2016届浙江省杭州二中高一下学期期中考试数学试题
浙江省高一数学下学期期中联考试题(含解析)
浙江省2016-2017学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
第I卷(选择题共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在答题卷上指定的位置）1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 已知、是两个不共线向量，设，，，若、、三点共线，则实数的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,故选C.3. 满足的△的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】是，这样的三角形仅有一个，故选C.4. 若数列满足：，，则等于A. 2B.C.D.【答案】A【解析】，故选A.5. 函数,是A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 周期函数且图象有无数条对称轴【答案】D【解析】由上图可得最小正周期为小正周期是，区间上的有增有减，图象不关于点对称，周期函数且图象有无数条对称轴，故A、B、C错误，D正确，故选D.6. 已知等比数列的公比是，首项，前项和为，设成等差数列，若，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得，故选A.7. 已知函数满足，则函数的图象不可能发生的情形．．．．．．．．是A.B.C.D.【答案】C【解析】将选项C第三象限的图像向右平移一个单位再作关于轴对称所得的图像不与第一象限的原图像重合，反之其它选项的图像可以，故C错误，应选C.8. 是等差数列，是等比数列，且，，，A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】由已知可得当，当,故A错误；去，而，故B错误；同理，当，当,取故C错误，故选D.9. 将函数的图象向右平移2个单位得到函数的图象，则A. 存在实数，使得B. 当时，必有C. 的取值与实数有关D. 函数的图象必过定点【答案】D【解析】易得：选项A错误；单调性不确定，故选项B错误；与无关；，故D正确，应选D.10. 平面内三个非零向量满足，规定，则A. B.C. D.【答案】C【解析】设是边长为的等边三角形，在以AB为直径的圆上，以AB为 x轴,以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系,则设，则∴的最大值为,最小值为.由图形的对称性可知的最大值为,最小值为.，∴.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分；请将答案答在答题卷上指定的位置）11. _________，_________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】(1)；(2) .12. 角终边过点，则_________，_________.【答案】 (1). (2). ；【解析】 .13. 已知，则________，_________.【答案】 (1). (2). ；14. 正项等比数列中，公比，，则________．【答案】21；【解析】 . 15. 如图，以正方形中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为_________.【答案】；16. 数列、满足，且、是函数的两个零点，则________，当时，的最大值为________．【答案】 (1). (2). 5；【解析】由已知可得又的最大值为.17. 等差数列满足，则的取值范围是________.【答案】.【解析】设所求的范围为：.三、解答题（共5个小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：18. 已知为等差数列的前项和，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，当时，.试题解析：解：（Ⅰ），则.∴，.（Ⅱ）当时，，当时，，∴.19. 如图，已知函数，点分别是的图像与轴、轴的交点，分别是的图像上横坐标为、的两点,轴，共线．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】试题分析：解：（Ⅰ）建立，. （Ⅱ），结合图象可知或．试题解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因为时，，由方程恰有唯一实根，结合图象可知或．20. 已知分别为的三个内角的对边，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，在边上的中线长为，求的周长【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得，又；（Ⅱ）由，又由余弦定理知的周长．试题解析：解：（Ⅰ）由正弦定理得，∴，又，∴,∴.（Ⅱ）设中点为,由,得，所以①又由余弦定理知，将①代入得②从而，，故的周长．21. 如下图，梯形，，，，为中点，．（Ⅰ）当时，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若（为大于零的常数），求的最小值并指出相应的实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ），由，⑴ 当时，，；⑵ 当时，，此时．试题解析：解：（Ⅰ）连，则（Ⅱ），（讨论的最小值问题也可以转化为讨论过E点作DC的垂线所得垂足是否在腰DC上的情况）因为，，所以，⑴ 当时，，此时，；⑵ 当时，，此时．22. 数列满足：，当，时，．（Ⅰ）求，并证明：数列为常数列；（Ⅱ）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：解：（Ⅰ）当时，，再求得为常数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可知（对也成立），又．试题解析：解：（Ⅰ）当时，，，因为①②①－②得，所以因为，所以，，故数列为常数列. ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可知，，计算知，，当时，由，（对也成立）因为，所以，又，从而，且，解得．。
2015-2016年浙江省杭州市七校联考高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）sin 330°=（）A．﹣B．C．﹣D．2．（4分）下列四式中不能化简为的是（）A．B．C．D．3．（4分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R4．（4分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且cos（α﹣β）=0，那么| +|=（）A．2B．C．D．35．（4分）已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（）A．B．C．D．6．（4分）已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C 西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为（）A．km B．km C．km D．km7．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A．y=sin2x﹣2B．y=2cos3x﹣1C．D．8．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形9．（4分）已知α是第一象限角，sinα﹣cosα=，则cos2α=（）A．B．C．D．10．（4分）已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）A．B．C．D．11．（4分）在△ABC中，a=2m，b=4m（m＞0），如果三角形有解，则A的取值范围是（）A．0°＜A≤60°B．0°＜A＜30°C．0°＜A＜90°D．30°＜A＜60°12．（4分）如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC 的中点，则•的值为（）A．4B．5C．7D．6二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．（6分）一扇形的周长等于4cm，面积等于1cm2，则该扇形的半径为，圆心角为．14．（6分）化简=，tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•=．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a=．17．（4分）在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．18．（4分）函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ的余弦值．20．（10分）已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．21．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA ﹣sinB）=c（sinA﹣sinC）．（1）求角B的大小；（2）设BC中点为D，且AD=，求a+2c的最大值．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）sin 330°=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：sin330°=sin（360°﹣30°）=﹣sin30°=﹣，故选：A．2．（4分）下列四式中不能化简为的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得A：，B：=，C：，所以C不能化简为，D：，故选：C．3．（4分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）4．（4分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且cos（α﹣β）=0，那么| +|=（）A．2B．C．D．3【解答】解：，且cos（α﹣β）=0；∴=cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β）=2+0=2；∴．故选：C．5．（4分）已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意有可得x＜0，r=0P=，由cosα=x=，求得x=﹣，∴cos α=，∴=cos α=，故选：B．6．（4分）已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C 西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为（）A．km B．km C．km D．km【解答】解：由题意可得∠ACB=（90°﹣25°）+85°=150°，又AC=2，BC=，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos150°=13，∴AB=，7．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A．y=sin2x﹣2B．y=2cos3x﹣1C．D．【解答】解：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；故选：D．8．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．9．（4分）已知α是第一象限角，sinα﹣cosα=，则cos2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵α是第一象限角，sinα﹣cosα=，∴sinα＞0，cosα＞0．再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=2•﹣1=﹣，故选：A．10．（4分）已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的重心为G，∴++=，即+=﹣，∵a+b+c=，∴（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，∴cosA===，则A=．故选：A．11．（4分）在△ABC中，a=2m，b=4m（m＞0），如果三角形有解，则A的取值范围是（）A．0°＜A≤60°B．0°＜A＜30°C．0°＜A＜90°D．30°＜A＜60°【解答】解：∵在△ABC中，a=2m，b=4m（m＞0），∴=，∵b＞a，∴B＞A，∴A只能是锐角，∵sinB的最大值是1，∴sinA的最大值为，∴0＜A≤60°．故选：A．12．（4分）如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC 的中点，则•的值为（）A．4B．5C．7D．6【解答】解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∵M为边BC中点；∴，且；∴====5．故选：B．二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．（6分）一扇形的周长等于4cm，面积等于1cm2，则该扇形的半径为1，圆心角为2．【解答】解：设该扇形圆心角为θ，半径为r，则由题意得θr2=1，2r+θr=4，∴θr2=r•θr=r（4﹣2r）=1，∴r=1，∴θ=2 （rad），故答案为：1，2．14．（6分）化简=﹣1，tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．【解答】解：==﹣1．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=tan60°（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=﹣tan25°tan35°+tan25°tan35°=．故答案为：﹣1，．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•= 13．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=5∴（2﹣）•=22﹣•=2×故答案为：13．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a=7．=bcsinA=bcsin60°【解答】解：由题意可得，S△ABC∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故答案为：7．17．（4分）在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0] ．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则=（﹣x，﹣y），=（3，0），∴•=﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．18．（4分）函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．【解答】解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ的余弦值．【解答】解：（1）设，由和可得：，∴或，∴，或．（2）∵，，∴，即，∴，∴，所以，∴．20．（10分）已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．【解答】解：（1），，∵∴25﹣24cosα=25﹣24sinα∴sinα=cosα又α∈（﹣π，0），∴α=．（2）∵∴即（3cosα﹣4）×3cosα+3sinα×（3sinα﹣4）=0解得所以1+2∴故==2sinαcosα=21．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）==．…（4分）由，得（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，．…（8分）∵，∴，．…（11分）∴=．…（14分）22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA ﹣sinB）=c（sinA﹣sinC）．（1）求角B的大小；（2）设BC中点为D，且AD=，求a+2c的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinA﹣sinC）∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=c（a﹣c），即a2+c2﹣b2=ac，…（2分）由余弦定理可知，…（4分）∵B∈（0，π），∴…（5分）（2）∵设∠BAD=θ，则在△ABD中，由可知，由正弦定理及可得，…（7分）∴BD=2sinθ，，…（8分）∴，…（10分）由可知，∴当，即时，a+2c的最大值为．…（12分）。
