九年级(上)培优讲义第6讲与圆有关的位置关系

C
O
A B
P
第6讲： 与圆有关的位置关系
一、建构新知
1.判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。

2.求线段的长度有以下常用的方法：
（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中； （2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中； （3）面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。

3.圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．
4.圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题．
5. 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法. 二、经典例题
例1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P ＝∠BAC ．
（1）求证：P A 为⊙O 的切线；
（2）若OB =5，OP =25
3
，求AC 的长．
例2. 如图AB 是⊙O 的直径，AC 、 DC 为弦，∠ACD =60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD =30°.
(1)求证：DP 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积.
例3.如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF =∠ABC .
（1）求证：AB =AC ； （2）若AD =4，cos ∠ABF =5
4
，求DE 的长.
例4．如图，点C 是半⊙O 的半径OB 上的动点，作PC AB ⊥于C ．点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连结BD 交线段PC 于E ，且PD PE =．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线．
（2）若⊙O 的半径为43，83PC =，设2
OC x PD y ==，．
①求y 关于x 的函数关系式． ②当3x =时，求tan B 的值
三、基础演练
1. 下列说法正确的是 ( )
A . 垂直于半径的直线是圆的切线
B . 经过三点一定可以作圆
C . 圆的切线垂直于圆的半径
D . 每个三角形都有一个内切圆
2. 同一平面内两圆的半径是R 和r ，圆心距是d ，若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ）
A ．外离
B ．相切
C ．相交
D ．内含 3．在一个V 字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图 是它的轴截面，已知⊙O 1 的半径是1，⊙O 2的半径是3，则 图中阴影部分的面积是（ ）
A ．π61134-
B ．π438-
C ．π3
11
38- D ．π234-
4． ⊙O 的圆心O 到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d ，R 是方程x 2－4x +m =0的根，且l 与⊙O 相切时，m 的值为_________．
5．在△ABC 中，∠A ＝70°，若O 为△ABC 的外心，∠BOC =_________ ；若O 为内心，∠BOC =_________．
O C
B
E P
D
A
B
C
A
P
6．如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，同AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，如果AM ＝a ，BN ＝b ，那么半圆的直径是____________． 7．如图，求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都 相
切，并经过另一边BC 上的一点P ．（利用尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
8．如图，△ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，以AB 为直径画⊙O ，延长AB 到D ，使BD 等于⊙O 的半径．求证：CD 是⊙O 的切线．
9. 如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BD 切 ⊙O 1于点B ，交⊙O 2于点 C 、D ，直线 DA 交⊙O 1于点 E ．
求证：（1）∠BAC =∠ABC +∠D ；（2）AB 2=AC ·AE ．
10. 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F.
（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当BF＝1时，求线段AP的长.
四、直击中考
1．（2013白银）如图1，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）
2．（2013山东）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别
交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于
点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B ．C．6 D ．
3．（2013江苏）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，
O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部
分的面积为（）
A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4
4. （2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
A．B．C．D．
A
O
B
C
M N
l
(第16题图)
B
A
O
P
B ．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C ．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D ．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
5.（2013江苏）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，AB =43cm ，P 为直线l 上一动点，以1cm 为半径的，⊙P 与⊙O 没有公共点，设PO =dcm ，则d 的范围是 .
6．（2013湖北省）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上
的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ． 7．（2013湖南）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB =30°．则∠B = 度．
8．（2013江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P （4，2）是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C ．
（1）证明P A 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标； （3）求直线AB 的解析式．
第24题图
C
E
O
B
A
D
9．（2013山东）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别于
BC 、AD 相交于点E 、F ．
（1）求证四边形BEDF 为矩形．
（2）若BC BE BD ⋅=2试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
10.（2013四川）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠．
（1）求证：2CD CA CB =⋅； （2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ， 若BC ＝12，tan CDA ∠＝2
3
，求BE 的长．
_
D _
P _
O _
A _
B _
C 五、挑战竞赛
1. 如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.
2.已知抛物线2
16
y x bx c =-
++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3
(0,)2
-，若AM //BC ，
求抛物线的解析式.
六、 每周一练
1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角
形．，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．
A ．
B ．4
C ．
D ． 4.5
2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长
BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .
3.已知二次函数
，当
时，恒有
；关于x 的方程的两个实数根的倒数和小于
10
9
．求的取值范围．。