安徽省名校2020届 高三 数学 第一次联考 理
安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题
“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考理数考试试题(无答案)
江淮十校2020届高三第一次联考数学（理科） 2019.8命题单位：阜阳一中 命题人：孙晓林 杨敏 王小云审题人：肖璐洋注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合1,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}240B x x =-≤，若A B P =I ，则集合P 的子集个数为A.2B.4C.8D.162.复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是A.7B.49C.9D.813.设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D 既不充分也不必要条件.4.已知向量a r ，b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r，则a r ，b r 的夹角为A.6πB.3π C.23π D.56π 5.已知ln x π=，13y e-=，13log z π=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为A.()23323ππ-- B.()323π- C.()323π+ D.()23323ππ-+7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点，下列说法正确的是A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成角变大．．D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．8.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图.若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（其中x 为平均数，s 为标准差，结果精确到1%）A.56%B.14%C.25%D.67%9.将余弦函数的图像向右平移2π个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图像，下列关于()f x 的叙述正确的是A.最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.周期为π，关于直线2x π=对称C.在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D.在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 10.对任意实数x ，恒有10xe ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x （12x x <），则下列结论正确的为A.122x x +=B.121x x ⋅=C.122x x =D.12xx e =11.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于坐标原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为A.B.12C.212.在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为A.53πB.43πC.πD.2π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为14.已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是15.关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是16.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB λ=u u u r u u u r （λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为 （结果用含λ式子表示）.三、解答题：共70分。
安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题理(含解析)
C. 向左平移个 单位长度 4
【答案】C 【解析】 【分析】
D. 向左平移个 单位长度 2
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为 y = sin3x + cos3x =
2sin
3x
+
4
，
所以将其图象向左平移 个单位长度， 4
可得 y =
2sin
3
a,
b a
m
， NM
=
m
−
3a,
b a
m
，根据题意可得
AM NM = 0
，
从
而
得
到
(m
−
a)(m
−
3a )
+
b a
mLeabharlann 2 =0，
进
一步
整
理
得
1+
b2 a2
m2
−
4am
+ 3a2
=
0
，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得 a2
3b2
，进一
B. 1, 2
C. x − 3 x 1
D. x 1 x 2
【答案】D 【解析】 根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】由 ln x 0 得 x 1，所以 B = x | x 1 ，
A B = {x |1 x 2}，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
所以 V
=
1 r2h 3
=
rh
1
r2 + h2
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题(解析版)
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．
三、解答题
17．设 为实数， ， ，不等式 恒成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题，求实数 的取值范围.
（2）若命题 为真命题，由 ，不等式 恒成立，
即 在 上恒成立，即 对 恒成立，
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 为真命题时，可得 ，
又因为 为真命题，则 为假命题且 为真命题，
所以 ，解得 或 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
【详解】
由题意，函数 的对称轴为 ，
若 ，则 ，函数 在 上递增，充分性成立；
若 在区间 上递增，则 ，即 ，不能推出 ，
所以必要性不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
8．已知函数， 为奇函数，则实数 的值为（）
A．1B．0C． D．
【答案】A
2020届高三理数一轮讲义：9.2-两直线的位置关系(含答案)
第2节 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为()A.235 B.2310 C.7 D.72解析由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y ＋1＝0，则m＝________.解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l 的方程是()A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件. (2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二 由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三 对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】 若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －t ×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0. 答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－（y ＋y 0）＋7＝0. 可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上. 【训练3】 已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________. 解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝34，所以直线l的斜率k＝－43，方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二设所求l的直线为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.类型2平行直线系方程【例2】求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.解设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.【例3】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.解设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝c3，依照题意有：12×|－c|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c3＝8，c＝±4 3.所以l1的方程是：x－3y±43＝0.【例4】(一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.解法一设存在直线l：xa＋yb＝1，则a＋b＝1和－ba＝34组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为：x4－y3＝1，即3x－4y－12＝0.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－c3，c4，由－c3＋c4＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.类型3垂直直线系方程【例5】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.解设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝11 5，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【例7】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定 解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a 2＝－1，解得a ＝－2. 答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 . 答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. 2B.2C.3D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3.答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k PA ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足PA ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0 三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718 解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 答案 D 14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号.答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________. 解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。
2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考数学(理)答案解析
1 2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考 数学（理科）参考答案解析1.【解析】{|12}AB x x =<<，故选D. 2.【解析】1343434252525i z i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共 轭复数为342525i +15=，故选C. 3.【解析】因为3,4a b ==,故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<,所以m p n <<.5.【解析】232(32)()x x y x x e x x e '=+++,所以1|7x y e ='=,又1x =时,2y e =,所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-,即75y ex e =-6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===,所以81a =,又411a =,所以公差 111542d -==-,所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+, 所以将其图象向左平移4π个单位长度,可得)])244y x x x ππ=++=+π=,故选C. 8.【解析】根据题意,分2步分析：①先从5个人里选2人,其位置不变,有2510C =种 选法,②对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法, 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法,故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=. 9.【解析】由题意可知,当x R ∈时,1()x x f x e e =-,所以1()0x x f x e e '=+>为R 上的单调递增函数,故由2(2)(3)0f x x f --<,得2(2)(3)f x x f -<,即2230x x --<,解得13x -<<,故选A.。
2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)高三联考数学(理)试题
2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4D ．{}2,1,4-【答案】A 【解析】由题选择A B 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-，若()1,3b =-r，3232a b a b -=+，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅的值解得未知数. 【详解】由题：3232a b a b -=+，所以223232a b a b -=+，化简得：0a b ⋅=，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】由题：2222220((4))428x x x dx xdx x--===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积. 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S . 8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定. 10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．()1,2D ．3⎫⎪⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，11223ABCSBC =⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是____________． 【答案】90【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR 即,RP RQ 的最大值，由图便知. 【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ 的最大值即0,90RA RB =. 故答案为：90 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=____________．【答案】 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅cos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅cos30=-=-故答案为： 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。