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考试数学试卷
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学试卷 命题： 黄宗巧 傅海婷 审核、校对： 徐存旭 谢丽丽一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的若集合M 满足：,M ≠∅若,a M ∈则a M -∈ 则称集合M 是一个 对称集合 已知全集{|1},{|1}A x x B x x =<-=≤，那么下列集合中为 对称集合 的是 ．AB A B ()R C A B ()R A C B已知22log 5,log 3a b ==，则225log 3=．2a b - ．2a b - ．2a b ．2a b已知函数()()()3,0()2,0x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()=-2f 2-设324log 0.2,log 1.4,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 a c b << a b c << c b a <<b c a <<若函数,1()(0,1)(8)2,1xa x f x a a a x x ⎧>=>≠⎨-+≤⎩且是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是(1,8) (1,5] [5,8) [4,8) 函数22lg xy x x=+的图象可能是已知函数()225f x ax x =-+在()1,2上是减函数，则a 的取值范围是 102a ≤< 210≤<a 0a <，或102a <≤ 12a ≤已知函数2()log (41)x f x x =+-，)(x h ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则)(x f ，)(x h 的奇偶性依次为偶函数，偶函数 奇函数，偶函数 偶函数，奇函数 奇函数，奇函数已知函数()51213xxxf x =+-，若{|2}M x x =>，{|()0}N x f x =<， 则 的关系为 M N =M N ⊂≠ M N ⊃≠无包含关系已知函数1,()0,Rx Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集 Q 为有理数集 给出下列三个判断： (())1f f x =； 任取一个不为零的有理数T )()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立； 存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形 其中错误判断的个数是． ． ． ．二、 填空题 本大题共 小题，每小题 分，共 分 已知幂函数()y f x =的图象过点，则1()4f =．已知23a b m ==，若212a b+=，则m 的值为 已知2221()1x x f x x ++=+的最大值为 ，最小值为 ，则．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -则函数()()+3g x f x x =-的零点的个数为 若函数2()log (0,1)aax a f x a a x+-=>≠且满足：当1212x x ≤<≤时，都有12()()0f x f x -<，则实数a 的取值范围为已知0()x f x x ≥=<⎪⎩，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式(22)()f x a x +≥恒成立 则a 的取值范围是为三、解答题：本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本题满分 分）已知集合{|211}A x a x a =-<<+，2{30}B x R x x =∈-<． （ ）若2a =，求B A ⋂，()R AC B ；（ ）若A B A =⋂，求实数 的取值范围（本题满分 分）已知 910390,xx-⋅+≤求函数1211log [()4()2]42x xy -=-⋅+的值域（本题满分 分）已知定义域为R 的函数10(2)10()1010x xx xa a f x --⋅+-=+是奇函数 （ ）求a 的值；（ ）判断并用定义证明()f x 的单调性； （ ）求不等式9[()]11f f x >的解集（本题满分 分） 已知函数2()1f x x ax =++（ ）当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥ 恒成立，求实数a 的取值范围； （ ）当[1,2]x ∈时，不等式|()|21f x x ≤+ 恒成立，求实数a 的取值范围．（本题满分 分）设函数2()|1|f x x x a =+-+ R a ∈（ ）若方程x x f 3)(=在区间)2,1(上有解 求a 的取值范围（ ）设2()log (14)x ag x +=-，若对任意的)2,0(,21∈x x ， 都有1221()()4g x f x a <++，求a 的取值范围杭州二中 学年第一学期高一年级期中考数学 参考答案命题： 黄宗巧 傅海婷 审核、校对： 徐存旭 谢丽丽一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的二、填空题 本大题共 小题，每小题 分，共 分(1,2) 2a ≥三、解答题：本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本题满分 分）已知集合{|211}A x a x a =-<<+，2{30}B x R x x =∈-<．（ ）若2a =，求B A ⋂，()R A C B ；（ ）若A B A =⋂，求实数 的取值范围 【解析】（ ）2,a =∴,A =∅∅=⋂B A(0,3),B =∴ (){|0,3}R AC B x x x =≤≥或分（ ） A B A A B ⋂=⇔⊆ 若A =∅，则211a a -≥+ 则2a ≥ 若A ≠∅，则 02113a a ≤-<+≤，此时122a ≤<；综上所述，1.2a ≥ 分 （本题满分 分）已知：910390,x x-⋅+≤求函数1211log [()4()2]42x x y -=-⋅+的值域 【解析】2(3)10390,13902x x x x -⋅+≤∴≤≤⇒≤≤分令1()2xt =，1[,1],4t ∴∈则121111()4()24()4()24222x x x x u -=-⋅+=⋅-⋅+，分2214424()1[1,2]2t t t =-+=-+∈ 分2log [0,1].y u y =∴∈是增函数， 共 分（本题满分 分）已知定义域为R 的函数10(2)10()1010x xx xa a f x --⋅+-=+是奇函数（ ）求a 的值；（ ）判断并用定义证明()f x 的单调性； （ ）求不等式9[()]11f f x >的解集 【解析】（）()(),,(0)01f x f x x R f a -=∈∴=⇒=，分（ ）1010()1010x x x x f x ---=+22210121101101x x x-==-++，是增函数； 证明：任取12x x >， 则122210100x x>>12212122122222222(1010)()()0101101(101)(101)x x x x x x f x f x --=-=>++++ ∴函数)(x f 为增函数 分 （ ）911[()]()()1122f f x f f x >=∴>， 2lg3110310,{lg3}.2x x x ⇒>=∴> 分（本题满分 分）已知函数2()1f x x ax =++（ ）当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥ 恒成立，求实数a 的取值范围； （ ）当[1,2]x ∈时，不等式|()|21f x x ≤+ 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（ ） 当]2,2[-∈x 时， 2()()(1)0g x f x a x ax a =-=++-≥恒成立，等价于min ()0g x ≥，讨论如下：当[2,2]2a -∈-时，2min()()1024a a g x g a =-=--+≥解得4 2.a -≤≤分当22a->时，min ()(2)50g x g a ==+≥，解得5 4.a -≤<- 分当22a-<-时，min ()(2)530g x g a =-=-≥，此时无解综上所述，5 2.a -≤≤ 共 分 【另解】当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥即)1()1(2+-≥-x x a 恒成立当1=x 时，20-≥成立，此时R a ∈分当21≤<x 时，令1(01]t x =-∈，，112-+-≥∴x x a 2(1)12(2)()t t g t t t++=-=-++=-恒成立， 其中2()2g t t t=++在]1,0(∈t 上递减， min ()(1)5g t g == max [()](1)5a g t g ∴≥-=-=- 分当21x -≤<时，令1(0,3]t x =-∈，211x a x +∴≤--2(1)12()2()t t h t t t-+==+-= 恒成立 ，min ()2a h t h ∴≤==综上所述，5 2.a -≤≤ 共 分当[1,2]x ∈时，2|1|21x ax x ++≤+，即221121x x ax x --≤++≤+即22222x x ax x x ---≤≤-，即22()2x a x x--+≤≤- 恒成立，∴max min 2[2()](2)x a x x--+≤≤-，故20.a --≤≤ 分（本题满分 分）设函数2()|1|f x x x a =+-+ R a ∈ （ ）若方程x x f 3)(=在区间)2,1(上有解 求a 的取值范围（ ）设2()log (14)x ag x +=-，若对任意的)2,0(,21∈x x ， 都有1221()()4g x f x a <++，求a 的取值范围 【解析】 （ ） ()3f x x =在区间)2,1(上有解 等价于 当(1,2)x ∈时，求值域：221(2,1)a x x -=--∈--，故(1,2)a ∈ 分（ ） 首先，对数真数140x a +->在)2,0(上恒成立，即2140a +-≥，故2-≤a ； 分其次，对任意的)2,0(,21∈x x ，都有1221()()4g x f x a <++ 等价于max min 21()(),[0,2]4g x f x a x ≤++∈ 分 对于[0,2]x ∈，max 2()log (14)ag x =-222()|1|11,1231,014f x x x ax x a a x x x a a x =+-+⎧+-+≥+≤≤⎪=⎨-++≥+≤≤⎪⎩，min 3()4f x a ∴=+ 分于是2log (14)26a a -≤+，266114224,465a a a a +∴-≤=⨯≥综上所述，265log 4-≤≤-a 共 分杭州二中 学年第一学期高一年级期中考数学试卷 命题： 黄宗巧 傅海婷 审核、校对： 徐存旭 谢丽丽一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的若集合M 满足：,M ≠∅若,a M ∈则a M -∈ 则称集合M 是一个 对称集合 已知全集{|1},{|1}A x x B x x =<-=≤，那么下列集合中为 对称集合 的是（ ） ．AB A B ()R C A B ()R A C B已知22log 5,log 3a b ==，则225log 3=（ ） ．2a b - ．2a b - ．2a b ．2ab【解析】222225log log 5log 323a b =-=- 已知函数()()()3,0()2,0x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()=-2f .3A 1.B 2.-C .0D设324log 0.2,log 1.4,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 a c b <<a b c << c b a <<b c a <<【解析】44223log 5log 41log 2log 1.40log 0.2c b a =>==>=>>=若函数,1()(0,1)(8)2,1x a x f x a a a x x ⎧>=>≠⎨-+≤⎩且是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）(1,8) (1,5] [5,8) [4,8)【解析】由题意得到18058(8)2aa aa a>⎧⎪->∴≤<⎨⎪-+≤⎩，选函数22lgxy xx=+的图象可能是已知函数()225f x ax x=-+在()1,2上是减函数，则a的取值范围是（ ）12a≤<210≤<a 0a< 或12a<≤12a≤【解析】因为()225f x ax x=-+在()1,2上是减函数，讨论如下：当 时，对称轴在定义域的右侧，故满足12≥a，当 时 ()23=-+f x x整个定义域为减函数，当 时，()223f x ax x=-+开口向下，对称轴1a< 故在()1,2上是减函数，综上，则a的取值范围是12a≤，故选已知函数2()log(41)xf x x=+-，)(xh＝22(0)(0)x x xx x x⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则)(xf，)(xh的奇偶性依次为（ ）偶函数，偶函数 奇函数，偶函数 偶函数，奇函数 奇函数，奇函数【解析】222241()log(41)log2log log(22)2xx x x xxf x-+=+-==+，()()f x f x ∴-=，)(x f 为偶函数 又当 ＞ 时，－ ＜ ， （－ ）＝ －＝－ （ ）当 ＜ 时，－ ＞ ， （－ ）＝－ － ＝－ （ ），且 （ ）＝ ，故 （ ）是奇函数 选已知函数()51213xxxf x =+-，若{|2}M x x =>，{|()0}N x f x =<， 则 的关系为M N = M N ⊂≠ M N ⊃≠无包含关系【解析】构造函数512()()()1313x xg x =+，则()g x 在 上递减， 512()512130()()()1(2) 2.1313x x x x x f x g x g x ∴=+-<⇔=+<=⇔>已知函数1,()0,R x Qf x x C Q∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集 Q 为有理数集 给出下列三个判断：①(())1f f x =；②任取一个不为零的有理数T )()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立；③存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形 其中错误判断的个数是（ ）． ． ． ． 【解析】由题意知，()f x Q ∈，故(())1f f x =成立；任取一个一个不为零的有理数T 都有()()1f x T f x +==成立；取(0,1)A，(B，C ，则ABC ∆是等边三角形；故错误判断的个数为三、 填空题 本大题共 小题，每小题 分，共 分 已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2，则1()4f = ；．已知23a b m ==，若212a b+=，则m 的值为【解析】 由 23a b m == 得 23log , log a m b m ==212log 2log 3log 12m m m a b∴+=+= 212 m ∴=又0 m m >∴=已知2221()1x x f x x ++=+的最大值为 ，最小值为 ，则【解析】 22()11()1x f x g x x =+=++， ()g x 是奇函数，其图象关于原点对称， 最大值与最小值之和为 ，2M m ∴+=．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -则函数()()+3g x f x x =-的零点的个数为【解析】()0()=3g x f x x =⇒- ，数形结合，可得零点的个数为当0x ≥时，2()=3f x x x - 1,3x ⇒=；当0x <时，22()=()=3()=3f x f x x x f x x x --+⇒--2x ⇒=- ；综上所述，零点的个数为若函数2()log (0,1)aax a f x a a x+-=>≠且满足：当1212x x ≤<≤时，都有12()()0f x f x -<，则实数a 的取值范围为 (1,2)【解析】 同增异减 由题意知， 2()log a ax a f x x+-=在[1,2]上是增函数， 首先2()0ax a t g x x+-==>在[1,2]恒成立，则(1)2(1)0,1g a a =->∴>，则 2log ,0,a a y t t a x-=↑∴=+>且在[1,2]上是增函数，所以min20,(1,2).(1)2(1)0a a t g a -<⎧∴∈⎨==->⎩已知0()0x f x x ≥=<⎪⎩，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式(22)()f x a x +≥恒成立 则a 的取值范围是为2a ≥【解析】由题意可知， )(x f(3)()f x x = 所以，对任意的]2,[+∈a a x ，(22)(3)223,f x a f x x a x +≥⇔+≥恒成立，则max 11(2), 2.22a x a a ≥=+∴≥。
