数 f （x） =k?xa 的图象过点（，）则 k+a=
．
12．（ 4 分）设全集 U=R，集合 A={ x| ﹣1＜x＜ 4} ，B={ y| y=x+1，x∈A} ，（?UA）
C．f （x）=（）2， g（ x）=| x| D．f（ x） =x，g（x）=x0
【解答】解：对于 A：f （x） = =| x| 的定义域为 R，g（x）=x 的定义域为 R，
它们定义域相同，对应关系不相同，∴不是同一函数；对于 B：f（x）=log33x=x 与 g（x）= =x 它们的定义域相同，对应关系也相同，

高等数学A,B上册期中试卷

共6页第1页东南大学考试卷课程名称高等数学A 、B （期中）考试学期 10-11-2得分适用专业工科类考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．0limx x→-=；2．已知()3sin (12),0e ,0x x x x f x a x ⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则a = ；3．设()arctan e xf x =,则微分d ()f x =_____________ __； 4．设2010()cos f x xx =，则(2010)(0)f =_________ ______；5．设()y y x =是由方程21eyy x =-所确定的隐函数，则(0)y '= ；6．曲线332216x y +=在点(4,4)处的切线方程为 ____. 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．当0x →时，sin x ax -与2ln(1)x bx -是等价无穷小，则 [ ](A) 11,6a b ==-(B) 11,6a b == (C) 11,6a b =-=- (D) 11,6a b =-= 8．函数1arctan21()sin2x x f x x ππ-=的间断点 [ ] （A ）都是可去间断点（B ）都是跳跃间断点（C ）都是无穷间断点（D ）分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点 9．设()f x 在x a =的邻域内有定义，则()f x 在x a =可导的一个充分条件是 [ ]共6页第1页(A) 1lim ()h h f a f a h →+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭存在 (B ) 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 (C) 0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 (D ) 0()()lim h f a f a h h→--存在三.计算题（每小题8分，本题满分32分）10．求极限 10lim 1e xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.求极限 22212lim 12n n n n n n n n n →∞+++⎛⎫+++⎪+++⎝⎭共6页第1页12．设函数()y y x =由参数方程32arctan 3x t t t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，试求d d y x 、22d d y x .13. 写出函数()ln f x x x =在1x =处的带有Lagrange 余项的3阶Taylor 公式.共6页第1页四(14).（13分）设a 和b 都是实常数,0b <，定义()sin ,0()0,0a b x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，回答下列问题，并说明理由。

浙东北(ZDB)教学联盟2016-2017学年第二学期期中考试高一数学试卷含答案

浙东北（ZDB ）教学联盟2016-2017 学年第二学期期中考试
高一数学试卷答案
出一个符合题意的正确选项填入答题卷，不选、多选、错选均得零分. ） 1 •计算sin 二的值（C ）
3 ..3
2.已知〉是第二象限角，那么2是（D ）
A 、第一象限角
4.3—3 A 、 10 4 3亠3
B 、
10
A 、锐角三角形 C 、直角三角形 A 、 y = cos( 2 x — 一) 4 31 31 15 A 、
B 、
C 、 D
16 32 8 1
4.右 sin ：=—, 则cos 2 -的值等于（ A )
3
7 8 4伍
A 、-
B 、一
C 、
D 9 9 9 匚 1
3 .等比数列 1 , a 2 , a 3 , 8
的前5项的和为（ A )
15 16
2 . 2
3 5. 已知数列｛a ｝前n 项和为S -2n n a ，若该数列是等差数列，则
2
n =n 已知sin :■ D 、不确定 6. :::二）,
则 sin( )=
3
7. 已知 F:.ABC 中，若 sin $ A 亠 sin ? B 2
:::sin C ，则这个三角形一定是 (B )
、选择题（本大题有
12小题，每小题 3分，共36分.请从A 、B 、C 、 D 四个选项中选 B 、第二象限角
C 、第一或第二象限角
D 、第一或第三象限角 B 、钝角三角形 D 、等腰三角形 &将函数y 二cos2x 的图象向右平移 -个单位后所得函数图象的解析式是（ 4
B 、 y 二 cos( 2 x —)
4 2
10。