专题29 空间向量与立体几何(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题29 空间向量与立体几何（解答题）1．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．（1）求证：PA ⊥平面MBC ；（2）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值．【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】（1）平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥，因为AC PC =，M 是PA 的中点，所以CM PA ⊥， 因为CMBC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，所以PA ⊥平面MBC ．（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，PC ⊂平面PAC ，PC AC ⊥，所以PC ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥，以C 为原点，CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)M ，(0,2,1)N ，则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-，由（1）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量，设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，则有00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-，2x =，所以(2,1,2)n =-，设二面角N MC B --所成角为θ，由图可得θ为锐角，则2cos cos ,||||PA n PA n PA n θ⋅⨯=<>===【名师点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案． 2．在四棱锥P ABCD -中，PAB △为直角三角形，90APB ∠=︒且12PA AB CD ==，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD 且DAB ∠为直角，E 为AB 的中点，F 为PE 的四等分点且14EF EP =，M 为AC 中点且MF PE ⊥．（1）证明：AD ⊥平面ABP ；（2）设二面角A PC E --的大小为α，求α的取值范围． 【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】（1）证明见解析；（2）,32ππα【解析】（1）取PE 的中点N ，连接AN ，DN ，CE ，如图所示：因为12AE AB =，12AP AB =，所以AP AE =，AN PE ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，12CD AB =， 所以四边形AECD 为正方形，即M 为DE 的中点． 因为14EF EP =，N 为PE 的中点，所以F 为EN 的中点．所以//MF DN ． 因为MF PE ⊥，所以DN PE ⊥．所以PE DN PE ANPE DN AN N ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ADN ． 因为DA ⊂平面ADN ，所以PE DA ⊥．所以DA AB DA PEDA PE AB E ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ABP ． （2）以A 为原点，AB ，AD 分别为y ，z 轴，垂直AB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AD a =，1PA CD ==，2AB =，则()0,0,0A，1,02P ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0E ，()0,1,C a ． 31,02AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,AC a =，1,02PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,CE a =-． 设平面PAC 的法向量()111,,n x y z =，则1111310220AP n x yAC n y az ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1y =，解得11x =，1z =，故1,3,n⎛=- ⎝⎭． 设平面PEC 的法向量()222,,m x y z =，则222310220PE mx y CE m az ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2y =21x =，20z =，故()1,3,0m =．由图知，二面角A PC E --的平面角α为锐角，所以11cos 0,2α-⎛⎫==⎪⎝⎭．故,32ππα．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且CD =E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD ．AD CD ⊥（1）证明：//BF平面PCD ； （2）求二面角P BD F --的正弦值；（3）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值为13？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】（1）证明见解析；（2（3）存在，7PM = 【解析】（1）由题意得//BC DE ，=BC DE ，90ADC ∠=︒，所以四边形BCDE 为矩形， 又PE ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0A，()B ，()1,0,0D -，(P ，()C -，1,0,22F ⎛ ⎝⎭，设平面PCD的法向量为(),,m x y z=，()0,DC =，(DP =则00DC m DP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则0x ==⎪⎩，则0y =，不妨设x =1z =，可得()3,0,1m =-，又1,22BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得0BF m ⋅=，因为直线BF ⊄平面BCD ，所以//BF 平面BCD ．（2）设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，()1,DB =，(0,BP =，则1100DB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设x =()13,1,1n =--，设平面BDF 的法向量为()2222,,n xy z =，32DF ⎛= ⎝⎭，则2200DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222203022x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2x =，可得()2n =-，因此有121212cos ,65n n n n n n ⋅==-⋅，（注：结果正负取决于法向量方向） 于是21212465sin ,1cos ,n n n n =-=，所以二面角P BD F --．（3）设((),PM PC λλλ==-=-，()0,1λ∈(),BM BP PM λ=+=-，由（2）可知平面BDF 的法向量为()23,1,3n =-，2223cos ,BM n BM n BM n⋅===⋅，有23410λλ-+=，解得1λ=（舍）或13λ=， 可得1,333PM ⎛=-- ⎝⎭，所以73PM =． 4．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//DC AB ，90DAB ∠=︒，3AB =，2AD CD ==，M 是棱PD 的中点．（1）求异面直线DP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求AM 与平面PBC 所成的角的大小；（3）在棱PB 上是否存在点Q ，使得平面QAD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出AQ 的长；若不存在，说明理由．【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考 【答案】（1；（2）45︒；（3）125． 【解析】如图，以,,AD AB AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(()()()()(,0,0,0,3,0,0,2,2,0,0,2,0,P A B C D M ，（1）(0,DP =-，()1,2,0BC =-，所以cos,DP BC==，即异面直线DP与BC（2）(AM=，(3,0,PB=-，()1,2,0BC=-设平面PBC的法向量(),,m x y z=，则mPBm BC⎧⋅=⎨⋅=⎩，3020xx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取(m=，设AM与平面PBC所成的角为θ，则sin cos,AM mθ===，所以AM与平面PBC所成的角为45︒；（3）平面ABCD的法向量可取()10,0,1n=，设(()3,0,3,0,PQ PBλλλ==-=-，则()3Qλ，所以()3AQλ=，()0,2,0AD =，设平面QAD的法向量为()2222,,n x y z=，则22nAQn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()2223020x zyλ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取()223,0,3nλ=-，因为平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60°.所以121cos,2n n=，12=，解得25λ=或2λ=-（舍）所以6,0,55AQ⎛=⎝⎭，所以61255AQ⎛==5．如图，在正四面体A BCD-中，点E，F分别是,ABBC的中点，点G，H分别在,CD AD 上，且14DH AD=，14DG CD=．（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）因为//,//EF AC GH AC ，11=,=24EF AC GH AC ，所以//GH EF 且12GH EF =，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EH FG M ，因为,∈M EH EH平面ABD ，所以M ∈平面ABD ，同理：M ∈平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，故M ∈平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以BD ⊥平面AOC ，不妨设OD =，则BD AC ==12AO CO ==， 所以1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G ，故=BA ，(=-FG ，(8,0,=-AC ，(4,0,=-EF ，设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，由00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得50y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH ． 6．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考 【答案】（1）证明见解析；（2）35． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，//AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(22A B C D E---，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即12yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴===-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴==-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35．7．如图，在四棱锥P ABCD-中，90BAD∠=，//AD BC，PA AD⊥，PA AB⊥，122PA AB BC AD====．（1）求证：//BC平面PAD；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）解法1．因为//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以//BC平面PAD，解法2．因为PA AD⊥，PA AB⊥，AD AB⊥，所以以A为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ，平面PAD 的法向量为(1,0,0)t ， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ； （2）因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， (2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x y m PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩，令1(1,1,2)y m ==得 ，cos ,1n mn m n m ⋅<>===⨯，设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以cos θ=． 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB 的值；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）证明见解析；（2）7-；（3）存在；12PF PB =． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．因为3BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以BE ⊥平面PAD ． 因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥．（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥．由（1）可知BE ⊥平面PAD ，所以BE AD ⊥，PE BE ⊥．设2AD a =，则PE a =．如图，建立空间直角坐标系E xyz -．所以(,0,0),,0),(2,0),(,0,0),(0,0,)A a B C a D a P a --．所以),0(D C a =-，(,0,)D a P a =．因为BE ⊥平面PAD ，所以(0,,0)EB =是平面PAD 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00ax ax az ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，所以,.x x z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令3x =，则1y =，z =(3,1,n =．所以cos ,||||7n EB n EB n EB ⋅===．由题知，二面角A PD C --为钝角，所以其余弦值为- （3）当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ．理由如下： 因为点E ∈/平面PCD ，所以在线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD 等价于0EF ⋅=n ．假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ．设([0,1])PF PBλλ=∈，则PF PB λ=．所以(0,0,),),)EF EP PF EP PB a a a a a λλλ=+=+=+-=-．由)0EF a a a λ⋅=-=n ，得12λ=． 所以当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ，且12PF PB =． 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ．因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．如图建立空间直角坐标系D xyz -．因为4PD =，底面ABCD 为边长为2的正方形，所以()0,0,4P ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,2E ，()0,1,2F ． 则()2,0,0DA =，()1,1,2DE =，()2,1,2BF =--．设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，由00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020x x y z =⎧⎨++=⎩． 令1z =-，则0x =，2y =．所以()0,2,1m =-．设直线BF 与平面ADE 所成角为θ，则,sincos ,9BF mBF m BF m θ====．所以直线BF 与平面ADE ． 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值．10．如图，已知11ABB A 是圆柱1OO 的轴截面，O 、1O 分别是两底面的圆心，C 是弧AB 上的一点，30ABC ∠=，圆柱的体积和侧面积均为4π．（1）求证：平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）求二面角11B A B C --的大小．【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题【答案】（1）证明见解析 ；（2）60 ．【解析】（1）因为1AA 是圆柱的母线，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ， 所以1AA BC ⊥，又C 是弧AB 上的一点，且AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，因为1AA AC A =，所以BC ⊥平面1ACA ，又BC ⊂平面1BCB ，所以平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，因为圆柱的体积和侧面积均为4π，所以2244rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得，2r ，1l =，即4AB =，11AA =，因为30ABC ∠=，所以2AC =，BC =设圆柱过C 点的母线为CD ，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示；则()0,0,0C ，()B ，()12,0,1A ，()1B ；所以()12,0,1CA =，()10,CB =，()12,BA =-，()10,0,1BB = 设平面11CA B 的法向量为(),,n x y z =，由1120000x z n CA n CB z ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取z =x =1y =-，所以平面11CA B的一个法向量为(3,n =--， 设平面11BA B 的法向量为(),,m a b c=，由1102000m BA a c m BB c ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩， 取1b =，则a =0c ，所以平面11BA B 的一个法向量为()3,1,0m =， 所以1cos ,23n mm n n m ⋅===-+⋅， 由图中可看出二面角11B A B C --是锐角，故二面角11B A B C --的值为60．【名师点睛】证明面面垂直的方法：（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）； （4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0．11．如图1，正方形ABCD ，边长为a，,E F 分别为,AD CD 中点，现将正方形沿对角线AC 折起，折起过程中D 点位置记为T ，如图2．（1）求证：EF TB ⊥；（2）当60TAB ︒∠=时，求平面ABC 与平面BEF 所成二面角的余弦值．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）取AC 中点O ，连,,OT OB BT ，因为ABCD 为正方形，所以,AC OT AC OB ⊥⊥，又OT OB O ⋂=，所以AC ⊥平面OBT ，而TB ⊂平面OBT ，所以AC TB ⊥． 