浙江省杭州二中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 含解析
2015-2016学年浙江省杭州二中高一(下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中,AB=，AC=1，B=,则△ABC的面积是(）A．B．C．或 D．或2．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（)A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值23．数列｛a n}满足a1=2，，则a2016=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos），则sin(2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos(+α）=，cos（﹣)=，则cos（α+)=() A．B．﹣C．D．﹣6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx(a,b为常数,x∈R)在x=处取得最小值，则函数y=f(﹣x）的图象关于（）中心对称．A．（，0）B．(，0）C．（,0）D．（，0）8．若A，B是锐角三角形ABC的两个内角,则以下选项中正确的是（）A．sinA＜sinB B．sinA＜cosB C．tanAtanB＞1 D．tanAtanB＜19．已知两个等差数列{a n｝和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的正整数n的个数是(）A．5 B．4 C．3 D．210．扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点,P是上的动点(含端点），若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是(）A．[1，]B．[1，］C．［1，2］D．［1，]二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． +=．12．已知数列｛a n｝是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35,则a n=．13．已知α，β∈（0，π），且cosα=，sin（α+β）=,则cosβ=．14．在△ABC中,O为△ABC的外心，满足15+8+17=,则∠C=．15．已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是．16．若正实数x，y，z满足x2+y2=9,x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=,BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．己知等差数列{a n},设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．(1)求a n与S n；(2）设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化,住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上,Q位于边CD上．已知，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1)求L（θ）关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值？并求出L的最大值．20．已知=（sinx，cosx)，=（sinx，k），=（﹣2cosx,sinx﹣k）．（1）当x∈［0，］时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中,AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（)A．B．C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=,∴sinC==，∴C=，A=，S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选D2．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2【考点】向量在几何中的应用．【分析】先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【解答】解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t+=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．3．数列｛a n}满足a1=2,，则a2016=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．【考点】数列递推式．【分析】数列｛a n｝满足a1=2,,求出前4项即可得出周期性．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=2，,∴a2==﹣1，a3==,a4==2,…，∴a n+3=a n．则a2016=a3×672=a3=．故选：D．4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos)，则sin(2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．【解答】解：∵角α的终边过点P（sin，cos）,∴sinα=cos，cosα=sin，∴α=+2kπ,∴sin（2α﹣)=sin（4kπ+﹣）=sin=．故选：A．5．若0＜α＜,﹣＜β＜0，cos（+α)=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α)和sin（﹣）的值，进而利用cos(α+）=cos[（+α）﹣(﹣)]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜,﹣＜β＜0,∴＜+α＜,＜﹣＜∴sin(+α)==,sin（﹣)==∴cos（α+）=cos［（+α）﹣(﹣）]=cos（+α）cos（﹣)+sin(+α）sin(﹣）=故选C6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．【解答】解:由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D7．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=处取得最小值,则函数y=f （﹣x）的图象关于(）中心对称．A．（，0) B．（，0）C．(，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性,得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ），其中，cosθ=,sinθ=，在x=处取得最小值，∴+θ=2kπ﹣，k∈Z，即θ=2kπ﹣．则函数y=f（﹣x)=sin（x+2kπ﹣)=sin（x﹣）,故有f（）=0，故它的图象关于（，0）对称,故选：A．8．若A,B是锐角三角形ABC的两个内角，则以下选项中正确的是（）A．sinA＜sinB B．sinA＜cosB C．tanAtanB＞1 D．tanAtanB＜1【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线．【分析】根据题意,用特殊值代入法，即可判断选项的正误．【解答】解：因为A，B是锐角三角形ABC的两个内角，不妨令A=B=，则sinA=sinB，A错误；sinA＞cosB，B错误；tanAtanB=3＞1，D错误，C正确．故选:C．9．已知两个等差数列｛a n｝和｛b n｝的前n项和分别为A n和B n，且=,则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由于==6+，n的取值只要使得为正整数即可得出．【解答】解：=====6+，当n=1，2，4，10时,为正整数，即使得为整数的正整数n的值只有4个．故选：B．10．扇形OAB中,∠AOB=90°,OA=2，其中C是OA的中点，P是上的动点(含端点)，若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[1，]C．［1，2]D．［1，］【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，分别表示向量=（1，0）,=(0,2),由题意可知,=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，],λ+μ=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ)，即可求得其最大值，当P与B重合时，即可求得其最小值．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立直角坐标系，A（2,0），B（0，2),C（1，0）,=（1，0），=（0，2），设P(x，y），P在圆x2+y2=4，=λ+μ，∴(x，y)=（λ，0)+（0，2μ），∴，0≤λ≤2，0≤μ≤1，设=cosθ，u=sinθ，θ∈［0，］，∴λ=2cosθ，u=sinθ,λ+μ=2cosθ+sinθ=sin(θ+φ),tanφ=2，当θ+φ=时,λ+μ的最大值为，当P在B点时，μ=1，λ=0时λ+μ取最小值为1，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． +=2sin1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，平方差(和)公式化简可得原式等于+，去根号可得：|sin1﹣cos1|+|sin1+cos1｜，利用sin1＞cos1＞0去绝对值即可计算得解．【解答】解：∵180°=π，可得：45°＜1＜60°，∴sin1＞cos1＞0，∴+=+=|sin1﹣cos1|+｜sin1+cos1|=sin1﹣cos1+sin1+cos1=2sin1．故答案为:2sin1．12．已知数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则a n=2n﹣3或15﹣2n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a4+a5=12，从而a4，a5是方程x2﹣12x+35=0的两个根，解方程x2﹣12x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，由此能求出a n．【解答】解：∵数列｛a n}是等差数列，a2+a7=12,a4a5=35，∴a4+a5=12，∴a4，a5是方程x2﹣12x+35=0的两个根，解方程x2﹣12x+35=0得a4=5,a5=7或a4=7，a5=5,当a4=5,a5=7时，a1=﹣1，d=2，a n=﹣1+(n﹣1)×2=2n﹣3；a4=7,a5=5时，a1=13，d=﹣2,a n=13+(n﹣1)×(﹣2）=15﹣2n．故答案为：2n﹣3或15﹣2n．13．已知α，β∈(0，π），且cosα=，sin（α+β）=,则cosβ=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值,再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[(α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵α，β∈（0，π），且cosα=，∴sinα==,∵sin（α+β)=，∴sinα＞sin（α+β），∴α+β为钝角，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则cosβ=cos［（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin(α+β）sinα=﹣•+•=，故答案为：．14．在△ABC中，O为△ABC的外心,满足15+8+17=,则∠C=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设外接圆的半径为R，根据题意得15+8=﹣17，两边平方得出•=0，即∠AOB=，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，得出角C的值．【解答】解：设外接圆的半径为R，O为△ABC的外心，且15+8+17=，所以15+8=﹣17，∴(15+8）2=(17)2，∴289R2+240•=289R2，∴•=0,∴∠AOB=，根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，如图所示:所以△ABC中内角C的值为．故答案为：．15．已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h,则的取值范围是(1,]．【考点】正弦定理．【分析】设A=θ,则h=bsinθ，a=btanθ，c=，代入所求，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin（）,根据角θ的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其范围．【解答】解：如图所示，设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=．∴====sinθ+cosθ=sin（),∵θ∈(0，)，∴θ+∈（，）,∴sin（）∈(，1]，sin（)∈（1，]．∴的取值范围是（1，］．故答案为：（1，]．16．若正实数x,y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=18．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】设=（x，y），=（x+，）,=（y+，）,则所求为，利用数量积公式可得所求．【解答】解：由已知设=(x，y)，=（x+，），=（y+,)，则由x2+y2=9,x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，得到2=9，=16，2=25，9+16=25，所以,所以=xy++==3×5×，所以2xy+xz+yz=2×9=18；故答案为:18．