2016-2017-1高数A1

2016-20171 高等数学A1 （A 卷）数理学院张菊芳全校相关专业陈宁一、填空题（每小题3分，共15分）1．极限12tan 0lim(12)x x x x →+= ；2. 设函数()y f x =由方程ln 1xy y +=确定，则0|x dy == ；3．设函数2()x f x xe x =+，则(0)f '''= ； 4．曲线3223y x =在点21,3 ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率为； 5．定积分121||1x x dx x -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰__________．二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()(1)x e e f x x x -=-，则1x =是函数()f x 的________； )A 可去间断点 )B 跳跃间断点 )C 无穷间断点 )D 连续点2．设函数223408()sin ,()3xf x t dtg x x x ==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的________； )A 高阶无穷小 )B 低阶无穷小 )C 同阶但非等价无穷小 )D 等价无穷小3．曲线32ln y x x =-在点(1, 1)-处的法线方程为________； )A y x =- )B y x = )C 2y x =- )D 2y x =--4．设21cos x -是函数()f x 的一个原函数，则不定积分()f x dx '=⎰________；)A 21cos x C -+ )B 22sin x x C + )C 22sin x x C -+ )D 2sin x C +5. 对反常积分2211cos dx x xπ+∞⎰，以下正确的是________. )A 发散 )B 收敛，其值为1- )C 收敛，其值为 1 )D 不能确定课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适用专业:三、计算题（每小题7分，共21分）1．求极限2021lim 1cos x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 2. 设函数21,0()ln(12),0x bx x f x x a x ⎧++≤=⎨++>⎩在0x =处可导, 求a ,b 的值及(0)f '及()f x '；3.求由参数方程arcsin x t y t⎧⎪=⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的一阶导数及二阶导数.四、计算题（每小题7分，共21分）1.计算不定积分arctan ⎰； 2.计算不定积分2；3.设函数20()1,025x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪++⎩，计算定积分11()f x dx -⎰. 五、计算题（10分）设函数2()1x f x x =+，请解决如下问题： 1. 求()f x '，()f x ''；2. 列表求()f x 的单调区间和极值；3. 列表求()f x 的凹凸区间和拐点.六、应用题（8分）设抛物线24y x =-与直线2x y +=及y 轴在第一象限所围成的平面图形为D ，试求：1. 平面图形D 的面积；2. 平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.七、证明题（每小题5分，共10分）1．证明：当02x <<π时，sin 2cos 2x x x +<；2. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f =-=，试证明：（1）至少存在一点(0, 1)ξ∈，使 ()0f ξξ+=；（2）至少存在一点(0, )∈ηξ，使 ()()20f f ηηηη'++=.。

浙江工业大学2014-2015一高数期末A

1．
dy dx
x 1
x
x
ln
1
x
x
1 1
x
6分
2． dy 1 dx t
3分
d2 y 1 dx 2 t 3
6分
3． y' 3( x 1)( x 3) ，驻点 x 1, x 3
3分
判别知 x 1 是极大值点，从而得极大值为 0
6分
4． cos3 xdx (1 sin2 x)d sin x sin x 1 sin3 x c 3
从而 A 2
1
y
1 y'2 dx 2
1
2
x
1
1 dx
8
3
(2 2
1)
0
0
x
3
4分
2
14/15(一)浙江工业大学高等数学考试试卷参考答案
一、填空选择题(每小题 3 分)
1． 1 2
2．
y xy xy x
3． x 2
4．2
6． y c1 cos ax c2 sin ax
7． y c1(1 x) c2 (1 x 2 ) 1 或…… 8．B
二、试解下列各题(每小题 6 分)
3分
从而有 d y de x , y e x c
6分
x
x
三、(8 分)
Vx
2
f
2(
x)dx
0
2
(2x
x 2 )2 dx
16
0
15
4分
Vy
2
2xf ( x)dx 2
0
2 x(2 x x 2 )dx 8
0
3
8分
或Vy
1

