第9章--机械振动(阻尼振动和受迫振动)

x(t) = A0e
−β t
cos(ωt + ϕ) + B cos(ωd t + ϕd )
α
2 0 2 2 d 2 2 d
得定态解振幅: 得定态解振幅 B =
(ω −ω ) + 4β ω −2βωd 相位: 相位 ϕd = arctan 2 共振频率 2 ω0 −ωd
B和ϕd 与初始条件无关
位移共振
在
−β t
(c1 + c2t)
a
τ=
1
和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下， 和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡 位置所需时间最短
β
时间, 时间,
1 ≈ 37% 振幅衰减到原来的 e
9.8 受迫振动 共振 周期性驱动力 fd = fd 0 cosωd t 2 dx dx −kx − γ + fd 0 cosωd t = m 2 dt dt d2 x dx 2 + 2β + ω0 x = α cosωd t 2 dt dt
（2） 如果 ）
amax > g,
mg − N = ma
小物体能脱离振动物体， 小物体能脱离振动物体，开始分离的位 置由 N = 0 求得
g = amax = −ω x
2
m
x=−
g
ω
2
= −19.6 (cm)
x
初开始分离。 即在平衡位置上方 19.6 cm 初开始分离。
t
T
e = cosθ + i sinθ −iθ e = cosθ − i sinθ (eiθ + e−iθ ) 2 = cosθ (eiθ − e−iθ ) 2i = sinθ
iθ
x(t) = A0e
−β t
cos(ωt +ϕ)
式中 ω =
2 ω0 − β 2
特征根
λ = −β ± β 2 −ω02
A
共振频率
dB 由 =0 dωd
2 0 2 令
小阻尼 阻尼 → 0
ωd = ω − 2β
= ωr
大阻尼
(β << ω0时ωd = ωr = ω0 )
o
ω0
ωP
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌 月 日美国
塔科玛大桥.mpg
的拉力作用下可伸长30cm 。现将一 例 一轻弹簧在 60N 的拉力作用下可伸长 物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体， 物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量 然后释放。 为 4 kg 。待其静止后再向下拉 10cm , 然后释放。问 （1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ ）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ 需满足何条件？ （2）如果使小物体离开，则振幅 A 需满足何条件？二者在 ）如果使小物体离开， 何位置开始分离？ 何位置开始分离？ 解： 设小物体随振动物体的加速度为 a , 按牛顿第二定律有
mg − N = ma ∴ N = m( g − a )
m
当 N = 0, 即a = g 时 小物体开始脱离振动物体。 小物体开始脱离振动物体。 由题意可知 A = 10cm, ω = k M = 50 rad ⋅ s −1
2 −2 系统最大加速度 amax = ω A = 5 m ⋅ s
x
故小物体不会离开。 此值小于 g , 故小物体不会离开。
{
将试探 解
x~e
λt 代入上式
特征方程
λ + 2βλ + ω = 0
2 2 0
d2 x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
特征方程 特征根 阻尼系数
2
试探 解
x~e
λt
ω0 = k / m
β = γ / 2m
Ae−βt cosωt
2 λ2 + 2βλ + ω0 = 0 x
2 0
λ = −β ± β −ω
Ae−βt
fv = −γ v
β
2 0
--- 表征阻尼大小的常量
阻尼度
β 当 β < ω (Λ = < 1) 时, ω0 2 λ1, λ2 = −β ± i ω0 − β 2 方程的解为 eλ1t eλ2t 的线性组合 和
2
阻尼振荡（欠阻尼） 阻尼振荡（欠阻尼） a） ）
Λ = β / ω0
式中 2β =
γ
x(t) = A0e
若
−β t
cos(ωt +ϕ) + B cos(ωd t + ϕd )
暂态解 定态解
式中 ω =
2 0 2
fd 0 α= m
m k ω0 = m
& x|0 = x|0 = 0 ; ω = ω − β
x
ω −β
2 0
2
过程复杂
t
定态解 t → ∞时 x → Acos(ωt +ϕ)
9.7 阻尼振动
d2 x 一、无阻尼振动 −kx = m 2 dt 例：水平弹簧谐振子
二、阻尼振动
d2 x 2 + ω0 x = 0 2 dt x = Acos(ω0t +ϕ) ω0 = k
2
m
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dx dx 粘性阻力 fv = −γ v −kx − γ =m 2 dt dt 2 ω0 = k / m 固有角频率 d x γ dx k + + x =0 令 2 dt mdt m β = γ / 2m 阻尼系数 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 二阶常系数齐次微分方程 dt 2 dt
或 Λ > 1 解为
2 −( β − β 2 −ω0 )t
b）过阻尼（阻尼较大） ）过阻尼（阻尼较大）
当
2 β 2 > ω0
x(t) = c1e
c）临界阻尼 ）
当
+ c2e
2 −( β + β 2 −ω0 )t
无周期，非振动。 无周期，非振动。
x
o
三种阻尼的比较
b
β =ω
2
2 0
Λ =1
c
t
x(t) = e