湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试卷
湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年度高一年级第一学期期中考试数学试卷(含答案)
6.函数 的单调递增区间是（D）
A．（ ， ）B．（ ，1）C．（1， ）D．（4， ）
7.“ ”是“函数 在区间 1， ）上为增函数”的（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.函数 满足 ，那么函数 的图象大致为（C）
A B C D
A．
B．若 在[0， ）上有最小值 ，则 在（ ，0]上有最大值1
C．若 在[1， ）上为增函数，则 在（ ， ]上为减函数
D．若 时， ，则当 时，
11.给出下列结论，其中正确的结论是（BCD）
A.函数 的最大值为
B.已知函数 （ 且 ）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2]
C.在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（D）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.命题∃ ， 的否定形式是（D）
A． ， B． ，
C． ， 或 D． ， 或
4.若奇函数 在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最大值为 ，则 的值为（C）
A.10 B. C. D. 15
5.已知 ， ， ，则 的最小值是（C）
解：（1） 的值域为
（2数 在 上的最小值为2，求b的值.
解：（1）
（2） 或
（1）当 时，求 关于 的函数解析式；
（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
解：（1）
（2）当养殖密度 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为 千克/立方米
21.已知函数 ，的定义域（ ，1）.
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√173．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．35．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．46．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A．r→=−12p→+32q→B．r→=−p→+2q→C．r→=32p→−12q→D．r→=−q→+2p→二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e1→=（﹣1，2），e2→=（2，1），若向量a→=λ1e1→+λ2e2→，则可使λ1λ2＜0成立的a→可能是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）10．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是（）A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m+nB．当z1，z2∈C时，若z12+z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z•zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|11．在四面体ABCD中，∠DAB＝∠DAC＝60°，AB＝AC＝AD＝4，AB⊥AC，E是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（）A．△AED的面积最小值为4B．平面BCD⊥平面ABCC．四面体ABCD的体积为16√2 3D．若F为棱AC的中点，当且仅当E点为棱BC的中点时，EF∥平面ABD12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．14．复数z满足|z+i|＝1，且z+z=2，则z＝．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ ． 四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．21．已知等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c，D是AC的中点．（Ⅰ）若cos∠BDC=√24，sin∠ABD=√148，CD＝1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i【解答】解：∵复数z =2i 31+i =−2i1+i=−1﹣i ，故选：A ．2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√17【解答】解：在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13， 则c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+9−2×2×3×13=3． 故选：A ．3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故②正确；由平面与平面垂直的判定定理可知③正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故④不对． 故选：B ．4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．3【解答】解：因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以S △ABC =12×2×2×√32=√3，设△ABC 的外接圆的圆心E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆的直径CD ，连接SD ， 因为O ，E 分别为SC ，CD 的中点， 所以SD ∥OE ，SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ﹣ABC 的体积13×√3×SD =2，所以SD ＝2√3，因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以∠ABC ＝30°， 由正弦定理可得，CD =AC sin∠ABC =2sin30°=4，所以SC =√CD 2+SD 2=√42+(2√3)2=2√7， 则外接球直径2R ＝SC ＝2√7即R =√7． 故选：A ．5．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．4【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，C （0，0），B （2，0），A （−12，√32）；∴CB →=（2，0），CA →=（−12，√32）， ∴CM →=CB →+2CA →=（1，√3）， ∴MA →=CA →−CM →=（−32，−√32），MB →=CB →−CM →=（1，−√3）， 则MA →•MB →=−32+32=0． 故选：A ．6．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【解答】解：∵a →∥b →，∴m ﹣2×（﹣2）＝0，解得m ＝﹣4． 故选：B ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解答】解：由于a ＝4，b ＝5，A ＝45°， 由于b ＞a ＞b sin A ， 所以三角形有两解． 故选：C ．8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A ．r →=−12p →+32q →B ．r →=−p →+2q →C ．r →=32p →−12q →D ．r →=−q →+2p →【解答】解：有题意可知r →=q →+BC →=q →−13AC →=q →−13(r →−p →)，∴r →=−12p →+32q →， 故选：A ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1），若向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→，则可使λ1λ2＜0成立的a →可能是（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）【解答】解：e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1）， ∴向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→=（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2）， ＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2）， 若使λ1λ2＜0成立，a →=（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，a →=（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意， 故选：AC ．10．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2|【解答】解：根据复数的运算法则，当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +n ，故选项A 正确； 设z 1＝i ，z 2＝1，则有z 12+z 22＝﹣1+1＝0，但此时z 1≠0且z 2≠0，故选项B 错误； 设z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，所以|z|2=a 2+b 2，|z|=a 2+b 2，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，所以|z |2＝|z |2＝z •z ，故选项C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但是|z 1|＝|z 2|不能推出z 1＝z 2，所以z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，故选项D 错误． 故选：AC ．11．在四面体ABCD 中，∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，E 是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．△AED 的面积最小值为4 B ．平面BCD ⊥平面ABCC ．四面体ABCD 的体积为16√23D ．若F 为棱AC 的中点，当且仅当E 点为棱BC 的中点时，EF ∥平面ABD【解答】解：如图所示，当E 是棱BC 的中点时，△AED 的面积最小，由∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝4√2，AE =12BC ＝2√2，又BD ＝CD ＝AB ＝4，所以△BCD 是等腰直角三角形，DE =12BC ＝2√2， 所以AD 2＝AE 2+DE 2，所以DE ⊥AE ，所以△ADE 的面积为12×2√2×2√2=4，选项A 正确；又DE ⊥BC ，AE ∩BC ＝E ，AE ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ，所以选项B 正确；四面体ABCD的体积为V三棱锥D﹣ABC=13S△ABC•DE=13×12×4×4×2√2=16√23，所以选项C正确；当F为棱AC的中点时，过F作FE∥AB，交BC于E，则E点为棱BC的中点，由EF∥AB，AB⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥ABD；反之，EF∥平面ABD时，由直线与平面平行的性质定理得出EF∥BA，由F是AC的中点，得出E是BC的中点，所以选项D正确．故选：ABCD．12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等【解答】解：A．满足m⊥n，m⊥α，n∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B．∵n∥α，∴设过n的平面β与α交于a，则n∥a，又m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，∴该选项正确；C．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m⊂α，∴m∥β，∴该选项正确；D．根据线面角的定义即可判断该选项正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝2﹣i．【解答】解：∵i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4+3i−8i−6i21−4i2=10−5i5=2﹣i．故答案为：2﹣i ．14．复数z 满足|z +i |＝1，且z +z =2，则z ＝ 1﹣i ．【解答】解：设复数z ＝a +bi ，z +z =a +bi +a −bi =2a =2，解得a ＝1， 又z +i ＝a +（b +1）i ＝1+（b +1）i ，且|z +i |＝1， 所以√1+(b +1)2=1，解得b ＝﹣1， 所以z ＝1﹣i ． 故答案为：1﹣i ．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ 1 ．【解答】解：根据题意，向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），则a →+b →=(m +1，1)． 因为(a →+b →)⊥b →，所以（a →+b →）•b →=m +1﹣2＝0，解得m ＝1， 故答案为：1．16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ √6 ． 