湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试卷

=
1 x 2
+
a
的“稳定区间”，则实数 a 的可能取值
是( )
A. − 3
B. − 5
C. 0
2
6
1
D.
32
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知命题“ x R ， mx2 − x + 1 0 ”是假命题，则实数 m 的取值范围是________.
14.已知 a ， b 满足： a = 3 ， b = 2 ， a + b = 4 ，则 a − b = ________.
12
6
4
12
7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边，a = 15 、b = 10 、A = 60 .则 cos B =
()
A. − 1 2
B. − 6 3
C. − 6 或 6 33
6
D.
3
8.已知
min m, n
表示实数
m
，n
中的较小数，若函数
f
(x)
=
且m⊥n. (1)求角 A 的大小； (2)求△ABC 周长的取值范围.
A.
−
1 2
,
+
B.
−
1 2
,
2
C.
−,
−
1 2
D.
−
1 2
,
2
( 2, + )
6.将函数 f ( x) = sin 2x + 3 cos 2x 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位后得到函数 g ( x) .若 g ( x) 为
偶函数，则 的最小值为( )
5
A.
B.
C.
D.
A. − 1 AB + 2 AC 63
C. − 1 AB + 1 AC 63
B. 1 AB + 2 AC 63
D. 1 AB + 1 AC 23
4.在同一直角坐标系中，函数
y
=
1 ax
，
y
=
loga
x
+
1 2
(
a
0且a
1)的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知向量 a = (2, 4) ， b = (1, k ) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是( )
17.(10 分)
已知集合 M
= x
x+3 x−3
0 ，集合 N
=
x x2 − mx − 2m2 0
，其中 m 0 .
(1)当 m = 2 时，求 M N ；
(2)若“ x M ”是“ x N ”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
18.(12 分)
已知函数 f ( x) = 2
3
cos2
x 2
−
2sin
x 2
+
2
cos
x 2
+
2
−
3.
(1)求 f ( x) 的最小正周期；
(2)求 f ( x) 在区间0, 上的最小值及单调减区间.
19.(12 分)
( ) 在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a = 1，m = 1,− 3 ，n = (sin A,cos A)
6
11.如图，正方形 ABCD 的长为 2 ，O 为边 AD 中点，射线 OP 绕点 O 按逆时 针方向从射线 OA 旋转至射线 OD ，在旋转的过程中，记 AOP 为 x ，射线
OP 扫过的正方形 ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为 f ( x) ，则下列说法
正确的是( )
A.
f
4
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 2
A. −4,1
B. 1, 5
C.3,5
D.1,3
2.已知 a 0 ， b 0 ，则“ a b ”是“ a + 1 b + 1 ”的( )
b
a
A.充分不必要条件
B.必要要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图，△ABC 中， E 是 AB 的中点，点 F 满足 BF = 2FC ，则 EF = ( )
始含量)，过滤 2 小时后检测，发现污染物的含量为原来的 16 .则 k = ________；且至少需要过滤________ 25
小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的 1 .(参考数据： lg 2 0.3 ) 10000
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
B.
f
(x)
在
2
,
上为减函数
C. f ( x) + f ( − x) = 4
D. f ( x) 图像的对称轴是 x =
2
12. 设函数 y = f ( x) 和 y = f (−x) ，若两函数在区间 m, n 上的单调性相同，则把区间 m, n 叫 做
y
=
f
( x) 的“稳定区间”.已知区间1,2020 为函数 y
min
3
+
log 1
x, log 2
x ，当 0
a
b
时，
4
有 f (a) = f (b) ，则 a b 的值为( )
A. 6
B. 8
C. 9
D.16
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.)
10.已知函数
f
(x) =
Asin (x + ) A 0,
0,
2
的部分图象如图所示，下列说法正确的是(
)
A.函数 y = f ( x) 的周期为
B.函数
y
=
f
(
x
)
在
−
2 3
,
−
6
单调递减
C.函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = − 5 对称
12 D.该图象向右平移 个单位可得 y = 2sin 2x 的图象
15.已知 a 0 ， b 0 ，且 2a + b = 1 ，则 2a + b 的最大值为________.
16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物 P (单位：毫克/
( ) 升)与过滤时间 t (单位：小时)之间的函数关系式为：P t = P0e−kt ( e 为自然对数的底数，P0 为污染物的初
雅礼中学 2021 年上学期高一年级入学考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.)
1.已知集合 A = x x2 − 3x − 4 0 ， B = −4,1,3,5 ，则 A B = ( )
9.下列结论正确的是( )
A.在三角形 ABC 中，若 A B ，则 sin A sin B
B.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2 + c2 − a2 0 恒成立
C.若 sin 2A = sin 2B ，则三角形 ABC 为等腰三角形 D.在锐角三角形 ABC 中 sin A + sin B cos A + cos B