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D4 ={18,19,20,21,22,23,24}， m4的基数为7；
3
2.1 关系模型的基本概念
2、笛卡尔积(Cartesian Product) 设有一组域D1，D2 ，…，Dn ，这些域可以部分或者全部相 同。域D1，D2 ，…，Dn的笛卡尔乘积定义为如下集合：
D1×D2 × …× Dn={（ d1，d2，…dn ）| ，di∈Di ，i=1，2，…，n}
12
2.4关系代数
③ 连接：从两个关系表中按一定的条件分别选取其中的若 干属性，形成新的关系。 一般的连接运算是从行的角度进行运算。自然连接还 需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
13
2.4关系代数
θ 连接：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组。 等值连接：当θ 为“=”时的θ 连接。 自然连接：是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进 行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重 复的属性去掉。
5
2.1 关系模型的基本概念
⑤外码：若有关系R和S，F是关系R的一个或一组属性，但 不是关系R的候选码。如果F与关系S的主码K相对应，则称 F是关系R的外码，关系R称为参照关系，关系S称为被参照 关系或目标关系。 ⑥关系的5条性质： 每一列中的分量必须是同一类型的数据 属性名不能重复 行列的顺序无关 任何两个元组的值不能完全相同 域的集合 依赖关系集合 关系名 每个分量不可再分 ⑦关系模式（Relation Schema）： R（U，D，dom，F）
3、关系数据结构
①关系：笛卡尔积D1×D2 × …× Dn的子集称为域上的关系， 表示为R(D1，D2 ，…，Dn )，其中R为关系名，n是关系的 目或元或度。当n=1是，称为单元关系；当n=2时，称为2元 关系，当n=m时，称为m元关系。
关系中的每一个元素为(d1，d2，…dn )，称为一个n元组，简称元组。
性别 男 男 性别 男 男 女
学历 硕士研究生 博士研究生
表9：π姓名性别（R1）
张三 李四 王君
表10：R1
姓名 张三 张三 李四 王君 王君
∞
教职工号 101 101 102 103 103
S
性别 男 男 男 女 女 学历 硕士研究生 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生 教职工号 101 101 102 103 103 课程名称 操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构 学分 3 3 2 4 3
20
关系R
A B C B
关系S
C
a1
a2 a3 a1 a4 a2 a1
b1
b3 b4 b2 b6 b2 b2
c2
c7 c6 c3 c6 c3 c1
b1
b2 b2
c2
c1 c3
R÷S
A a1
除法运算是一个非 传统的集合运算，若把 广义笛卡尔乘积看作是 正运算，这个运算可以 看作是它的逆运算
第2章
关系数据库的模型
6
属性名集合
映象集合
2.2 关系的完整性
关系完整性是为保证数据库中数据的正确性和相容性， 对关系模型提出的某种约束条件或规则。完整性通常包括 域完整性，实体完整性、参照完整性和用户定义完整性， 其中域完整性，实体完整性和参照完整性，是关系模型必 须满足的完整性约束条件。 1、域完整性：域完整性是保证数据库字段取值的合理性， 是最简单、最基本的约束。 2、实体完整性：是指关系的主关键字不能重复也不能取 “空值”（NULL）。 3、参照完整性：是定义建立关系之间联系的主关键字与外 部关键字引用的约束条件。 4、用户定义完整性：
2
2.1 关系模型的基本概念
1．域（Domain）：具有相同数据类型的值的集合称为 域，用D表示。域中所包含的值的个数称为该域的基 数，用m表示。在关系中就是用域来表示属性的取值
范围。
例：D1={张兵，李元，王君}，的基数m1为3； D2 ={男，女}， m2的基数为2；
D3 ={中共党员，共青团员，群众}， m3的基数为3；
14
姓名
教职工号
101 102 103
性别
男 男 女
学历
硕士研究生 博士研究生 硕士研究生
表1：教职工基本信息表R1
张三 李四 王君
姓名
教职工号
106 107 103
性别
男 男 女
学历
硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 学分 3 3 2
表2：教职工基本信息表R2
王五 陈六 王君 教职工号 101
课程名称 操作系统 数据结构 数据库原理
表3：教师授课信息表S
101 102
103
103
C程序设计
数据结构
4
3
表4：R1∪ R2
姓名 张三 李四 王君 教职工号 101 102 103 性别 男 男 女 学历 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生
王五
陈六
106
107
男
男
硕士研究生
硕士研究生
表5： R1- R2
姓名 教职工号 性别 学历
张三
8
2.4关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言。关系代数的 运算是关系，其运算结果也是关系。
1、传统的集合运算 ① 并（Union）：设关系R和S具有相同的目n，且相应的属 性取自同一个域，则关系R和S的并由属于R或属于S的元组 构成，其结果关系仍为n目关系。即： R∪S={t|t∈R∨t∈S} ② 差（Different）：设关系R和S具有相同的目n，且相应 的属性取自同一个域，则关系R和S的差由属于R但不属于S 的元组构成，其结果关系仍为n目关系。即： R-S={t|t∈R∧﹁t∈S}
9
2.4关系代数