【解答】解：A =π−B −C =π−5π12−π4=π3，由正弦定理得AB sinC =BCsinA ，所以BC =ABsinA sinC =2sin π3sin π4=√6．故答案为：√6．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．【解答】解：（1）由题意，{m 2−3m +2＞0m 2−4m +3＜0，解得2＜m ＜3，∴m 的范围是（2，3）；（2）由题意，{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m ＝2．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365，（2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ， DE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， ∴AF ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴AF ⊥BD ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE 、EA 、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF ∥DE ，CF ⊥平面ABFE ，则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，2），D （0，0，1）， AD →=（﹣2，0，1），AC →=（﹣2，2，2）， 设平面ACD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{AD →⋅n →=−2x +z =0AC →⋅n →=−2x +2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，2），设P （2，t ，0），且0≤t ≤2，则CP →=（2，t ﹣2，﹣2）， 设直线CP 与平面ACD 所成角为θ∵在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618， ∴sin θ=|n →⋅CP →||n →|⋅|CP →|=|2+2−t−4|√6⋅√8+(t−2)2=√618，解得t ＝1或t =−32（舍）．∴AP ＝1．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．【解答】解：（1）若x ＝2，则a →=（1，2），b →=（7，﹣2），则c →=a →⋅b →|a →|×a→|a →|=（35，65）．（2）若a →⊥b →，则a →⋅b →=（1，x ）•（2x +3，﹣x ）＝1×（2x +3）+x （﹣x ）＝0， 即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3．21．已知等腰△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）若cos ∠BDC =√2，sin ∠ABD =√14，CD ＝1，求△ABC 的面积S ；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为b＝c，D是AC的中点，所以AD＝CD=b2=1，所以b＝c＝2，因为cos∠BDC=(b2)2+BD2−a22BD⋅b2=√24，即1+BD2−a22BD=√24，又因为∠ADB+∠BDC＝π，所以cos∠ADB＝﹣cos∠BDC=(b2)2+BD2−c22BD⋅b2=−√24，整理可得2BD2+√2BD﹣6＝0，解得BD=√2，可得22√2=√24，可得a=√2，在△ABD中，由正弦定理可得BDsinA =b2sin∠ABD，即sin A=2BD⋅sin∠ABDb=2×√2×√1482=√7 4，所以S△ABC=12bc sin A=12×2×2×√74=√72．（Ⅱ）取BC的中点F，连接AF交BD于O，则AF⊥BC，OF=13AF，作DE⊥BC，则E为CF的中点，设OF＝t，则AF＝3t，DE=12AF=3t2，因为S△BDC=12S△ABC＝1，而S△BDC=12DE•BC，所以BC=43t，BE=34BC=1t，所以BD2＝BE2+DE2=1t2+9t24≥2√94=3，当且仅当1t2=9t24，即t=√63时取等号，所以BD的最小值为√3．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：分别取BE，CD的中点O，M，连接AO，AM，OM，∵△ABE为正三角形且AB＝2，∴AO⊥BE，且AO=√3，∵BCDE为正方形，∴OM＝2，依题意，△ACD为等腰三角形，∵AC＝2√2，∴AM=√7，则AO2+OM2＝AM2，∴AO⊥OM，又∵BE∩OM＝O，且BE，OM⊂平面BCDE，∴AO⊥平面BCDE，∵AO⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE．（2）解：如图，取AP=13AB，连接PC，PE，EC，由（1）可得平面ABE⊥平面BCDE．则C到平面P AE的距离d＝|BC|＝2，∵AP=13AB，∴S△APE=13S△ABE，∵△ABE为正三角形，且AB＝2，∴S△ABE=13×2×2×sin60°=√3，∴S△APE=13S△ABE=√33，所以，三棱锥P﹣AEC的体积V P﹣AEC=13d⋅S△APE=2√39．。
湖南省2020-2021年高一下学期入学考试数学试题
春季高一 入学联考数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x +y +m ＝0（m ∈R ）的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知函数f （x ）={lgx ，x ＞0x +11，x ≤0，则f （f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．﹣13．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（ ）A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x ﹣2﹣xD ．y =log 12|x|−1 4．若直线l 1，l 2的斜率是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两根，则直线l 1，l 2的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均不正确5．如图，棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 中点，则直线D 1M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．√32B ．√55C ．2√55D ．12 6．函数f （x ）＝2x −3x −m 的一个零点在区间（1，3）内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，7）B ．（0，5）C ．（﹣7，1）D ．（1，5）7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n8．将直线x +2y ＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x ﹣y ﹣1＝0C ．2x +y ﹣1＝0D ．2x ﹣y +1＝09．已知定义在[1﹣a ，2a ﹣5]上的偶函数f （x ）在[0，2a ﹣5]上单调递增，则函数f （x ）的解析式不可能是（ ）A ．f （x ）＝x 2+aB ．f （x ）＝﹣a |x |C ．f （x ）＝x aD ．f （x ）＝log a （|x |+2）10．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x +y ＝0上，则|P A |+|PB |取最小值是（ ）A ．1B ．2√17+√1535C ．√17D ．211．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°12．直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x +2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[4，8]C ．[8，16]D ．[16，32]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试卷及答案
雅礼中学2021年上学期高一年级入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2340=--<A x x x ，{}4,1,3,5=-B ，则=AB ( )A.{}4,1-B.{}1,5C.{}3,5D.{}1,32.已知0>a ，0>b ，则“>a b ”是“11+>+a b b a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，△ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2=BF FC ，则=EF ( )A.1263-+AB AC B.1263+AB AC C.1163-+AB AC D.1123+AB AC 4.在同一直角坐标系中，函数1=xy a ，1log 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a y x (0>a 且1≠a )的图象可能是( ) A. B.C. D.5.已知向量()2,4=a ，()1,=b k ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.将函数()sin2=f x x x 的图象沿x 轴向左平移()0>ϕϕ个单位后得到函数()g x .若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为( )A.12π B.6π C.4π D.512π 7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，15=a 、10=b 、60=︒A .则cos =B ( )A.12-B.3-C.3-3D.38.已知{}min ,m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数()124min 3log ,log ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭f x x x ，当0<<a b 时，有()()=f a f b ，则( )A.6B.8C.9D.16二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)9.下列结论正确的是( )A.在三角形ABC 中，若>A B ，则sin sin >A BB.在锐角三角形ABC 中，不等式2220+->b c a 恒成立C.若sin2sin2=A B ，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中sin sin cos cos +>+A B A B10.已知函数()()sin 0,0,2⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.函数()=y f x 的周期为πB.函数()=y f x 在2,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ单调递减 C.函数()=y f x 的图象关于直线512=-x π对称 D.该图象向右平移6π个单位可得2sin 2=y x 的图象11.如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为()f x ，则下列说法正确的是( )A.142⎛⎫=⎪⎝⎭f πB.()f x 在,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ上为减函数 C.()()4+-=f x f x πD.()f x 图像的对称轴是2=x π12.设函数()=y f x 和()=-y f x ，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()=y f x 的“稳定区间”.已知区间[]1,2020为函数12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xy a 的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是( )A.32-B.56-C.0D.132三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题“∃∈x R ，210-+<mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是________. 14.已知a ，b 满足：3=a ，2=b ，4+=a b ，则-=a b ________.15.已知0>a ，0>b ，且21+=a b+的最大值为________.16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系式为：()0ktP t Pe -=(e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量)，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的1625.则=k ________；且至少需要过滤________小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的110000.(参考数据：lg 20.3≈)四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知集合303⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x M xx ，集合{}2220N x x mx m =--<，其中0>m .