又,E F 分别为,AD CD 中点，所以//EF AC ，所以EF TB ⊥；（2）因为60TAB ︒∠=，所以TAB △为等边三角形，TB a =，又2OT OB a ==，所以222TB OB OT =+，即OT OB ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则,0,0,0,,B E F ⎫⎛⎛⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，220,,0,,,2244EF a EB a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，平面ABC 法向量(0,0,1)m =设平面BEF 法向量(,,1)x n y =，由00n EF n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00244y ay =⎧+-=⎩，012y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，1,0,1,cos ,2||||11mn n m n m n ⋅⎛⎫=<>=== ⎪⋅⎝⎭⋅， 记平面ABC 与平面BEF 所成二面角为θ，则θ为锐角，所以cos 5θ=即平面ABC 与平面BEF ． 12．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E ，F 分别在棱1AA ，1CC 上，且满足113AE AA =，113CF CC =，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ．（1）证明：直线l ⊥平面1BDD ；（2）已知2EF =，14BD =，设BF 与平面1BDD 所成的角为θ，求sin θ的取值范围．【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】（1）如图，连接AC ，与BD 交于点O ．由条件可知//AE CF ，且AE CF =，所以//AC EF ，因为EF ⊂平面BEF ，所以//AC 平面BEF ．因为平面BEF 平面ABC l =，所以//AC l ． 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，所以AC BD ⊥，1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面1BDD ，所以l ⊥平面1BDD ．（2）如图所示，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC 的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系．设2BD a =，因为1BD BD <，所以02a <<．则OB a =，1DD ==所以(,0,0)B a ，(0,1,0)C，F ⎛ ⎝． 由（1）可知(0,1,0)OC =是平面1BDD的一个法向量，而BF a ⎛=- ⎝， 所以sin cos ,OC BF OC BF OC BF θ⋅=<>===当02a <<35<<，即3sin 5θ⎫∈⎪⎪⎝⎭．【名师点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果．13．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，1AA =AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1B C 的中点．（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值．【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，得1AB B C ⊥， 又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ， AB 平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B，又BC =11BB AA == 故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0CA =， ()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1sin 102nAEn AE θ⋅===，即直线AE 与平面11AAC C14．如图，在平面四边形PABC 中，PA AC ⊥，AB BC ⊥，PA AB ==，2AC =，现把PAC △沿AC 折起，使P 在平面ABC 上的射影为O ，连接OA 、OB ，且OB//AC ．（1）证明：OB ⊥平面PAO ；（2）求二面角O PB C --的余弦值．【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO AC ∴⊥，又PA AC ⊥，PAPO P =，所以AC ⊥平面PAO ， //OB AC ，所以OB ⊥平面PAO ；（2）在Rt ABC 中，AB =2AC =，则1BC ==，30BAC ∴∠=，在Rt OAB 中，903060OAB ∠=-=，所以12OA AB ==，32OB =，Rt PAO 中，PA =AO =32OP ∴==， 以点O 为坐标原点，OB 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则0,,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33,0,22PB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）可知()0,1,0m =为平面POB 的一个法向量，设平面平PBC 的法向量为(),,n x y z =，则有330223202x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y x z x ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，取x =(3,n =-，cos ,717m n m n m n ⋅===-⋅⨯， 由图可知，二面角O PB C --为钝角，所以，二面角O PB C --的余弦值为7-． 15．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//,90BC AD ADC ∠=︒，11,2BC CD AD E ===为线段AD 的中点，过BE 的平面与线段,PD PC 分别交于点,G F ．（1）求证：GF ⊥平面PAD ；（2）若PA PD ==G为PD 的中点，求平面PAB 与平面BEGF所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】证明：（1）因为12BC AD =，且E 为线段AD 的中点，所以BC DE =， 因为//BC AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以//BE CD ，因为CD ⊂平面,PCD BE ⊂/平面PCD ，所以//BE 平面PCD ，又平面BEGF ⋂平面PCD GF =，所以//BE GF ，又BE AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 所以BE ⊥平面PAD ，所以GF ⊥平面PAD ；（2）因为,PA PD E =为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥，‘’因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -；则11(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),,0,22P A B E D G ⎛⎫--⎪⎝⎭， 则11(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,0,1),,0,22PA PB BE DP EG ⎛⎫=-=-=-==- ⎪⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则0{0PA m PB m ⋅=⋅=，，，即11110,0x z y z -=⎧⎨-=⎩， 不妨令11x =，可得(1,1,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面BEGF 的法向量为()222,,n x y z =，则0{0BE n EG n ⋅=⋅=，，，即222011022y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，不妨令21x =，可得(1,0,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面PAB 与平面BEGF 所成的锐二面角为α，于是有2cos |cos ,|32m n α=〈〉==； 所以平面PAB 与平面BEGF ．16．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，对角线AC 与BD 交于点F ，侧面SBC 是边长为2的等边三角形，点E 在棱BS 上．（1）若//SD 平面AEC ，求SE EB的值； （2）若平面SBC ⊥平面ABCD ，求二面角B AS C --的余弦值．【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）1；（2． 【解析】（1）连结EF ，因为//SD 平面AEC ，SD ⊂平面BSD ，平面BSD ⋂平面AEC EF =，所以//SD EF ．因为底面ABCD 是正方形，F 为AC 中点，所以EF 是SD 的中位线，则1SE EB=． （2）取BC 的中点为O ，AD 的中点为M ，连结MO ，则MO BC ⊥， 因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC平面ABCD BC =，OM ⊂平面ABCD ， 所以OM ⊥平面SBC ．又OS BC ⊥，所以O 为坐标原点．以{},,OS OC OM 为正交基底建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,1,2A -，()010B -,,，()0,1,0C，)S，1,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而()SC =-，()0,2,2AC =-，()0,0,2AB =-，()3,1,2AS =-． 设平面ASC 的法向量为(),,m x y z =， 则0,0.m SC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0.y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩取1x =，则y =z = 所以平面ASC的一个法向量为(1,3,m =．设平面ASB 的法向量为(),,n x y z =， 则0,0.n AB n AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,20.z y z -=⎧⎪+-=取y =1x =-，0z =． 所以平面ASB 的一个法向量为()1,3,0n =-．所以7cos ,7m n m n m n ⋅〈〉==． 因为二面角B AS C --的平面角为锐角，所以二面角B AS C --的余弦值为7． 【名师点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．（2）设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．17．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 为正三角形，平面PBC ⊥平面,1,ABC PB PC D ==为AP 上一点，2,AD DP O =为三角形ABC 的中心．（1）求证：AC ⊥平面OBD ；（2）若直线PA 与平面ABC 所成的角为45︒，求二面角A BD O --的余弦值．【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）证明：连接AO 并延长BC 交于点E ，则E 为BC 中点，连接PE ．如图所示：因为О为正三角形ABC 的中心，所以2,AO OE =又2AD DP =，所以//,DO PE 因为PB PC =，E 为BC 中点，所以,PE BC ⊥ 又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC 平面ABC BC =，所以PE ⊥平面,ABC 所以DO ⊥平面,ABC AC ⊂平面PBC ，所以,DO AC ⊥又,AC BO DO BO O ⊥⋂=，所以AC ⊥平面OBD ．（2）由PE ⊥平面ABC 知，所以45PAE ∠=︒ ，所以,PE AE =所以,ABE PBE ≌ 所以1AB PB BC AC ====，由（1）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，所以分别以,,EA EB EP 的方向为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,,0,0,0,,22263A B P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以31,,0,2231,,623AB BD ⎛⎫-⎛= ⎪ ⎪⎝⎭=-⎝⎭， 设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =， 则302302x y nBD z y n AB x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1,x =可得1y z ==，则()1,3,1n =． 由（1）知AC ⊥平面,DBO 故1,02AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭为平面DBO 的法向量， 所以2cos ,5nAC n AC n AC -⋅===-，由图可知二面角A BD O --的为锐二面角，所以二面角A BDO --的余弦值为5． 18．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60°，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则1//2NQ AC ，且12NQ AC =， 又1//2MF AC ，且12MF AC = ，所以//MF NQ 且MF NQ =， 所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊄平面FCB ，所以//MN 平面FCB ；（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，可得1BC =，AC =90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ，所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，所以1FC =．因为FB =，所以222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),,0,12A B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3,0,1,(3,1,0)2MA AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则00MA m AB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取23x =，则(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，又(0,1,0)n =为平面MAC的一个法向量， 所以657257cos 571||m n mn m n ⋅〈〉====⨯∣∣， 故平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值为5719． 19．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）若H 为EF 的中点，证明：//GH 平面ABCD ；（2）若14=EH EF ，求直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值． 【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（26． 【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ，所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//HM ，所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(0,0,4)G ，(3,4,3)H ，(4,4,0)=-AC ，(4,0,4)=-AG ，(3,0,3)=CH ．设平面ACG 的法向量为(,,)n x y z =，则440440AC n x y AG n x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =．因为cos ,3||||32⋅〈〉===⨯CH n C n n CH H ，所以直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值为3．【名师点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过严密推理证明线线平行从而得线面平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．20．如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，120ECD ∠=︒．22BC CD CE AD BG ====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求二面角E BD C --的余弦值．【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：在平面BCEG 中，过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连DM ， 由题意知，MG MN =，////MN BC DA 且12MN AD BC ==， 因为//MG AD ，MG AD =，故四边形ADMG 为平行四边形，所以//AG DM ， 又DM ⊂平面BDE ，AG ⊂/平面BDE ，故//AG 平面BDE ．（2）由题意知BC ⊥平面ECD ，在平面ECD 内过C 点作CF CD ⊥交DE 于F ， 以C 为原点，CD ，CB ，CF 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，则22BC CD CE BG ====．且()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,2,0B ，(E -，设平面EBD 的法向量(),,n x y z =，则由0,0,DE n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,220,x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，得(1,1,3n =，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos ,51m nm n m n ⋅==⋅=⋅E BD C --． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，M 为PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BDM ；（2）若PB PC ==CD PC ⊥，求二面角C DM B --的余弦值．【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连接AC 交BD 于E ，连接EM ，则E 为AC 中点，所以EM 为APC △的中位线，所以//EM AP ，因为EM ⊂平面BDM ，AP ⊄平面BDM ，所以//AP 平面BDM ．（2）在PBC 中，因为2224PB PC BC +==，所以PB PC ⊥，取BC 中点O ，AD 中点F ，连接PO ，OF ，则PO BC ⊥，1PO =，因为BC CD ⊥，CD PC ⊥，BC 、PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以CD ⊥平面PBC ，因为PO ⊂平面PBC ，所以CD PO ⊥，因为PO BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC 、CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为OF ⊂平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以PO ，OF ，OB 两两垂直，如图所示，以O 为原点，OF ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)D -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，所以110,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得112,,22DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)BD =-，(2,0,0)CD =．设平面BDM 的法向量为()111,,m x y z =， 则0 0m BD m DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111220112022x y x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(1,1,3)m =， 设平面CDM 的法向量为()222,,n x y z =，则00n CD n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222220112022x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(0,1,1)n =-，所以222cos ,11||||112m n m nm n ⋅〈〉===⋅⨯， 所以二面角C DM B --的余弦值为11．22．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直， //BE CF ，BCF CEF ∠=∠=90°，AD =EF =（1）求证：EF ⊥平面DCE（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60°． 【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】（1）因为平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD 平面BEFC BC =，CD BC ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面BEFC ，EF ⊂平面BEFC ，从而CD EF ⊥． 因为EF CE ⊥，CD CE C =，,CD CE ⊂平面CDE ，所以EF ⊥平面CDE ．（2）如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系．过点E 作EG CF ⊥于点G ．在Rt EFG中，EG AD ==EF =1FG =．因为CE EF ⊥，则90EFC ECF BCE ∠=︒-∠=∠，所以Rt EFG Rt ECB △△，EG GF EF BE BC EC==，所以2,BE CE == 所以2CG =，所以3CF =．设AB a ，则()0,0,0C，)A a，)E ，()0,3,0F ．()0,2,AE a =-，()EF =-，()2,2,0CE =， 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =．则00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200y az y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z=，得,2n a ⎫=⎪⎭．因为CD ⊥平面EFC ，()0,0,CD a =，所以1cos ,2n CD ==，解得a =所以当AB =A EF C --的大小为60°．【名师点睛】本题考查空间向量法求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出平面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．23．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）证明：当2MA EM =时，直线//CE 平面BDM ；（2）当AE ⊥平面MBC 时，求二面角E BD M --的余弦值．【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，//AB CD ，24AB CD ==， CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 12EM MA =，EM CN MA AN∴=，MN //EC ∴， 又MN ⊂面BDM ，CE ⊂面BDM ，//CE ∴平面BDM ．（2）AE 平面MBC ，AE BM ∴⊥，M ∴是AE 的中点，取AB 的中点为O ， OE ∴⊥平面ABCD ，以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)B-，E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，M ，设平面EBD 的法向量为()1111,,x n y z=，则1111112200020x y n BD n BE y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令11z =，则1y=1x =1(3,3,1)n ∴=-，设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222222200030x y n BD n BM y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令2z 21y =-，21x =，1(1,13)n ∴=-， 1212123105cos ,||n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ∴二面角E BD M --的余弦值为35． 24．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，M 为棱CD 的中点，N 为面对角线1BC 的中点，如图．（1）求证：ND AN ⊥；（2）求平面1AMD 与平面11AAC C 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点分别为F ，连接NF ，DF ，因为N ，F 分别为1BC ，BC 的中点，1111ABCD A B C D -是正方体，易得NF ⊥平面ABCD ，所以NF AM ⊥；因为FC MD =，AD DC =，FCD MDA ∠=∠，所以FCD MDA ≌△△，所以CFD DMA ∠=∠，所以90FDC DMA ∠+∠=︒，所以FD AM ⊥，因为NF FD F =，NF ⊂平面NFD ，FD ⊂平面NFD ，所以AM ⊥平面NFD ， 又DN ⊂平面NFD ，所以ND AM ⊥；（2）以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系：连接BD ，1C D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1BD C D =，且N 为1BC 中点，所以1DN BC ⊥．又11//BC AD ，所以1AD DN ⊥． 因为1AD AM A =，1AD ⊂平面1AMD ，AM ⊂平面1AMD ，所以ND ⊥平面1AMD ，故ND 为平面1AMD 的一个法向量；由1111ABCD A B C D -是正方体，得BD ⊥平面11AAC C ，故BD 为平面11AAC C 的一个法向量，因为()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,1,1N ， 所以()2,1,1ND =--，()2,2,0BD =-， 所以(cos ,ND BDND BD ND BD -⋅<>===⋅则平面1AMD 与平面11AAC C25．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABFM 在线段EC 上的位置．【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点．【解析】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M ．所以(2,0,1)BM =-， 又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量．因为0BM DC ⋅=即BM DC ⊥，BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ；（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-，又(0,4,2)EC =-，设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-．设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，则11112204(22)0DB n x y DM n y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λλ=-，即2(1,1,)1n λλ=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，所以cos ,622DA n DA n DA n ⋅===⋅，解得12λ=，即点M 为EC 中点． 【名师点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．26．如图所示，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB BC CD ==，四边形ADEF 为矩形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF AB λ=．（1）证明：//DF 平面BCE ；（2）若二面角C BE F --λ的值． 【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）取AB 的中点为M ，连接FM CM DM ，，，因为//AM CD 且AM CD =，四边形AMCD 为平行四边形，所以//AD MC 且AD MC =，因为四边形ADEF 为矩形，所以//FE MC 且=FEMC ，所以四边形EFMC 是平行四边形，所以//FM EC ，且EC ⊂平面BEC ，FM ⊄平面BEC ，。
2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三(上)联考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =x +1}，B ={x|14<2x <4}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−2,−1)D. (−2,−1]2.已知直线l 1：a 2x +y +1=0与直线l 2：x−3ay +7=0，则“a =3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列四个数中最大的是( )A. lg20B. lg (lg20)C. (lg20)2D. 1lg204.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)之间的关系式为P =P 0e −λt (t ≥0)，其中P 0为初始污染物含量，P 0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4ℎ过滤掉了80%的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P 0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )A. 4ℎB. 6ℎC. 8ℎD. 12ℎ5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=(x−1x )cosx B. f(x)=(x +1x )sinx C. f(x)=(x +1x )ln |x|D. f(x)=(x +1x )cosx6.已知函数f(x)={x 2−ax +2a,x <−1,1−ln (x +2),x ≥−1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [−2,+∞)D. [−2,0]7.已知函数f(x)=e x−3−e 3−x +x ，则满足f(2m−2)+f(m +1)>6的m 的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (32,+∞)C. (13,+∞)D. (73,+∞)8.定义[x]为不超过x 的最大整数，区间[a,b](或(a,b)，[a,b)，(a,b])的长度记为b−a.若关于x 的不等式k[x]>|2[x]−6|的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为( )A. (0,45]B. (12,45]C. (12,1]D. (45,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题(解析版)
故选： D ．2020 届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题、单选题答案】求解． 详解】故选： B ． 点睛】求解集合 M,N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数 z (1i)(a i) 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 a 的取值范围是( )A ． (1,)B ．( , 1) C ． ( ,1)D ． ( 1,1)【答案】D【解析】 化简复数 z(1 i)(a i) a 1 (a 1)i ，根据复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数 z (1 i)(a i) a 1 (a 1)i ， 因为复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得1 a 1.即实数 a 的取值范围是 ( 1,1) ．1．已知集合 M y| y 3x ，N {x|y 1 x} ，则 M I N ( )A ．{ x|0 x 1}B ． {x|0x 1}C ．{x|x 1}D ．{x|x 0}解析】 根据函数的定义域和值域， 求得集合M,N ，再结合集合的交集的运算，即可由题意， 集合 M y|y 3x {y|y 0},N {x|y 1 x} {x|x 1} ，所以 MN {x|0 x 1} .本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法， 正确a 1 0且a 1 0，解得本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义， 其中熟记复数的运算法则， 结合复 数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“m 2 ”是“函数 f(x) x 24mx 3在区间 [ 2, )上单调递增 ”的( )C ．充要条件【答案】 A【解析】 根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定 方法，即可求解． 【详解】由题意，函数 f(x) x24mx 3 的对称轴为 x 2m ，若 m 2，则 2m 4，函数 f(x) 在[ 2, )上递增，充分性成立；若 f(x)在区间 [ 2, )上递增，则 2m 2，即 m 1，不能推出 m 2， 所以必要性不成立， 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件， 必要条件的判定， 其中解答中熟练应用 二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )答案】 D解析】 根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体 体积公式，即可求解．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C ． 4 3D ． 8 3A ．B ． 20一个底面半径为 1，母线长为 3 的圆柱， 其体积为 V 2 2 2 2 1 12 3 8 3 .故选： D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用， 以及几何体的体积的计算， 其中解答中利 用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列 a n 中，a 1a 2a 3 2，a 4a 5a 6 4 ，则数列 a n 的前 12项之积为（ ） A ． 512B ． 1024C ．2046D ．2048【答案】 B【解析】 根据等比数列的定义和性质，求得数列 a n a n 1a n 2 是公比为 2 的等比数列，进而求得 a 7a 8a 9,a 10a 11a 12 的值，即可求解． 【详解】 由题意，数列an 是等比数列，可得数列a n a n 1a n 2 也是等比数列，a 4a 5a 64其中数列 a n a n 1a n 2 的公比为2，a 1a 2a32所以 a 7a 8a 9 a 4a 5a 6 2 8 ，a10 a11a12a 4a 5a62216 ，因此数列 a n 的前 12 项之积为T 12 2 4 8 16 1024 .故选： B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质， 以及等比数列的应用， 其中解答中熟记等比数列的概 念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设 a 2019 2，b log 2018 2020 ， c log 2019 2020 ，则（ ）A ．a c bB ． a b cC ．b c aD ．c b a【答案】 A【解析】 现根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，再结合 对数函数的单调性，即可求解． 