勾股定理经典题目及答案

勾股定理经典题目及答案
勾股定理
1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.
2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.
△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2
3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：
①3、4、5；
②6、8、10；
③5、12、13；
④8、15、17；
⑤9、40、41.
典型例题分析
例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____
依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d
则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2
S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4
例2 已知线段a，求作线段5a
分析一：5a＝25a＝2
2
a+
4a
∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：5a＝24
a-
92a
∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）
例3 如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。

(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
分析：
(1)中S 1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。

所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3(2)类似于(1)：S1+S2=S3
(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△
ABC-S3
∴S阴影=S△ABC
例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。

分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即
S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴
所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴
从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)
∴最大的正方形的边长为13cm
例5 图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9
(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b，
则
将正方形EFGH的边长三等分，使
顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。

二、要学会用方程观点解题
例6. 已知：如图7，△ABC中，AB=3，
BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，
使C点与A点重合，求折痕EF的
长。

分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。

由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。

设AF=x，则FC=x，BF=4-x
只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程
x2-(4-x)2=9，问题就可以解决
例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a<b<c)，求a+b+c
分析：有的同学认为，在Rt△ABC中，
∵a、b、c为连续整数，
∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。

这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是
设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则
a=x-1，c=x+1
∵c2-a2=b2∴(x+1)2-(x-1)2=x2
即4x=x2，又∵x>0，∴只有x=4
∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12
例8. 已知：如图8，△ABC中，AB=13，
BC=21，AC=20，求△ABC的面积。

分析：为了求△ABC的面积，只要
求出BC边上的高AD若设BD=x，则
DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决
例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出的值。

答案
(1)
例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD
＝AC ＋BD,求证：AB ＝AC
证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得
AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2
∴c 2-b 2=m 2-n 2,
(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB ＝AC
例11 .已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝3
2 求：a b 的值 解：根据勾股定理
a 2+
b 2=EF 2＝S EFGH ＝3
2 ;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=3
1 ② c b n m A B C
A B D F
G H
E
－②得 （a-b ）2=3
1 ∴a b ＝33 例1
2 .已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的
中点，E ，F 分别在AB ，AC ，ME ⊥
MF
求证：EF 2＝BE 2＋CF 2
答案 .延长EM 到N ，使MN ＝EM ，连结CN ，显然△MNC ≌△MEB ，NC ＝BE ，NF ＝EF (11)
B
A
C M F
E
例13 .Rt △ABC 中，∠ABC ＝90 ，∠C ＝600，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是＿＿＿＿。

(12)
A
C E F D
答案与提示：. 可证DF ＝DE ＝23
（选讲）例14 如图，圆柱的高为10 cm ，底面
半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 答案2
210)2(+π
练习
1 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC = 4，BC = 3，求AB 的长.
分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC< AB< AC+ BC 知：4< AB<7，得AB 为5或6.
2 如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。

求证：DE 2=AD 2+BE 2。

B
C A
A
C B
A
E
A
B
E
A
B
分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。

3 如图，在△A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC 边上的高A D= 。

答案12。

D
4 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。

E
F
D
设EF=x ，那么AF=CF=8-x ，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3，
S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10
5 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5
A
C
B
6 在△ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A
D=12，试求BC 边的长. 答案25或
7
7 在△A BC 中，D 是BC 所在
直
B D
C B D
A
线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面积。

答案84或36。