(1)当2=m 时，求M N ；(2)若“∈x M ”是“∈x N ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.(12分)已知函数()22sin cos 22222⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x f x ππ. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.19.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1=a ，(1,3=-m ，()sin ,cos =A n A 且⊥m n .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围.20.(12分)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .(1)求A 的大小；(2)若3cos 5=B ，5=BC ，17=BD BA ，求CD 的长. 21.(12分)湖南省第二届张家界园林博览会于2019年9月28日至11月28在张家界园博园举办，本届园林博览会以“辉煌张家界，生态林园博”为主题，展示张家界生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来张投资，从而促进张家界经济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商谈采购，并决定大量投放张家界市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完.且每万台的销售收入()G x (万元)与年产量x (万台)的函数关系式近似满足：()21802.0202000900070,20x x x x x G x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润()W x (万元)关于年产量x (万台)函数解析式：(年利润=年销售收入-总成本)； (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.22.(12分)设函数()-=-xxf x ka a (0>a 且1≠a )是定义域为R 的奇函数，()312=f . (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()222-=+-xx g x a a mf x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.雅礼中学2021上学期高一年级入学考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14m ≥16.5ln4，40四、解答题17.【解析】(1)由303x x +<-，得33x -<<， 所以{}33M x x =-<<；当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<，所以{}24N x x =-<<.所以{}23MN x x =-<<.(2)由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<.即{}2N x m x m =-<<因为x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，所以N 是M 的真子集所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不同时成立，解得32m ≤.又0m >，所以实数m 的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.【解析】(1)()1cos 2sin cos sin 222x x xf x x x +=+-=+12sin 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x取得最小值 由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.【解析】(1)由(1,m =-，()sin ,cos n A A =，且m n ⊥，得sin 0m n A A ⋅=-=，∴tan A =；又()0,A π∈.∴3A π=；(2)由(1)知3A π=，1a =，则1sin sin sin sin 3b c a B C A π====，∴b B =，c C =，22C A B B ππ=--=-，20,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴2311sin 322l a b c B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++-=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭12sin 6B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，又20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴212sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，ABC △周长的取值范围(]2,3. 20.【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =， 因为sin 0C ≠可得cos sin A A =， 又0A π<<， 所以4A π=；(2)在ABC △中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=，解得AC =又因为()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=， 所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA =得17BD BA =， 所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.21.【解析】(1)()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. (2)当020x <≤时，()2210050W x x x =-+- ()22251200x =--+，在(]0,20上单调递增， ∴当20x =时，()W x 取得最大值()max 22512001150W x =-⨯+=(万元)；当20x >时，()9000195010W x xx =--9001950101950101350x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭. 当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立. ∴()max 1350x W =(万元).答：当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22.【解析】(1)由题意知：()00f =，即()00010f ka a k =-=-=， 解得：1k =，∴()x x f x a a -=-，由()312f =，得：()1312f a a -=-=， 即22320a a --=，解得：2a =，或12a =-(舍去)， ∴()22x x f x -=-； (2)由(1)得，()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， 令22x x t -=-，易知：22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增， 故当1x ≥时，113222t -≥-=， ∴函数()g x 转化为()222h t t mt =-+，对称轴为：t m =， ①当32m ≥时， ()()22min 222h t h m m m ==-+=-，即24m =，解得2m =，或2m =-(舍去)； ②当32m <时，()min 3932224h t h m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭， 解得2512m =(舍去)； 综上所述：2m =.。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2≤x<2}，B={0,1}，则下列判断正确的是()A. B∈AB. A∩B=⌀C. A⊆BD. B⊆A2.已知x>0，则对于2−3x−4，说法正确的是()xA. 有最小值2+4√3B. 有最小值2−4√3C. 有最大值2+4√3D. 有最大值2−4√33.已知a⃗=(x,1)，b⃗ =(1,y)，c⃗=(2,−4)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. √10B. √5C. 2√5D. 104.已知a=log0.33，b=log0.34，c=30.3，那么()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a5.为了得到函数y=cos x，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=cosx，x∈R上5所有的点的()A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变5C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的1倍，横坐标不变56.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A. 这9年我国快递业务量有增有减B. 这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C. 这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D. 这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7. 在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A. 相交但不垂直B. 垂直但不相交C. 不相交也不垂直D. 无法判断8. 若直线l 经过A(2,1)，B(1,−m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A. 0≤α≤π4B. π2<α<πC. π4≤α<π2D. π2<α≤3π4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 三条直线x +y =0，x −y =0，x +ay =3构成三角形，则a 的取值可以是( )A. −1B. 1C. 2D. 510. 已知函数f(x)={4x −3,x <1lnx,x ≥1，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)在R 上为增函数C. 函数f(x)的值域为(−3,+∞)D. 函数f(x)只有一个零点11. 设z 为复数，在复平面内z 、z −对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有( )A. 当z 为纯虚数时，P ，O ，Q 三点共线B. 当z =1+i 时，△POQ 为等腰直角三角形C. 对任意复数z ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 当z 为实数时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 如图，M 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，下列命题中真命题是( )A. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan2α=______ ．14.已知两点A(1,−2)，B(5,0)，则线段AB的垂直平分线方程为______ ．15.甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为23，乙每一局获胜的概率为13，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为______．16.在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S−AB−C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾处理量x(万吨)满足如下关系：g(x)={−2x 2+33x−100,0≤x≤1035,x>10(注：总收益=总成本+利润)(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18.已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅱ)若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f(A)=12，a=√3，b=2c，求c．19.某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值．21.已知直线l：(a−2)y=(3a−1)x−1(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．(2)为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=PD=PA=AD=1AB=2．2(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；(2)求二面角D−PC−B的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={−2,−1,0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．利用集合之间的包含关系判断集合的关系．