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；(2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2)易求角C,可知△ABC为等腰三角形,在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理,得，化简得cosA=,∴A=；（2）∵∠B=,∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．己知等差数列｛a n｝，设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．(1)求a n与S n；(2)设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列｛c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程组求出首项和公差即可求a n与S n；（2）求出c n=a n a n+1a n+2,的值，将T n≤恒成立转化为求（T n)max≤恒成立即可．【解答】解：（1）∵S5=20，S8=﹣4．∴，即，得，则a n=10﹣3（n﹣1）=13﹣3n，S n=10n+×（﹣3）=n2+．（2)设c n=a n a n+1a n+2=（13﹣3n）（10﹣3n)（7﹣3n)，要使若对任意n∈N+，T n≤恒成立，则只要若对任意n∈N+,（T n）max≤恒成立,则a1=10，a2=7，a3=4，a4=1，a5=﹣2,a6=﹣5,a7=﹣8，a8=﹣11,则c1=a1a2a3=280，c2=a2a3a4=28，c3=a3a4a5=﹣8，c4=a4a5a6=10，c5=a5a6a7=﹣80，则当n≥5时，c n＜0，则当n=4时,前四项和最大,此时T4=280+28﹣8+10=310,则由310≤得m≥1396，即实数m的取值范围是[1396,+∞)．19．如图,某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化,住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知，∠PAQ=,设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1)求L（θ)关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值?并求出L的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设正方形的边长为a，由解直角三角形的余弦函数，求得AP,AQ，运用三角形的面积公式和正方形的面积，即可得到所求函数L的解析式，注意定义域；（2）由正弦函数的值域，可得2θ+=，计算即可得到所求最大值及相应的θ的取值．【解答】解：（1）设正方形的边长为a,在直角三角形APB中，AP==,在直角三角形ADQ中,AQ==,可得L（θ）=1﹣=1﹣=1﹣•=1﹣•=1﹣=1﹣=1﹣，0≤θ≤，（2）由（1）可得L（θ）=1﹣,0≤θ≤，由2θ+=，即θ=∈[0，］时,L（θ）取得最大值,且为1﹣=2﹣．则当θ取 [时，L有最大值2﹣．20．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k）,=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈［0,]时，求|+|的取值范围；（2)若g（x）=（+）•,求当k为何值时,g(x)的最小值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算．【分析】(1）由已知利用平面向量的坐标运算可得=（sinx﹣2cosx，sinx)，利用三角函数恒等变换的应用可得||2=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈［0,]，可求，利用余弦函数的单调性即可得解|+|的取值范围；（2）利用平面向量数量积的运算可得g（x）=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx）﹣k2，令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则g（x）可化为，对称轴．利用二次函数的图象和性质分类讨论即可得解．【解答】解：（1）=（sinx﹣2cosx，sinx），|｜2=（sinx﹣2cosx,sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3=cos(2x+φ)+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0，］,∴，∴在上单调递减，∴｜cos（2x+φ）|2∈［1，4]，∴｜+|∈［1，2］．(2)=（2sinx，cosx+k），g（x）=（）=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx=sin(x﹣），则t∈［﹣，］,且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx,所以．所以g（x）可化为,对称轴．①当，即时,，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时,．由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3，3］．③当﹣，即k＜﹣3时，g（x）min=h（）=﹣k2+k+，由﹣k2+k+=﹣,得k2﹣k﹣3=0，所以k=．因为k，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g(x）的最小值为﹣．2016年8月26日。
浙江省杭州二中 高一下学期期中考试(数学)
杭州二中 高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．cos75cos15sin 255sin15⋅-⋅的值是（ ） （A ）0（B ）12（C ）32（D ）1 2．函数2(sin cos )1y x x =+-是（ ） （A ）最小正周期为π2的偶函数 （B ）最小正周期为π2的奇函数（C ）最小正周期为π的偶函数（D ）最小正周期为π的奇函数3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） （A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形 （D ）由增加的长度决定4．下列说法中，正确的个数为（ ） （1）AB MB BC OM CO AB ++++=（2）已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是0k <（3）若向量1213(2,3),(,)24e e =-=-能作为平面内所有向量的一组基底 （4）若//a b ，则a 在b 上的投影为||a（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5．已知330,cos ,sin()255παβπααβ<<<<=+=-，则cos β的值为（ ） （A ）－1 （B ）－1或725-（C ）2425-（D ）2425±6．已知ABC ∆中，2=AB ,3π=C ,则ABC ∆的周长为（ ）（A ）2)3sin(34++πA（B ）2)6sin(34++πA（C ）2)6sin(4++πA（D ）2)3sin(8++πA7．若cos 2sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）（A ）34（B ）34-（C ）12（D ）12-8．在ABC ∆中，3,2AB BC AC ===，若O 为ABC ∆的垂心，则AO AC ⋅的值为( )（A ）2（B ）73（C ）3（D）59．如图，放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含原点)上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）（A ）1 （B ）2 （C） （D ）以上均不对10.若,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足112a b c +<，则C ∠的取值范围是（ ）（A ）,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -=．12．tan10tan 20tan 20tan60tan60tan10_______.++=13．已知,,a b c 是ABC ∆的三边,S 是ABC ∆的面积,若4,5,a b S ===,则_________c =.14．如图，,,O A B 是平面上三点，向量||OA =3，||OB =2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ⋅-的值为__________.15．已知向量,,a b c 满足||||2,||1,()()0a b c a c b c ===--=，则||a b -的取值范围是_______________．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分. 16．（本小题满分10分）已知,a b 是两个单位向量．（Ⅰ）若|32|3a b-=，试求|3|a b+的值；（Ⅱ）若,a b的夹角为60，试求向量2m a b=+与23n b a=-的夹角．17．（本小题满分10分）已知函数211()sin2sin cos cos sin()(0) 222f x x xπφφφφπ=+-+<<，其图像过点1 (,) 62π．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若不等式22()cos2sin216f x x m x mπ+<-++对0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m的取值范围．18．（本小题满分10分）某观察站C在A城的南偏西20方向，由A城出发的一条公路，走向是南偏东40，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D地，此时CD距离为21千米．（Ⅰ）此人还需走多少千米才能到达A城；（Ⅱ）在如图所示的平面内，若以A为圆心，AC为半径作圆交BA于E点，在劣弧CE上有一动点P，过P引平行于AC的直线和AE交于点F，试求APF∆面积的最大值．19．（本小题满分10分）已知三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边．（Ⅰ）若c B ==，AC边上的中线BD =sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，若1,AH B H ===试求::AOB AOC BOC S S S ∆∆∆．杭州二中2011学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．________7__________；12．________1__________；13．；14．_______52__________；15．______1⎤⎦_______； 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分. 16．（本小题满分10分）已知,a b 是两个单位向量． （Ⅰ）若|32|3a b -=，试求|3|a b +的值；17．（本小题满分10分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若不等式22()cos 2sin 216f x x m x m π+<-++对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 解答：（1） 211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<< ∴11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+-，1111sin 2sin cos 2cos (sin 2sin cos 2cos )cos(2)2222x x x x x ϕϕϕϕϕ=+=+=-又函数图像过点1(,)62π∴11cos(2)226πϕ=⨯-即 c o s ()13πϕ-=又0ϕπ<<∴3πϕ=18．（本小题满分10分）某观察站C 在A 城的南偏西20方向，由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40，距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 地，此时CD 距离为21千米．（Ⅰ）此人还需走多少千米才能到达A 城；（Ⅱ）在如图所示的平面内，若以A 为圆心，AC 为半径作圆交BA 于E 点，在劣弧CE 上有一动点P ，过P 引平行于AC 的直线和AE 交于点F ，试求APF ∆面积的最大值．解答：（1）如图，设,AD x AC y ==．204060BAC ∠=+=，∴在ACD 中，有2222cos6021x y xy +-=，即22441x y xy +-= ①而在ABC 中，()()22220220cos 6031x y x y ++-+=，即22561x y xy +-= ②②-①得26y x =-，代入①得261350x x --=，解得15x =（千米），即还需走15千米才能到达A 城．1484cos sin 22θθθ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=2sin(2)16πθ⎤+-⎥⎦，故当6πθ=时，S取得最大值为． 19．（本小题满分10分）已知三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边．（Ⅰ）若36c B ==，AC边上的中线BD =sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，若1,AH B H ===试求::AOB AOC BOC S S S ∆∆∆．解答：（1），如图，过D 作//DE AB 交BC 于E 点，225cos 16BE DEB BE +-∠=-=⇒=，故22BC BE ==，又sin B =，2228422cos 3AC B =+-=⎝⎭，所以sin sin sin 614BC AC A A B=⇒==。
杭州二中 第二学期高一年级期中考试数学
杭州二中 第二学期高一年级期中考试数学试卷时间 90分钟注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系 4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58-D.79-A.D.C. B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+ 9.若关于x 的方程2sin223cos 310x x m -++-=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,13]--B.(0,13]-C.(1,23]-D.(0,13]+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α为第三象限角，化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j +，2 3i j +，3 2i j -，2 i j -的坐标表示的点共圆.第15题第8题④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||b t a +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+b a ，于是77272||||(cos ==⋅+=a b a a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t b t a ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(.18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅b a 恒成立，求实数m的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3sin(20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .20．（本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4sin(0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t 或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有2009个根，]503,0[π有2013个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有2011个根.。