[精品]2016-2017年浙江省金华市四校联考高一(上)数学期中试卷与答案

2016-2017学年浙江省金华市四校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M={x∈Z|﹣1≤x≤1}，P={y|y=x2，x∈M}，则集合M与P的关系是（）A．M=P B．M⊊P C．P⊊M D．M∈P2．（5分）设f：x→|x|是集合A到集合B的映射．若A={﹣2，0，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{﹣2，0}3．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤2 D．a≥34．（5分）设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3 B．4 C．16 D．248．（5分）若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f （x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，每空3分，共42分，将答案填在机读卡上相应的位置.）9．（6分）函数y=的定义域为，值域为．10．（6分）已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是，若A∩B=∅，则a的范围为．11．（6分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1﹣4m）在[0，+∞）上是增函数，则m=，a=．12．（6分）如果函数f（x）=x2﹣ax+1仅有一个零点，则实数a的值是，若在（0，1）上只有一个零点，则a的取值范围是．13．（6分）已知0≤x≤2，则y=4﹣3•2x+5的最小值为，此时x=．14．（6分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）是单调函数，a的取值范围是．15．（6分）如果定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，又有f（3）=0，则f（x）＞0的解集为，x•f（x）＜0的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）计算：（1）0.2﹣2﹣π0+（）；（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）17．（14分）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．18．（14分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．19．（14分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？2016-2017学年浙江省金华市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M={x∈Z|﹣1≤x≤1}，P={y|y=x2，x∈M}，则集合M与P的关系是（）A．M=P B．M⊊P C．P⊊M D．M∈P【解答】解：集合M={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，P={y|y=x2，x∈M}={0，1}，则集合M与P的关系是P⊊M．故选：C．2．（5分）设f：x→|x|是集合A到集合B的映射．若A={﹣2，0，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{﹣2，0}【解答】解：因为f：x→|x|是集合A到集合B的映射，集合A的元素分别为﹣2，0，2，且|﹣2|=2，|2|=2，|0|=0，所以集合B={0，2}，又A={﹣2，0，2}，所以A∩B={0，2}，故选：C．3．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤2 D．a≥3【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+3的图象是开口方向向上，且以x=a为对称轴的抛物线故函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，若函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上为单调函数，则a≤2，或a≥3，故答案为：a≤2或a≥3．故选：A．4．（5分）设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵y=x a在（0，+∞）上单调递减∴a＜0∴a的可能取值为﹣3，﹣2，﹣1，又∵y=x a为奇函数当a=﹣2时，是偶函数；当a=﹣时，是非奇非偶函数不合题意∴a=﹣3或a=﹣1∴满足题意的a的值有2个故选：B．5．（5分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣1＞0解得，x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），由选项中的图象知，故C正确．故选：C．6．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3 B．4 C．16 D．24【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选：D．8．（5分）若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f （x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，每空3分，共42分，将答案填在机读卡上相应的位置.）9．（6分）函数y=的定义域为（1，2）∪（2，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．【解答】解：函数y=，其定义域必须满足：，解得：x＞1且x≠2．∴函数y=的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．又∵ln（x﹣1）值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴y=值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故答案为：（1，2）∪（2，+∞）；（﹣∞，0）∪（0，+∞）．10．（6分）已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是a≥2，若A∩B=∅，则a的范围为a≤1．【解答】解：根据题意，集合A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示为：若A∩B=A，则有A⊆B，必有a≥2，若A∩B=∅，必有a≤1，故答案为：a≥2，a≤1．11．（6分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1﹣4m）在[0，+∞）上是增函数，则m=，a=．【解答】解：∵函数g（x）=（1﹣4m）在[0，+∞）内是增函数，∴1﹣4m＞0，即m＜，∵函数f（x）=a x（a＞0，a≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，当a＞1时，函数f（x）=a x为增函数，∴a﹣1=m，a2=4，解得a=2，m=（舍去），当0＜a＜1时，函数f（x）=a x为减函数，∴a﹣1=4，a2=m，解得a=，m=∈（﹣∞，），综上所述，a=，m=故答案为：m=，a=，12．（6分）如果函数f（x）=x2﹣ax+1仅有一个零点，则实数a的值是±2，若在（0，1）上只有一个零点，则a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：若函数f（x）=x2﹣ax+1仅有一个零点，则△=a2﹣4=0，解得：a=±2，此时函数的零点为1，或﹣1，均不在（0，1），若在（0，1）上只有一个零点，则函数有两个零点，且有一个在（0，1）上，故f（0）f（1）=（2﹣a）＜0，解得：a∈（2，+∞）故答案为：±2，（2，+∞）13．（6分）已知0≤x≤2，则y=4﹣3•2x+5的最小值为，此时x= log23．【解答】解：∵y=4﹣3•2x+5=（2x）2﹣3•2x+5，令t=2x，（t＞0），∴y==（t﹣3）2+，当t=3时，y=，此时x=log23．故答案为：．14．（6分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）是单调减函数，a的取值范围是0＜a≤．【解答】解：若对任意x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）是单调减函数；故，解得：0＜a≤故答案为：减，0＜a≤15．（6分）如果定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，又有f（3）=0，则f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3），x•f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【解答】解：由奇函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，可得f（x）在（﹣∞，0）内也为减函数，又f（3）=0，∴f（﹣3）=0，则f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；不等式x•f（x）＜0等价为或．∵函数y=f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，∴解得x＞3或x＜﹣3，即不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）计算：（1）0.2﹣2﹣π0+（）；（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）【解答】解：（1）原式=（）﹣2﹣1+（3﹣3）=25﹣1+3=27．（2）原式=log3.13.12+lg10﹣3+lne+log3（log333）=2+（﹣3）++1=．17．（14分）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，因为f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），所以函数f（x）=2x﹣2﹣x是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）=2﹣2，f（x2）=2﹣2，∴f（x1）﹣f（x2）=2﹣2﹣（2﹣2）=，∵x1＜x2，∴，1+＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．18．（14分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．【解答】解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，则，∴时，当t=2即x=4时，f（x）max=1219．（14分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，∴∴f（x）=x2﹣x+1（5分）（2）由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立其对称轴为，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，∴m＜﹣1（10分）．20．（16分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？【解答】解：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x∵函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x∴函数的图象如图所示（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k结合函数的图象可知①当k＜﹣1或k＞1时，y=k与y=f（x）的图象有1个交点，即g（x）=f（x）﹣k有1个零点②当k=﹣1或k=1时，y=k与y=f（x）有2个交点，即g（x）=f（x）﹣k有2个零点③当﹣1＜k＜1时，y=k与y=f（x）有3个交点，即g（x）=f（x）﹣k有3个零点。