本题考查的集合的子集概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：2−3x−4x =2−(3x+4x)，x>0，3x+4x≥2√3x⋅4x=4√3.当且仅当3x2=4，即x=2√33是取等号．∴2−3x−4x =2−(3x+4x)≤2−4√3．故选：D．直接利用基本不等式求解即可判断选项．本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵a⃗⊥c⃗，∴a⃗⋅c⃗=2x−4=0，解得x=2，∵b⃗ //c⃗，∴−4−2y=0，解得y=−2，∴a⃗=(2,1),b⃗ =(1,−2)，a⃗+b⃗ =(3,−1)，∴|a⃗+b⃗ |=√10．故选：A．根据a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗即可求出x，y的值，然后即可求出a⃗+b⃗ 的坐标，进而得出|a⃗+b⃗ |的值．本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵log0.34<log0.33<log0.31=0，30.3>0，∴b<a<c．故选：C．可得出log0.34<log0.33<0,30.3>0，然后即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：将函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得x的图象．到函数y=cos15故选：A．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%−25.3%=36.3%>36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC=O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，直线l经过A(2,1)，B(1,−m2)，则直线l的斜率k=1+m22−1=1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α<π，则π4≤α<π2；故选：C．根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα=k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．9.【答案】CD【解析】解：∵三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y=0和x−y=0交于原点，无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以，a ≠±1， 故选：CD ．由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a 的范围． 本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A ：由已知可得函数定义域为R ，故A 正确；选项B ：当x <1时，函数f(x)为增函数，当x ≥1时，函数为增函数，且41−3=1>ln1=0，所以函数在R 上不单调，故B 错误；选项C ：当x <1时，−3<f(x)<1，当x ≥1时，f(x)≥0，所以函数的值域为(−3,+∞)，故C 正确；选项D ：当x <1时，令4x −3=0，解得x =log 43，当x ≥1时，令lnx =0，解得x =1， 故函数有两个零点，故D 错误， 故选：AC ．利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A ，当z 为纯虚数时，设z =bi(b ∈R 且b ≠0)， 则P(0,b)，O(0,0)，Q(0,−b)，三点共线，故A 正确； 对于B ，当z =1+i 时，z −=1−i ，则P(1,1)，Q(1,−1)，|OP|=|OQ|，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1−1×1=0，则△POQ 为等腰直角三角形，故B 正确； 对于C ，取z =1，则z =z −=1，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 错误； 对于D ，当z 为实数时，z =z −，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确． 故选：ABD ．当z 为纯虚数时，可得P 、O 、Q 都在虚轴上，判断A 正确；由|OP|=|OQ|且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0判断B ；举例说明C 错误；当z 为实数时，由z =z −判断D ． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12.【答案】ABD【解析】解：直线AB 与B 1C 1 是两条互相垂直的异面直线，点M 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C 1C 的中点N ，则MN//AB ，且MN =AB ，设BN 与B 1C 1交于H ，则点 A 、B 、M 、N 、H 共面，直线HM 必与AB 直线相交于某点O ．所以，过M 点有且只有一条直线HO 与直线AB 、B 1C 1都相交；故A 正确． 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，此垂线就是棱DD 1，故B 正确． 过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，故C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，此平面就是过M 点与正方体的上下底都平行的平面，故D 正确．故选：ABD ．点M 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交，A 正确．过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，B 正确．过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，D 正确．本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．13.【答案】−247【解析】解：∵α∈(π2,π)，sinα=35，∴cosα=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45，∴tanα=sinαcosα=−34．则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247． 故答案为：−247． 由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14.【答案】2x +y −5=0【解析】解：经过两点A(1,−2)，B(5,0)的直线的斜率为0+25−1=12，中点为(3,−1)， 则线段AB 的垂直平分线的斜率为−2，故线段AB 的垂直平分线方程为y +1=−2(x −3)，即2x +y −5=0，故答案为：2x +y −5=0．求出线段AB 的中点和斜率，可得AB 中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线方程．本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15.【答案】89【解析】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况． 甲胜第二局概率为：23，乙胜第二局甲胜第三局概率为：13×23=29，∴甲获胜概率为：23+29=89．间接法：乙获胜概率为13×13=19，所以甲获胜概率为：1−19=89．故答案为：89．直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为23，乙胜第二局甲胜第三局概率为13×23=29，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】16π3【解析】解：如图，取AB 中点G ，则G 为三角形SAB 的外心，取等边三角形ABC 的外心O ，则OG ⊥平面SAB ，又二面角S −AB −C 的大小为90°，即平面SAB ⊥平面ABC ，且平面SAB ∩平面ABC =AB ， ∴OG ⊥平面SAB ，则OC =OA =OB =OS ，故O 为三棱锥S −ABC 的外接球的球心，则外接球的半径R =OC =23√22−12=2√33， 则该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3． 故答案为：16π3．由题意画出图形，可得等边三角形ABC 外接圆的圆心为三棱锥S −ABC 的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：由题意可得：(1)f(x)={−2x 2+32x −105,0≤x ≤1030−x,x >10； (2)由(1)可得：当0≤x ≤10时，f(x)=−2(x −8)2+23．当x =8时，f(x)max =f(8)=23；当x >10时，f(x)=30−x 为减函数，则f(x)<20．∴当x =8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w=23×10=230(万元)．【解析】(1)直接由已知结合利润=总收益−总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)分段求出函数的最大值，则答案可求．本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18.【答案】解：(I)f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12，=√32sinx−12cosx，=sin(x−π6)，故函数的最大值为1；(II)由f(A)=sin(A−π6)=12且A为三角形内角，则A=π3，因为a=√3，b=2c，由余弦定理得a2=b2+c2−bc，即3=4c2+c2−2c2，解得c=1．【解析】(I)先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；(II)由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：(0.020+0.050+0.070+a+a)×5=1，解得a=0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5=13.5(小时)．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6,11)的学生中抽取：8×0.0500.050+0.030=5位，学习时长在[21,26)的学生中抽取：8×0.0300.050+0.030=3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15． ∴这2位学生来自不同组别的概率P =m n =1528．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a ，由此能估算这100位学生学习的平均时长．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6,11)的学生中抽取5位，在[21,26)的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15.由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=2，∴AC 1=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2；(2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+0=2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， ∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=6， ∴|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2．∴|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD 1||=√2×√6=√33． ∴直线BD 1与AC 所成角的余弦值为√33．【解析】(1)由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，代入数量积运算即可求解；(2)分别求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |及AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由数量积求夹角公式可得直线BD 1与AC 所成角的余弦值．本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，联立{3x −y =0−x +2y −1=0，解得{x =15y =35， ∴直线恒过定点(15,35)；(2)∵(a −2)y =(3a −1)x −1，当a =2时，x =15，满足题意，当a ≠2时，∴y =3a−1a−2x −1a−2，∵直线不经过第二象限，∴{3a−1a−2≥01a−2≤0， 解得a >2．∴实数a 的取值范围是[2,+∞)；(3)由题意可知直线的斜率k =3a−1a−2<0，解得13<a <2， 令y =0可得x =13a−1，令x =0可得y =−1a−2．∴S △=12⋅|13a−1⋅−1a−2|=12|13a 2−7a+2|，对于函数y =3a 2−7a +2其对称轴为a =76，当a =76时，此时函数y 取最小值，且为负数，为−2512所以函数y =|3a 2−7a +2|的范围为(0,2512]，∴S 的面积有最小值，当a =76时取最小值． 此时l 的方程为：5y +15x −6=0．