浙江省杭州二中高一数学第二学期期中考试.doc
杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。
2015-2016学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷
2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2B．C．D．{x∈R|﹣2＜x ＜2}6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3B．4C．16D．247．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）x123f（x）231x123g（x）321A．{1}B．{2}C．{3}D．∅8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．210．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=．12．（4分）函数y=的定义域为．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1大于0，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=10＜c=0.21.3 ＜0.20=1，∴a＜c＜b故选：D．【点评】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】首先判断函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=﹣1=﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，忽视函数的定义域是易错点，考查计算能力．5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2B．C．D．{x∈R|﹣2＜x ＜2}【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解．【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选：C．【点评】题目所求与已知中出现的是g（2）和f（2），但是由于a的存在解不出f（2），故需要再结合奇偶性构造第二个方程．6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3B．4C．16D．24【分析】先根据对数函数的性质判断log23的范围，代入相应的解析式求解，再判断所得函数值的范围，再代入对应解析式求解，利用对数的恒等式“=N”进行求解．【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选：D．【点评】本题是对数的运算和分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，利用“=N”进行求值．7．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）x123f（x）231x123g（x）321A．{1}B．{2}C．{3}D．∅【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数定义域、值域的求法．8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用函数的单调性判断求解即可．【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，排除选项A，D；当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，排除C，故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的定义域以及函数的单调性的常用判断方法．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=时，f（）=．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=．即4x2+4x﹣1=0，解得x==，∴此时x=，∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，∴n=2，，∴n﹣m的最大值为2﹣=，故选：B．【点评】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．10．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=14+．【分析】利用指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=++=10+4+=14+．故答案为：14+．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：【点评】本题考查幂函数的单调性和奇偶性及应用，关键是掌握对数恒等式及其灵活应用，属于中档题．14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），可得函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．对m分类讨论即可得出．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．∵1+m＞m．则当m≥1时，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；当m+1≤1，即m≤0时，总有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0满足条件；当m＜1＜1+m时，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必须点M（m，f（m））到直线x=1的距离大于点N（m+1，f（m+1））到直线x=1的距离，即1﹣m＞m+1﹣1，解得m．∴．综上所述，m的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了抽象函数的单调性对称性、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．【分析】先据条件得：f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），求出f（2）的值，进而可得答案．【解答】解：∵数f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（﹣1）=﹣又f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），∴+2f（2）=﹣+3f（2），∴f（2）=1∴f（5）=f（1）+2f（2）=+2=，故答案为．【点评】用两种方式表示出f（5），解方程求出f（2）的值．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜﹣．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．【分析】（1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围，（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间，（3）设g（x）=f（x）+|x|，写出g（x）的解析式，利用二次函数的性质判断g （x）的单调性，根据零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）∵f（0）≤1∴f（0）=（0﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）=a2+|a|﹣a（a﹣1）=|a|+a≤1∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，当a＞0时，不等式为a+a≤1，∴0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]；（2）当x＜a时，函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a，其对称轴为x==a+＞a，此时y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，f（x）=x2+（1﹣2a）x，其对称轴为：x=a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减，（3）设g（x）=f（x）+|x|=，当x≥a时，其对称轴为x=a﹣1，当0≤x＜a时，其对称轴为x=a，当x＜0时，其对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，又a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0，∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，综上所述a＞2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，以及函数零点存在定理，关键是分类讨论，属于中档题18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1（x≠0），y′=2﹣=（x≠0），令y′＞0，解得：x＞或x＜﹣，令y′＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．【点评】本题利用函数的单调性解决与最值、不等式的相关问题，考查分析、计算能力以及分类讨论的思想，属于难题．。
浙江省2015-2016学年高一下期中考试数学试卷及答
2015-16学年第二学期期中试题高一 数学命题人： 审定人：一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷．．相应空格中） 1．已知{}n a 为等差数列，若243,5a a ==，则d 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．42．在ABC ∆中，c b a ,,为内角,,A B C 的对边，若60A =o，b =45B =o，则a 为（ ）A ．2 B． C ．D3．函数()sin cos f x x x =的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．6x π=B ． 3x π=C ． 4x π=D ． 2x π=4．已知实数列1,,,,8x y z --成等比数列,则y =（ ） A ．4-B ．22-C ． 4±D．±5．已知α是第一象限角，且3tan 4α=，则tan 2α的值为（ ） A ．45 B ．237C ．83D ． 2476．已知{}n a 为等差数列，若193a a π+=，则37cos()a a +的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2D．2-7．若D ABC 的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则D ABC （ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形8．在D ABC 中,(cos18,sin18)AB =o ou u u r ,(cos63,sin63)BC =o o u u u r ,则D ABC 面积为 （ ）A ．42 B ．22 C ．23 D ．29．等差数列}{n a 中，39a a =，公差0d <，那么使}{n a 的前n 项和n S 最大的n 值为 （ ）A ．5B ．6C ．5 或6D ．6或710．某船在A 处向正东方向航行x km 后到达B 处，然后沿南偏西60o方向航行3km 到达 C 处．若A 与Ckm ，则x 的值是（ ）A ．3 BC． D11．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且67a b =，则有（ ） A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+C ．39410a a b b +≠+D ．39a a +与410b b +的大小关系不确定 12．在D ABC 中，c b a ,,为内角,,A B C 的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则 （ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列13．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos 8B =，1cos 4ADC ∠=-，则AC 边长为（ ）A ．4B ．16 CD14． 若2sin sinsin ()777n n S n N πππ*=+++∈L ，则在1S ，2S ，…，100S 中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．100二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上） 15．sin 43cos13sin13cos 43-=oooo． 16． 已知11sin sin ,cos cos ,32αβαβ-=--=则cos()______αβ-=． 17． 如图，正方形ABCD 边长为1，分别作边,,,AB BC CD DA 上的三等分点1111,,,A B C D ，得正方形1111A B C D ，再分别取边 1111,,A B B C 1111,C D D A 上的三等分点2222,,,A B C D ，得正方形AB D 12222A B C D ，如此继续下去，得正方形3333A B C D ，……， 则正方形n n n n A B C D 的面积为 ． 18．在数列{}n a 中，若11a =，1111n n a a +=-+，则2015a = ． 19．数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若231n n S n T n =+则55a b ＝________． 20．在△ABC 中，已知4BC =，3AC =，3cos()4A B -=，则△ABC 的面积为 ．三．解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分10分）求值：（1）cos 40(1)+o o（2）tan17tan 43tan 30(tan17tan 43)++o o o o o22．（本小题满分10分）已知函数2()1cos 2cos f x x x x =++．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()3f A =，b c +=，判断ABC ∆的形状．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足前n 的和为2n S n =，数列{}n b 满足21n n b a =+， 且前n 项的和n T ，设21n n n c T T +=-． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）判断数列{}n c 的单调性．24．（本小题满分10分）已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2(2)cos 2cos2Bb c A a a -=-． (Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若3=a ，求c b +的取值范围．25．（本小题满分14分）已知19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中 1,2,3,n =…，设lg(1)n n b a =+. (1) 证明数列{}n b 是等比数列；(2) 设1n n C nb +=，求数列{}n C 的前n 项和；(3) 设112n n n d a a =++，且数列{}n d 的前n 项和n D ，求证29n D <.第二学期期中试题参考答案高一 数学一、 选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分） ABCBD ACACD BDAC二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15．12 16．597217．59n⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．1 19． 914 20三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.()()112122. (1)()2sin(2)26f x x π=++∴函数()f x 的递增区间是,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()2由题意得：1sin(2)62A π+=，3A π∴=或0A =(舍去) 3sin sin 2B C ∴+=，23sin sin()32B B π∴+-=33sin cos 222B B ∴+=，sin()62B π∴+=6B π∴=或2B π= 2C π∴=或6C π=ABC ∴∆是直角三角形23.（1）由题意得：11a =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，1a 也满足上式。