详解】由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为2 2 ，侧棱长为 1 的长方体，下面是根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，即 a c b. 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用， 其中解答中熟练应用指数函数与 对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．x 3y 6 0,7．若 x, y 满足约束条件xy6 0, 则 z x y的最小值为()y1,A ． 4BC ．2 D ．【答案】 D【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可 求解． 【详解】x 3y 6 0由题意，画出约束条件 x y 6 0 所表示的可行域，如图所示， y1目标函数 z x y ，可化为直线 y x z 当直线 y x z 经过 A 时， z 取得最小值，x 3y 6 0又由 ，解得 A( 3,1) ，y1故选： D ．点睛】又因为 b1 log 200 20181 log 2020 2019因为 0 log 2020 2018log 2020 2019 1，所以1log 2020 2018 1log 2020 2019所以目标函数的最小值为 z min3 1 4.3 2本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题． 其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用 “一画、二移、三求 ”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力． 8．已知函数， f (x) tanx ln 1 1 ax (a x 1）为奇函数，则实数 a 的值为（）A ．1B ．0 答案】 解析】 由函数 f （x ） 为奇函数，根据f( x)1 a 2x2 f(x)，得到 ln 11a x2 0，即可求x2 解． 详解】 由题意， 函数 f(x) 所以 f ( x) tan ( 1 axtanx ln 1x1 ax x) ln 1x(a f(x) 1）为奇函数， tanx ln 1 ax ， 1x 1 整理得 ln 1 22ax 2x 0 ，所以 a 1 ． 点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的应用， 其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解 答的关键，着重考查了推理与计算能力． 9．已知向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b| 4 ，且 （a b ） b 4 ，则 a 与 b 的夹角为 （ ） A ．6 B ． 3 2 C ． 3 5 D ． 6 r由r r得求412，再结合向量的夹角公式，求得 cos a,b 3，2 即可求得向量 a 与 b 的夹角． 详解】 由题意，向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b|4 ， 因为 (a b) rr r r 2b 4 ，可得 a r b r b r2ab164，解得 a b 12，ab 所以 cos a,b|a||b|12 2 3 4又因 a 与b 的夹角 [0,] ，所以 a 与 b 的夹角为故选：D ．点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．ln x210 ．函数y 图象大致为(x答案】C即可求解．详解】点睛】111．已知函数f (x) sin x ( 0) ，若函数f(x) 在区间0, 上有且只有两个零点，则的取值范围为(以及解析】由函数 f x 为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，由题意，函数ln x的定义域为( x,0) U(0, )，且f(x) ln( x)2xln x2f(x) ，所以函数f x 为奇函数，排除A，B；当x 0 时，函数y2ln x，则x2(1 ln x)x2当0 x e 时，y 0 ，函数单调递增，当x e时，y 0 ，函数单调递减，排除D．故选：C.本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6 2 2lg(x 1),x 0由题意，函数 f(x)lg(1 x),x 01，得到函数 f (x) 在2, 上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 65所以26 6，解得 2,1413 ,3266故选： C ．【点睛】象与性质， 结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键， 能力．lg(x 1),x 0,12．设函数 f(x)则不等式 | f (x)| lg3 的解集为( )lg(1 x),x 0,A ．{x| 1 x 1}B ． {x| 2 x 2}C ．{x| 3 x 3}D ．{x| 4 x 4}【答案】 B【解析】 根据分段函数的解析式，分 x 0和 x 0 讨论，结合对数的运算性质分别求 得不等式的解集，即可求得不等式 |f(x)| lg3 的解集． 【详解】A ．23,2B ．23,2C ．2,134D ．2,134答案】 C解析】 设x ，化简函数为 f (x) sin6【详解】由题意，因为 0 x ，可得设 x ，则函数 f (x)6x 2 6，6611sinxsin622则函数 f (x) sin 1 在2上，前三个零点分别是,5 ,13 6 , 6 , 6本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用， 其中解答中熟练应用三角函数的图着重考查了推理与运算当 x 0时，由 | f(x)| lg3 ，可得lg3 lg(x 1) lg3 ，解得 23x2又因为 x 0 ，所以 0 x 2 ；当x0时，由 | f(x)|lg3 ，可得lg3 lg(1 x)lg3 ，解得2 2 x3又因为 x 0 ，所以 2 x 0 ，所以不等式的解集为 {x| 2 x 2} ． 故选： B ． 【点睛】论思想，以及运算能力．故答案为： 98．点睛】 本题主要考查了分段函数的求值问题， 其中解答中准确把握分段函数的分段条件， 准确 计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数 f (x) ln x x 1的图象上有一点 P(m,2) ，则曲线 y f (x)在点 P 处 的切线方程为 __________________ . 【答案】 y 2x【解析】利用导数求得 f x 为增函数，根据 f(1) 2，求得 m 1，进而求得 f (1) 2， 得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．详解】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质， 着重考查了分类讨二、填空题13．设函数 f (x)2x ,x 0,1 则 f lg x ,x 0,x1 10答案】 98解析】 根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 详解】2x ,x 0依题意，函数 f(x) 1 ，可得得 lg x ,x 0x1 110 100所以 f f 1101 100lg 100 1002 100 98.由题意，点P ( m,2) 在曲线y f (x)上，可得f (m) lnm m 1 2，1又由函数f (x) ln x x 1,x 0 ，则f (x) 1 0，x所以函数f x 在(0, )上为增函数，且f(1) 2，所以m 1，1因为f (x) 1，所以f (1) 2，即在点P 处的切线的斜率为2，x所以曲线y f(x)在点P(1,2) 的切线方程为y 2 2(x 1)，即y 2x. 故答案为：y 2x ．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数f(x) 4 3x x2的定义域为D，在区间[0,8] 上随机取一个实数x，x D 的概率为_______________________ .1【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，函数f(x) 4 3x x2，则满足4 3x x2 0，解得1 x 4，即函数f x 的定义域为D [ 1,4] ，又由在区间[0,8] 上随机取一个实数x，满足x D，则x [0, 4]，所以概率为P401802.故答案为：1．．2【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量N (A) ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据P= N( A)求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．N16．若函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则实数m的值___________________ .答案】16ln2 24【解析】由函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，转化为2x2 8ln x 14x m有唯一实数解，令h(x) 2x2 8ln x 14x ，利用导数求得函数h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数f(x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，即方程2x28ln x14x m 有唯一实数解，82(x4)(2x 1)2令h(x) 2x2 8ln x 14x ，则h (x) 4x14,x 0，x x当x 4 时，h (x)0 ，当0 x 4时，h (x)0，所以h(x) 在(4,) 上单调递增，在(0,4) 上单调递减，16ln 224，则函数h(x) 在x 4 处取得最小值，最小值为h(4)m16ln 2 24要使得函数f (x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则故答案为：16ln2 24 ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题117．设 a 为实数，p:22a2a 12 2 2 2 0，q : x (0, ) ，不等式x2ax 1 0 恒成立.( 1)若P 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若( p) q为真命题，求实数a 的取值范围.11【答案】( 1) ,1 ；(2) , [1,2]22【解析】(1)由命题P 为真命题，得到关于实数a不等式，结合指数的运算性质，即可求解；( 2)由命题q为真命题，结合基本不等式求最值，得到a 2，再由( p) q为真命题，得出p 为假命题且q为真命题，列出不等式组，即可求解．详解】1a (1)由命题 P 为真命题，即 22a2a 12a22 22a22a2 0，11 解得 2 2a 2，可得 a 1，即实数 a 的取值范围是 12,1 .( 2)若命题 q 为真命题，由 x (0, ) ，不等式 x 2ax 1 0 恒成立，1即 x 2 1⋯ax 在 x (0, ) 上恒成立，即a x 对 x (0, ) 恒成立，x1 1 1当x (0, )时， x2 x 2 ，当且仅当 x ，即 x 1 时等号成立， x x x所以 q 为真命题时，可得 a 2 ，1所以实数 a 的取值范围是, [1,2] . 2【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围， 其中解答中熟记复合命题的 真假判定， 以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键， 着重考查 了推理与运算能力．1 32 18．已知函数 f(x) x 3mx 2nx 3 ，其导函数 f (x) 是偶函数，且 f(3) 0.3( 1)求函数 f (x) 的解析式；( 2)若函数 y f (x) 2 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 .( 2)由(1)，求得 f (x) x24 ，进而求得函数的单调性与极值， 再根据曲线 y f (x) 7 25 与直线 y 2 有三个不同的交点，得出 2 ，即可求解．33【详解】又因为 ( p)q 为真命题，则 p 为假命题且 q 为真命题，所以1，解得 a, 1 或1剟a 2.213【答案】( 1) f(x)x 3 4x 3；(2) 3【解析】(1)由 f (x) 是偶函数，根据 f ( x)解得 n 4 ，即可得到函数的解析式；7,25 6, 6f x ，求得所以 m 0 ，再由 f(3) 0 ，a22因为 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f x ，可得 x 22mx n x 22mx n ， 所以 m 0 ，1又因为 f (3) 0 ，所以 127 0 9 3n 3 0，解得 n 4 ，313所以函数的解析式为 f (x) 1 x 34x 3.31 3 2(2)由( 1)可得函数 f (x) x 3 4x 3，则 f (x) x 2 4 ，3令 f (x) x 24 0，解得 x 2.熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能 力．19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q(1,0)及动点) ，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形 PRQ (原点 O 与点R 分别在直线 PQ 的两侧)1)当3时，求 |OR|2；1)由题意，函数 f (x)132mx nx 3 ，则 f (x)2x 2mx n ，当x) 上分别单调递增，当 2 x2 时， f (x)0 ，所以 f (x) 在 ( 2,2) 上单调递减， 所以 f (x) 的极大值为 f (2) 25 ，f (x)的极小值为 f (2) 733又由曲线y f (x) 与直线y 2 有三个不同的交点， 725725所以2 ，即3 366，故实数的取值范围是7,2566【点睛】以及利用导数求解函数的零点问题， 其中解答中P(2cos ,2sin )(02或 x 2 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 ( 2) ，(2,本题主要考查了函数性质的综合应用，所以 |OR |2 53有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息， 合理应用正弦定理和余 弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．a n 满足 a 5 4， 2a 6 a 9 18 ，等比数列b n 的各项均为正数，1）求 a n 和 b n 的通项公式；2）求四边形 OPRQ 面积的最大值【答案】（ 1） 3 ；（2） 2 5【解析】（ 1）当 时，得到点 P 的坐标为 （1, 3） ，在 ORQ 中，由余弦定理，即3可求得 |OR|2 的值．2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为 S 2sin5，4结合三角函数的性质，即可求解． 详解】1） 在直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q （1,0）及动点 P （2cos ,2sin ） ，时，3 时，点 P 的坐标为 （1, 3） ，所以 OQP ，且 |PQ |23.所以OQR34 ，|RQ| | PQ |cos 46， 2，在 ORQ 中， 由余弦定理，可得|OR|2|OQ |2|RQ|22|OQ || RQ| 3cos 462 2252 3 ，2）由题意可得， |OP | 2，POQ四边形 OPRQ 的面积S 1 |OP | |OQ |sin 2|PQ |2sin12 212 224 2 1 2cos sincos52sin 45，4因为(0, ) ，当3 34 时，四边形OPRQ 面积 S 最大，最大值为 2点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用， 其中在解20．已知等差数列 且 b 2 2 ， b 3 b 4a 4a5 .详解】1）设等差数列 a n 的公差为 d ，所以 a n a 1 (n 1)d n 1.设等比数列 b n 的公比为 q ，且 q 0 ，所以 b n b 2qn 22n 1（ 2）由（ 1）可得 a n b n(n 1)2n 1 ，当 n 1 时， T 1 0.当 n 2 时， T n 1 21222L(n 2) 2n 2 (n 1) 2则 2T n 1 222 23L (n 2)2n1(n n1) 2n.两式相减，得 T n2 2223L2n1(n n1) 2n所以 T n (n 2) 2n 2 ， 当 n 1时也符合上式，所以 T n (n 2) 2n2 ，又因为 T 8 6 282 1538 2020 ，T 9 7 292 3586 2020所以满足 T n 2000 的最大正整数 n 8.2）设T n 为数列 a n b n 的前 n 项和，求满足 T n 2020 的最大正整数 n .答案】（ 1） a n n 1，b n 2n 1；（2）8解析】（ 1）设等差数列a n 的公差为 d ，等比数列b n 的公比为 q ，且 q 0 ，根据题设条件，列出方程组，求得a 1,d,q ，即可得到 a n 和b n 的通项公式；2）由（ 1）得到 a n b nn1（n 1） 2n 1 ，结合乘公比错位相减法，求得数列的前 n 项和Tn ，进而求得满足 Tn2020 的最大正整数 n .因为a 5 4 2a 6 a 918可得a 1 4d 4，解得a 1 3a 1 18d 18 10,d 1，因为 b 2 2,b 3 b 4 a 4a 5 ，可得 b 3 b 422q 2q 2 12，解得 q= 2或q3（舍去），2 2n12(n 1) 2n(n 2) 2n 2 .点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及 “错位相减法 ”求和的应用， 此类题目是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键， 易错点是在 “错位 ”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能 力及基本计算能力 .2△ AF1F2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 .21）求椭圆 C 的标准方程；2）点 M 在椭圆上且位于第二象限，过点F 1作直线 l 1 MF 1，过点 F 2 作直线l 2 MF 2 ，若直线 l 1,l 2的交点 N 恰好也在椭圆 C 上，求点 M 的坐标 .【答案】（1） x2 y 21；（2） 233, 33详解】 （ 1）由椭圆 C 的上顶点为 A ， AF 1F 2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 ，2c2 a21可得 2c b bc 1，解得 a 2,b 1,c 1 ，2 222abc2 所以椭圆C 的标准方程为 x y 2 1.22（ 2）由（ 1）知，椭圆的方程 x y 21，可得 F 1（ 1,0） ， F 2 （1,0） ，2设 M x 0 ,y 0 ，则 x 0 0 ， y 0 0.2 x21 ．