38 数列的求和-艺考生文化课百日冲刺

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高中数学考前归纳总结数列求和的常用方法

一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数列1{}na 的前n 项和n S 。

解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。

练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅）三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-．即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72）四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。

艺考生文化课百日冲关答案

艺考生文化课百日冲关答案随着文化课在艺术类录取中所占的比重越来越高，很多艺术生在集训时也没有落下文化课。

但是由于艺术生的文化课底子薄，如何快速提分成为了摆在艺术生面前的一大难题。

并且，在集训时，很多专业课培训机构没有配备文化课老师，学生只能靠自学，学习效率和效果得不到保障。

针对该问题，长期从事艺术生文化课教学的刘老师给大家提出三点建议。

一、合理分配集训时间专业课、文化课同步学习以往的艺术生在集训时往往只学习专业课，完全放弃文化课的复习。

把文化课放在艺考后集中复习。

这样的考生，在艺考后复习文化课时才发现早已跟不上复习进度，知识点出现严重断层。

太多的经验和教训告诉我们，集训时一定要同步复习文化课。

整天抱怨说专业课太多，时间不够用的同学，只是给自己找的“为赋新词强说愁”的理由。

如果一个培训机构不给学生留出文化课的复习时间，这样的培训机构只能说还不懂艺考，或者说是以牺牲学生文化课的代价来提高机构的专业课过关率。

告诫各位考生，无论多忙，每天一定要挤出2-3个小时的文化课复习时间，平时的点滴积累往往比临时抱佛脚效果要好的多。

二、各科复习规划安排集训时，建议各科按以下原则复习：每天必看科目：政治、历史、地理、英语，政史地这三科大多以记忆性知识为主，所以，利用集训时的零散时间完全可以随时复习。

英语主要是背单词，把背单词养成一种习惯，可以使用口袋单词本，随时随地记单词。

数学由于解题时间较长，考生最好在安静的环境中复习，所以建议一周复习一次数学科目。

语文可以每天读读文言文，不需要做题，能把文言文的大概意思理解透就可以，毕竟在高考试卷中，文言文所占分值较大。

三、艺考后文化课复习安排艺考后的三个月是艺术生提分的黄金时期，这三个月的复习效果直接决定高考的成功与否。

建议考生们考完试以后，迅速调整状态，以最快的适应程度投入到文化课复习中来。

由于复习时间较短，大而全的复习模式已经不适应该阶段复习模式，考生们可以使用艺考生文化课百日学案，直抓重点复习，以达到快速提分的目的。

2020高考数学艺考生冲刺一本通课件：第14讲数列的通项与求和

知知识识梳梳理理典例变式基础训练能力提升真题演练
(5)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。
常见的裂项技巧:
①1
��(��+1)
=
1 ��
−
��+1 1.
②1
��(��+2)
知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练
【解】(1)当 n=1 时,a1=S1=1;
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=��22+�� − (��-1)22+(��-1)=n. a1 也满足 an=n,故数列{an}的通项公式为 an=n.
(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn.
适合此等式.所以
an=
-1,�� = 1, 2��-1,�� ≥
2.
知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练
题型三数列求和 (一)分组与并项求和【例 3】 (2019·黄山模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=��22+��,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.
(4)Sn 与 an 的关系
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,则
an=
��1,�� = 1, �� -��-1,��
≥
2,这个关系式对任意数列均成立.
知知识识梳梳理理典例变式基础训练能力提升真题演练

高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕；【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+，所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈．〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解．【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++．【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕采用分组求和法求和．【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+．【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析．【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+．〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+．【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+．〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ．【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ．【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。

2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章专题二数列

2 1 ( 1)

2. 3
2
3.已知等比数列{an}的公比为q=

1 2
.
(2)证明:对任意k∈N+,都有ak,ak+2,ak+1 成等差数列.
(2)证明: 对任意的k N ,
2ak2 (ak ak1) 2a1q k1 (a1q k1 a1q k ) a1q k1(2q 2 q 1),
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
(2)因为数列{an}的公差d 1, 且S5 a1a9, 所以5a1 10 a12 8a1;即a12 3a1 10 0 , 解得 5 a1 2.
5.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
解得k 6或k 1(舍去),因此k 6.
3.已知等比数列{an}的公比为q= 1

1 2
.
(1)若a3= 4 ,求数列{an}的前n项和;
(1)解
:由a3

a1q 2

1 4
及q

1, 2
得a1
1,
1[1 ( 1)n] 2 ( 1)n1
所以数列{an}的前n项和Sn
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
(2)由(1)知,当d 0时, an 11 n,
①当1 n 11时, an 0,
| a1 | | a2 | | a3 | | a n | a1 a2 a3 a n
n(10 11 n) 2
所以有an 2n1, n N*.