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考试数学试卷
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学试卷命题：黄宗巧傅海婷审核、校对：徐存旭谢丽丽一、选择题：本大题共10小题,每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合满足：若则,则称集合是一个“对称集合".已知全集，那么下列集合中为“对称集合”的是（）A．B。
C. D。
2。
已知，则（）A．B．C．D．3.已知函数，则（）A.3 B。
1 C. D.04.设，则的大小关系为（)A。
B。
C. D。
5.若函数是上的增函数,则实数的取值范围是( )A. B。
C. D。
6.函数的图象可能是( ）A B C D7。
已知函数在上是减函数,则的取值范围是（)A. B。
C。
，或D。
8.已知函数，＝，则，的奇偶性依次为( )A.偶函数，偶函数B。
奇函数，偶函数C。
偶函数，奇函数D。
奇函数，奇函数9。
已知函数，若，，则M，N的关系为（)A。
B。
C。
D。
M，N无包含关系10。
已知函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.给出下列三个判断：①;②任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立;③存在三个点，使得为等边三角形。
其中错误判断的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11。
已知幂函数的图象过点，则_______.12．已知，若，则的值为______。
13.已知的最大值为M，最小值为m，则M+m=.14．已知是定义在上的奇函数，当时，。
则函数的零点的个数为.15。
若函数满足：当时，都有，则实数的取值范围为________.16.已知,若对任意的，不等式恒成立,则的取值范围是为________.杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分，共24分.11. 12。
13.14.15。
浙江省杭州市七校联考2015-2016学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．sin330°的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．下列四式中不能化简为的是（）A．B． C．D．3．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R4．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且cos（α﹣β）=0，那么|+|=（）A．2 B．C．D．35．已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（）A．B．C．D．6．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为（）A．km B．km C．km D．km7．函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．D．8．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定 D．等腰三角形9．已知α是第一象限角，sinα﹣cosα=，则cos2α=（）A． B． C．D．10．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，a=2m，b=4m（m＞0），如果三角形有解，则A的取值范围是（）A．0°＜A≤60°B．0°＜A＜30°C．0°＜A＜90°D．30°＜A＜60°12．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．6二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm，面积等于1cm2，则该扇形的半径为，圆心角为．14．化简=，tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．15．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•=．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a=．17．在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．18．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．已知是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ的余弦值．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．21．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinA ﹣sinC）．（1）求角B的大小；（2）设BC中点为D，且AD=，求a+2c的最大值．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．sin330°的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：sin330°=sin=﹣sin30°=﹣，故选：A．2．下列四式中不能化简为的是（）A．B． C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意得A：，B：=，C：，D：；由以上可得只有C答案符合题意．【解答】解：由题意得A：，B：=，C：，所以C不能化简为，D：，故选C．3．把函数y=sinx （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．，x ∈RB ．，x ∈RC ．，x ∈R D ．，x ∈R【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．【解答】解：由y=sinx 的图象向左平行移动个单位得到y=sin （x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin （2x+） 故选C4．已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），且cos （α﹣β）=0，那么|+|=（ ）A ．2B ．C ．D ．3【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】可求出向量的坐标，从而求出，这样根据cos （α﹣β）=0化简便可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：，且cos （α﹣β）=0；∴=cos 2α+2cos αcos β+cos 2β+sin 2α+2sin αsin β+sin 2β =2+2（cos αcos β+sin αsin β） =2+2cos （α﹣β） =2+0 =2；∴．故选C ．5．已知α是第二象限角，其终边上一点，且cos α=x ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由题意有可得 x ＜0，r=0P=，由 cos α=x=，求得 x 的值，从而得到cos α的值，由=cos α，求出结果．【解答】解：由题意有可得 x ＜0，r=0P=，由cos α=x=，求得x=﹣，∴cos α=，∴ =cos α=，故选B ．6．已知A 船在灯塔C 北偏东85°且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 西偏北25°且B 到C 的距离为，则A ，B 两船的距离为（ ）A ． kmB ． kmC ． kmD ． km 【考点】正弦定理．【分析】根据题意求得∠ACB=150°，再利用余弦定理求得AB 的值．【解答】解：由题意可得∠ACB=（ 90°﹣25°）+85°=150°，又 AC=2，BC=，由余弦定理可得 AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos150°=13，∴AB=， 故选D ．7．函数y=f （x ）的图象如图所示，则y=f （x ）的解析式为（ ）A ．y=sin2x ﹣2B ．y=2cos3x ﹣1C ．D ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】本题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．【解答】解：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；故选D．8．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定 D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选B9．已知α是第一象限角，sinα﹣cosα=，则cos2α=（）A． B． C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵α是第一象限角，sinα﹣cosα=，∴sinα＞0，cosα＞0．再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=2•﹣1=﹣，故选：A．10．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b+c=，则角A 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】根据G 为三角形重心，化简已知等式，用c 表示出a 与b ，再利用余弦定理表示出cosA ，将表示出的a 与b 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 【解答】解：∵△ABC 的重心为G ，∴++=，即+=﹣， ∵a+b+c=，∴（a ﹣c ）+（b ﹣c ）=，∴a ﹣c=0，b ﹣c=0，即a=c ，b=c ，∴cosA===，则A=．故选：A ．11．在△ABC 中，a=2m ，b=4m （m ＞0），如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ） A ．0°＜A ≤60° B ．0°＜A ＜30° C ．0°＜A ＜90° D ．30°＜A ＜60° 【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理得=，由b ＞a ，得A 是锐角，从而sinA 的最大值为，由此能求出A 的取值范围．【解答】解：∵在△ABC 中，a=2m ，b=4m （m ＞0），∴=，∵b ＞a ，∴B ＞A ，∴A 只能是锐角，∵sinB 的最大值是1，∴sinA 的最大值为，∴0＜A ≤60°． 故选：A ．12．如图，O 为△ABC 的外心，AB=4，AC=2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则•的值为（ ）A．4 B．5 C．7 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到，而由M为BC中点即可得出，从而有，显然，从而便可得出的值．【解答】解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∵M为边BC中点；∴，且；∴====5．故选B．二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm，面积等于1cm2，则该扇形的半径为1，圆心角为2．【考点】扇形面积公式．【分析】设该扇形圆心角为θ，半径为r，由题意得θr2=1，2r+θr=4，解方程求得θ值．【解答】解：设该扇形圆心角为θ，半径为r，则由题意得θr2=1，2r+θr=4，∴θr2=r•θr=r（4﹣2r）=1，∴r=1，∴θ=2 （rad），故答案为：1，2．14．化简=﹣1，tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的正切函数化简求解即可．【解答】解：==﹣1．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=tan60°（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=﹣tan25°tan35°+tan25°tan35°=．故答案为：﹣1，．15．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•=13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量与的夹角为120°，且||=2，||=5可得：（2﹣）•=22﹣•=2×，得到答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=5∴（2﹣）•=22﹣•=2×故答案为：13．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a=7．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．【解答】解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故答案为：7．17．在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则=（﹣x，﹣y），=（3，0），∴•=﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．18．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．【解答】解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．已知是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设，则由条件可得，求得x、y的值，可得向量的坐标．（2）由条件利用两个向量垂直的性质求得，可得cosθ=的值．【解答】解：（1）设，由和可得：，∴或，∴，或．（2）∵，，∴，即，∴，∴，所以，∴．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；弦切互化；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：（1），，∵∴25﹣24cosα=25﹣24sinα∴sinα=cosα又α∈（﹣π，0），∴α=．（2）∵∴即（3cosα﹣4）×3cosα+3sinα×（3sinα﹣4）=0解得所以1+2∴故==2sinαcosα=21．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过余弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求出，结合，求出，通过利用两角差的正弦函数求解即可．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）==．…由，得（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（Ⅱ）∵，∴，．…∵，∴，．…∴=．…22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinA ﹣sinC）．（1）求角B的大小；（2）设BC中点为D，且AD=，求a+2c的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0，π），即可求B的值．（2）设∠BAD=θ，则，由正弦定理可得BD=2sinθ，，利用三角函数恒等变换的应用可得：，由，可求，利用正弦函数的性质即可得解最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinA﹣sinC）∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=c（a﹣c），即a2+c2﹣b2=ac，…由余弦定理可知，…∵B∈（0，π），∴…（2）∵设∠BAD=θ，则在△ABD中，由可知，由正弦定理及可得，…∴BD=2sinθ，，…∴，…由可知，∴当，即时，a+2c的最大值为．…2016年6月6日。