已知椭圆 C : 2ab 21(a 0,b 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2 ，上顶点为 A ，解析】（ 1）根据题设条件，列出a,b,c 的方程组，结合 a 2 b 2c 2，求得 a,b,c 的值，即可得到椭圆的标准方程；2）设 M x 0,y 0 ，分 x 0 1和 x 0 1两种情况讨论，当 x 0 1时，联立 l 1,l 2 的方程组，取得 Nx 0, x 02y 1y，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解当 x 0 1 时， l 2 与 l 1 相交于点 F 2 不符合题意； 当 x 0 1时，直线 MF 1 的斜率为 x 0 y0 01，直线 MF 2的斜率为 y0，x 0 1 ， 因为 l 1 MF 1， l 2 MF 2，所以直线 2，l 1的斜率为 x 0 1 y 0 ，直线 l 2 的斜率为 x 0 1 y 0 所以直线 l 1 的方程为 x0y 1(x y 0 1)，直线 l 2 的方程为 x0y 1(x y 01)， 联立 l 1和 l 2的方程，解得 x 0，yx 021，所以 Nyx 0,，y因为点 M,N 在椭圆 C 上， 由椭圆的对称性，可知 x 02 1yy 0，所以 x 02 y 02 1或 x 022y 01， 由方程组 2 x 0 所以点 M 点睛】 2y 02 y 02的坐标为 x 0 ，解得 y0 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、 题目，通常联立直线方程与椭圆方程， 2 3 x 02 3 ，而方程组 x 2 3 ，而方程组x 20 3 2y 02 y 021 无解 1舍去)，及直线与椭圆的位置关系的综合应用 ,解答此类 应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能 较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数 f (x) ln x ax 2 x 3(a R) . f (x) 的单调区间； 1)当 a 1 时，求函数 2)若函数 f (x) 在区间 (0,1)上有唯一的极值点 x 0，求 a 的取值范围，并证明： f x 0 答案】 1)递增区间是 (0,1) ，递减区间是 (1, ) ；(2) 1, ，见解析 解析】 1)当 a 1 时， 求出函数 f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即 可求得函数 f x 的单调区间； 2)求得 f (x)，令 g(x) 2ax 2x1 ，根据函数 f x 在区间 (0,1) 上有唯一的极值点x0，得出g( x)在(0,1)上有唯一的解，根据g(1) 0求得a的范围，再由由g x020 ，得到2ax02x0 1，结合函数(x) ln x x2的单调性和最值，即可2求解．详解】x，当a 1 时，函数f (x)ln x x 2 3 x.2则f (x)12x 1 x 2x2 x 1(2x x令f (x)0 ，即x 10且x 0，可得0令f (x)0 ，即x 10 ，可得x1.所以当a 1 时，函数f (x) 的单调递增区间是( 2)由函数f (x) ln2x ax x3，则f2记g(x)22ax x1，由题意，函数f (x)1)x因为f (x)在区间(0,1) 上有唯一的极值点x0 ，x1 ，1)(x 1),xln x ax2(x) 1x 0，(0,1) ，单调递减区间是(1,2ax2 2ax根据二次函数的图象分析可知，只需g(1)所以实数a 的取值范围是(1,)，).x 1,x 0 ，又g(0)0 即可，1，g(1)2a 1 1 0 ，解得20 ，可得2ax02x01，所以f x0ln x02ax0又由函数(x)lnxx2可得函数(x)lnx x2所以f x03.2.【点睛】x 0又由g x0lnx0 2，可得(x)x0 1211x2xln xx20 2，2在(0,1) 上单调递增，且(1)32，本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题(含答案)
安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=( )A. {x|x<2}B. {x|−1<x<2}C. {x|x<3}D. {x|−1<x<3}2.已知复数z满足z(2−i)=(1+i)2，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知平面向量a、b满足a=(1,3)，|a−b|=4，则|b|的取值范围是( )A. [2,6]B. [2,23]C. [23,6]D. [1,23]4.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有( )A. 20种B. 40种C. 60种D. 80种5.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率( )A. 0.054B. 0.0535C. 0.0515D. 0.05256.已知直线x+y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有|OA+OB|⩾3| AB|，则实数k的取值范围是( )A. (3,6)B. [2,6)C. [6,22)D. [6,23),g(x)=x2+ax+b，若方程g[f(x)]=0有且仅有5个不相等的整数解，7.已知函数f(x)={x+4x,x>0log2|x|,x<0则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )A. −28B. 28C. −14D. 148.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知x2 +y2=r2(r>0)，求x+y的最大值.我们令x=r cosθ，y=r sinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ).这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知A(x,y)是曲线x3+y3−6xy=0(x>0,y>0)上的点，则x2+y2的最大值为( )A. 12B. 14C. 16D. 18二、多选题：本题共3小题，共15分。
全国18名校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
全国18名校2025届高三六校第一次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+ B ．12 C ．212- D ．214- 2．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x = 3．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )A ．43πB ．16πC ．163πD ．323π 4．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．52 C ．102 D ．235．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．34 D ．22 6．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 10．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C ．-4D ．-311．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．712．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届安徽省合肥一中高三上学期11月阶段性考试数学(理)试题
绝密★启用前2020届安徽省合肥一中高三上学期11月阶段性考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知复数121i i=+-（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．32．设x ∈R 且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===u u u vu uu v u u uv v v v，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=v v v v v v（ ）. A ．3B ．-3C ．32D ．32-4．若,x y 满足约束条件32021010x y x y x y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z y x =-的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．12D ．05．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该多面体的各个面中，是直角三角形的有（ ）…线…………○………线…………○……A．4个B．3个C．2个D．1个6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余1且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}na，那么此数列的项数为（）A．56 B．57 C．58 D．597．已知函数()34f x x x a=-+有三个零点，分别记为1x，2x，3x，且123x x x<<，则（）A．若0a>，则11x>-B．若0a>，则31x x+>C．若0a<，则20x>D．若0a<，则32x>8．在ABC∆中45B=︒，D是BC边上一点，AD=4AC=，3DC=，则BD的长为（）A．1B．1C．1D．1+9．若正数,a b满足111a b+=，则1411a b+--的最小值为（）A．3B．4C．5D．610．已知函数()tan()0,||4f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与直线y a=相交两点的最短距离为2π，则方程()1f x=，[]0,xπ∈，所有实数根的和为（）A．1112πB．56πC．34πD．23π11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)2,0e ⎡-⎣ B ．(],0e - C ．[),0e - D ．(2,0e ⎤-⎦第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题12．已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}|()(3)0,B x x m x m m R =++-≤∈，若[]2,4A B ⋂=，则实数m =___________.13．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________.14．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为PA PB ==三棱锥P ABC -体积最大时，其外接球的表面积为__________. 15．已知数列{}n a 满足：()()1132122n n n a ++=--，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若n T λ<恒成立，则λ的最小值为__________. 三、解答题16．已知函数()2cos cos f x x x x =. （1）求()f x 的对称轴和对称中心；（2）若()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，求实数m 的最大值.17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a λ=-（λ是非零常数）. （1）求数列{}n a 的通项公式（用λ表示）；（2）设22(1)log n n n nb a a =+-，当11a =时，求数列{}n b 的前2n 项和.…………装……………线…………※※请※※不※※要※…………装……………线…………2AB =，1AD AF ==，60BAF ∠=︒，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（1）求证：//PM 平面AFC ；（2）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，222sin sin 1cos cos cos B C A B C λ-=--.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求实数λ的取值范围.20．如题所示的平面图形中，ABCD 为矩形，22AB AD ==，O 为线段CD 的中点，点P 是以O 为圆心，CD 为直径的半圆上任一点（不与,C D 重合），以CD 为折痕，将半圆所在平面CDP 折起，使平面CDP ⊥平面ABCD ，如图2，E 为线段DP 的中点.（1）证明：OE AE ⊥.（2）若锐二面角P AD C --的大小为30°，求二面角A DP B --的正弦值. 21．已知函数()xf x xe -=.（1）判定函数()f x 的单调性；（2）若()()12f x f x =，且()12ln 1x x <+，证明：()22222ln 1xe x x x +>+.参考答案1．D 【解析】 【分析】由已知可得(12)(1)a i i i +=+-，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解. 【详解】12,(12)(1)31a ii a i i i i i+=+∴+=+-=+-Q， 3a ∴=故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数相等的应用，属于基础题. 2．A 【解析】易知当1x >时，12x x +>=成立，又当112x =<时，1522x x +=>，所以“1x >”是“12x x+>”成立的充分而不必要条件.故选A. 3．D 【解析】 【分析】利用向量的数量积即可求解. 【详解】解析：311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-r r r r r r .故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题. 4．B 【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图象即可求解. 【详解】做出可行域，如下图所示，当z y x =-过(0,1)A 时，z 取得最大值为1. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域以及线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】根据三视图，直观图为四棱锥如下图所示，根据垂直关系，即可得出结论. 【详解】将三视图还原直观图如下图所示，为四棱锥P ABCD -， 其中PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,,,PC BC PC CD PBC PCD ∴⊥⊥V V 为直角三角形， ,,,,PC AB BC AB PC BC C PC BC ⊥⊥=⊂Q I 平面PBC ，AB ∴⊥平面,PBC PB ⊂平面PBC ，AB PB ∴⊥，同理,,AD PD PAB PAD ⊥∴V V 为直角三角形，∴四个侧面都是直角三角形.故选:A.【点睛】本题考查三视图还原直观图、线线垂直判定，注意垂直间的转化，属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】能被5除余1且被7除余2的数就是能被35整除余16的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式，即可得到所求项数. 【详解】由能被5除余1且被7除余2的数就是能被35整除余16的数，3519n a n ∴=-，由35192019n a n ∴=-≤，得*858,35n n N ≤+∈，所以此数列的项数为58. 故选:C. 【点睛】本题考查数列应用问题、等差数列的通项，意在考查数学建模、数学抽象、数学计算能力，属于中档题. 7．D 【解析】 【分析】求出()f x 的单调区间，极值，函数有三个零点需极大值大于0，极小值小于0，结合零点存在性定理，逐项判断，即可求出结论. 【详解】()324,()343(f x x x a f x x x x '=-+=-=+，当(,()33x ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>，当(,33x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞，单调递减区间为(，故()f x 的极大值为(f a =，()f x 的极小值为()39f a =-+，()f x 有三个零点，所以(039f a -=+>，且(0,3999f a a =-+<∴-<<， ()34f x x x a =-+有三个零点，分别记为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，得1233333x x x <--<<>选项A 错误；当0a >时，13(2)(2)0,2,2f f a x x -==>∴<-<，130x x +<，选项B 错误；当0a <时，23(0)(2)0,0,2f f a x x ==<∴<>， 选项C 错误，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查函数零点的范围、函数单调性和极值的应用，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 8．C 【解析】 【分析】在ACD V 中，由余弦定理求出角C ，进而得出角A ，结合已知在ABC V 中求出BC ，即可求出结论. 【详解】在ACD V 中，AD =4AC =，3DC =，222169131cos 22432AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯，0180,60,45,75C C B A ︒<<︒∴=︒=︒∴=︒，1sin sin(4530)22224A =︒+︒=⋅+⋅=， 在ABC V 中，sin sin AC BC B A=，sin42sin 4AC A BC B ⋅∴==⨯=+1BD BC CD ∴=-=.故选:C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查数学计算能力，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】先根据已知得出1,1a b --的符号及(1)(1)a b --的值，再根据基本不等式求解. 【详解】 ∵110,0,1a b a b>>+= ；∴1,1,a b a b ab >>+=∴140,011a b >>--∴14411a b +==--… 当且仅当1411a b =--，即3,32a b ==时，等号成立. 故选B. 【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”. 10．A 【解析】 【分析】根据()f x 与直线y a =相交两点的最短距离为2π，求出ω，由图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，求出ϕ，整体代换结合正切值，即可求解. 【详解】()f x 与直线y a =相交两点的最短距离为2π， 周期为,22ππωω==， 函数()tan()0,||4f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称， 5(3)2(),()6226k k k Z k Z ππππϕϕ-⨯+=∈∴=-∈， ||,,()tan(2)466f x x πππϕϕ<∴=-∴=-Q ， []110,,2[,],()1666x x f x ππππ∈-∈-=，264x ππ-=或552,6424x x πππ-=∴=或1724x π=，方程()1f x =，[]0,x π∈，所有实数根的和为1112π.故选:A. 