③ 交（Intersection）：设关系R和S具有相同的目n，且相 应的属性取自同一个域，则关系R和S的交由既属于R又属 于S的元组构成，其结果关系仍为n目关系。即： R∩S={t|t∈R∧t∈S} ④ 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）：两个分 别为n和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列 的元组集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是 关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系 R和S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
103
101 101 102 103 103 101 101 102 103 103
数据结构
操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构 操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构
3
3 3 2 4 3 3 3 2 4 3
表8：σ性别=‘男’（R1）
姓名 张三 李四
教职工号 101 102 姓名
④ 除法：设被除关系R为n关系，除关系S为m关系，那么 它们的商为n-m关系，即：R÷S。对于S中的每个元组，如 果都能在R中找到一个元组，它们分别与S中的元组在属性 上对应相等，且在剩余属性上的值也对应相等，则其中任 何一个元组的剩余属性就形成了结果关系中的一个元组。 除运算是同时从行和列的角度进行运算
wk.baidu.com操作系统
数据结构 数据库原理 C程序设计
3
3 2 4
张三
李四 李四 李四 李四 李四 王君 王君 王君 王君 王君
101
102 102 102 102 102 103 103 103 103 103
男
男 男 男 男 男 女 女 女 女 女
硕士研究生
博士研究生 博士研究生 博士研究生 博士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生
7
2.3 关系操作
关系模型中常见的操作包括：查询、更新。 1、查询操作：是关系操作中最主要的部分，包括 选择（Select）、投影（Project）、连接（Join）、 除（Divide）、并（Intersection）、差（Different） 和笛卡尔积（Cartesian Product） 2、更新操作：包括增加（Insert）、删除（Delete） 和修改（Update）。 关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对 象和结果都是集合。
R1教职工号= S教职工号
表11：R1∞ S
姓名
张三 张三 李四 王君 王君
教职工号
101 101 102 103 103
性别
男 男 男 女 女
学历
硕士研究生 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生
课程名称
操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构
学分
3 3 2 4 3
2.4关系代数
李四
101
102
男
男
硕士研究生
博士研究生
表6： R1∩ R2
姓名 教职工号 性别 学历
王君
103
女
硕士研究生
表7：R1× S
姓名 教职工号 性别 学历 教职工号 课程名称 学分
张三
张三 张三 张三
101
101 101 101
男
男 男 男
硕士研究生
硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生
101
101 102 103
思考题： 设有关系R1、R2和S如下所示：请计算R1∪R2，R1-R2， R1∩R2，R1×S，πB, C (R1)，σB<‘5’(R1)，R1 ∞ S， R1∞S。
R1.C<S.C
关系R1
A 3 B 6 C 7 A 3
关系R2
B 4 C 5
关系S
C 7 D 5
2
7 4
5
2 4
7
3 3
7
2
3
5
2
4
3
第2章
重点概念：
关系数据库的模型
关系的概念
关系的候选码、主码、全码和外码
关系模型的完整性 关系的并、交、差、笛卡尔积等传统集合运算 关系的选择、投影、连接等专门的关系运算
1
2.1 关系数据结构
关系数据结构就是关系数据模型的数据结 构，刻画关系数据结构就是要定义关系。从本 质上来讲，关系是一个数学概念，具体说，是 一个集合论中的概念，因此，从集合论的角度 给出关系数据结构的形式化定义就是十分容易 的事情了。
10
2.4关系代数
1、基本操作 ① 选择：从一个关系表中找出满足一定条件的所有元组。 选择运算是从行的角度进行的运算。
11
2.4关系代数
② 投影：从一个关系表中选择所需要的若干属性，构成一 个新的关系表。 投影运算主要是从列的角度进行运算，且投影之后不 仅取消了原关系中的某些列，还可能取消某些元组（避免 重复行）
22
4
2.1 关系模型的基本概念
三类关系： 基本表：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示 查询表：从基本表中查询出的结果对应的表 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表 ②候选码（Candidate key）：若关系中的某一属性组能唯 一的标识一个元组，则称该属性为候选码，关系至少包含一 个候选码。 ③主码（Primary key） ：若一个关系有多个候选码，则选 定其中一个为主码。 ④全码（All-key）：在最简单的情况下，候选码只包含一 个属性。在最极端的情况下，关系模式的所有属性组是这个 关系模式的候选码。
3
2.1 关系模型的基本概念
2、笛卡尔积(Cartesian Product) 设有一组域D1，D2 ，…，Dn ，这些域可以部分或者全部相 同。域D1，D2 ，…，Dn的笛卡尔乘积定义为如下集合：
D1×D2 × …× Dn={（ d1，d2，…dn ）| ，di∈Di ，i=1，2，…，n}
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2.4关系代数