杭州二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2015—2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2｝，N={x｜x2﹣3x+2≤0｝，则M∩N=( ）A．｛1｝B．{2} C．{0，1｝D．{1，2}2．已知a=log20.3，b=20。
1，c=0.21。
3,则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a3．已知函数f(x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0,1） B．（1，2) C．（2,4）D．（4，+∞）4．函数的单调递增区间为（)A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．(2,+∞）D．(﹣∞，﹣2）5．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x)+g(x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1)，若g（2）=a，则f（2）=（) A．2 B．C．D．｛x∈R|﹣2＜x＜2}6．若函数f（x）=,则f（log23）=（）A．3 B．4 C．16 D．247．已知两个函数f(x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x)）=x的解集为（）x123f（x)231x123g（x)321A．｛1} B．{2} C．{3｝D．∅8．函数的图象是（）A．B．C．D．9．函数f（x)=x（|x|﹣1）在［m，n］上的最小值为，最大值为2,则n﹣m的最大值为（）A．B．C． D．210．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长,则称f(x）为“可构造三角形函数”．已知函数f （x）=是“可构造三角形函数"，则实数t的取值范围是( ）A．［，2] B．[0,1] C．［1,2］D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．计算= ．12．函数y=的定义域为．13．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（)= ．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x)=f（1+x），且f（x)在［1，+∞)为递增函数,若不等式f（1﹣m)＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．数f（x）为奇函数，= ．16．已知函数f(x）=，若函数y=2［f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点,则实数m的取值范围是．三。
2016年浙江省杭州二中高一下学期数学期中考试试卷
2016年浙江省杭州二中高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 在中，，，，则的面积是A. B. C. 或 D. 或2. 已知是边长为的正三角形的边上的动点，则A. 最大值为B. 是定值C. 最小值为D. 是定值3. 数列满足，，则A. B. C. D.4. 平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则A. B. C. D.5. 若，，，，则A. B. C. D.6. 在中，若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7. 已知函数（，为常数，）在处取得最小值，则函数的图象关于中心对称．A. B. C. D.8. 若，是锐角三角形的两个内角，则以下选项中正确的是A. B. C. D.9. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是A. B. C. D.10. 扇形中，，，其中是的中点，是上的动点（含端点），若实数，满足，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. ．12. 已知数列是等差数列，，，则．13. 已知，且，，则．14. 在中，为的外心，满足，则．15. 已知中，两直角边分别为，，斜边和斜边上的高分别为，，则的取值范围是．16. 若正实数，，满足，，，则．三、解答题（共4小题；共52分）17. 在中，角的对边分别为，且．（1）求角的值；（2）若，边上中线，求的面积．18. 己知等差数列，设其前项和为，满足，．（1）求与；（2）设，是数列的前项和，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．19. 如图，某房产开发商计划在一正方形土地内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形，其中位于边上，位于边上．已知，，设，记绿化率面积，若越大，则住宅区绿化越好．正方形面积（1）求关于的函数解析式；（2）问当取何值时，有最大值?并求出的最大值．20. 已知向量，，且．（1）若，求的取值范围；（2）函数，若对任意，恒有，求的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】由正弦定理知，所以，所以，，，或，，．2. B3. D4. B 【解析】由于角的终边经过点，即，所以，．所以．5. C【解析】因为，，所以，，所以，，所以6. D 【解析】由正弦定理化简已知的等式得：，所以，所以，又和都为三角形的内角，所以或，即或，故为等腰或直角三角形．7. A 8. C 9. B 【解析】当时，为正整数，即使得为整数的正整数的值只有个．10. D【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立直角坐标系，，，，，，设，在圆上，，所以，所以，，设，，，所以，，，，当时，的最大值为，当在点时，，时取最小值为．第二部分11.12. 或13.【解析】因为，且，所以，因为，所以，所以为钝角，所以，则14.【解析】设外接圆的半径为，为的外心，且，所以，所以，所以，所以，所以，根据圆心角与同弧所对的圆周角的关系，如图所示：所以中内角的值为．15.【解析】如图所示，设，，，．所以因为，所以，所以，．所以的取值范围是．16.【解析】由已知设，，，则由，，，得到，，，，所以，，所以，所以．第三部分17. （1）由已知，由正弦定理得，即，所以，可得．（2），．令，则，由余弦定理得，解得．所以．18. （1）因为，，所以即得则，．（2）设，要使若对任意，恒成立，则只要若对任意，恒成立．则，，，，，，，，则，，，，．则当时，，则当时，前四项和最大，此时，则由得，即实数的取值范围是．19. （1）设正方形的边长为，在直角三角形中，，在直角三角形中，，可得面积正方形面积（2）由（）可得，，由，即时，取得最大值，且为．则当取时，有最大值．20. （1）因为，，所以，所以，即．因为，所以．（2）因为，所以，，又因为，所以．。
2015-2016年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或2．（3分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．是定值2 3．（3分）数列{a n}满足a1=2，，则a2016=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．4．（3分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos），则sin（2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（3分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣6．（3分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．（3分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）的图象关于（）中心对称．A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）8．（3分）若A，B是锐角三角形ABC的两个内角，则以下选项中正确的是（）A．sinA＜sinB B．sinA＜cosB C．tanAtanB＞1D．tanAtanB＜1 9．（3分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5B．4C．3D．210．（3分）扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点，P是上的动点（含端点），若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[1，]C．[1，2]D．[1，]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）+=．12．（4分）已知数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则a n=．13．（4分）已知α，β∈（0，π），且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=．14．（4分）在△ABC中，O为△ABC的外心，满足15+8+17=，则∠C=．15．（4分）已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是．16．（4分）若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（10分）已知等差数列{a n}，设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．（1）求a n与S n；（2）设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1）求L（θ）关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值？并求出L的最大值．20．（14分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选：D．2．（3分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．是定值2【解答】解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t（﹣）=（1﹣t）+t +=+•（+）=（（1﹣t）+t ）•（+）=（1﹣t）2+[（1﹣t）+t]+t 2 =（1﹣t）×4+2+t×4=6故选：B．3．（3分）数列{a n}满足a1=2，，则a2016=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=2，，∴a2==﹣1，a3==，a4==2，…，=a n．∴a n+3则a2016=a3×672=a3=．故选：D．4．（3分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos），则sin（2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角α的终边过点P（sin，cos），∴sinα=cos，cosα=sin，∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=sin=．故选：A．5．（3分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．6．（3分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．7．（3分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）的图象关于（）中心对称．A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，在x=处取得最小值，∴+θ=2kπ﹣，k∈Z，即θ=2kπ﹣．则函数y=f（﹣x）=sin（x+2kπ﹣）=sin（x﹣），故有f（）=0，故它的图象关于（，0）对称，故选：A．8．（3分）若A，B是锐角三角形ABC的两个内角，则以下选项中正确的是（）A．sinA＜sinB B．sinA＜cosB C．tanAtanB＞1D．tanAtanB＜1【解答】解：因为A，B是锐角三角形ABC的两个内角，不妨令A=B=，则sinA=sinB，A错误；sinA＞cosB，B错误；tanAtanB=3＞1，D错误，C正确．故选：C．9．（3分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：=====6+，当n=1，2，4，10时，为正整数，即使得为整数的正整数n的值只有4个．故选：B．10．（3分）扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点，P是上的动点（含端点），若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[1，]C．[1，2]D．[1，]【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立直角坐标系，A（2，0），B（0，2），C（1，0），=（1，0），=（0，2），设P（x，y），P在圆x2+y2=4，=λ+μ，∴（x，y）=（λ，0）+（0，2μ），∴，0≤λ≤2，0≤μ≤1，设=co sθ，u=sinθ，θ∈[0，]，∴λ=2cosθ，u=sinθ，λ+μ=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），tanφ=2，当θ+φ=时，λ+μ的最大值为，当P在B点时，μ=1，λ=0时λ+μ取最小值为1，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）+=2sin1．