利用MATLAB求解积分以及积分方程(rocwoods)

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matlab 积分上下限有未知数的方程

在 MATLAB 中，积分上下限包含未知数时可以使用符号运算来解决。

假设你要求解一个积分表达式，其中积分上下限包含未知数x，可以按照以下步骤进行操作：
1. 定义符号变量和表达式：使用syms命令定义符号变量 x，然后定义包含 x 的表达式。

2. 定义积分上下限：使用int命令定义积分上下限，其中包含未知数 x。

3. 计算积分：使用int命令计算积分表达式。

4. 求解方程：如果需要求解包含积分的方程，可以使用solve 命令。

下面是一个示例代码，其中积分上下限包含未知数 x：
```matlab
syms x; % 定义符号变量 x
expr = x^2 + 1; % 定义表达式
lower_limit = x - 1; % 定义积分下限
upper_limit = x + 1; % 定义积分上限
integral = int(expr, lower_limit, upper_limit); % 计算积分
solutions = solve(integral == 0, x); % 求解方程
```
在上述代码中，我们首先使用syms命令定义了符号变量 x，然
后定义了表达式 expr 和积分上下限 lower_limit 和 upper_limit。

接着，我们使用int命令计算了积分表达式，并将结果存储在integral 变量中。

最后，我们使用solve命令求解了包含积分的方程，并将结果存储在 solutions 变量中。

matlab函数积分

matlab函数积分MATLAB是一种强大的数学、工程计算软件，它可实现数值计算、符号计算、数据可视化等功能，非常适用于函数积分的计算。

在MATLAB中，计算函数积分的基本函数是“integral”，它可计算一元函数的定积分、曲线积分和面积积分。

本文主要介绍如何使用“integral”函数进行一元函数的定积分计算。

一、一元函数定积分在MATLAB中，使用“integral”函数计算一元函数的定积分的语法格式为：Q = integral(fun,a,b)“fun”表示要积分的函数句柄，即用该句柄表示的函数在积分区间上的积分；“a”和“b”分别表示积分区间的上、下限；“Q”表示积分结果。

要计算函数“f(x) = x^2”的在区间“[0,1]”上的定积分，可使用如下MATLAB代码：syms xfun = @(x) x^2;Q = integral(fun,0,1)执行该代码后，MATLAB会显示结果“Q = 0.3333”。

这表示函数“f(x) = x^2”的在区间“[0,1]”上的定积分约为0.3333。

二、一元函数定积分高级选项1. 精度控制在进行函数积分计算时，可通过指定精度控制选项来控制计算精度。

MATLAB中提供了两个选项：“AbsTol”和“RelTol”。

1）AbsTol“AbsTol”为绝对误差控制选项，其默认值为“1e-6”。

当积分结果的绝对误差小于“AbsTol”时，计算结果会被认为是正确的。

如果需要提高计算精度，可将其设定为更小的值。

要将“AbsTol”设定为“1e-8”，可使用如下MATLAB代码：options = optimoptions('integral','AbsTol',1e-8);Q = integral(fun,0,1,options)“options”为选项集合，可通过“optimoptions”函数设置。

执行结果与前述代码相似，不过计算精度更高。

利用MATLAB计算积分

1 2
某产品边际成本函数
1 + ,且知 10000 件产品的总成 2000
本是 1200 元,求总成本函数求总成本函数.
解由题意知要求总成本函数为
C ( x) = ∫ ( x
1 2
1 )dx + 2000
在 MATLAB 窗口中输入 >> syms x y >> int(x^(-1/2)+1/2000,x) ans = 即 C ( x) = 2 x + 2*x^(1/2)+1/2000*x
率为 Q′( t ) = 70 + 10t 5 年的总产量. 年的总产量.
由题意知, 解由题意知,前 5 年的总产量为
3 2 Q ( t ) = ∫ (70 + 10t t )dt 0 10
5
案例3.31
在 MATLAB 窗口中输入 >> clear >> syms t Q >> Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5) Q= 925/2 所以前 5 年的总产量为 462.5 .
返回
案例 3.32 入分别为
已知某产品的边际成本和边际收
C ′( x ) = x 2 4 x + 6, R′( x ) = 105 2 x
为销售量.当销售量为多且固定成本为 100. . 其中 x 为销售量当销售量为多少时有最大利润?最大利润是多少? 少时有最大利润?最大利润是多少?
解利润函数为
由问题的实际意义解得驻点 x0 = 11 ,即销售量为即销售量为 11 时利润最大最大利润为 L = ∫ 0 L′( x )dx 时利润最大.
11

matlab用牛顿柯特斯公式计算积分

牛顿-柯特斯公式是数值分析中常用的积分计算方法，特别适用于对函数在一定区间上的定积分进行近似计算。

在MATLAB中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式来进行积分计算，从而获得函数在给定区间上的近似积分值。