浙江工业大学2019-2020年高等数学A期中考试

浙江工业大学2019/2020学年第1学期期中考试《高等数学》试卷一、填空题(共27分，每小题3分)1．函数x y 2ln 4-=的定义域为．2．2sin 1lim 2x x x ∞→＝．3．设xxx f 3sin )(=，要使)(x f 在0=x 处连续，则补充)0(f ＝．4．设)2arctan()1()(--=x x x f ，则)1('f ＝．5．设⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2，则22d d x y ＝．6．设xx y 2cose =，则d d =x xy ＝．7．设53)12()25(+=+x y 有个实根．8．设2)2(lim,0)0(0==→xx f f x ，则)0('f ＝．9．函数x x y -=e 2的单调增区间是．二、选择题(共15分，每小题3分)1．设xx x f 11e 1e 2)(-+=，则0=x 是)(x f 的()．A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．连续点2．若)(lim 0x f x x →存在，但)(lim 0x g x x →不存在，则)()(lim 0x g x f x x →()．A ．存在B ．可能存在，也可能不存在C ．不存在D ．为无穷大3．若函数)(x f 在0=x 的一个领域内有定义，则hh f h f h )()(lim--→存在是函数)(x f 在0=x 点可导的()条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．既不是充分也不是必要4．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(,)('d 000x f x x f y x x f y -∆+=∆∆=，则当0→∆x 时，y y d -∆是x ∆的()．A ．等价无穷小B ．高阶无穷小C ．低阶的无穷小D ．同阶无穷小5．)(x f 在0x x =的领域内可导，且1)('lim 00=-→x x x f x x ，则0x x =是)(x f 的()．A ．拐点B ．极大值点C ．极小值点D ．上述都不对三、求解下列各题(共18分，每小题6分)1．求极限xx x x x sin tan lim20-→．2．设)(x f 具有二阶连续导数且6)0('',0)0(')0(===f f f ，求420)(limx x f x →．3．设顶点在下的正圆锥型容器，高10米，容器口半径是5米，若在空的容器内以每分钟2立方米的速率注入水。

