等差数列前n项和的最值求解方法

等差数列前n 项和的最值求解方法

例1 设等差数列{n a }的前n 项和为n s

，已知3a =12，12s >0,130s <,

(1)求公差d 的取值范围；

（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由.

解析 （1）由3a =12，得：1a +2d=12,即1a =12-2d, 由12s >0，得：121a +

12*1102d >，所以d>-247

, 由130s <,得：131a +13*1202

d <，所以d<-3, 因此，d 的取值范围为（-247,-3）. (2)解法一：1(1)n a a n d =+-

=12-2d+(n-1)d

=12+(n-3)d

令0n a >，得：n<3-

12d , 由（1）知：247-

<-<， 又*n N ∈,故由等差数列的单调性可知：当6n ≤时，0n a >；

当n>6时，0n a <，因此，6s 最大.

解法二：由题意可得：n S =n 1a +(1)2n n d -=n(12-2d)+22n n d - =25(12)22

d n d n +- 显然d ≠0, n S 是关于自变量n 的二次函数，

由（1）知：d<0,

二次函数的图像抛物线的对称轴为n=

5122d -, 由（1）知：2437

d -<<-，

所以6<5122d -<132

, 又因为n *N ∈,

故当n=6时，n S 最大，

即6s 最大.

例2 已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a =

-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.

分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系；

②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.

解 1n a +=1n s +-n S =2112)8n a ++（-212)8n a +（，

即81n a +=（1n a ++22）-（n a +22），

所以（1n a +-22）-（n a +22

）=0，

即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0，

因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0， 所以1n a +-n a =4，

因此等差数列{n a }的公差大于0.

1a =1s =2112)8

a +（,解得1a =2. 所以n a =4n-2,则1302

n n b a =-=2n-31. 即数列{n b }也为等差数列且公差为2.

由

23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122

n ≤≤，

因为n *N ∈，所以n=15,

故{n b }的前15项为负值，

因此15s 最小，

可知1b =-29，d=2,

所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为 15s =1529215312

-+⨯-（）=-225. 小结：若{n a }是等差数列，求前n 项和的最值时：

① 若1a >0,d<0,当满足100{n n a a +≥≤时，前n 项和n S 最大；

② 若1a <0,d>0,当满足100{n n a a +≤≥时，前n 项和n S 最小；

除以上方法外，还可将{n a }的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用n S 与n 的函数关系，进行求导数求最值.