③ 连接：从两个关系表中按一定的条件分别选取其中的若 干属性，形成新的关系。 一般的连接运算是从行的角度进行运算。自然连接还 需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
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2.4关系代数
θ 连接：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组。 等值连接：当θ 为“=”时的θ 连接。 自然连接：是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进 行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重 复的属性去掉。
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2.1 关系模型的基本概念
⑤外码：若有关系R和S，F是关系R的一个或一组属性，但 不是关系R的候选码。如果F与关系S的主码K相对应，则称 F是关系R的外码，关系R称为参照关系，关系S称为被参照 关系或目标关系。 ⑥关系的5条性质： 每一列中的分量必须是同一类型的数据 属性名不能重复 行列的顺序无关 任何两个元组的值不能完全相同 域的集合 依赖关系集合 关系名 每个分量不可再分 ⑦关系模式（Relation Schema）： R（U，D，dom，F）
3、关系数据结构
①关系：笛卡尔积D1×D2 × …× Dn的子集称为域上的关系， 表示为R(D1，D2 ，…，Dn )，其中R为关系名，n是关系的 目或元或度。当n=1是，称为单元关系；当n=2时，称为2元 关系，当n=m时，称为m元关系。
关系中的每一个元素为(d1，d2，…dn )，称为一个n元组，简称元组。
性别 男 男 性别 男 男 女
学历 硕士研究生 博士研究生
表9：π姓名性别（R1）
张三 李四 王君
表10：R1
姓名 张三 张三 李四 王君 王君
∞
教职工号 101 101 102 103 103
S
性别 男 男 男 女 女 学历 硕士研究生 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生 教职工号 101 101 102 103 103 课程名称 操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构 学分 3 3 2 4 3
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关系R
A B C B
关系S
C
a1
a2 a3 a1 a4 a2 a1
b1
b3 b4 b2 b6 b2 b2
c2
c7 c6 c3 c6 c3 c1
b1
b2 b2
c2
c1 c3
R÷S
A a1
除法运算是一个非 传统的集合运算，若把 广义笛卡尔乘积看作是 正运算，这个运算可以 看作是它的逆运算
第2章
关系数据库的模型
6
属性名集合
映象集合
2.2 关系的完整性
关系完整性是为保证数据库中数据的正确性和相容性， 对关系模型提出的某种约束条件或规则。完整性通常包括 域完整性，实体完整性、参照完整性和用户定义完整性， 其中域完整性，实体完整性和参照完整性，是关系模型必 须满足的完整性约束条件。 1、域完整性：域完整性是保证数据库字段取值的合理性， 是最简单、最基本的约束。 2、实体完整性：是指关系的主关键字不能重复也不能取 “空值”（NULL）。 3、参照完整性：是定义建立关系之间联系的主关键字与外 部关键字引用的约束条件。 4、用户定义完整性：
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2.1 关系模型的基本概念
1．域（Domain）：具有相同数据类型的值的集合称为 域，用D表示。域中所包含的值的个数称为该域的基 数，用m表示。在关系中就是用域来表示属性的取值
范围。
例：D1={张兵，李元，王君}，的基数m1为3； D2 ={男，女}， m2的基数为2；
D3 ={中共党员，共青团员，群众}， m3的基数为3；
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姓名
教职工号
101 102 103
性别
男 男 女
学历
硕士研究生 博士研究生 硕士研究生
表1：教职工基本信息表R1
张三 李四 王君
姓名
教职工号
106 107 103
性别
男 男 女
学历
硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 学分 3 3 2
表2：教职工基本信息表R2
王五 陈六 王君 教职工号 101
课程名称 操作系统 数据结构 数据库原理
表3：教师授课信息表S
101 102
103
103
C程序设计
数据结构
4
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表4：R1∪ R2
姓名 张三 李四 王君 教职工号 101 102 103 性别 男 男 女 学历 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生
王五
陈六
106
107
男
男
硕士研究生
硕士研究生
表5： R1- R2
姓名 教职工号 性别 学历
张三
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2.4关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言。关系代数的 运算是关系，其运算结果也是关系。
1、传统的集合运算 ① 并（Union）：设关系R和S具有相同的目n，且相应的属 性取自同一个域，则关系R和S的并由属于R或属于S的元组 构成，其结果关系仍为n目关系。即： R∪S={t|t∈R∨t∈S} ② 差（Different）：设关系R和S具有相同的目n，且相应 的属性取自同一个域，则关系R和S的差由属于R但不属于S 的元组构成，其结果关系仍为n目关系。即： R-S={t|t∈R∧﹁t∈S}