【点睛】本题考查正切函数的性质、简单三角方程，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】先利用导数等式结合条件()01f =求出函数()y f x =的解析式，由()0f x m -<，得()m f x >，转化为函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数m 的取值范围. 【详解】 由等式()()()23xf x ex f x -'=+-，可得()()()23x f x f x e x -'+=+，即()()23x e f x f x x ⎡⎤+=+⎣⎦'，即()()2233x e f x x x x C ''⎡⎤=+=++⎣⎦（C 为常数）， ()23xe f x x x C ∴=++，则()23xx x Cf x e++=，()01f C ∴==， 因此，()231x x x f x e ++=，()()()2223312x xx x x x x f x e e +-+++-=-'=， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，列表如下：函数()y f x =的极小值为()22f e -=-，极大值为()51f e=，且()1f e -=-， 作出图象如下图所示，由图象可知，当0x >时，()0f x >.另一方面()01f =，()33f e -=，则()()03f f <-，由于函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为2-、1-，则有()10m f m ⎧>-⎨≤⎩，解得0e m -<≤，因此，实数m 的取值范围是(],0e -，故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题． 12．2- 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集定义以及[]2,4A B ⋂=，即可求出结论. 【详解】{}2|280[2,4]A x x x =--≤=-，{}|()(3)0,[,3]B x x m x m m R m m =++-≤∈=--+，[]2,4,2,34A B m m ⋂=∴-=-+≥，解得2m =-.故答案为:2-. 【点睛】本题考查集合运算结果求参数，属于基础题. 13．－1 【解析】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?0)2︒︒ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化. 14．654π【解析】 【分析】根据体积公式，结合已知当平面PAB ⊥平面ABC 时，棱锥P ABC -体积最大，根据球的性质，过,ABC PAB V V 的外心分别做平面ABC ，平面PAB 的垂线交于球心O ，根据已知求出,ABC PAB V V 的外接圆的半径，即可求解. 【详解】取AB 中点D ，连,PD CD ，ABC ∆是边长为PA PB ==,,,CD AB PD AB CD PD D AB ∴⊥⊥=∴⊥I 平面PCD ，2,3PD CD ====13P ABC A PCD B PCD PCD V V V AB S ---=+=⋅⋅V1sin 2PD CD CDP CDP =⋅⋅∠=∠≤ 当且仅当sin 1CDP ∠=，即2CDP π∠=时，三棱锥P ABC -体积最大，此时PD CD ⊥，∴PD ⊥平面ABC ，CD ⊥平面PAB ，设,ABC PAB V V 的外接圆圆心分别为,M N ，且,M N 分别在1,,13CD PD MD ==， Rt PAD V 中，sinPD PAD PA ∠==，PAB ∴V 的外接圆半径172sin 224PB PN PAB ===∠，过,M N 分别做平面ABC ，平面PAB 的垂线交于球心O ， 连OP ，且//,//OM PD ON DC ，四边形OMDN 为矩形，71,,44ON MD PN OP ∴======， 外接球的表面积为2654()4S OP ππ=⋅=. 故答案为:654π.本题考查体积的最大值、多面体与球的“接”“切”问题，应用球的性质确定球心位置是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 15．32【解析】 【分析】根据已知求出2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求出通项，用裂项相消求出和n T ，进而求出n T 的范围，即可求出结论.【详解】()()()()111232122,21213n n n n n n a a +++=--∴=--， ()()111232311()221212121n n n n n n na +-+----⋅==-， 2112222311111(1)72123321n n n n n T a a a +=+++=-+-++---L L11313(12)22n +-=-<， n T λ<恒成立，32λ∴≥，λ的最小值为32.故答案为:32.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前n 项和，化简数列通项是解题的关键，属于中档题. 16．（1）()f x 的对称轴为()26n x n Z ππ=+∈，对称中心为1(,)()2122k k Z ππ-∈； （2）3π-. 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和二倍角的正弦，辅助角公式，将()f x 化为正弦型三角函数，整体代换结合正弦函数的对称轴和对称中心，即可求解； （2）整体代换结合正弦函数的性质，即可求解.（1）()2cos cos f x x x x =1112cos 2sin(2)2262x x x π=++=++， 由sin(2)1,2(),()66226n x x n n Z x n Z ππππππ+=±+=+∈=+∈， 由sin(2)0,2(),()66212k x x k k Z x k Z πππππ+=+=∈=-∈， 所以()f x 的对称轴为()26n x n Z ππ=+∈， 对称中心为1(,)()2122k k Z ππ-∈； （2）当3m x π≤≤时，522666m x πππ+≤+≤， ()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，2,623m m πππ+≤-≤-，实数m 的最大值为3π-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.17．（1）12n n a λ-=⋅；（2）2122n n ++-.【解析】 【分析】（1）当111,n a S ==，当12,n n n n a S S -≥=-，即可求出结论；（2）根据（1）中的结论，求出{}n b 通项公式，根据其通项公式，选择求前n 项和方法，即可求解. 【详解】（1）当11111,2,n a S a a λλ===-∴=， 当1112,22,2n n n n n n n n a S S a a a a ---≥=-=-=，110,0,2nn n a a a a λ-=≠∴≠=Q ， {}n a ∴是首项为λ，公比为2的等比数列，12n n a λ-∴=⋅；（2）当11a =时，)2(1)(1nn n b n =--+，1212220212(22)2(21)n n n T n n -=-++++--++-L22222(01)(23)(2221)n n n =+++-++-+++-++-L L2212(12)2212n n n n +-=+=+--.【点睛】本题考查数列前n 项和求通项、求等比数列前n 项和以及分组求数列和，考查计算求解能力，属于中档题.18．（1）证明详见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连OM 交BF 于H ，则H 为BF 中点，连,OP PH ，根据已知可证//PH CF ，//OP AC ，进而证明平面//POH 平面ACF ，即可证明结论；（2）矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，CB AB ⊥，可证CB ⊥平面ABEF ，可得AF BC ⊥，在ABF V 中，由余弦定理求出BF ，推断出222AF BF AB +=，得到AF MF ⊥，可证明AF ⊥平面BCF ，可知ACF ∠为直线AC 与平面CBF 所成角的角，解直角三角形ACF ，即可求出结论. 【详解】（1）连OM 交BF 于H ，则H 为BF 中点，连,OP PH ， 又P 为CB 的中点，//,PH CF CF ⊂平面ACF ，PH ⊄平面,//ACF PH ∴平面ACF ，,O P 分别为,AB CB 的中点，//,PO AC AC ⊂平面ACF ，PO ⊄平面,//ACF PO ∴平面ACF ，,,PO PH P PO PH =⊂I 平面POH ，平面//ACF 平面,POH PM ⊂平面POH ，//PM 平面ACF ；（2）平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ∴⊥平面,ABEF AF ⊂平面ABEF ，CB AF ⊥，又2,1,60AB AF BAF ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos603BF AB AF AB AF =+-⋅⋅︒=，222,,BF AF AB AF BF BF BC B ∴+=∴⊥=I ，AF ⊥平面BCF ，所以ACF ∠为直线AC 与平面CBF 所成角的角，在Rt ACF V 中，sinAF ACF AC ∠===所以直线AC 与平面CBF .【点睛】本题考查线面平行的判定、面面平行的判定以及面面垂直的性质，用几何法求线面角，属于中档题.19．（1）3B π=；（2）0λ<<【解析】 【分析】（1）由已知()2cos cos a c B b C -=，结合正弦定理边化角，利用两角和正弦和诱导公式可得2sin cos sin A B A =，求出cos B ，即可得出结论；（2）由已知可得222sin sin sin sin sin A B C B C λ=+-，根据正弦定理可得，222a b c bc λ=+-，再由余弦定理可得cos 2A λ=，由ABC ∆为锐角三角形，求出角A 范围，即可求解. 【详解】（1）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=， 因为(0,)A π∈，所以1sin 0,cos 2A B ≠=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）由已知条件222sin sin 1cos cos cos B C A B C λ-=--， 可得222sin sin sin sin sin A B C B C λ=+-， 根据正弦定理可得222a b c bc λ=+-，所以222cos 22b c a A bc λ+-==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，所以62A ππ<<，所以0cos 2A λ<<<<，所以0λ<<. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数值求角，属于中档题. 20．（1）证明详见解析；（2. 【解析】【分析】（1）连AP ，由已知可得//OE PC ，点P 在以CD 为直径的半圆上一点，可得PC PD ⊥， 平面CDP ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，可证AD ⊥平面CDP ，得到AD PC ⊥，进而可证PC ⊥平面ADP ，从而有OE ⊥平面ADP ，即可证明结论；（2）AD ⊥平面CDP ，得,,AD DC AD DP CDP ⊥⊥∠为二面角P AD C --的平面角，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,,,C D P B 坐标，以及平面BDP 法向量坐标，由（1）得平面ADP 的法向量为CP u u u r，由空间向量的面面角公式，即可求解. 【详解】（1）连AP ，,O E 分别为线段,CD PD 的中点，//OE PC ∴， 点P 在以CD 为直径的半圆上一点，PC PD ∴⊥，Q 平面CDP ⊥平面ABCD ，平面CDP ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面CDP ，PC ⊂平面,,,,CDP AD PC AD PD D AD PD ∴⊥=⊂I 平面ADP ，PC ∴⊥平面ADP ，OE ⊥平面ADP ，AE ⊂Q 平面ADP ，OE AE ∴⊥；（2）AD ⊥平面,,AD DC AD DP CDP ⊥∴⊥，CDP ∠为二面角P AD C --的平面角，,30,2,PD PC PDC CD PD ⊥∴∠=︒=∴=Q ，过点P 做⊥PN OC ，31,,22DN ON PN ===过点O 在平面CDP 做CD 的垂线，交PD 于M ，则MO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，过O 点与AD 平行的直线，,OC OM 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,1,0),(0,(0,1,0),(1,1,0)2C P D B -，13(0,(1,2,0),(0,22CP DB DP =-==u u u r u u u r u u u r ，设平面BDP 的法向量为(,,)m x y z =u r ，00m DB m DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即203022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，则2,x z =-=，(2,1,m ∴=-u r ，由（1）得平面ADP法向量为1(0,,22CP =-u u u r ，cos ,,22||||m CP m CP m CP m CP ⋅<>===-<>=u r u u u r u r u u u r u r u u u r u r u u u r ， 所以二面角A DP B --的正弦值为2.【点睛】本题考查线面垂直的证明，要注意空间垂直之间相互转化，考查二面角，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算，属于中档题.21．（1）()f x 单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出()f x '，进而求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出结论；（2）()()12f x f x =由（1）得20x >，要证不等式，只需证2222ln(1)1x x x x e+>+，即证22[ln(1)]()f x f x +>，根据()f x 的单调性，只需证122ln(1)x x x <+<，构造函数()ln(1)(0)g x x x x =-+>，即可证明结论.【详解】（1）()(),(1)x x x x f x xe f x e xe e x ----'==-=-，当()0,1,()0,1f x x f x x ''><<>，()f x ∴单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；（2）令()ln(1)(0)g x x x x =-+>，则1()1011x g x x x'=-=>++， 故()g x 在(0,)+∞上是增函数，()(0)0g x g ∴>=，故ln(1)x x >+，又()122ln 1x x x <+<，由()()12f x f x =得121x x <<，且在区间(1,)+∞上()()1212()0,0,01f x f f x x x >=>∴∴<<，若()2ln 11x +≥，则由()f x 在区间(1,)+∞上递减得，222222ln(1)[ln(1)](),1x x x f x f x x e++>∴>+， 若()2ln 11x +<，则由()12ln 1x x <+，且()f x 在(0,1)是增函数，2222122ln(1)()()[ln(1)],1x x x f x f x f x x e+∴=<+∴>+， 化为()22222ln 1x e x x x +>+. 综上可得()22222ln 1x e x x x +>+. 【点睛】本题考查函数的单调性以及应用、证明不等式，分析法构造出函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算的能力，属于较难题.。
安徽省天域全国名校协作体2023-2024学年高三联考数学试题(含答案)
绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是全集U 的非空子集，且U A B ⊆ð，则（）A ．B A⊆B ．U B A⊆ðC ．U U A B⊆ððD ．A B⊆2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且2(42)40x i x ai -+++=有实数根b ，则2||z =（）A.3B.12C.5D.204．已知等边△ABC 的边长为2，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，若2DE EF=，则EF AF ⋅=（）A ．1B ．45C ．65D ．545．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（）A 6B ．5C ．2D 36．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f x +-为奇函数，(31)f x +为偶函数，(1)0f =，则20241()k f k ==∑（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．40488.已知直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 与曲线3:W y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）.A.()10， B.()11-， C.)(11， D.()01，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知由样本数据()i i x y ，（12310i = ，，，，）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点(51)--，后，得到新的回归直线经过点(64)-，．则下列说法正确的是A ．相关变量x y ，具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)-，D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小10．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(,)M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A ．ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()()2f f θθ+≥C ．若()()f g θθ=2，则3sin 25θ=D ．()()f g θθ是周期函数11．如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中PS =1，则下列关于该几何体叙述正确的是A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A-PB-C 的余弦值为13-D.该几何体为三棱柱非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_________．13.已知偶函数()()ϕω+=x x f sin ()0>ω的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π中心对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上单调，则ω=.14．若实数y x ,满足2522=+y x ，则y x y x 68506850-++++的最大值为_________16.（15分）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。