让我们来理解一下牛顿-柯特斯公式的基本原理。

牛顿-柯特斯公式的核心思想是利用一系列的节点和相应的权重来逼近被积函数，从而得到积分的近似值。

在MATLAB中，我们可以通过内置的函数或自定义函数来实现牛顿-柯特斯公式的计算。

在使用MATLAB计算积分时，我们首先需要确定被积函数的表达式以及积分的区间。

我们可以选择合适的牛顿-柯特斯公式来进行计算。

MATLAB提供了多种内置的积分计算函数，例如quad和integral等，它们可以方便地实现对定积分的计算。

除了使用内置函数，我们还可以编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序。

这样可以更灵活地控制节点和权重的选择，从而得到更精确的积分近似值。

编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序可以加深对该方法的理解，并且在特定问题上可能获得更好的计算结果。

在实际应用中，牛顿-柯特斯公式可以广泛用于工程、科学和数学等领域。

在信号处理中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对信号的频谱进行积分近似计算；在物理学中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对连续介质的密度分布进行积分近似计算。

牛顿-柯特斯公式的灵活性和高效性使得它成为了数值分析中不可或缺的工具。

回顾本文，我们首先介绍了牛顿-柯特斯公式的基本原理，然后讨论了在MATLAB中如何利用内置函数或自定义函数来实现积分的计算。

我们还探讨了牛顿-柯特斯公式在实际应用中的广泛性和重要性。

通过本文的阐述，我们希望读者能够更深入地理解牛顿-柯特斯公式的计算方法，并且能够灵活运用于自己的问题当中。

在个人观点和理解方面，我认为牛顿-柯特斯公式作为一种数值积分计算方法，具有较高的精度和灵活性，能够有效地解决实际问题中的积分计算需求。

在MATLAB中，利用牛顿-柯特斯公式进行积分计算不仅简单方便，而且还能获得较为准确的结果。

数值积分与matlab求解

1.3
数值求积方法
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分
区间[a,b]内存在一点ξ，使得 b f ( x)dx (b a) f ( )
a
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ) 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因而 f ( ) 的值也是未知的, 称 f ( ) 为f(x) 在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法
计算

2 0
e - x sinxdx ，并与精确值比较.
解：将[0,/ 2]分成20 等份，步长为 / 40，输入程序如下（注意sum 和 cumsum的用法） • >> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x); • z1=sum(y(1:20))*h,z2=sum(y(2:21))*h, • z=cumsum(y); z11=z(20)*h, z12=(z(21)-z(1))*h, 运行后屏幕显示计算结果分别如下 • z1 = z2 = z11 = z12 =0.3873 0.4036 0.3873 0.4036 求定积分的精确值，输入程序 • >> syms x • F=int(exp(-x)*sin(x),x,0, pi/2) • Fs= double (F) ,wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2) 运行后屏幕显示定积分的精确值Fs 和用矩形公式计算结果的绝对误差 wz1、wz2 分别如下 • F = Fs =1/2*(-1+exp(pi)^(1/2))/exp(pi)^(1/2) 0.3961 • wz1 = wz2 =0.0088 0.0075

matlab两点高斯勒让德求积公式

matlab两点高斯勒让德求积公式一、引言数值积分是数值计算中的一种常见问题，它可以用来近似计算函数的定积分。

在实际应用中，我们常常需要求解具有多个参数的复杂函数的积分，而解析方法往往难以求得精确解。

在这种情况下，高斯勒让德求积公式是一种常用的数值积分方法，能够有效地进行积分计算。

本文将介绍如何使用M AT LA B实现两点高斯勒让德求积公式。

二、高斯勒让德求积公式概述高斯勒让德求积公式是一种利用多项式的节点和权重来进行数值积分的方法。

该方法的基本思想是，通过选择合适的节点和权重，将被积函数转化为多项式的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。

三、两点高斯勒让德求积公式的推导两点高斯勒让德求积公式是高斯勒让德求积公式的一个特例。

它的推导过程如下：首先，我们通过变量替换，将积分区间由[-1,1]变换为[a,b]。

然后，利用勒让德多项式的正交性质，可以得到两个方程：$$\i nt_a^b P_0(x)dx=b w_0$$$$\i nt_a^b P_1(x)dx=b w_1$$其中，$P_0(x)$和$P_1(x)$分别是勒让德多项式的零次和一次多项式，$w_0$和$w_1$分别是权重。