【解析】(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；(2)把直线转化为y =3a−1a−2x −1a−2，由直线不经过第二象限，得到x 的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m 的取值范围，(3)由题意可得a 的范围，分别令x =0，y =0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22.【答案】(1)证明：取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，所以EF//AB ，AB =2EF ，又因为AB//CD ，AB =2CD ，则EF//CD ，且EF =CD ，故四边形EFDC 为平行四边形，所以CE//DF ，因为平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊥AD ，又因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB ⊥DF ，因为PD =PA ，F 为PA 的中点，所以DF ⊥AP ，因为CE//DF ，所以CE ⊥AB ，CE ⊥AP ，又AP ∩AB =A ，AB ⊂平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ，又因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ．(2)解：取AD 的中点O ，取BC 的中点G ，以点O 为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O(0,0，0)，P(0,0,√3),C(−1,2,0),B(1,4,0),D(−1,0,0)，所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)， 设平面PCB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +2y −√3z =0x +4y −√3z =0， 令z =−√3，则x =1，y =−1，故m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)，设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−a +2b −√3c =0−a −√3c =0， 令z =−√3，则x =3，故n ⃗ =(3,0,−√3)，设二面角D −PC −B 的大小为θ，所以|cosθ|=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155， 则sinθ=√1−cos 2θ=√105， 故二面角D −PC −B 的正弦值为√105．【解析】(1)取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE//DF ，由面面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，从而证明AB ⊥DF ，CE ⊥AP ，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB 和平面PCD 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}|3x x < B ．{}|13x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【详解】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<， ∴P Q ⋃={}|13x x -<< 故选：B 2．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.3．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以2O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，222OA O A ''==所以原平面图形的面积是1222222⨯⨯= 故选：D4．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，则向量OD 等于A ．a b c ++B ．a b c +-C ．a b c -+D ．a b c --【答案】C【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【详解】∵O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =， ∴OD OA AD OA BC OA OC OB a c b =+=+=+-=+-， 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，且1cos 4α=，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．2B ．21515C ．1D ．14【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 22cos RR αα==. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.6．已知棱长均相等的四面体A BCD -6，则这个四面体的棱长为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体A BCD -放正方体中，设正方体的棱长为a ，根据(22263a =，求出a ，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知A BCD -为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为a ，()22263a =，解得22a =，所以四面体的棱长为22164a a +==. 故选：D7．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则函数()f x 在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性可知()00f =；由()()4f x f x +=可求得()20f =且()f x 周期为4，由此可得函数图象，结合图象可求得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f ∴=，且()f x 图象关于原点对称，由()()4f x f x +=知：()f x 是周期为4的周期函数， 且()()()()22422f f f f =-+=-=-，()20f ∴=；()f x ∴部分图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[]0,4共有5个零点，分别为0x =，1x =，2x =，3x =，4x =. 故选：B.【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 8．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，进而得到结果.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线【答案】CD【分析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A ．命题“1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定是：“1x ∀>，2320x x -+<”B ．若,,a b c ∈R ，当0ac >时，x ∃∈R ，20ax bx c +-=C ．若实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33x y > D ．x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥ 【答案】BC【分析】选项A ，可根据存在量词命题的否定的定义判断其为假命题；选项B ，根据方程判别式的符号判断一元二次方程是否有解；选项C ，根据指数函数和幂函数的单调性判断大小；选项D ，通过等价转化，逐步找到正确的充要条件. 【详解】选项A ，根据存在量词命题的否定的定义， “1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定应该是： “1x ∀≤，2320x x -+<”，故A 错误； 选项B ，20ax bx c +-=，2=4b ac ，因为0ac >，所以0∆>，则方程有解，故B 正确；选项C ，指数函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 则由1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得x y >， 又因为幂函数3()g x x =单调递增，所以33x y >，故C 正确；x y x y 22()x yxy 222222x xyy xxyy220xy xy xy ，故选项D 错误，也可举反例，如3,2x y ==-，3(2)532，则选项D 错误.故选：BC.【点睛】对于命题的真假判断，要结合各个知识点进行逐一判断，有时也可以通过举反例的方法判断命题为假.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ， 可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >， 则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =， 由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 12．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ） A ．()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．(){},sin 1M x y y x ==+ C ．(){},22xM x y y ==-D ．(){}2,log M x y y x ==【答案】ABC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-， 故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果. 【详解】因为α是锐角，2sin 3α=，所以5cos α，所以12cos cos cos sin sin 33323236πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭14．复数11cos z i θ=+，2sin i z θ=-，则12z z -的最大值为_________．1【分析】利用复数的加减运算法则计算计算12z z -，然后计算12z z -并利用三角函数的性质分析其最值.【详解】因为11cos z i θ=+，2sin i z θ=-， 所以()()121sin cos 1z z i θθ-=-++， 故12z z -===，所以当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，12z z -有最大值，且最大值为12max 1z z -==.故答案为：21+.【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出12z z -的表达式，然后通过辅助角公式将12z z -化简，结合三角函数的性质求解最值.15．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边BC 、CD 上的点，当CPQ 的周长是2，则PAQ ∠的大小为_________．【答案】4π 【分析】设出角,,PAB QAD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅ ，再利用两角和的正切公式可得4παβ+=，即求.【详解】设,PAB QAD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==， 则1tan ,1tan CP CQ αβ=-=-，22(1tan )(1tan )PQ αβ=-+-，2221tan 1tan (1tan )(1tan )αβαβ∴=-+--+- 22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅即tan()1αβ+=，4παβ∴+=，4PAQ π∴∠=.故答案为：4π四、双空题16．在ABC 中，已知2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是BC 上一点，且AD 平分BAC ∠，则BDCD=__________，线段AD 的长度为__________. 【答案】2 23【分析】利用正弦定理求解得出比值BD CD ，利用余弦定理及BDCD可得AD ． 【详解】在ABD △和ACD △中，sin 60sin BD AB ADB =︒∠，sin 60sin CD ACADC=︒∠，又180ADB ADC ∠+∠=︒，即sin sin ADB ADC ∠=∠， 所以2BD ABCD AC==，所以BD CD=2==，解得23AD =（0AD =舍去）． 故答案为：2；23．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．本题考查第一个结论BD ABCD AC=，实质上就是三角形的内角平分定理，可以通过平面几何的知识进行证明．五、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ； （2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以1832440p p -=-=，解得6p．18．