浅谈对数学概念的理解

教 育 战 线131

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·····················浅谈对数学概念的理解

江苏省连云港市浦南中学 左克红

淡化概念是现今初中数学教育的一个重要方面，在九年制义务教育教材的编写中有明显的反映。但是，促进对数学概念的理解并不能因此被偏废。本人想就此谈谈自己的一些看法。

一、数学概念的学习特点

数学是由概念、命题组成的逻辑系统。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特有属性（或本质属性）在思维中的反映，是构成数学体系的基本元，是使得整个体系结成一体的结点。

数学概念的学习常有两种基本形式：概念同化与概念形成。初中生在学习数学概念时常以概念同化为主，对初次接触的或极为抽象的概念，则采用概念形成的学习方式。但是，不管采用何种形式，学习效果将直接取决于学生能否完整理解概念的内涵和外延，真正理解概念的本质属性，并且掌握概念，从而能够应用概念。

二、理解对数学概念学习的意义数学教学中，数学概念作用于学生的思维，学生在主动思维的过程中，经大脑特殊而复杂的运动来反映概念，并加以保存，这种保存可以是理解的，也可以是不理解的（即常说的死记硬背）。只有在理解的基础上的保存，才有可能对概念进行本质的、理解的记忆，进而才有可能运用这种本质的认识去观察问题，用理性的认识分析问题，从而解决问题。

三、影响学生对数学概念理解的因素

由于受各种因素的影响，学生对数学概念的理解程度往往是不相同的，常见的主要因素有如下几种：

1、经验和抽象概括能力

学生对概念的理解程度，往往取决于学生是否储备了足够的相关知识基础，以及是否具备相应的抽象概括能力。例如：学生平方概念以后，学生基本能够“找出”满足X2=9的X 值，这便转化到“解一元二次方程”，首选的方法便是“直接开平方”，用于解决形如X2=ɑ（ɑ≥0）型的一元二次方程；以完全平方式（ɑ+b）2=ɑ2+2ɑb+b2为

基础，可以把所给方程经“二次项系数化为一”、“移项”，“方程两边同加上一次项系数的一半的平方”等步骤，整理为(x+a)2=b(b ≥0)的形式，这就是“配方法”的思想：对一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)运用“配方法”整理，即得一般方法“公式法”。在这里，如果其中某环节受阻，则上述循序渐进的三个概念及相互关系就难以理解、把握。

2、本质属性和非本质属性

概念的本质属性越明显，学习时就越容易理解和掌握；反之，非本质属性多而且明显，则会学生对概念的正确理解和把握。比如：讲解“等腰三角形”时，常常习惯于将顶点画在“上方”，底边在“下面”，一旦将顶点画在“左（或右）边”，将底边画在“右（或左）边”，有的同学就因这个三角形的两腰不在他的视线两侧，而错误地认为这不是等腰三角形。再如：无理数应是“无限不循环小数”，讲课时常例举 “开方开不尽”的数帮助理解，在不知不觉中，“无理数是开方开不尽的数”这一错误观点便在许多学生的头脑中形成，而用这一错误观点取代无理数是无限循环小数这一概念。这一切都缘于他们将概念的非本质属性混淆于概念的本质属性。

3、变式

要理解某一概念的本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的肯定例证或者是不具有该本质属性的否定例证，经过比较分析来进行。如函数概念教学中，学生误以为只有“变量y 随变量x 的变化而变换，y 才是x 的函数”，这便变更了函数概念的内涵“对变量X 在某一范围内的每一个确定值，变量y 都有唯一的、确定的值与之对应”。这时，可以举肯定例证：y=︱X ︱-X，当X 取任意非负实数时，y 都有唯一的确定的值0与之对应；而当X 为负实数时，就变成y=-2X。可见，变式有助于纠正学生理解上的偏差，让学生理解的更透彻。

四、促进学生理解数学概念的措施为了帮助学生更好地理解数学概

念，在教学过程中应充分注意到以下几点：

1、调动学生思维的积极性

理解是人应用已有的经验、知识，通过思维对未知对象或现象作出新的解释，弄清其新的特点、性质、联系或意义的一种认识过程，唯有经由学生积极思维才可实现。如果学生仅仅注意到“互为相反数”的符号不同，则就会对+3与-5、-1/3与2/3之类产生疑义，故需帮助他们深入挖掘“只有符号不同的两个数”中“只有”二字的含义：若将互为相反的两个数的符号去掉，那么所剩部分（即各自的绝对值）是相同的。

2、提供感性材料的变式

理解是通过对感性认识的加工改造完成的，缺乏必要的感性材料，或已有的感性材料缺乏典型性、代表性，学生就难以对事物各要素进行鉴别，难以区分一般与特殊、本质与非本质。为此，必须从教材内容的选择和教材的呈现方式两方面确保良好的认知结构的形成。

3、注意新旧概念间的比较

新概念是建立在已有的概念的基础上的，对新概念的理解依赖于旧概念，只有将旧概念与新概念联系起来，进行比较，辨别异同，才能真正新概念的含义。如算术平方根的学习是在学习了平方根以后，学生对平方根的概念较为清晰，知道“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数”。那么“正数的正的平方根”就不再是新鲜课题了，结合补充定义“零的算术平方根是零”，自然就理解一个非负数ɑ的算术平方根有且只有一个，并且是非负数。

4、丰富学生的语言

思维总是与语言联系在一起的，这就不仅要求学生能利用文字语言充分表述自己在理解数学概念时所进行的思维过程，还要鼓励学生较多地运用符号语言来表达数学概念。理解在学生的学习活动中起着重要的作用，数学概念的高度抽象化决定了只有深入理解概念的本质属性，把握其内涵和外延，才能实现知识的迁移和巩固。一孔愚见，敬祈指正。