对函数单调性定义的等价解释和灵活运用

对函数单调性定义的等价解释和灵活运用

河北 史彩玉

函数的单调性是函数的一个重要性质，它具有很强的应用性，如比较大小、解不等式、求最值、作图象，进行证明等都能用到单调性的定义，而对单调性定义的等价理解方便解题.

由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数f(x)是定义在区间(a ，b)上的增（减）函数，则对任意1x 、2x ，有：

（1）若1x ＞2x ，则f （1x ）－f （2x ）＞0⇔增函数；

（2）若1x ＜2x ，则f （1x ）－f （2x ）＞0⇔减函数；

（3）（1x －2x ）[f （1x ）－f （2x ）]＞0⇔增函数；

（4）（1x －2x ）[f （1x ）－f （2x ）]＜0⇔减函数；

利用上面等价定义处理函数的单调性问题，有时比直接利用定义处理更简洁.

一、证明单调性

例1求证：函数f(x)=－3x +1在（－∞，+∞）上是减函数.

分析：考虑运用结论：（4）（1x －2x ）[f （1x ）－f （2x ）]＜0⇔减函数进行证明，只需要进行因式分解变形.

证明：在（－∞，+∞）上任取两个实数1x 、2x ，且1x ≠2x ，则有(1x －2x )[f(1x )－f （2x ）]=(1x －2x )(2x 3－1x 3)=－(1x －2x )2(1x 2+1x 2x +2x 2)=－(1x －2x )2[222123()24

x x x ++]＜0，即（1x －2x ）[f （1x ）－f （2x ）]＜0，故函数f(x)=－3x +1在（－∞，+∞）上是减函数.

二、讨论单调区间

例2已知函数f(x)=2(0)a x a x

+>，讨论函数在区间（0，+∞）上的单调性. 分析：涉及讨论函数单调性的问题运用结论：（1）若1x ＞2x ，则f （1x ）－f （2x ）＞0⇔增函数；或（2）若1x ＜2x ，则f （1x ）－f （2x ）＞0⇔减函数比较方便.

解析：任取0＜1x ＜2x ，则f （2x ）－f （1x ）=222

2112212112

()()()x x x x a a a x x x x x x --+-+=， 当20x a <≤，10x a <<时，2120x x a <<，又1x ＜2x ，则2x －1x ＞0，所以f

（2x ）－f （1x ）=2222112212112

()()()x x x x a a a x x x x x x --+-+=＜0，所以f （2x ）＜f （1x ），所以f(x)在（0，a ]上是单调减函数.

当a ＜1x ＜2x 时，1x 2x ＞2a ，则f （2x ）－f （1x ）=222

2112212112

()()()x x x x a a a x x x x x x --+-+=＞0，f （2x ）＞f （1x ），所以f(x)在[a ，+∞)上是单调增函数.

点评：一般地函数()(0)k f x x k x

=+>在(0,]k 上为减函数，在[,)k +∞上为增函数，这个结论非常有用.

三、求解不等式

例3已知f(x)是定义在[－2，2]上的函数，且f(－x)=f(x)，又f(x)在[0，2]上是减函数，且f(1－m) ＜f(m)，求实数m 的取值范围.

分析：由于f(x)在[0，2]上是减函数，考虑运用结论：（2）若1x ＜2x ，则f （1x ）－f （2x ）＞0⇔减函数解决问题.

解析：∵f(－x)=f(x)，∴f(x)=f(|x|)，则f(1－m)= f(|1－m|)，f(m) =f(|m|)，又f(1

－m) －f(m)＜0，∴f(|1－m|) －f(|m|)＜0 ①，又f(x)在[0，2]上是减函数，则有(|1－m|－|m|)[ f(|1－m|) －f(|m|)]＜0 ② ，由①②得|1－m|－|m|＞0.从而|1|||0|1|20||2m m m m ->⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得112m -≤<，因此实数m 的取值范围是1[1,)2-. 点评：抓住当f(－x)=f(x)时，得到f(x)=f(|x|)是解决本题的突破口.

四、求函数最值

例4已知函数22()x x a f x x

++=，[1,)x ∈+∞. （1）当a=12

时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意[1,)x ∈+∞，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围. 分析：对于（1），将函数f(x)变形为f(x)=122x x

++，又定义可知[1,)x ∈+∞为单调增函数，对于（2）可以进合理的转化，变成二次函数的最值问题.

解析：（1）当a=

12时，f(x)=122x x

++，根据例2的结论函数在[1,)x ∈+∞为单调增函数（证明略），故有f(x)≥f(1)=1+12+2=72，所以函数f(x)的最小值为72. （2）在区间[1,)x ∈+∞上22x x a x

++>0恒成立，等价于220x x a ++>恒成立.

设g(x)=222(1)1x x a x a ++=++-，这是一个二次函数，在[1,)x ∈+∞上单调递增，故有g (x)≥g(1)=3+a ，g(x)的最小值为：3+a ，只要3+a ＞0，故a ＞－3为所求.

点评：课本中已知的函数的单调性在解题中可以直接利用，已经证明过的函数的单调性的结论有时也可以直接利用，因此，常见函数的单调性要熟练掌握，能够提高解题效率.

五、比较大小

例5已知函数f(x)，x ∈R 的对称轴为x=2，当x ＞2时，f(x)为增函数.设a=f(1)，b=f(4)，c=f(－2)，试确定的大小关系.

分析：欲比较三者的大小关系，只需根据对称性，画出示意图形（可以类比二次函数的图形），由图形结合单调性即可.

解析：因为函数f(x)的图像关于直线x=2

对称.且x ＞2时f(x)为增函数，从而x ＜2时是

减函数，从而可以肯定离对称轴x=2的距离越

远的数，其函数值越大.

所以f(－2) ＞f(4) ＞ f(1)，即c ＞b ＞a.

点评：本题灵活的利用了函数的单调性进行大小的比较，结合图象形象直观的得到了结论，这是单调性定义应用的创意.

六、巧解方程

例6设x 、y 为实数，且满足33(1)1997(1)1(1)1997(1)1x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩求x+y 的值. 分析：若本题运用常规解法难以下手，但是若运用函数的单调性很容易求解. 当函数存在单调性时，根据（1）、（2）、（3）、（4）不难发现，则一定有：若f(1x )≠f(2x )，则1x ≠2x ；若f(1x )=f(2x )，则1x =2x .

解析 ：由已知条件可得：33(1)1997(1)(1)1997(1)x x y y -+-=-+-，设函数f(x)=31997x x +，由于函数f(x)在R 上单调递增，（证明略），且f(x －1)=f(1－y)，所以x －1=1－y ，即x+y=2.

点评：对定义的深刻理解，转化成解题中的深化运用，是简洁本题的关键. y x

O x=2