在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】取①222b a c +=+，由余弦定理可得cos 2B =进而解得B ，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取②cos sin a B b A =，由正弦定理可得：tan 1B =，(0,)B π∈，解得B ，可得sin sin()C A B =+，由正弦定理可得：a ，利用三角形面积计算公式即可得出；取③sin cos B B +=)4B π+B 的大小，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【详解】解：（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+=，所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，2b =，4Bπ=所以32sin 23sin 22b Aa B⨯===，512C A B ππ=--=， 所以562sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ+==+=+=所以1162sin 32224ABCSab C +==⨯⨯⨯=33+ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==，所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表（2）剩下几何体的体积222221153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知函数()2log 2a xf x mx-=+，（0a >且0a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值； （2）若217f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1m =；（2）304a <<或1a >． 【分析】（1）利用()()f x f x -=-恒成立求出m =±，再验证定义域是否关于原点对称； （2）化为3log 14a<，再分类讨论a ，利用对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2log 2axf x mx-=+（0a >且0a ≠）是奇函数，所以()()22log log 22aax mxf x f x mx x++-==-=-- ∴2222x mxmx x++=--，∴22244x m x -=-，∴21m =，∴1m =±，当1m =-时，()2log 02a xf x x-==-，此时2x ≠，定义域不关于原点对称，∴不成立，当1m =时，2()log 2a xf x x-=+的定义域为(2,2)-，符合题意， 故1m =．（2）由（1）知，2()log 2axf x x-=+， ∵217f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2237log log 12427a a-=<+当1a >时：3log 04a<，恒成立； 当01a <<时：由3log 14a <，得304a <<，综上所述：304a <<或1a >．【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键. 21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？【答案】（1）()62cos8315H t t π=-+(030t ≤≤)；（2）5分钟【分析】（1）根据函数关系式()sin()H t A t B ωϕ=++，结合已知条件可知max ()145H t =，min ()21H t =，即21145A B A B -+=⎧⎨+=⎩，求得,A B ，利用()H t 的最小正周期30T =，求出ω，再根据题意知其过点(0,21)，求出ϕ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；（2）令()52H t =，求出符合题意的t 即可. 【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，∴摩天轮最低点距离地面14512421-=米，即max()145H t =，min()21H t =21145A B A B -+=⎧∴⎨+=⎩，解得8362B A =⎧⎨=⎩又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，()H t ∴的最小正周期为30T =223015T πππω∴===，()62sin 83.15H t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭又(0)62sin 8321H ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-||2πϕ≤，2πϕ∴=-()62sin 8362cos 83.15215H t t t πππ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭所以摩天轮转动一周的解析式为：()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)（2）由（1）知，()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)，令62cos835215t π-+=，解得：1cos152t π=要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，015t ∴≤≤，015t ππ∴≤≤，315t ππ∴=，5t ∴=所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米. 【点睛】方法点睛：求sin()y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω)解析式的步骤 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA，2M mB +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）22⎡-⎢⎣⎦． 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，化简得到()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 的最小正周期为π，求得1w =，即可求解；（2）由（1）得sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 22226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos2sin 22sin 2cos2cos 212sin 2cos2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解， 方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+， 令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-， ①当0t =时，0y =；②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t+≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-，当且仅当2x =-时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，y ⎡∈⎢⎣⎦，所以a ⎡∈⎢⎣⎦， 故实数a的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦． 【点睛】解答中利用三角恒等变换的公式，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式求解是解答的关键.。
2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年第一学期高一第一次月考数学试卷(含评分细则)
湖南省雅礼中学2020年下学期高一第一次月考试卷数 学（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2、集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝(D )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}3、设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式中错误的是(B )A ．(∁U A )∪B ＝U B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U B4、“b a ,为正数”是“ab b a 2>+”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知命题p ：01x ∃＞，2010x -＞，那么p ⌝是（C ）A ．2110x x ∀-，＞＞B ．200110x x ∃-，≤＞C ．2110x x ∀-，≤＞D ．200110x x ∃-≤，≤6、已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．3C ．4D ．57、已知命题“∃x ∈R ,使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是(D)A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >948、已知2>x ，则函数421)(-+=x x x f 的最小值为（A ）A.22+ B.222+ C.2D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9、使ab >0成立的充分不必要条件可以是(ACD )A ．a >0，b >0B ．a ＋b >0C ．a <0，b <0D ．a >1，b >110、下列说法中，正确的是（BC ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0>ab 11、已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（CD ）.A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.12、下列说法正确的是（BCD ）A.若R x ∈，则21≥+xx B.若51≤<≤-y x ，则06<-≤-y x C.“1>x 或2>y ”是“3>+y x ”的必要不充分条件D.若||||b b a a >，则ba >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_a ≤－1_______．14、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,10,0)(x x x x x f ，则)))1(((-f f f 的值是_____2_____．15、若}31|{≤≤∈∃x x x ，使得不等式022≥++a x x 成立，则实数a 的取值范围为15-≥a .16、已知1,=+∈+b a R b a ，,则：（1）2121+++b a 的最小值是__54_________;（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是2+.【解析】（1）由于1,=+∈+b a R b a ，，则5)2()2(=+++b a 所以54)222121512121≥++++++=+++b a b a b a （，当且仅当21==b a 时等号成立；（2）22222111()22(2b b a b b a ab b a b abab ab ++++++===当且仅当a =即2a =，1b =-时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【解析】（1） 集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2) 集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，则MA ⊆622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-18、设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有⎩⎨⎧≤--≥--1131a a ，解得02a ≤≤.19、已知函数x x x f 2622)(-+-=.（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的值域.【解析】（1）由⎩⎨⎧≥-≥-026022x x 得)(x f 的定义域为]3,1[；（2）易知0)(≥x f .又121642426)26)(22(222)(22-+-+=-+--+-=x x x x x x x f =1)2(442+--+x .由于)(x f 的定义域为]3,1[，易得]8,4[)(2∈x f ，故求)(x f 的值域为]22,2[.20、已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-.由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p、q⌝均为真命题，所以实数m需满足12mm<-⎧⎨<-⎩，解得2m<-，所以实数m的取值范围为2m<-.21、某单位决定投资3200旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元；两侧墙砌砖，每1m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每21m造价20元，则当仓库占地面积S取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为()0x x>米，一侧砖墙长为()0y y>米，则仓库占地面积S（1）402453200x y+⨯=，6400493209S xyx y+==≥≤当且仅当9160,40==yx时取等号.故该仓库占地面积S的最大值为96400.