2016-2017年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．104．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1设直线的倾斜角为α，∴tanα=1∵α∈[0，π]∴α=．故选：B．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm故选：A．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，∵B为锐角，∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，∴0＜2p2﹣3＜1，解得：＜p＜，综上，p的取值范围为＜p＜，故选：D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）∵，∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，故答案为：1．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面ABC的面积为：×2×2=2，高VA=1，故三棱锥的体积V=，AB=AC==，故侧面VAB和VAC的面积均为：=，侧面VBC的高VD==，故侧面VBC的面积为：×=，故三棱锥的表面积为：；故答案为：，11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．故答案为90°，30°．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．过答案为，3x﹣y﹣5=0．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）OP的斜率k==1，∴﹣3≤z≤．故答案为：．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，即ab=1且a＞0；又a＞b，∴a﹣b＞0；∴==（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；∴的最小值是．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，可得sinC=，可得角C的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，可得边c的长为．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），∴b n=n（n+1）．（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，不等式恒成立，即k≥恒成立，设d n=，则d n+1﹣d n=，∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；即d1＜d2＞d3＞d4＞…，∴数列最大项为，∴．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则，=8，此时O到AB的距离为，，当时，S△AOBmax∴S=8，直线AB的方程为．△AOBmax（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，，∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，∴，∴﹣32﹣6m=0，，∴．。