专题11 数列求和及其综合应用-艺体生考前冲刺专项讲解与训练 .

2019年高三艺术生考前专项解读与训练专题11 数列求和及其综合应用裂项相消求和[核心提炼]1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； (3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1； (4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n . 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 拆分成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2019·福建质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n .(1)求a n ；(2)求数列{1a n b n}的前n 项和．【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2S 5＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝25a 1＋10d ＝15，解得a 1＝d ＝1.所以a n ＝n .(2)由(1)得，a n ＝n ，所以T n ＝n (n ＋5)．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4，当n ＝1时，b 1＝T 1＝6也满足上式，所以b n ＝2n ＋4(n ∈N *)．所以1a n b n ＝1n （2n ＋4）＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．设{1a n b n }的前n 项和为P n ，则当n ≥2时， P n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝14[(1－13)＋(12－14)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝14[(1＋12＋13＋…＋1n )－(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝38－14（n ＋1）－14（n ＋2）. 当n ＝1时，P 1＝1a 1b 1＝16，也满足上式．综上，P n ＝38－14（n ＋1）－14（n ＋2）.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项拆分成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．【对点训练】(2019·广西三市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n，则c n ＝2n ＋12n . 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1，2进行验证．【对点训练】已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，有T n＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减，得－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝12×（1－2n）1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16.得T n＝(3n－4)2n＋2＋16.(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．10．(2019·张掖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1，其中n ∈N *，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ＋n ＋22n 的值．【解析】：(1)由题意知a 1＝1，因为a n ＝－3S n ＋4，所以a n ＋1＝－3S n ＋1＋4.两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，所以a n ＝(14)n －1. b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2(14)n ＝2n . (2)由(1)得，c n ＝n 2n . T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，① 12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. 所以T n ＝2－n ＋22n . 可得T n ＋n ＋22n ＝2. [能力提升]1．(2018.湖南五市十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n ＜a nB ．S n ≤a nC ．S n ＞a nD ．大小不能确定【答案】C【解析】若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .故选C.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)设等差数列{a n }的公差是d .因为a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，所以d ＝－3，所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)因为数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，所以a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，所以b n ＝3n －2＋q n －1.所以S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n （3n －1）2＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)，故当q ＝1时，S n ＝n （3n －1）2＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n （3n －1）2＋1－q n1－q. 3．(2018·广东五校协作体第一次诊断)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；学-科网(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列 {b n }的前n 项和T n . 【解析】：(1)因为S n ＝2a n －a 1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1，所以a n ＝2a n －2a n －1，化为a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列得，2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，所以2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.所以数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2.所以a n ＝2n .4．(2018·郑州质量预测(二))已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列{1b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34. 【解析】：(1)由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，得S n －1＝12a n ＋n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2，即a n ＋1－1＝3(a n －1)，又a 1－1＝－2－1＝－3≠0，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n .故a n ＝－3n ＋1.(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n ＝n ，得1b n b n ＋2＝1n （n ＋2）＝12(1n －1n ＋2)， T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）＜34.。

【配套新教材】高考数学复习人教版课本同步课件：专题六数列第四讲数列求和(核心课件)

常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研究；
（2）方程思想方法：通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组
）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的；（3）数形结合的思想：
D.121
[解析]
试题分析:根据已知条件,由于数列an 的通项公式是 an
1
,
n n1
则可知
an n 1 n Sn = n+1 n n n 1 2 1 n 1 1
由于前 n 项和为10 ,
则可知 n 1 1 10n 1 121n 120 ,故选 C
[典型例题]
3.设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，已知 a1 3, an1 2Sn 3(n N*) ， bn 2n 1 an ，
难点：递推公式向通项公式的转化.
考点1：数列求和核心知识整合
1.公式法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求解. （2）掌握一些常见的数列的前 n 项和公式.
1 2 3 n n(n 1) ； 2
2 4 6 2n n2 n ；
1 3 5 (2n 1) n2 ；
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ； 6
1.
又 f 6 x f (4 x) 1 f 2 x 2 f x 3 f x 3，
f x f 6 x 3，
g x
g 6
x
f
x cos x
2
f
6
x
cos3π
πx 2
3.
令
S1Байду номын сангаас