【解答】解：∵180°=π，可得：45°＜1＜60°，∴sin1＞cos1＞0，∴+=+=|sin1﹣cos1|+|sin1+cos1|=sin1﹣cos1+sin1+cos1=2sin1．故答案为：2sin1．12．（4分）已知数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则a n=2n﹣3或15﹣2n．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，∴a4+a5=12，∴a4，a5是方程x2﹣12x+35=0的两个根，解方程x2﹣12x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，当a4=5，a5=7时，a1=﹣1，d=2，a n=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3；a4=7，a5=5时，a1=13，d=﹣2，a n=13+（n﹣1）×（﹣2）=15﹣2n．故答案为：2n﹣3或15﹣2n．13．（4分）已知α，β∈（0，π），且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=．【解答】解：∵α，β∈（0，π），且cosα=，∴sinα==，∵sin（α+β）=，∴sinα＞sin（α+β），∴α+β为钝角，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣•+•=，故答案为：．14．（4分）在△ABC中，O为△ABC的外心，满足15+8+17=，则∠C=．【解答】解：设外接圆的半径为R，O为△ABC的外心，且15+8+17=，所以15+8=﹣17，∴（15+8）2=（17）2，∴289R2+240•=289R2，∴•=0，∴∠AOB=，根据圆心角与同弧所对的圆周角的关系，如图所示：所以△ABC中内角C的值为．故答案为：．15．（4分）已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是（1，] ．【解答】解：如图所示，设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=．∴====sinθ+cosθ=sin（），∵θ∈（0，），∴θ+∈（，），∴sin（）∈（，1]，sin（）∈（1，]．∴的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．16．（4分）若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=18．【解答】解：由已知设=（x，y），=（x+，），=（y+，），则由x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，得到2=9，=16，2=25，9+16=25，所以，所以=xy++==3×5×，所以2xy+xz+yz=2×9=18；故答案为：18．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．（10分）已知等差数列{a n}，设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．（1）求a n与S n；（2）设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵S5=20，S8=﹣4．∴，即，得，则a n=10﹣3（n﹣1）=13﹣3n，S n=10n+×（﹣3）=n2+．（2）设c n=a n a n+1a n+2=（13﹣3n）（10﹣3n）（7﹣3n），要使若对任意n∈N+，T n≤恒成立，则只要若对任意n∈N+，（T n）max≤恒成立，则a1=10，a2=7，a3=4，a4=1，a5=﹣2，a6=﹣5，a7=﹣8，a8=﹣11，则c1=a1a2a3=280，c2=a2a3a4=28，c3=a3a4a5=﹣8，c4=a4a5a6=10，c5=a5a6a7=﹣80，则当n≥5时，c n＜0，则当n=4时，前四项和最大，此时T4=280+28﹣8+10=310，则由310≤得m≥1396，即实数m的取值范围是[1396，+∞）．19．（12分）如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1）求L（θ）关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值？并求出L的最大值．【解答】解：（1）设正方形的边长为a，在直角三角形APB中，AP==，在直角三角形ADQ中，AQ==，可得L（θ）=1﹣=1﹣=1﹣•=1﹣•=1﹣=1﹣=1﹣，0≤θ≤，（2）由（1）可得L（θ）=1﹣，0≤θ≤，由2θ+=，即θ=∈[0，]时，L（θ）取得最大值，且为1﹣=2﹣．则当θ取[时，L有最大值2﹣．20．（14分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．【解答】解：（1）=（sinx﹣2cosx，sinx），||2=（sinx﹣2cosx，sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0，]，∴，∴在上单调递减，∴|cos（2x+φ）|2∈[1，4]，∴|+|∈[1，2]．（2）=（2sinx，cosx+k），g（x）=（）=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则t∈[﹣，]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，所以．所以g（x）可化为，对称轴．①当，即时，，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时，．由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3，3]．③当﹣，即k＜﹣3时，g（x）min=h（）=﹣k2+k+，由﹣k2+k+=﹣，得k2﹣k﹣3=0，所以k=．因为k，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣．。
杭州市高一下学期期中数学试卷(理科)A卷
杭州市高一下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）中，则等于（）A .B . 或C . 或D .2. （2分）设复数，则的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·新宁模拟) 不等式（x-3）（x-5）<0的解集是（）A . （-∞，3）U（5，+∞）B . （-∞，-8）U（-5，+∞）C . （3，5）D . （-5，-3）4. （2分） (2016高三上·崇礼期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=3，a4=24，则S6=（）A . 93C . 99D . 1955. （2分） (2017高二上·大连开学考) 在△ABC中，∠A=60°，a= ，b=3，则△ABC解的情况（）A . 无解B . 有一解C . 有两解D . 不能确定6. （2分） (2019高三上·广州月考) ，若，则（）A . 1B . 2C . 4D . 87. （2分） (2016高二上·嘉峪关期中) 等比数列{an}中，a5a14=5，则a8a9a10a11=（）A . 10B . 25C . 50D . 758. （2分）等差数列中，若，则等于（）A . 3B . 4D . 69. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A .B .C .D .10. （2分）已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm（ab）＜1，则m的取值范围是（）A . （﹣∞，8）B . （1，8）C . （0，1）∪（1，8）D . （8，+∞）11. （2分） (2017高一下·双流期中) 在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形12. （2分） (2018高三上·重庆期末) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·常德模拟) 已知数列{an}中，a1＜0，an+1= ，数列{bn}满足：bn=nan（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，当n=7时Sn有最小值，则a1的取值范围是________．14. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．15. （2分） (2016高一下·宁波期中) 已知x，y∈R且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为________．16. （1分） (2016高一下·重庆期中) 若，是两个不共线的向量，已知 =2 +k ， =+3 ， =2 ﹣，若A，B，D三点共线，则k=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）计算：①sin105°②cos75°③cos cos ﹣sin sin ．18. （10分） (2018高二上·莆田月考) 在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求的前项和 .19. （5分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．求证：EF∥平面ABCD20. （10分） (2018高一下·合肥期末) 在锐角中，分别为角所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.21. （5分） (2018·银川模拟) 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ，则 y 的值为 2 D. ± 1
D． 2
（
）
2.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 2an - 2 则 a2 等于 A．4 B．2 C．1
（
）
3.已知 tan x = 2, 则 1 + 2 sin 2 = A．
（ C．
）
5 3
B．
7 3
9 4
D．
13 5
（ ）
式，其中 w 、 j 均为实数，且 w > 0 ， j < 17.各项均为正数的等比数列 {an } 中， a1 =
p ，则 w = ________， j = 2
．
1 , a1 × a2 × ... × am = 8m ( m > 2, m Î N + ) ，若从中抽掉一项后，余下 8
项．
的 m 1 项之积为 (4 2) m -1 ，则被抽掉的是第
10.将偶数按如图所示的规律排列下去，且用 amn 表示位于从上到下第 m 行，从左到 右 n 列的数，比如 a22 = 6, a43 = 18 ，若 amn = 2014 ，则有（ A. m = 44, n = 16 B. m = 44, n = 29
第 1 页 共 7 页
）
C. m = 45, n = 16
第 2 页 共 7 页
杭州二中 2013 学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷
一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 题号 答案 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 11. 15. . . 12. 16. . . 13. 17. . . 14. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
错误!未指定书签。 19． （本小题满分 10 分）已知在锐角 DABC 中， a, b, c 为角 A, B, C 所对的边，
且 (b 2c)cos A a 2a cos (Ⅰ)求角 A 的值； (Ⅱ)若 a =
2
B . 2
3 ，则求 b + c 的取值范围.
第 3 页 共 7 页
20. （本小题满分 10 分）如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD 为半圆的直径， O 为半 圆的圆心， AB = 1 ， BC = 2 ，现要将此铁皮剪出一个三角形 PMN ，使得 PM = PN , MN ^ BC . (Ⅰ)设 ÐMOD = 30o ，求三角形铁皮 PMN 的面积； (Ⅱ)求剪下的铁皮三角形 PMN 的面积的最大值. .
D. m = 45, n = 29
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分，把答案填在答卷中相应横线上） 11.在等差数列 {an } 中， a1 = 2, a2 + a5 = 13 ,则 a5 + a6 + a7 = 12. tan 3° tan 27° + tan 3° tan 60° + tan 60° tan 27° =
三、解答题（本大题共 4 小题，共 42 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.（本小题满分 10 分）设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且 a5 + a9 = -84, S 3 = -171 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {a2 m +1} 的前 m 项和 Tm ，并求 Tm 的最小值.
．
1 ，则数列 {a n }的通项公式为 an = n
15.设 a 为锐角，若 cos(a
p 4 p + ) = ，则 sin(2a + ) 的值为 6 5 12
．
16.若数列 {an } 满足 a1 = 2, an =
1 1 , (n = 2,3,4,L) ，且有一个形如 an = 3 sin (w n + j ) + 的通项公 1 - an -1 2
7.在 ABC 中, AB
）
A． 6
）
uuu v
uuu v = (cos18°,cos 72°) , BC = (2 cos 63°, 2 cos 27°) ,则 ABC 面积为 （
B．
）
A．
2 4
2 2
C．
3 2
D． 2 （ ）
8．在 DABC 中，已知 a A. 2 5
5, b 15, A 30 ，则在 DABC 中， c 等于
． ． ．
13.设当 x = q 时，函数 f ( x ) = sin x + 2 cos x 取得最大值，则 cos q = 14．对于正项数列 {a n }，定义 H n = 值为 H n =
n 为 {a n }的“蕙兰”值，现知数列 {a n }的“蕙兰” a1 + 2a 2 + 3a3 + ¼ + na n
4.已知实数列 - 1, x, y , z ,-2 成等比数列,则 xyz = A． - 4 B． ± 4 C． - 2 2 D． ±2 2
5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 = -11 , a5 + a6 = -4 , S n 取得最小值时 n 的值为 （ B． 7 C． 8 D． 9 6.若 ABC 的三个内角满足 6sin A = 4sin B = 3sin C ,则 ABC （ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
杭州二中 2013 学年第二学期高一年级期中考试数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把答案填在答卷 相应空格中） ．． 1. 角 a 的始边在 x 轴正半轴、终边过点 P ( 3, y ) ,且 cos a = A. ± 3 B. 1 C. 3
B.
5
C.
2 5或 5
D. 以上都不对 （ 2 4 6 12 10 8 14 16 18 20 30 28 26 24 22 …… 第 10 题图 ）
9．在 ABC 中， a, b, c 为 ÐA, ÐB, ÐC 的对边，且 cos 2 B + cos B + cos( A - C ) = 1 ，则 A． a, b, c 成等差数列 C． a, c, b 成等比数列 B． a, c, b 成等差数列 D． a, b, c 成等比数列