2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三(上)期中数学试卷和答案

2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣∞，﹣3）∪[，+∞）B．（﹣3，﹣2]∪[0，）C．（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）D．（﹣3，﹣2]2．（5分）i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．2i B．﹣2 C．2 D．﹣2i3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知实数x，y满足：，则3x+9y的最小值为（）A．82 B．4 C．D．6．（5分）设点P为有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可能为（）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）若（x2+）n的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则n=；该展开式中的常数项为（用数字作答）．10．（6分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n，若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则a n=，S n=．11．（6分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+=；m+n的最小值为．12．（6分）已知曲线C1：（x﹣1）2+y2=1与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，则曲线C2恒过定点；若曲线C1与曲线C2有4个不同的交点，则实数m的取值范围是13．（4分）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．14．（4分）函数f（x）=+的值域为．15．（4分）记max{a，b}=，设M=max{|x﹣y2+4|，|2y2﹣x+8|}，若对一切实数x，y，M≥m2﹣2m都成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+=2cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．17．（14分）已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；（II）若•=•，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．19．（15分）已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．20．（15分）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜．2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣∞，﹣3）∪[，+∞）B．（﹣3，﹣2]∪[0，）C．（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）D．（﹣3，﹣2]【解答】解：集合A={x|4x﹣1|＜9，x∈R}={x|﹣9＜4x﹣1＜9，x∈R}={x|﹣2＜x＜，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}={x|x＜﹣3或x≥0，x∈R}，∴∁R A={x|x≤﹣2或x≥，x∈R}，∴（∁R A）∩B={x|x＜﹣3或x≥，x∈R}=（﹣∞，﹣3）∪[，+∞）．故选：A．2．（5分）i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．2i B．﹣2 C．2 D．﹣2i【解答】解：∵=，∴复数的虚部为2，故选：C．3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1∥l2，∴a2﹣a﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1，故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∴cosα﹣sinα===，则===，故选：B．5．（5分）已知实数x，y满足：，则3x+9y的最小值为（）A．82 B．4 C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A（﹣2，﹣2）时直线y轴上的截距最小为z=﹣4，∴3x+9y≥=．故选：C．6．（5分）设点P为有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．e1=，e2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，则m+n=2a1，m﹣n=2a2．∴m2+n2=2+2，mn=﹣．4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴4c2=2+2﹣2（﹣）×．化为：5c2=+4，∴5=+×4，又e2=2e1，∴5=+×4，e1∈（0，1）．则e1=．故选：D．7．（5分）已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．2【解答】解：根据条件，设，设，则：==0；∴；∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：∴||的最小值为：．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可能为（）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【解答】解：∵函数f（x）=，即f（x）=．因为当f（x）=1时，x=1或3或或﹣4，则当a=1时，x+﹣2=1或3或或﹣4，又因为x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2=﹣4时只有一个x=﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，故有8个根；当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）若（x2+）n的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则n=6；该展开式中的常数项为15（用数字作答）．【解答】解：由（x2+）n展开式中的二项式系数和为64，可得2n=64，∴n=6．由于（x2+）n=（x）6，展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r=•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为==15，故答案为6，15．10．（6分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n，若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则a n=2n﹣1，S n=．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n，2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，由q＞0，得q=2，，∴a n==2n﹣2，S n==．故答案为：2n﹣2，．11．（6分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+=4；m+n的最小值为1．【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，∴+=4．∴m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），≥（2+2）=1，当且仅当m=n=时取等号．故答案是：4；1．12．（6分）已知曲线C1：（x﹣1）2+y2=1与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，则曲线C2恒过定点（﹣1，0）；若曲线C1与曲线C2有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（﹣，0）∪（0，）【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为（﹣1，0），（﹣，0）∪（0，）．13．（4分）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．14．（4分）函数f（x）=+的值域为[，] ．【解答】解：函数f（x）=+，其函数的定义域为{x|0≤x≤2}．那么：f′（x）=﹣令f′（x）=0，解得：x=，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数．当x∈（，2）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．∴当x=时，f（x）取得极大值，即最大值为．当x=0时，f（x）=2，当x=2时，f（x）=．所以得函数f（x）的值域为[，]．故答案为：[，]．15．（4分）记max{a，b}=，设M=max{|x﹣y2+4|，|2y2﹣x+8|}，若对一切实数x，y，M≥m2﹣2m都成立，则实数m的取值范围是[1﹣，1+] ．【解答】解：∵M=max{|x﹣y2+4|，|2y2﹣x+8|}，∴2M≥|x﹣y2+4|+|2y2﹣x+8|≥|y2+12|≥12，∴M≥6，∵对一切实数x，y，M≥m2﹣2m都成立，∴m2﹣2m≤6，∴1﹣≤m≤1+，∴实数m的取值范围是[1﹣，1+]，故答案为：[1﹣，1+]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+=2cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）cos2A+=2cosA，即2cos2A﹣1+=2cosA，即有4cos2A﹣4cosA+1=0，（2cosA﹣1）2=0，即cosA=，（0＜A＜π），则A=；（2）由正弦定理可得b===sinB，c==sinC，则l=a+b+c=1+（sinB+sinC），由A=，B+C=，则sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），即有l=1+2sin（B+），由于0＜B＜，则＜B+＜，sin（B+）≤1，即有2＜l≤3．则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．17．（14分）已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；（II）若•=•，求的值．【解答】解：（Ⅰ）设外接圆半径为R，由3+4+5=得：4+5=﹣3，平方得：16R2+40•+25R2=9R2，即•=﹣R2，则cos∠BOC=﹣；（Ⅱ）∵=，∴=，即：=，可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A，∴2cos2A=cos2C+cos2B，即：2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），∴2sin2A=sin2B+sin2C，∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2，∴=2．18．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1∴a k﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．19．（15分）已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1520．（15分）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜．【解答】（1）解：f′（x）=，x＞1，当a﹣1≥0即a≥1时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增，当0＜a＜1时，由f′（x）=0，∴x1=﹣＞﹣1，x2=，∴f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，当a＜0时，∵x1＜﹣1，∴f（x）在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增；（2）证明：∵0＜a＜1且x1=﹣，x2=，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），＜⇔＜⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x+1）+﹣x2＞02⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．。

