《两个重要极限》PPT课件
第六节两个重要极限 PPT资料共30页
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
1-5极限存在准则两个重要极限 33页PPT
证明 记 ma a ,b } xE { ,则 EnEnn a n b n n E n E n n 2 E 而lim n2EE 由夹逼定理得
n
lim nanbnEma,bx } {
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.单调有界准则
如果数 xn满 列足条件 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
y
sin x B
1
tan x
x
O
D Ax
则 AO x BBDsix n
B
B B 2 A B 2 x ,B B 2 B D 2 sx in
lx i0m sx ix nlx i0m 2s2xix nlxim 0B BB B 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f ( x)存在。
(3) x
若 f ( x)在(,a)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
(4) x
若 f ( x)在(a,)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(5) x x0
y
f ( x)在( x0 , x0 )内单调有界，
1 1
)x
1.
x
e
(2) limtanx limsinx 1 1 x0 x x0 x coxs
1
(3) li(m 1tax)n co xtlim (1tanx)tanx e
x 0
x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个重要极限
1. lim six n1 x 0 x
1six n1x1taxn , 2 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第五部分两个重要极限教学课件
三．初等函数的连续性
定理： 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续 的（分母为零的点除外）。
例如, x2 , e x ,sin x,cos x在(, )内连续,
22
(5) lim
x2
5x
6
lim
(x
2)( x
3)
lim
( x 2)
( x 3)
x2 sin( x 2) x2 sin( x 2) x2 sin( x 2)
1(1) 1
(6)lim x sin x
2 x
sin 2 lim x x 1
sin 2 lim x
x 2
2
2
x
x
二．第二个重要极限 lim(1 1 )x e " 1 "
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处左连续
如果 lim x x0
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处右连续
1
x
1
例如：函数 y 1 x2 在点x 1右连续，在点 x 1 左连续．
例4: 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
4
2x
x 2
这里u x 4 ,v x 2x lim u x v x lim 4 2x 8
x2
x
x x 2
lim
x
BBD16两个重要极限65845-PPT精品文档17页
e4
12
例7. 求 解: 原式 =
e2
13
内容小结
1、 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
2、 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
14
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. limsinx_0__;__
x x
3. lim xsin1_0__; _
x0 x
2. lim xsin1_1__; _
limf(x)A
xx0 (x)
特别对于数列 xn yn zn 从某一项开始，
恒有 ynxnzn
且 limyn limzn A
n
n
nl im xn A
3
二、 两个重要极限
BD
1
x
oC
A
证: 当 x(0,2)时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即 亦即
12sinx 12tanx
sx i x n ta x( n 0 x 2 )
故有
显然有
cosxsinx1 x
(0x2)
4
例1 求下列函数的极限 1
k1ຫໍສະໝຸດ 4.limtanx x0 x
xl im 0sixnxc1oxs
limsin x0 x
故 xl im (11x)x e
1
说明:
此极限也可写为
lim(1z)z e
z0
9
2. 说明: 此极限也可写为
1
lim(1z)z e
z0
注意：
10
例5. 求下列极限
解: 令 tx,则
tl im (11t)t
lim
t
两个重要极限PPT课件
(2) lim[ f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(3)
若
limg(x) 0，lim
f (x) g(x)
limf (x) . limg(x)
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x)
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
第4页/共66页
记为 y = ln x.
数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
第2页/共66页
3.有关指数运算的知识
(ab)n anbn anm anam
anm an m
第3页/共66页
4.极限的运算法则
(1) lim( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)
BC
R
x O
A
即 cos x sin x 1. x
第33页/共66页
下面我们来证明limcos x 1. x0
因为
0 ≤ 1 cos x 2sin2 x 2sin x sin x ≤ 21 x x,
2
22
2
且 lim x 0, 所以由定理6推得 lim(1 cx0
解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，
所以
lim1
2
xx
2
lim(1 u) u
x0
u0
1
lim[(1 u)u ]2 u0
1
[lim(1 u)u ]2 u0
e2
第22页/共66页
方法二 掌握熟练后可不设新变量
2
1
lim 1 x x lim[(1 x) x ]2
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
24两个重要极限精品PPT课件
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
两个重要极限PPT幻灯片课件
lim(1 1 ) x e
x
x
17
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
x0 3x x0 5x 3
33
10
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型
0
(2)推广形式:
lim sin 1 某过程
（ lim 0 ） 某过程
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
7
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
x
16
❖第二个重要极限 lim(1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
(1
1
x
)
§3.4 两个重要的极限 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。