解上述方程组，即可求得两个节点和对应的权重：$$x_0=\f ra c{1}{2}(b+a-(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$x_1=\f ra c{1}{2}(b+a+(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$w_0=w_1=1$$四、M A T L A B实现在M AT LA B中，我们可以使用以下代码实现两点高斯勒让德求积：f u nc ti on re su lt=ga u ss_l eg en dr e_2po i nt(f,a,b)x0=0.5*(b+a-(b-a)*sq rt(1/3));x1=0.5*(b+a+(b-a)*sq rt(1/3));w0=1;w1=1;r e su lt=(b-a)*(w0*f(x0)+w1*f(x1));e n d上述代码定义了一个名为`g au ss_l eg end r e_2p oi nt`的函数，该函数接受一个函数句柄`f`，表示被积函数，以及积分区间的上下界`a`和`b`。

MATLAB 数值微积分与微分方程式求解

Matlab求解常微分方程式
Ex:

dy1 dt
=
y1
+
y2e−t
dy2 dt
=
− y1 y2
+ cos(t)
1. edit fun.m
function dydt=fun(t,y)
dydt(1) = y(1)+y(2)*exp(-t);
dydt(2) = -y(1)*y(2)+cos(t);
Stiff ODE 指的是其內部某些狀態響應快速，而某些則相對具較緩慢動態
勁度
勁度系統 (stiff system)表示其具有快速變化以及緩慢變化的部分。勁度系統例子： dy = −1000y + 3000 − 2000e−t
dt
假使y(0)=0，其解 y = 3 − 0.998e−1000t − 2.002e−t
用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解0010ysin??yettt21221sincosttyyyyyteeyty?????12122210100sincosttyy?yyyteeyty???????11matlabode指令matlab用于求解起始值常微分方程式問題的指令stiffode指的是其內部某些狀態響應快速而某些則相對具較緩慢動態ode23tbode23tode23sode15sstiffodeode113ode23ode45nonstiffode指令問題形式勁度勁度系統勁度系統勁度系統勁度系統stiffsystem表示其具有快速變化以及緩慢變化的部分
k4 = f (ti + h, yi + k3h)
方程式系統
許多實際的工程及科學問題需要求解的是聯立常微分方程式系統，而不只是單一方程式。

三用MATLAB实现定积分计算

s=s+feval(f,z1(j))+feval(f,z2(j));
0,2*pi,1000)
end
s=
s=s*h/2;
-267.2458
Gauss-lobatto是改进的高斯积分方法,采取自适应求积方法

三用MATLAB实现定积分计算： 2 sin xdx 0
⑴ 矩形公式与梯形公式 z1 =
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
这两种用随机模拟的方式求积分近似值的方法 z=sum(y)*pi/2/n
/2
z=
蒙特卡罗方法
sin xdx
1.0010
0
3、蒙特卡罗方法的通用函数与调用格式
均值估计法
随机投点法 (设0≤ f(x) ≤1)
b
a
f
( x)dx

ba n
n i1
f
(a (b a)ui )
直接调用。这里被积函数为内部函数，无需另外定义。
s=gaussinteg(‘sin', 0, pi/2,1000) s=
1.0000
6000
§2 数值积分应用问题举例4000
2000
0
一求卫星轨道长度

利用Matlab软件求解积分问题

定积分，不管被积函数具有什么特点，只需要用一个命令就
可以求解出不定积分．
＞＞ａｎｓ＝一ｃｏｓ（ｅｐ（ｘ））
现在介绍利用Ｍａｌｆａｂ软件求解不定积分的命令．利用
出结果为１／５＊ｘ＾５，与用理论知识得到的结果是一样的．具体的程序编写为：输人命令：
＞＞ｓｙｍｓｘ；
对于常用的数学软件。我们比较熟悉的有Ｍａｐｌｅ、Ｍａｔｈ — ｅｍａｔｉｃｓ和Ｍａｔｌａｂ．而对于Ｍａｌｆａｂ软件，由于它具有强大的数值计算功能和绘图功能，同时它的操作界面友好，可视化技
编程验证．首先在Ｍａｌｆａｂ软件中输入ｓｙｍｓｘ，这是将积分变量定义为符号变量，然后输入ｉｎｔ（ｘ＾４，ｘ），ｉｎｔ是求解积分的
采用牛顿一莱布尼茨公式求出其原函数，从而求出定积分
的值【１】．
库函数，ｘ＾４是被积函数，ｘ是积分变量．按回车键，就可以得
输人命令：
＞＞ｓｙｍｓＸ；
逆运算．在介绍求不定积分的计算方法时，几乎所有的教材都介绍了利用基本积分公式求解不定积分和求不定积分的
换元积分法和分部积分法嗍．本文利用Ｍａｔｌａｂ软件求解不
＞＞ｉｎｔ（ｅｘｐ（ｘ）ｓｉｎ（ｅｘｐ（ｘ）））显示结果：
首先看一个具体的简单例子．求解ｆｘＭｘ－由于Ｘ５的导数