浙江省杭州市七校联考2016-2017学年高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线7．下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥ D．若a+b=1，则a2+b2≤9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B．C．D．13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3D．a314．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值16．设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A． B．（﹣∞，﹣2﹣4﹣2+4，+∞）C．17．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n ﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】可以先求出方程x（x﹣1）=0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选D2．已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．21【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】可根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，再让数列的第n项等于，即可求出．【解答】解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an=，假设为数列的第n项，则，解得，n=11故选B3．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意、一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程求出m的值．【解答】解：∵不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，∴方程mx+2=0的解是2，则2m+2=0，解得m=﹣1，故选：A．5．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．31【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接利用等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由首项a1=1，公差d=2，得a5=a1+4d=1+4×2=9．故选：B．6．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线b和c有可能在同一平面上，则相交；也有可能不在同一平面上，则异面；如果b∥c，则a∥b与已知矛盾．【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；故选：D．7．下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c【考点】不等关系与不等式．【分析】A．当c＜0时，不成立；B．取a=﹣1，b=﹣2即可判断出；C．由a＞b，c＜d，可得a﹣c＞b﹣d；D．利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a=﹣1，b=﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．8．下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥ D．若a+b=1，则a2+b2≤【考点】简单线性规划．【分析】根据基本不等即可求出判断．【解答】解：对于A：（a+1）（+1）=1+1+a+≥2+2=4，故A不正确，对于B，当0＜x＜1时，lnx+＜0，故B不正确，∵a+b=1，则a2+b2≥=，当且仅当a=b=，故C正确，D不正确，故选：C．9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，a 与b平行或异面；在D中，b与α相交、平行或b⊂α．【解答】解：由α为平面，a、b为两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；在C中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；在D中，若a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故D错误．故选：B．10．在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a4=3a3，可得q=3，可得+++…+=q+q2+q3+…+q n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=3a3，∴q=3，∴+++…+=q+q2+q3+…+q n===．故选：D．11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角．【解答】解：由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角．连接FB1，在三角形FB1G中，AA1=AB=2，AD=1，B1F==B1G==，FG==，B1F2=B1G2+FG2．∴∠FGB1=90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°．故选A．12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3D．a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形，我们根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a，则它必然有两个面为等边三角形，如下图由图结合棱锥的体积公式，当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，故该四面体的体积最大，此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=，棱锥的高h=，则该四面体的体积最大值为V=×a2×=．故选C．14．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】应先从等比数列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到a m a n=16a12中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为a m a n=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选A15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A为定值．D正确；﹣BEF故选B．16．设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A． B．（﹣∞，﹣2﹣4﹣2+4，+∞）C．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得y=x+，（x≥2）在x=2时，取最小值，故m≤﹣4=﹣，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选C．18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n=﹣2n+7，使S n最大的序号n的值3．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d（d≠0），由条件、等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程组，求出首项和公差，再求出a n；由等差数列的前n项和公式求出S n，利用配方法化简后，由一元二次函数的性质求出取S n最大值时对应的n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为16；则xy的最小值为12．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可；（Ⅱ）由线线平行面面平行从而推出线面平行即可．【解答】证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n ﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p，令n=1，解方程即可求得结果；（2）由2S n =2a n 2+a n ﹣1，知2S n ﹣1=2a n ﹣12+a n ﹣1﹣1，（n ≥2），所以（a n ﹣a n ﹣1﹣1）（a n +a n ﹣1）=0，由此能求出数列{a n }的通项公式．（3）根据求出数列{b n }的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．【解答】解：（1）∵a 1=1，对任意的n ∈N*，有2S n =2pa n 2+pa n ﹣p ∴2a 1=2pa 12+pa 1﹣p ，即2=2p +p ﹣p ，解得p=1；（2）2S n =2a n 2+a n ﹣1，①2S n ﹣1=2a n ﹣12+a n ﹣1﹣1，（n ≥2），②①﹣②即得（a n ﹣a n ﹣1﹣）（a n +a n ﹣1）=0，因为a n +a n ﹣1≠0，所以a n ﹣a n ﹣1﹣=0， ∴（3）2S n =2a n 2+a n ﹣1=2×， ∴S n =， ∴=n •2nT n =1×21+2×22+…+n •2n ③又2T n =1×22+2×23+…+（n ﹣1）•2n +n2n +1 ④④﹣③T n =﹣1×21﹣（22+23+…+2n ）+n2n +1=（n ﹣1）2n +1+2 ∴T n =（n ﹣1）2n +1+22016年12月15日。

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