2021年艺术生高考数学总复习：数列求和

第 1 页共 9 页2021年艺术生高考数学总复习：数列求和1．公式法求和常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4) 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；4.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．题型一分组求和例1 （2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．例2 （2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．第 2 页共 9 页（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ．[玩转跟踪]1.（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ；（2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．2.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b是等比数列;（2）求数列{}n a的前n项和n S.题型二错位相减法求和第3页共9页第 4 页共 9 页例2 （2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅰ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .[玩转跟踪]第 5 页共 9 页1. （2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型三利用裂项相消法求和第 6 页共 9 页例3 （2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .[玩转跟踪]第 7 页共 9 页1.（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=．（Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． [玩转练习]1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .2.（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<．3.（2020•全国3卷）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．4.（2020·江西省名高三第二次大联考（理））已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.第 8 页共 9 页（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .5.(安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .6.(浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .7. （湖南高考）设为数列{}的前项和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛｝的前项和．8.(安徽，18)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列{a nn }是等差数列； n S n a 01≠a n n S S a a •=-11∈n *1a 2a n a n na n第 9 页共 9 页(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.(新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和.10.(重庆，16)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋ (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.11.(重庆，18)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .。

(艺术生专用)2020版高考数学总复习第五章数列第4节数列求和课时冲关

第4节数列求和1．数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 015B ．2 016C ．2 017D ．2 018解析：C [a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0172 018，所以n ＝2 017.]2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为( )A ．4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：A [由题意知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1.]3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]4．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和为( )A.100101B.99100C.101100D.200101解析：D [数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ， ∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，∴1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1101＝200101，故选D.]5．(2020·湖南衡阳八中月考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里解析：C [由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，∴此人第二天走的步数为：192×12＝96(里)，故选C.]6．(2020·聊城市一模)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，若b n ＝2a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝ ________ .解析：∵S n ＝n 2，① 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，② 由①－②可得a n ＝2n －1，当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n －1， ∴b n ＝2a n ＝2×4n －1，∴T n ＝2(1－4n)1－4＝23(4n－1)．答案：23(4n－1)7．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝ ________ .解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.答案：668．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝ ________ . 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n)1－4＝13(4n－1)．答案：13(4n－1)9. (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2，故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n·2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．10．(2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．解：(1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0，因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以，T n ＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d ，由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4，由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以S n ＝n (n ＋1)2.(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n (n ＋1)2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.。

2020年全国高考数学(艺)·冲刺复习第24讲数列求和学生

2020年全国高考数学（艺）·冲刺复习第24讲数列求和[玩前必备]1．公式法求和常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．常用的裂项公式有：(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4) 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；4.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．[玩转典例]题型一分组求和例1 数列1＋12，3＋14，5＋18，7＋116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于()A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n例2 已知数列中，，且成等比数列，(I)求数列的通项公式； (Ⅱ)若数列满足n a b n n n 1)1(+-+=，求数列的前2n 项和为n T 2.[玩转跟踪]1.在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值.题型二错位相减法求和例2 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和.[玩转跟踪]1. 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .题型三利用裂项相消法求和例3 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．[玩转跟踪]1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。

2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第一章专题九数列

6.数列最值 (1)在等差数列{an}中,a1>0,d<0时,Sn有最大值;
a1<0,d>0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:
①若已知Sn的表达式形如二次函数,可用二次函数最值的求
法(n∈N+);
②若已知an,则Sn取最值时n的值(n∈N+)可如下确定或aann100.
aann100
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列a1,a2,a3,…,an,…的前n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an,
当q≠1时, Sn

a1(1 qn ) 1 q
或Sn

a1 anq 1 q
;
当q=1时,Sn=na1.
说明:(1)a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个; (2)注意求和公式中是qn,通项公式中是qn-1不要混淆; (3)应用求和公式时q≠1,必要时应讨论q=1的情况.
三、等比数列 1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与
它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0), 即: an1 q(q 0)
an
(注意:“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零)
10.数列{an}满足
an1

1 1 an
, a8

2 ,则a1=
.
1 【解析】数列的递推公式, 采用迭代法. 2
原式可化为 :
an
1
1 an1
分别代入可得.
2 11.设首项为1,公比为 3 的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )

2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点31 数列的求和

考点三十一数列的求和知识梳理1．公式法求和常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.(3)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(4)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；(5)13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24；(6)1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2； (7)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . 2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和． 4.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；5.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．典例剖析题型一错位相减法求和例1 (2015山东文)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.变式训练 (2015湖北文)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n 2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.解题要点错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确．题型二利用裂项相消法求和例2 (2015江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 变式训练 (2015安徽文)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1 ＝1－12n ＋1－1.解题要点熟记常见的裂项公式是求解的关键．题型三分组求和与并项求和例3 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________.答案 n 2＋1－12n解析该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 变式训练数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 6解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.解题要点分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．当堂练习1．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为____________. 答案 23⎝⎛⎭⎫1－14n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为____________.答案 12(n ＋2＋n ＋1－2－1)解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).3. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 100解析由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 4．已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为12，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，a 1＋d ＋2b 1＝6，解得a 1＝2，d ＝3，b 1＝12，所以a n ＝3n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋8×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，① ①×12得12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(3n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，整理得T n ＝－(3n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n＋5.课后作业一、填空题 1．122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为____________. 答案 34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为____________. 答案－815解析设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . 所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1＝－815.3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是____________. 答案 n (n ＋2)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2).4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝____________.答案 2n ＋1－n －2解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋23＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.5．设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 50解析由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋2－3＋4＋…＋(－1)200·100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.6．已知数列{}a n ：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{}b n 的前n 项和S n 为____________. 答案4nn ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列{1a n a n ＋1}，其前n 项和为S n ，则S n 等于____________.答案n 2n ＋1解析 ∵a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.8．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为____________. 答案512解析 b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.9．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 (n －1)·2n ＋1解析由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .②由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝____________. 答案 15解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10·28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.11． (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050.二、解答题12． (2015天津文)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3，所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.13．(2015福建文)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.。

2019年艺考生高考文化课数学(理)冲刺点金课件：客观题部分专题九数列

1 (k

Z);
③不是每个数列都有通项公式.例如,1,1.4,1.41,1.414,…
④数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系: an

SS1n(n
1) Sn1 (n

2)
二、等差数列 1.等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它
的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1).

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d.
5.等差数列的性质: (1)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻两项的等差中项;
(2)在等差数列{an}中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如:a1,a3,a5,a7,…;a3,a8,a13,a18,…;
(3)在等差数列{an}中,对任意m,n∈N+,an=am+(n-m)d, d an am (m n) ;
an
(注意:“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(a1·q≠0). 说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比q=1时该数
列既是等比数列也是等差数列;
(2)等比数列的通项公式知:若{an}为等比数列,则
am an

qmn.
3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项). 即:a与b的等比中项G⇔G2=ab⇔G=± ab

高考数学三轮押题冲刺基础知识最后一轮拿分测验数列

数列的求和【考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n(-1)因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

特征：a n +a 1=a n-1+a 2（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和。

【基础练习】1．已知公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga 2、lga 4成等差数列，若a 5=10,则S 5 = 30 。

2．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于42(81)7n +-。

3．已知数列｛a n ｝是等差数列，首项a 1<０，a 2005＋a 2006<０，a 2005·a 2006<０，则使前n 项之和 S n <０成立的最大自然数n 是４０１０。

4．已知数列｛a n ｝是等差数列,且a 2=8,a 8=26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n 项,按原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝, 则bn=__3n+1+2___5．若数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ2121n-.【范例导析】例1.已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即03213131=+-∴q a q a q a 21101322==⇒=+-∴q q q q 或211=∴≠q q Θ 1)21(64-⨯=n n a 故（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb n2)13(2)76(,6||,71n n n n T b n n -=-+==≤∴时当 2)7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)13(n n n n n n T n 点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

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命题热点集训（三十八）数列的求和
1．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若,3163=S S 则=12
6s s 103.A 31.B 81.C 9
1.D 2．已知数列}{n a 的前n 项的乘积为*),(32N n T n n ∈=则数列}{n a 的前n 项的和为
)13(23.-n A )13(29.-n B )19(83.-n C )19(8
9.-n D 3．设}{n a 是公比为q 的等比数列，n s 是其前n 项和，若}{n s 是等差数列，则q 为
1.-A 1.B 1.±C 0.D
4．数列}{n a 中，,)1(1+=n n a n 其前n 项和为,10
9则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为
10.-A 9.-B 10.C 9.D
5．若数列}{n a 的前n 项和)142()1(2++-=n n S n n *),(1N n ∈-且,)1(n n n b a -=数列}{n b 的前n 项和
为,n T 则10T 等于
114.0A 225.B 115.C 44
5.D 6．已知*),(11
23N n n a n ∈-=
记数列}{n a 的前n 项和为,n S 则使0>n s 的n 的最小值为 10.A 11.B 12.C 13.D
7．若数列}{n a 是正项数列，且=+++n a a a 21*),(32N n n n ∈+则13221++++n a a a n = 8．设n s 是等差数列}{n a 的前n 项和，若点).0,0(O ),(),(),(p m h l S p C S m B S l A （其中),p m l <<且向量OC AB 与共线，则L 、m 、p 之间的关系是
9．已知数列n n S a },{是其前n 项和，且+=-17n n S a .2),2(21=≥a n
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n n n n T a a b ,log log 1122+⋅=是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．
10.已知数列}{n a 的前n 项和是,n S 且n n a S n n (2-=⋅∈*)N
(1)证明：数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；
(2)记,11++=
n n n n a a a b 求数列}{n b 的前n 项和⋅n T。

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