（2）依题设，得40245203200x y xy+⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S≥+=+=，则1600S+-≤，即)10160+≤，故10≤S，从而100≤S，当且仅当4090x y=且100xy=即15x=时取等号，所以S的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米.22、（1）已知a，b，c均为正数,求证:aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba；（2）已知正数x，y满足2x y+=，若2122+++<yyxxa恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明∵a，b，c均为正数,∴ab2+ba2≥2ac3+ca3≥2bc23+cb32≥2以上三式相加,得ab2+ba2+ac3+ca3+bc23+cb32≥6∴（ab2+ba2-1）+（ac3+ca3-1）+（bc23+cb32-1）≥3即aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以(1)(2)5x y +++=，所以：12155x y +++=则2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++，14122412x y x y =+-+++-+++，14112x y =+-++，1214()()15512x y x y ++=++-++14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++≥4115-+，当且仅当34,32==y x 等号成立要使2122+++<y y x x a 恒成立，只需满足min21）（+++<y x a 即可，故54<a ．。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数421i z i+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．1303．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞ D ． 4．已知2:0- <<="" a="" b="" bdsfid="103" c="" d="" p="" x="" 的一个必要不充分条件是（="" ）="" ，那么命题p="" ．01x="" ．11x="" ．1223x="" ．122<="">x << 5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个B ．192个C ．240个D ．108个 6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，如果抛物线2 16y x =的准线经过双曲线M的一个焦点，那么12||||PF PF ?=（） A ．21 B ．14 C ．7 D ．08．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A ．1B ．2C ．3D ．4，5，6号中的一个 9．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．()()3,03,-?+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞- 11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式为R(x)= 21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．2二、填空题13．双曲线221x y -=的离心率为14．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=?，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.（1）求23f π?? ???的值. （2）求()f x 的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：()()()1 122211?n n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-. 参考数据：511415ii i x y ==∑.20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ?=，沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求二面角--B AP O 的余弦值.21．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???到抛物线C ：()220y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标；（2）记()d m =，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4．B【详解】解: p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<="" bdsfid="270" p=""></x【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．考点：排列组合．6．A【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．B【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，所以，解得；故选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．C【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题. 9．C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．A【分析】构造函数()()()g x F x f x =，根据已知条件，可判断出()F x 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x F x f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=则()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()()()()()()g x g x F x F x f x f x -===---，所以()F x 在R 上为奇函数，则()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g =，所以()()()3303g F f ==，即()30F =，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =?=?，要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或3x >，则不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-?+∞.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11．D【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C 元，总利润为P 元，则C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 取得最大值，故选D ．</x【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 12．B【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k a x x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=?-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -?==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B 13【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D . ()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故cos ,66EF BDEF BD EF BD ?-====?..【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15．24【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16．12【分析】令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值.【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -?++= 解得12a =，故答案为：12. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.17．(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -??=+++-++++?? ()12112212nn n ??+--??=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．（1）223f π??=（2）2,63k k k Z ππππ??++∈ 【分析】（1）已知()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π?? ???的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π??=-+ ，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：（1）由2sin 3π=21cos 32π=-， 22211232222f π=----= ? ? ? ????，即：223f π=. （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π??=-=-+ ??，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ??++∈. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500?8.55545n i ii n i i x y nx y b xnx ==--===---∑∑,??125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591?25.549y=-?+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,aa ,()31,ab ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,bb ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证明BD ⊥平面POA ；（2）设AO BD H ?=，连接BO ，由（1）可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接ABD ∴?为等边三角形，，在中，在中，，BO ? 平面BFED 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,z x =-=∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由（1）知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，则2cos cos ,13||n BHn BH n BH θ?====? ∴二面角B AP O --的余弦值为3913，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）2y x =.()1,1M .（2）A B =d 的最大值为1. 【分析】（1）根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标；（2）由点()1,1M ，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过基本不等式求得d 的最大值.【详解】解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ?--= ，∴12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ?=?=?，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x-+-=?=?，消去x ，整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ?=->，122y y m +=，2122y y m m =-.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题(教师版)
由基本不等式得 ，
则 ，即 ，故 ，从而 ，
当且仅当 且 即 时取等号，所以 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米．
22、【解析】（1）证明∵ ， ， 均为正数，
∴
以上三式相加，得
∴
即 ．（当且仅当 时等号成立）．
（2）解：由于正数 ， 满足 ，所以 ，所以：
则 ， ，
， ， ，
，
当且仅当 ， 等号成立
要使 恒成立，只需满足 即可，故 ．
三、填空题
13、 14、2
15、
16、（1） （2）
【解析】（1）由于 ， ， ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）
当且仅当 即 ， 时等号成立.
