流体力学教案第5章流体漩涡运动基础

第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。

k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。

下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。

涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。

(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。

与流线一样，涡线本身也不会相交。

取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。

类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。

涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。

四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。

通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。

AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。

则速度环量：⎰⎰⎰++==⋅=B AB AB AAB z w y x u s V s V Γd d d d cos d υα其中：k w j i u V ++=υ，k z j y i x sd d d d ++=若A 与B 重合，便成了封闭曲线，则：⎰⎰⎰++==⋅z w y x u s V s V Γk k d d d d cos d k υα＝ 环量的正向为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧，即逆时针方向速度环量为“+”B§5-2 斯托克斯定理斯托克斯定理：当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。

通过该周线的包围面积的涡通量即：⎰A Γn d 2A ω＝ (1) 证：先证微元封闭周线的斯托克斯定理，如图所示，在XY 平面取一微元矩形封闭周线，其边长为d x 、d y 则沿封闭周线的速度环量DA CD BC AB ABCDA d ΓΓΓΓΓΓ+++==其中： y x x x u u u ΓB A d )(21d )d (21AB υυ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++=y y y x x x x Γd )d d (d 21BC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+υυυυυ）（＝ x y y u u y y u x x u u Γd )d ()d d 21CD ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++∂∂+∂∂+-（＝ ()2DA d 21d d )d (21y y y y y y Γ∂∂--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+-=υυυυυ J A y x yux v ΓΓz d d 2d d )(d A B C D A ==∂∂-∂∂==ω J A y x yux ΓΓz d d 2d d )(d ABCDA ==∂∂-∂∂==ωυx xxu d ∂∂y yux x u d d ∂∂+∂∂y yx d d ∂∂+∂+υυυ∂υ这就证明了对于微无封闭周线的斯托克斯定理，即：沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包周面积内的涡通量。

下面将斯托克斯定理推广到平面上有限大小的周线K 上去，如图所示：将曲线K 所包围的面积用两组互相垂直的直线(分别平行于X ，Y 轴)分割成无数的无穷小矩形，则对每一微元面积必有A Γz d 2d ω=对整个有限区域，则∑∑=A Γz d 2d ω 又：外边内边∑∑∑+=ΓΓΓd d d而对K 的周线内部，相邻两微元矩形的公共周线上其速度环量大小相等，方向相反，互相抵消。

对每一微元矩形应用斯托克斯定理时，其公共周线上的速度环量要计算两以，其环量方向正好相反，数互相消！ 故0d ＝内边∑Γ而对外边取极限时(即矩形无限细分时)，多微小矩形的外边即以周线K 为极限。

例如对A 1，A 2两微元面积得公共边，设υ向上为“+”。

则对A 1，呈逆时针环量为“+”，对A 2呈顺时针环量为“-”则有∑⎰∑==→→Ki i ΓΓΓd d d lim lim 0A 0A 外边⎰A Γn d 2A ω＝这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。

以上定理仅适用于单连通XO域。

上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。

与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点，而不越出流体的边界。

或：不经过区域外的点。

对多连通域，则先将多连域化为单连域因为假设速度方向是A →B ，则AB Γ为“+”，而A B '→'时，速度方向与环量规定的正向相反，故A B ''Γ为“-”。

A K AB K B AB A K A B K AB 1212A B ΓΓΓΓΓ''''''+++＝⎰=-A ΓΓn d 2A K K 21ω＝ 这就是多连通域的斯托克斯定理。

推而广之，对存在多个洞的多连域则有：⎰∑=-A ΓΓn d 2A K K 21ω 即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。

显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。

环量不等于零，必然存在旋涡。

用速度环量来研究旋涡运动的优点如下：1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身；2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数；3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一些，这就是斯托克斯定理的用处。

1§5-3 涡管强度守恒定理为了进一步研究旋涡运动的性质，这一节我们来讨论通过涡管的涡通量。

某一时刻在涡量场中任取一段涡管，如图5-9所示。

在涡管上任取二个截面A 1和A 2，现在我们来分析一下通过由截面A 1、A 2及它们之间的涡管壁面A 3所组成的封闭曲面的涡通量。

对于A 1、A 2及A 3组成的封闭曲面A ，321d d d d 321A n ΩA n ΩA n ΩA n ΩJ A A A A⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅=(1)其中，n均为曲面外法线方向的单位向量。

