1.生活中的“斐波那契数列”

2014年温州市小学数学小课题评比

学校：苍南县钱库小学

成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭

指导教师：***

生活中的“斐波那契数列”

——台阶中的数学

一、问题的提出

周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。

二、研究过程

1.从最简单的做起

该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。

1个台阶（1种）

2个台阶（2种）

3个台阶（3种）

4个台阶（5种）

……

后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：

楼梯台阶数及方法楼梯上法表示

一个台阶（1种）（1）

二个台阶（2种）（1，1）（2）

三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1）

四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）

（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2） 5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继

续进行进去，我尝试着：

六个台阶（13种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）

（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）

（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）

（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）

七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1）（1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1）

（2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2）（1，1，2，2，1）

（1，2，2，1，1）（2，2，1，1，1）（1，2，1，1，2）

（1，2，1，2，1）（1，2，2，1，1,）（2，1，1，1，2）

（2，1，1，2，1）（2，1，2，1，1）（2，2，2，1）

（2，2，1，2）（2，1，2，2）（1，2，2，2）……

2.整理数据，发现规律

这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。有没有规律呢？我们重新整理了数据，发现台阶上法数据之间有关联：

7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法，也就是13+8=21。6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法，也就是8+5=13……

那走台阶的上法是否有规律？是否是后一个数都是前两个数的和呢？照这样推理，8个台阶数的走法应该是34种呢？我决定用数字拆分来进行验证，发现答案完全符合。

于是，很快就算出了走16个台阶的上法共有1597种。

3.深入探究

这种规律是否巧合呢？

若规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面走到最上一级台阶，哪又有有多少种不同的走法？

一个台阶（1种）（1）

二个台阶（2种）（1，1）（2）

三个台阶（4种）（1，1，1）（1，2）（2，1）（3）

四个台阶（7种）（1，1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）

（1,3）（3,1）

五个台阶（13种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）

（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）（1，1，3）

（1，3，1）（3，1，1）（2，3）（3，2）

六个台阶（24种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）

（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）

（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）

（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）（1，1，1，3）

（1，1，3，1）（1，3，1，1）（3，1，1，1）（1，2，3）

（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（3，3）

……

我们同样尝试整理这些数据，发现此时台阶上法数据之间也有关联：

6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法+3个台阶的走法，也就是24=13+7+4。5个台阶的走法=4个台阶的走法+3个台阶的走法+2个台阶的走法，也就是13=7+4+2。

每个数等于前三个数之和。由此依次可以推出7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法+4个台阶的走法=47。8个台阶的走法=7个台阶的走法+6个台阶的走法+5个台阶的走法=84

……

4.寻找理论依据： 1）.斐波那契数列

莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？据载首先是由9世纪法国数学家吕卡将级数1,1,2,3,5,8,13,21,34，……命名为斐波那契级数。 这就是非常著名的斐波那契数列问题。

通项公式为：

2）.杨辉三角： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……

过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8…… 5.斐波那契数在生活中的应用

我们去图书馆查找，网上搜索，咨询老师，收集到有关斐波那契数在生活中的应用。

台阶数 (8)

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 ……

台阶上法 …… 84 155 286 525 966 1777 3268 6011 11056 20335 3740

2

……