matlab积分运算代码

matlab积分运算代码
在MATLAB中进行积分运算，可以使用内置的`integral`函数或者`quad`函数。

下面我将分别介绍这两种方法的使用。

使用`integral`函数:
matlab.
% 定义被积函数。

f = @(x) x.^2;
% 设置积分上下限。

a = 0;
b = 1;
% 调用integral函数进行积分计算。

result = integral(f, a, b); disp(result);
使用`quad`函数:
matlab.
% 定义被积函数。

f = @(x) x.^2;
% 设置积分上下限。

a = 0;
b = 1;
% 调用quad函数进行积分计算。

result = quad(f, a, b);
disp(result);
在上面的例子中，`f`是被积函数，`a`和`b`分别是积分的下限和上限。

你可以根据实际情况修改被积函数和积分的上下限。

除了上述方法，MATLAB还提供了其他一些函数用于数值积分，如`trapz`、`quadl`等，你可以根据自己的需求选择合适的方法进行数值积分计算。

另外，如果你需要进行符号积分，可以使用`int`函数。

例如：
matlab.
syms x;
f = x^2;
result = int(f, x);
disp(result);
希望以上内容能够帮助到你进行MATLAB中的积分运算。

如果你有其他问题，也欢迎随时提出。

在Matlab软件包中计算积分

在Matlab 软件包中计算积分（一）直接计算积分（1）计算定积分 ()112213xdx -+⎰Matlab 程序如下：syms xf=sqrt(x.^2+3);int(f,-1,1)计算结果为：ans =2+3/2*log(3)即，()11221332log(3)2x dx -+=+⎰（2）计算广义积分311dx x ∞⎰Matlab 程序如下：syms xf=1/(x.^3);int(f,1,inf)计算结果：ans =1/2（3）计算 ()223,sin(2)x f x y e x y =⋅+在区间[]1,1[1,1-⨯-上的二重积分。

Matlab 程序如下：syms x yf=@(x,y)exp(-x.^2/3).*sin(x.^2+2*y);dblquad(f,-1,1,-1,1)其中，命令dblquad 中间是小写字母“l ”，不是数字“1”。

计算结果：ans =0.4658（4）计算不定积分21dx x ⎰Matlab 程序如下：syms xf=1/x.^2;计算结果：ans =-1/x（二）数值积分Matlab 提供了三个函数trapz 、quad 、quadl ，用于计算某个函数f 图形下的面积，其中quadl 里是小写字母“l ”，不是数字“1”。

trapz 对应梯形求积公式，quad 对应Simpson 求积公式，quadl 对应Cotes 求积公式。

注意：quadl 比quad 有更高的计算精度。

（1）trapz ：命令trapz 通过计算若干个小梯形面积之和，来近似求解函数f 图形下的面积。

例1 计算Matlab 自带的“humps ”函数图形下的面积()()221160.30.010.90.04f x x =+--+-+①每隔0.10取值计算Matlab 程序如下：x=-1:0.10:2;y=humps(x);area=trapz(x,y)计算结果：area =26.4601②每隔0.05取值计算Matlab 程序如下：x=-1:0.05:2;y=humps(x);area=trapz(x,y)计算结果：26.3446（2）quad与quadl是基于小正方形面积之和来计算函数f图形下的面积。

matlab求解指数积分

matlab求解指数积分Matlab是一种功能强大的数学软件工具，它可以用来解决各种数学问题，包括求解指数积分。

指数积分是一类特殊的积分函数，经常在科学工程领域中出现，具有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍如何使用Matlab来求解指数积分，并通过一些例子来说明其实际应用。