四、解答题
17、【解析】（1）∵集合 ．则
∵集合 ，则
（2）∵集合 ，且 ，则
∴ ，解得 ，故实数 的取值范围为
18、【解析】（1） ．
因为 ，所以 ，因此 ；
（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积 的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每 造价20元，则当仓库占地面积 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？
22．（1）已知 ， ， 均为正数，求证： ；
（2）已知正数 ， 满足 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
湖南省长沙雅礼中学2020-2021学年上学期高一
19．已知函数 ．
（1）求 的定义域；
（2）求 的值域．
20．已知 ： ， ， ： ， ，
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 、 均为真命题，求实数 的取值范围．
21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 长造价40元；两侧墙砌砖，每 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．
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min
3
+
log 1
x, log 2
x ，当 0
a
b
时，
4
有 f (a) = f (b) ，则 a b 的值为( )
A. 6
B. 8
C. 9
D.16
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.)
10.已知函数
f
(x) =
Asin (x + ) A 0,
0,
2
的部分图象如图所示，下列说法正确的是(
)
A.函数 y = f ( x) 的周期为
B.函数
y
=
f
(
x
)
在
−
2 3
,
−
6
单调递减
C.函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = − 5 对称
12 D.该图象向右平移 个单位可得 y = 2sin 2x 的图象
6
11.如图，正方形 ABCD 的长为 2 ，O 为边 AD 中点，射线 OP 绕点 O 按逆时 针方向从射线 OA 旋转至射线 OD ，在旋转的过程中，记 AOP 为 x ，射线
OP 扫过的正方形 ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为 f ( x) ，则下列说法
正确的是( )
A.
f
4
=
1 2
=
1 x 2
+
a
的“稳定区间”，则实数 a 的可能取值
是( )
A. − 3
B. − 5
C. 0
2
6
1
D.
32
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知命题“ x R ， mx2 − x + 1 0 ”是假命题，则实数 m 的取值范围是________.
14.已知 a ， b 满足： a = 3 ， b = 2 ， a + b = 4 ，则 a − b = ________.
A. − 1 AB + 2 AC 63
C. − 1 AB + 1 AC 63
B. 1 AB + 2 AC 63
D. 1 AB + 1 AC 23
4.在同一直角坐标系中，函数
y
=
1 ax
，
y
=
loga
x
+
1 2
(
a
0且a
1)的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知向量 a = (2, 4) ， b = (1, k ) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是( )
9.下列结论正确的是( )
A.在三角形 ABC 中，若 A B ，则 sin A sin B
B.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2 + c2 − a2 0 恒成立
C.若 sin 2A = sin 2B ，则三角形 ABC 为等腰三角形 D.在锐角三角形 ABC 中 sin A + sin B cos A + cos B
15.已知 a 0 ， b 0 ，且 2a + b = 1 ，则 2a + b 的最大值为________.
16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物 P (单位：毫克/
( ) 升)与过滤时间 t (单位：小时)之间的函数关系式为：P t = P0e−kt ( e 为自然对数的底数，P0 为污染物的初
B.
f
(x)
在
2
,
上为减函数
C. f ( x) + f ( − x) = 4
D. f ( x) 图像的对称轴是 x =
2
12. 设函数 y = f ( x) 和 y = f (−x) ，若两函数在区间 m, n 上的单调性相同，则把区间 m, n 叫 做
y
=
f
( x) 的“稳定区间”.已知区间1,2020 为函数 y
12
6
4
12
7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边，a = 15 、b = 10 、A = 60 .则 cos B =
()
A. − 1 2
B. − 6 3
C. − 6 或 6 33
6
D.
3
8.已知
min m, n
表示实数
m
，n
中的较小数，若函数
f
(x)
=
雅礼中学 2021 年上学期高一年级入学考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.)
1.已知集合 A = x x2 − 3x − 4 0 ， B = −4,1,3,5 ，则 A B = ( )
且m⊥n. (1)求角 A 的大小； (2)求△ABC 周长的取值范围.
17.(10 分)
已知集合 M
= x
x+3 x−3
0 ，集合 N
=
x x2 − mx − 2m2 0
，其中 m 0 .
(1)当 m = 2 时，求 M N ；
(2)若“ x M ”是“ x N ”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
18.(12 分)
已知函数 f ( x) = 2
3
cos2
x 2
−
2sin
x 2
+
2
cos
x 2
+
2
−
3.
(1)求 f ( x) 的最小正周期；
(2)求 f ( x) 在区间0, 上的最小值及单调减区间.
19.(12 分)
( ) 在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a = 1，m = 1,− 3 ，n = (sin A,cos A)
A. −4,1
B. 1, 5
C.3,5
D.1,3
2.已知 a 0 ， b 0 ，则“ a b ”是“ a + 1 b + 1 ”的( )
b
a
A.充分不必要条件
B.必要要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图，△ABC 中， E 是 AB 的中点，点 F 满足 BF = 2FC ，则 EF = ( )
始含量)，过滤 2 小时后检测，发现污染物的含量为原来的 16 .则 k = ________；且至少需要过滤________ 25
小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的 1 .(参考数据： lg 2 0.3 ) 10000
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
A.
−
1 2
,
+B.源自−1 2,
2
C.
−,
−
1 2
D.
−
1 2
,
2
( 2, + )
6.将函数 f ( x) = sin 2x + 3 cos 2x 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位后得到函数 g ( x) .若 g ( x) 为
偶函数，则 的最小值为( )
5
A.
B.
C.
D.