在涡管截面A 1上，涡量的方向与A 1的外法线方向相反；在涡管截面A 2上，涡量的方向则与A 2的外法线方向相同，而在涡管壁面A 3上，根据涡管的定义，0=⋅n Ω，所以，21d d 21A n ΩA n ΩA A ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅ 或 常数=⋅⎰⎰A n ΩAd(2)式(2)表明，同一时刻，沿同一涡管各截面的涡通量不变，即涡管通量守恒。

由于通常又把涡管的涡通量称作涡管强度，简称涡强，因此式(2)又称为涡管强度守恒定理。

对于同一截面上各点涡量都相同的均匀涡管，涡管强度守恒定理可表示为:常数=⋅=⋅1112A ΩA Ω (3)由涡管强度守恒定理可以得出下列结论(1)(2)涡管的产生或消失只可能在两种情况下发生，第一种情形是涡管的截面积在流体中趋于零，但此时涡量将趋于无穷大，这在物理上显然是不可能的，如图5-10所示。

第二种情形是涡管在流体中突然中断或发生，这也是不可能的。

倘若我们在流体中作一封闭曲面，将涡管发生的管头或中止的管尾包围在其中，可见，此时进入该封闭曲面的涡通量将不等于流出该封闭曲面的涡通量，则通过整个封闭曲面的涡通量将不为零，这与涡通量公式是相矛盾的，进而也与涡量连续性方程式相矛盾，困此涡管不能在流体中中断或发生。

既然涡管不能在流体中产生或消失，因此它只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其首尾搭在固体壁面或自由液面上，或延伸至无穷远处。

(3) 绕涡管壁面一周的任一封闭曲线的速度环量为常数，即常数=k Γ (4)§5-4 旋涡的保持性定理一、凯尔文(Kelvin)定理所谓流体质点线是指在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点组成的流体线。

若流体质点线处处可微，则称为连续流体质点线。

连续的流体质点线在运动过程中随质点的运动而移动，其几何形状可能改变，但仍保持连续，即连续的流体质点线具有保持性。

在凯尔文定理中，我们讨论的就是封闭的连续流体质点线。

凯尔文定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任意一条封闭流体质点线的速度环量不随时间变化。

即 0d d =tΓ正压性流体――通常),(T p f =ρ，若ρ仅是压力的函数 即)(p f =ρ，则为正压性流体。

例如：在等温流体中const =ρp等熵过程中const =kp ρ，均是正压性流体。

注：定理中，“任何由流体质点所组成的封闭周线”，在运动过程中，可改变其几何形状，但仍由同一组流体质点组成。

凯尔文定理证明如下：在空间任取由流体质点所组成的封闭周线L ，则速度环量⎰⎰++=∙LLd d d d z w y x u s V Γυ＝要证明0d d =tΓ则 ⎰++=z w y x u t t ΓL d d d d d d d υ⎰++=)d d d (d dz w y x u tL υ 因为是对坐标积分，数可把t d d移入积分号内，不影响计算结果。

其中：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=w w z t w z w t y t y t u u x t u x t u x t u x u t d d d d )d (d dd d d d )d (d dd d d d )d (d d d d d )d (d dυυυυ 把上式代入积分则：()⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=w w u u z t w y t x t ut Γd d d d d d d d d d d d d d L υυυ 将欧拉方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-∂∂-∂∂-z p f tw y pf t x pf t u z y x ρρυρ1d d 1d d 1d d ＝　＝＝ 代入上式 得：()⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-++=2d d d d 1d d d d d 2L V z z p y y p x x p z f y f x f t Γz y x ρ ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=F F P V V P ππ2d 2d d d 2L 2L ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02d 2L F P V π＝ 这里由于V 、π、P F 都是x 、y 、z 、t 的单值连续点数，所以沿封闭周线的积分为零即，0d d =tΓ，t Γcons = 证毕。