第3章 平均数、标准差与变异系数

复习题

试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1

2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。

一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2

(

x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
第三节 变异系数


适用范围； 定义； 实例； 应用.
5
测定公、母小猪体重如下：（kg)
性别 头数 平均值 标准差 公 30 15.5 3.6 母 40 13.2 2.4 试求公、母小猪体重的平均数和标 准差。
提示

一法: 采用合并方差计算
合并方差=平方和/自由度 即: S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)

二法: 采用直接（定义）法计算
解: Σx=500+。。。+490=5285
x ∑ 5285 528.5(kg) x n 10
计算器求统计量
计算器种类： TAKSUN TS*105 学考 XK-80等 步骤： 进入统计状态； 输入数据； 结果输出
TAKSUN TS*105型计算器求统计量方法
进入统计状态； ON----2ndf-----ON 输入数据； 数据1 ， DATA ，数据2 ，DATA ，、、、 数据N ， DATA 结果输出；
相对数
2.14
2.18
2
试求其月平均增长率。
例二
股票价格由1998年的60元上升至2002年的100 元，试问股票的年平均增长率是多少。 （14%）
第二节 标准差
一、引入标准差的原因
仅用平均数对资料的特征作统计描述是不全
面的，因为平均数作样本代表性的强弱受资料
中各观测值变异程度的影响，故还需引入表示
样号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 含量 :0.6 0.45 0.52 0.39 0.49 0.51 0.5 0.45 0.55 0.55

若变异系数≤10%判为合格，试判断该搅拌机 均匀度是否合格。
注意，变异系数的大小，同时受 平均数和标准差两个统计量的影响， 因而在利用变异系数表示资料的变异 程度时，最好将平均数和标准差也列
合并方差

多个样本时,可求其合并方差; 计算公式为: 合并方差=平方和/自由度 即: S2=(SS1+SS2)/(df1+df2)
应用:统计分析和相关与回归.
由于
(x x)
2
( x 2 xx x )
2 2
2 2
x 2 x x nx
x 2
2
( x ) n
则样本平均数可通过下式计算：
x
x1 x2 xn n
x

i 1
n
i
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值x1 累加到第n个观测值xn，可简写为Σx，上式可改写 为：
x x ∑ = n
【例3.1】
某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为 500、520、535、560、585、600、480、510、 505、490（kg），求其样本平均数。

方法: Excel----fx(公具栏)----统计 统计量英语: Average----样本平均数 Geomean-----几何平均数 Stdev-----标准差 Var------方差 Devsq-----平方和
复习题 1




平均数 (定义、公式、符号、 作用） 自由度 样本方差、总体方差 样本标准差、总体标准差 几何平均数使用条件 样本平均数与标准差关系
C V 10 .5 190 100 % 5.53 %
大约克成年母猪体重的变异系数：
C V 8.5 196 100 % 4.34 %
所以，长白成年母猪体重的变异程度大于 大约克成年母猪。
例

欲检验饲料搅拌机均匀度，往搅拌机内加0.5% 盐混合后抽取10个样，测下: (kg)
4.5 5.5
4.5 5.5
5.0 6.0
5.0 6.0
5.5 6.5
试求其平均数、方差、标准差。 (5.4 ；0.43 ； 0.66 ）
3、已知某样本各观察值分别为： 70，64，67，72，58，61，74，75，66，63 试求其样本平均数、标准差、方差、平方和。 解：平均值=67 S=5.68 S2=32.22 （=MS） SS=290 df=n-1=9

X 、S
、 S2
、SS
等
学考型计算器求统计量方法


进入统计状态： ON---MODE -----2 清除内存数据：SHIFT----ON-----= 输入数据： 数据1 ，M+ ，数据2， M+、、、数据N， M+ 结果输出： 如：SHIFT x =、 ----= 、 (S) S -- X2 =S2
（3—9）
方差与标准差区别
方差 单位与原度量单位不相同， 而标准差单位与原度量单位相同。
S2相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。
S相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。
常用样本标准差S估计总体标准差σ。
二、标准差的计算方法
直接法、加权法、计算器法等。
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450， 450，500，500，500，550，550，550，600， 600，650（g）的标准差。 解：n=10，Σx=5400，Σx2=2955000，代入 公式得： (g)
表3—3 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率
求年平均增长率
G=
lg
1
[
1 n
(lg x1 lg x 2 lg x n )]
=lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]
=lg-1（-0.456）=0.3501
即年平均增长率为0.3501或35.01%。
例：
罗非鱼正常饲养条件下，月体重如： 月龄 1 2 3 4 体重 58 124 320 640
变异系数的计算公式为：
C V S x （3—15） 100%
【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平
均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成 年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试 问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度 大。
由于，长白成年母猪体重的变异系数：
作业:
P33 第五题、 第八题

S------S -------SS
平方 2
*df

S2=SS/df ； S=方差开根号
x ∑ x = n
G
n
x1 x2 x3 xn ( x1 x2 x3 xn )
1 n
为计算方便，可将各观测值取对数后相加除 以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值， 即
G lg [ (lg x1 lg x2 lg xn )] n
1
1
【例3.7】 某波尔山羊群1997—2000年各年度 的存栏数见表3—3，试求其年平均增长率。
出。
描述样本的数量特征需要统计量
样本容量 (n) 样本平均数(算术平均数) Mean 样本标准差 (SD) 或标准误(SEM)

x ± S
一
; n
练习题
简述标准差与样本平均数关系。
简述表示样本的变异性的统计
量有哪些，相应的表示总体变 异性的参数又有哪些。

统计量与参数有何区别。如表示变异性统计量符 号有—、——；相应参数的符号是——、——。 什么是方差、标准差 方差有何作用 样本方差与标准差有何区别和联系。
2
2
x )2 n(
n
x
2
( x ) n
所以（3-11）式可改写为：
S
x （3-12） n
2 (
x)
2
n 1
统计量Σ
( x x ) / n 1称
2
为 均 方 （ mean
square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即
S2= ( x x )
2
/( n 1)
资料中观测值变异程度统计量。
方差和标准差定义

平方和除以自由度，称样本方差，记作S2。 样本方差开根号，称样本标准差，记作S。 作用：反映样本各观察值变异程度的大小。