我们需要了解指数积分的定义。

指数积分通常表示为Ei(x)，它的定义为：Ei(x) = -∫(-t)e^(-t)dt其中，积分下限为-x，积分上限为无穷大。

指数积分可以看作是指数函数的反函数，它在数学和工程问题中经常遇到，例如在电路分析、信号处理、统计学等领域。

在Matlab中，可以使用内置的指数积分函数expint(x)来求解指数积分。

这个函数接受一个参数x，并返回对应的指数积分值。

下面是一个简单的例子：x = 2;result = expint(x);这个例子中，我们计算了x=2时的指数积分值，结果存储在变量result中。

可以使用disp函数来输出结果：disp(result);使用Matlab求解指数积分可以帮助我们解决各种实际问题。

下面我们来看几个具体的应用例子。

例子1：电路分析在电路分析中，经常需要计算电流和电压的关系。

假设我们有一个电路元件，其电压和电流之间的关系由指数积分给出。

我们可以使用Matlab来求解电路的电流。

假设电压为5V，电阻为10欧姆，我们可以使用以下代码来求解电路的电流：V = 5;R = 10;I = expint(V/R);disp(I);例子2：信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行滤波处理。

假设我们有一个信号，其频谱特性由指数积分给出。

我们可以使用Matlab来分析信号的频谱。

假设我们有一个频谱特性为f(t) = e^(-t)的信号，我们可以使用以下代码来分析信号的频谱：t = linspace(0, 10, 1000);f = exp(-t);F = abs(fft(f));subplot(2, 1, 1);plot(t, f);title('信号时域图');subplot(2, 1, 2);plot(F);title('信号频谱图');例子3：统计学在统计学中，经常需要计算随机变量的分布函数。

matlab 积分数值求解程序

一、简介Matlab是一种用于数学计算、数据分析和可视化的高级编程语言和环境。

其中，积分数值求解是Matlab中常用的功能之一，能够用于求解复杂的数学积分问题。

本文将介绍如何使用Matlab的积分数值求解程序，以及其基本原理和用法。

二、Matlab积分数值求解程序的基本原理Matlab中的积分数值求解程序主要基于数值积分的基本原理，即将一个函数在某个区间上的积分近似表示为若干个小区间上函数值的加权和。

常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分法等。

这些数值积分方法可以用于求解一维和多维函数的数值积分，并且在Matlab中都有相应的函数实现。

三、Matlab积分数值求解程序的使用方法1. 使用内置函数Matlab中提供了多个内置的积分数值求解函数，例如quad、quadl、quadgk等，这些函数可以用于对一维函数的数值积分。

用户只需输入被积函数、积分区间等参数即可得到积分的数值近似解。

2. 自定义函数除了使用内置函数，用户还可以通过自定义函数的方式来实现积分数值求解。

通过编写自己的积分数值求解算法，用户可以更灵活地对复杂的积分问题进行求解。

Matlab还提供了丰富的数学函数和工具，可以用于对被积函数进行求导、符号计算等，从而辅助完成数值积分的求解过程。

四、Matlab积分数值求解程序的应用实例1. 一维函数的数值积分假设有一个一维函数f(x)=x^2，在区间[0,1]上的数值积分。

可以使用Matlab的内置函数quad来求解这个积分，代码如下：```f = (x) x^2;q = quad(f, 0, 1);disp(['The value of the integral is ', num2str(q)]);```上述代码中，使用了匿名函数来定义被积函数f(x)=x^2，并将其作为参数传递给quad函数。

使用disp函数输出积分的数值近似解。

2. 多维函数的数值积分对于多维函数的数值积分，Matlab同样提供了相应的函数实现。

MATLAB第八章：积分

>> syms y x >> int('3*y^2*sec(x)',x)
ans =
3*y^2*log(sec(x)+tan(x)) >> int('3*y^2*sec(x)',y)
ans =
二、定积分

3
2
1 2 xdx x 2
3 2
1 5 (9 4) 2 2
如果要产生中间变量
>> syms x >> int('x',2,3) ans =5/2
计算： x 2 ydxdy
2 4 1 2
>> f=x^2*y; >> int(int(f,x,2,4),y,1,2) ans =
四、数值积分
计算： x 2 dx, 把区域分成等分和20等分， 10
3 2
然后分别计算每种情况的相对误差。
1 30 8 解析法： x dx x 2 2.667 3 3 3
2 2
>> x=linspace(0,2,10); >> y=x.^2; >> a=trapz(x,y) %梯形积分 a= >> 100*abs((8/3-a)/(8/3)) 2.6831 ans = 0.6173
>> x=linspace(0,2,20); >> y=x.^2; >> a=trapz(x,y) a= >> 100*abs((8/3-a)/(8/3)) 2.6704 ans = 0.1385
>> syms x >> F=int('x') F =1/2*x^2 >> a=subs(F,x,3)-subs(F,x,2) a = 2.5000

