中考数学压轴题 二次函数动点问题 专题练习

二次函数的动点问题

1如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴

交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .

（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；

（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由

分析 (1)由点B (-2,m )在直线12--=x y 上,可求得m 的值及 点B 的坐标,进而求得抛物线的解析式;

(2)通过分别求得CB 和CE 的长来说明CB =CE,

过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，由△DFB ≌△DHE,证得D 是BE 的中点；

(3)若存在点P 使得PB=PE,则点P 必在线段BE 的中垂线CD 上,

动点P 又在抛物线上,通过解直线CD 和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.

解（1）∵ 点B (-2,m ) 在直线12--=x y 上， ∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3) ∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2，

∴ 点A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4

1=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=

x x y ，即x x y -=24

1

. （2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5).

过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，则点G 坐标为(2,3) BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =5432222=+=+BG CG . ∵ CE =5，∴ CB =CE =5.

②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.

∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE . 即D 是BE 的中点. (3)由于PB =PE ，∴ 点P 必在线段BE 的中垂线CD 上， 又点P 在抛物线x x y -=

2

4

1上, ∴ 符合条件的点P 应是直线CD 与该抛物线的交点. 设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将点D (0,-1) C (2,0) 代入，

得⎩⎨⎧=+-=0

21

b k b . 解得 1,21-==b k . ∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.

解方程组 x x y x y -=-=

24

11

2

1

得 2515311+=+=y x 2515322-=-=y x ∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，

251+)或(53-，2

5

1-). 2.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线3

4

y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3

4

y x b =-

+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．

（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的

函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？

3.如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、

C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．

（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？

4如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分） ∴A （-1，0）B （3，0）；（1分）

将C 点的横坐标x=2代入2

23y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1

（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分）

则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分） E （2

(,23)x x x --（1分）

∵P 点在E 点的上方，PE=2

2

(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =

时，PE 的最大值=9

4

（

1分） （

3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - （结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分） 5如图13，已知抛物线224

233

y x x =-

++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标；

（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC x 的

取值范围．

（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

解： （1）把x =0代入224

233y x x =-

++得点把y =0代入224

233

y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）

（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）

OBPC

S 四边形=

OPC

S △+

OPB

S △=

11

2322

x y ⨯⨯+⨯⨯ = 23242233x x x ⎛⎫

+-++ ⎪⎝⎭

=2

33x x -++