勾股定理经典题目及答案

勾股定理经典题目及答案

勾股定理

1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.

2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.

△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2

3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：

①3、4、5；

②6、8、10；

③5、12、13；

④8、15、17；

⑤9、40、41.

典型例题分析

例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____

依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d

则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2

S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4

例2 已知线段a，求作线段5a

分析一：5a＝25a＝2

2

a+

4a

∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：5a＝24

a-

92a

∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例3 如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。

(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？

(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)

分析：

(1)中S 1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。

所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3(2)类似于(1)：S1+S2=S3

(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△

ABC-S3

∴S阴影=S△ABC

例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。

分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即

S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴

所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴

从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)

∴最大的正方形的边长为13cm

例5 图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9

(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b，

则

将正方形EFGH的边长三等分，使

顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。

二、要学会用方程观点解题

例6. 已知：如图7，△ABC中，AB=3，

BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，

使C点与A点重合，求折痕EF的

长。

分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。

由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。

设AF=x，则FC=x，BF=4-x

只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程

x2-(4-x)2=9，问题就可以解决

例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a

分析：有的同学认为，在Rt△ABC中，

∵a、b、c为连续整数，

∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。

这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是

设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则

a=x-1，c=x+1

∵c2-a2=b2∴(x+1)2-(x-1)2=x2

即4x=x2，又∵x>0，∴只有x=4

∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12

例8. 已知：如图8，△ABC中，AB=13，

BC=21，AC=20，求△ABC的面积。

分析：为了求△ABC的面积，只要

求出BC边上的高AD若设BD=x，则

DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决

例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

(3)求出的值。

答案

(1)

例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD

＝AC ＋BD,求证：AB ＝AC

证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n

则c+n=b+m, c-b=m-n

∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得

AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2

∴c 2-b 2=m 2-n 2,

(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)

(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0

(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0

∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b

∴AB ＝AC

例11 .已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝3

2 求：a b 的值 解：根据勾股定理

a 2+

b 2=EF 2＝S EFGH ＝3

2 ;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=3

1 ② c b n m A B C

A B D F

G H

E