详解Matlab求积分的各种方法

详解Matlab 求积分的各种方法一、符号积分由函数int 来实现。

该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym 函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s 求不定积分；int(s,v)：以v 为自变量，对被积函数或符号表达式s 求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。

a,b 分别表示定积分的下限和上限。

该函数求被积函数在区间［a,b］上的定积分。

a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf) 。

当函数f关于变量x在闭区间［a,b］上可积时，函数返回一个定积分结果。

当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。

当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：求函数xz+yz+z2的三重积分。

内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y ;对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2;对x的积分下限1, 上限是2,求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2二i nt(i nt(i nt(xA2+yA2+zA2,z,sqrt(x*y),xA2*y),y,sqrt(x),xA2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =57/-/348075*2八(1/2)+14912/4641*2八(1/4)+64/225*2八(3/4) % 给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =1/ 3224.9232805 二、数值积分1. 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)?法、牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。

它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,•，其中x仁a, xn+仁b。

如何用matlab计算定积分-matlab求积分

用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑∫=→∆∆==ni iix baxf dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈−=∆=<<<=−−ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。

有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。

微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba−=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。

不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。

从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。

在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。

一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。

多元函数的积分称为多重积分。

二重积分的定义为∑∑∫∫∆∆=→∆+∆ijji jiy x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。

二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。

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利用MATLAB求解积分以及积分方程
2010-05-29 第11届MATLAB应用技术研讨会
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
主要内容
矩形区域积分（积分上下限为常数）带参数的积分问题积分上下限是函数的积分被积函数系数中含有积分的积分积分方程举例
2013-7-17
y k sin kx x dy
5 2 1
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
积分上下限为函数的积分
二重情形
• dblquad延拓函数法 • 利用两次一重积分函数实现 • qua2d函数

10
20
x2
5x
esin( x ) ln( y)dydx
三重情形
• triplequad延拓函数法 • 利用三次一重积分函数实现 • 利用quad2d和一重积分函数实现
• dblquad • quad2d(R2009a开始支持)
三重情形
• triplequad
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
带参数积分问题
用inline+num2str方法(MATLAB7.0以前版本， 7.0以后不推荐使用) 利用匿名函数实现利用嵌套函数实现利用积分函数本身传递参数

1 x
2
2x
2 xy
xy
xyzdzdydx
n重情形
• 利用《MATLAB高效编程技巧与应用：25个案例分析》中 nIntegrate 函数实现 • 利用蒙特卡洛法实现
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
被积函数系数中含有积分的积分
quadl (quadgk, quad) + arrayfun (内外都是一重积分情形)
b
0

a
0
(1 cos(kmx))(1 cos(kny))cos(ux vy)dxdy
f _ img
2013-7-17
b
0

a
0
(1 cos(kmx))(1 cos(kny))sin(ux vy)dxdy
© 吴鹏(rocwoods)
积分方程举例
第二类Fredholm积分方程
n
Hale Waihona Puke y x f x Ajk x, x j y j
j 1
详细讨论以及程序代码参考：《MATLAB高效编程技巧与应用：25个案例分析》例： 1
y x 1 3xs y s ds 1 3x
0
2 y x 1 3x 3
y x k x, s y s ds f x ,
b a
a xb
解法
f x dx A f x
b n a j 1 j j
y x A j k x, x j y x j f x
n j 1
令 x x1 ,..., xn ,并记 yi y xi , kij k xi , x j , f i f xi
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
yi Aj kij y j fi
j 1
n
xi i 1, 2,..., n

1
0.2
2 ye
y2
1 e x dx dy 1 2 2 y x
2
2
dblquad (quad2d) + arrayfun (内外是二重积分情形)

inf_ v
5

inf_ u
f _ real 2 f _ img 2 u v
2 2
5
dudv
f _ real
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
© 吴鹏(rocwoods)
矩形区域积分（积分上下限为常数）
一重情形
• quad(自适应Simpson 积分) • quadl(自适应Gauss-Lobatto积分，最常用 ) • quadgk(自适应 Gauss-Kronrod积分，尤其适合震荡积分、含奇点的积分；R2007b开始支持)
二重情形