(全国I卷)2020届高三数学五省优创名校联考试题 理
2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个B．2个C．3个D．无穷个2．34i34i 12i12i +--= -+A．－4B．4C．－4iD．4i3．如图1为某省2020年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2020年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2020年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2020年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2020年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2020年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．4643π-B．64－4πC．64－6πD．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ 于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．2 2B．1 2C．1 3D．1 48．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD的表面积是________．15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．16．已知双曲线C：22221 x yab-=（a＞0，b＞0），圆M：222()4bx a y-+=．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当22224149aaa b-+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题．17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，且S n＝na n＋1－n2－n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足22121(1)nnnbn a++=-，求{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22()23sina cb ab C+=+．（1）求B的大小；（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为33，求a．19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且CE CSλ=u u u r u u u r．（1）若23λ=，证明：BE⊥CD；（2）若13λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,2x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++L ．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 222ac B ac =⋅=ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD u u u r的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0），所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0,1,2)SB =-u u r ，(2,0,2)SD =-u u u r ．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u rn n ， 所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||2174sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===u u u ru u u r u u u r n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．又()1bg xx'=+，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，11 ()1xg xx x-'=-=，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x ＋1．下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝e x－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝e x－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以e x－（e－2）x－1≥x2．由于x＞0，所以e(e2)1x xxx---≥．又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，e(e2)11lnx xx xx---+≥≥，所以e x－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即e x－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．22．解：（1）将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即221 4816x y+=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。
安徽省十大名校2024学年全国新高三开学联考数学试题试卷
安徽省十大名校2024学年全国新高三开学联考数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅= A ．32-B ．152 C ．32 D ．152- 2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．234．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．5006．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ） A ．26B ．25C ．6 D ．87．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．79．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 10．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-511．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( )A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥ 12．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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安徽名校高三第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．设全集U =Z ,集合{1,2}M =与{|2,}P x x x =<∈Z 关系的 韦恩()venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合为( ).A. {2,1,0}--B. {0,1}C. {0,1,2}D. {1,0}- 2．命题“2,0x R x x ∃∈-<”的否定是( )A. 2,0x R x x ∃∈-≥ B. 2,0x R x x ∃∈-> C. 2,0x R x x ∀∈-≥ D. 2,0x R x x ∀∈-<3．等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ，若75a =，721S =，那么10S 等于( ) A. 55 B. 40 C. 35 D. 70 4．=+-⎰-dx x x )1(112（ ）A ．π B.2πC.1+πD.1-π 5．在ABC ∆中, ο60=A,a b ==则B 等于 ( )A.ο45或ο135B. ο135C. ο45D.0306．设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值是( )A. 1-B. 4C. 2D. 12-7．函数x y 2sin =的图像经过怎样的平移变换得到函数)23sin(x y -=π的图像 （ ）A ．向左平移32π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度8. 如图是函数)(x f 的图像，则)(x f 的导函数的图像可能是（ ）A B C D 9．对于定义在实数集R 上的函数()f x ，若()f x 与)2(+x f 都是偶函数，则( ) A (1)f x -为偶函数 B.)1(+x f 为奇函数 C.)2(-x f 为偶函数 D.)3(+x f 为奇函数10．设⎩⎨⎧-=-)1(3)(x f x f x(0)(0)x x ≤> ， 若a x x f +=)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C.]2,(-∞D.)2,(-∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数)(x f 满足221)1(xx x x f +=+，则=)2(f 12.已知0,0>>y x ，若1=+y x ，则yx 41+的最小值是 13. 如图①②③…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n 个图案中花盆数n a =(3)(2)(1)14.在ABC ∆中，2=AC ，若O 为ABC ∆的外心，则=⋅ 15.设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若αββα//,,l l 则⊥⊥②若βαβα⊥⊥则,//,l l③若αα//l l 的距离相等，则上有两点到 ④若βγγαβα⊥⊥则,//,其中正确的命题序号是三、解答题（本答题共6小题，共75分）16．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等比数列，且53cos =B （1）求C CA A sin cos sin cos +的值； （2）设=⋅BC BA 3,求c a +的值。
17．（12分）已知向量a ))cos(),sin(2(θωθω++-=x x ，b ))cos(32),(cos(θωθω++=x x,0(>ω))0,2(πθ-∈，函数=)(x f a ·b 3-，且)(x f 的图像上的点)3,0(A 处的切线斜率为2（1） 求ω和θ的值；（2） 求函数)(x f 的单调区间。
18. （12分）上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元,且]200,0(,101510002∈++=x x x P ,而每套售出价格为Q 元,其中，，5000(>+=a b xaQ )5>b ,问:⑴该玩具厂生产多少套吉祥物时,使得每套成本费用最低？⑵若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家所获利润最大?19. （13分）在多面体ABCDEFG 中，底面ABCD是等腰梯形，422===BC AB AD ,ED GC AF ////且ED GC AF ==，ABCD AF 底面⊥，2=AF ，H 是棱EF 的中点（1）证明：平面⊥ACH 平面CDE ；（2）求平面FGB 与底面ABCD 所成锐二面角的正切值。
DEFH20. （13分）已知函数e R a x a x x f ,)(2()2ln()(∈-+-=是自然对数的底） （1）求)(x f 的单调区间；（2）当0>a 时，若方程0)(=-b x f 在区间)2,2[ae-上有两个不同的实根，求证： a b a e ln 1ln 1--<≤--。
21. （13分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且对任意*N n ∈都有)1(2-=n n a S ，记nnnS n f ⋅=23)( （1）求n a ；（2）试比较)1(+n f 与)(43n f 的大小； （3）证明：3)12()2()1()()12(<-+⋅⋅⋅++≤-n f f f n f n 。
理科答案一、选择题1-5 DCBBC 6-10 ABACD 二、填空题11. 2 12. 9 13. 1332+-n n 14. 2 15. ②④ 三、解答题16.解（1）由已知ac b =2，由正弦定理得C A B sin sin sin 2=………………………3分 由53cos =B ，则54sin =B C A B C A C A C A A C A C C C A A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos =+=+=+45sin 1==B …6分 (2)由3=⋅，得5=ac …………………………………………………………8分 由余弦定理：532222⨯-+=ac c a b …………………………………………………10分 21)(2=+∴c a21=+∴c a …………………………………………………………………...12分17.解：①由已知3)(cos 32)cos()sin(2)(2-++++-=θωθωθωx x x x f）θωθω22cos(3)22sin(+++-=x x )3222sin(2πθω++=x …………………………………………2分 由点)3,0(A 在)(x f 的图像上及6)0,2(πθπθ-=-∈得……………… …4分由1,2)0()3222cos(4)(''==++=ωπθωω得及f x x f … …………………6分 ②由①)32sin(2)(π+=x x f 由复合函数得单调性知)(x f 得单调递增区间满足：223222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈ …………………………………8分12125ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈………………………………………………10分 ∴)(x f 单调递增区间是)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ…………………………12分DEF H18.解：（1）xxx xP210151000++=……………………………………………………2分255101000≥++=x x （当且仅当100=x 时，取等号）∴生产100万套时，每套成本费用最低………………………………………………..4分（2）由题设，利润1000)5(101)10151000()()(22-+-+-=++-+=a x b x x x x b x a x f ，]200,0(∈x ………………………………………………………………………………7分当200)5(5≤-b ，即45≤b 时，100)5(25)]5(5[)(2max ++-=-=a b b f x f ∴当产量为255-b 万套时，利润最大…………………………………………………10分当45>b 时，函数)(x f 在]200,0(上是增函数，∴当产量为200万套时，6000200)(max -+=a b x f ………………………………12分19．（1）在等腰梯形ABCD 中，CD AC ADC CD AD ⊥∴=∠=,60,2οΘ………3分 又⊥AF 底面ABCD ，∴,//CG AF 面⊥CDEG 面ABCD ，⊥∴AC 面CDE⊆AC Θ面ACH ，∴面⊥ACH 面CDE ………………………………………………6分（2）过G 作GN//BC 且GN=BC ，则面GFN//面ABC,且梯形GEFN 与梯形ABCD 全等， 则二面角B-FG-N 的正切值即为所求………………………………………………….9分 取FG 的中点O ，连结NO,BO,.NFG ∆Θ是等腰三角形，FG NO ⊥∴ 由三垂线定理知BON BO FG ∠∴⊥,即为所求二面角的平面角……………………12分 在等腰三角形NFG 中，,121==EG NO 故所求锐二面角的正切值为2。
……… 13分（建立坐标系的解答可参考给分）20. 解：（1）)2(21221)('<-+-=+-=x x a ax a x x f ……………………………………..2分 ① 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f ∴是减函数……………………………………………4分 ② 当0>a 时，)12,(a x --∞∈，0)('>x f ；)2,12(ax -∈时，0)('<x f此时，)(x f 的单调增减区间分别为)12,(a --∞，)2,12(a -……………………………6分 （2）0>a Θ，由（1）知11ln )12()(max -=-=aa f x f ………………………………8分当)2,12[a x -∈时，)(x f 的值域是]11ln ,(--∞a………………………………………10分由图像可知，当)12()2(a f b a e f -<≤-时，即11ln ln -<≤-ab e a e 时，函数)(x f y =与函数b y =的图像有两个交点，即当a b a e ln 1ln 1--<≤--时，方程b x f =)(有两个不同解。
…………………………13分21.解：（1）当n=1时,由)1(2111-==a a S ,得21=a 当1>n 时，1112,22---=∴-=-=n n n n n n n a a a a S S a)1(2>=∴n a n n n=1适合上式n n a 2=∴…………………………………………………………………………………3分（2）∵2221)21(21-=--=+n n n S ∴)22(2343)22(23)(43)1(1211---=-+++++n n nn n n n f n f 0)221121(232121<---=++++n n n n ∴)(43)1(n f n f <+…………………………………………………………………6分 （3）)22(23)22(23)2()(12221-+-=-++---+k n k n kn k k k k n f k f )22)(22(1)23(2121--⋅≥+-+k n k n而)22(42)22)(22(22222121+-+++-++-+=--k n k n k n k2122222)22(22242-=⋅-+≤++-++n k n k n …………………9分∴)22(23)22(23)2()(12221-+-=-++---+k n k n kn k k k k n f k f )22)(22(1)23(2121--⋅≥+-+k n k n),3,2,1(),(2221)23(21Λ==-⋅⋅≥+k n f n n∴ )(2)12()1(n f n f f ≥-+ )(2)22()2(n f n f f ≥-+ ……)(2)1()12(n f f n f ≥+-相加得 1),()12()12()2()1(=-≥-+++n n f n n f f f Λ时取等号。