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2.4关系代数
③ 交（Intersection）：设关系R和S具有相同的目n，且相 应的属性取自同一个域，则关系R和S的交由既属于R又属 于S的元组构成，其结果关系仍为n目关系。即： R∩S={t|t∈R∧t∈S} ④ 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）：两个分 别为n和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列 的元组集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是 关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系 R和S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
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101 101 102 103 103 101 101 102 103 103
数据结构
操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构 操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构
3
3 3 2 4 3 3 3 2 4 3
表8：σ性别=‘男’（R1）
姓名 张三 李四
教职工号 101 102 姓名
④ 除法：设被除关系R为n关系，除关系S为m关系，那么 它们的商为n-m关系，即：R÷S。对于S中的每个元组，如 果都能在R中找到一个元组，它们分别与S中的元组在属性 上对应相等，且在剩余属性上的值也对应相等，则其中任 何一个元组的剩余属性就形成了结果关系中的一个元组。 除运算是同时从行和列的角度进行运算
wk.baidu.com操作系统
数据结构 数据库原理 C程序设计
3
3 2 4
张三
李四 李四 李四 李四 李四 王君 王君 王君 王君 王君
101
102 102 102 102 102 103 103 103 103 103
男
男 男 男 男 男 女 女 女 女 女
硕士研究生
博士研究生 博士研究生 博士研究生 博士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生
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2.3 关系操作
关系模型中常见的操作包括：查询、更新。 1、查询操作：是关系操作中最主要的部分，包括 选择（Select）、投影（Project）、连接（Join）、 除（Divide）、并（Intersection）、差（Different） 和笛卡尔积（Cartesian Product） 2、更新操作：包括增加（Insert）、删除（Delete） 和修改（Update）。 关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对 象和结果都是集合。
R1教职工号= S教职工号
表11：R1∞ S
姓名
张三 张三 李四 王君 王君
教职工号
101 101 102 103 103
性别
男 男 男 女 女
学历
硕士研究生 硕士研究生 博士研究生 硕士研究生 硕士研究生
课程名称
操作系统 数据结构 数据库原理 C程序设计 数据结构
学分
3 3 2 4 3
2.4关系代数
李四
101
102
男
男
硕士研究生
博士研究生
表6： R1∩ R2
姓名 教职工号 性别 学历
王君
103
女
硕士研究生
表7：R1× S
姓名 教职工号 性别 学历 教职工号 课程名称 学分
张三
张三 张三 张三
101
101 101 101
男
男 男 男
硕士研究生
硕士研究生 硕士研究生 硕士研究生
101
101 102 103
思考题： 设有关系R1、R2和S如下所示：请计算R1∪R2，R1-R2， R1∩R2，R1×S，πB, C (R1)，σB<‘5’(R1)，R1 ∞ S， R1∞S。
R1.C<S.C
关系R1
A 3 B 6 C 7 A 3
关系R2
B 4 C 5
关系S
C 7 D 5
2
7 4
5
2 4
7
3 3
7
2
3
5
2
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3
第2章
重点概念：
关系数据库的模型
关系的概念
关系的候选码、主码、全码和外码
关系模型的完整性 关系的并、交、差、笛卡尔积等传统集合运算 关系的选择、投影、连接等专门的关系运算
1
2.1 关系数据结构
关系数据结构就是关系数据模型的数据结 构，刻画关系数据结构就是要定义关系。从本 质上来讲，关系是一个数学概念，具体说，是 一个集合论中的概念，因此，从集合论的角度 给出关系数据结构的形式化定义就是十分容易 的事情了。
10
2.4关系代数
1、基本操作 ① 选择：从一个关系表中找出满足一定条件的所有元组。 选择运算是从行的角度进行的运算。
11
2.4关系代数
② 投影：从一个关系表中选择所需要的若干属性，构成一 个新的关系表。 投影运算主要是从列的角度进行运算，且投影之后不 仅取消了原关系中的某些列，还可能取消某些元组（避免 重复行）
22
4
2.1 关系模型的基本概念
三类关系： 基本表：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示 查询表：从基本表中查询出的结果对应的表 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表 ②候选码（Candidate key）：若关系中的某一属性组能唯 一的标识一个元组，则称该属性为候选码，关系至少包含一 个候选码。 ③主码（Primary key） ：若一个关系有多个候选码，则选 定其中一个为主码。 ④全码（All-key）：在最简单的情况下，候选码只包含一 个属性。在最极端的情况下，关系模式的所有属性组是这个 关系模式的候选码。