高中数学指数函数与对数函数(专题复习)

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指数函数与对数函数知识整合

1、与定义域相关

【典例1】函数ln y x

=的定义域是（） A ．（0，1）∪（1，4]

B ．（0，4]

C ．（0，1）

D ．（0，1）∪[4，+∞）【解析】2234034ln ln 0,0

x x x x y x x x ⎧-++≥-++=⎨≠>⎩ 14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩

，故选：A 2、比较大小问题

【典例2-1】若0

A ．3y <3x

B ．log x 3

C ．log 4x

D ．)41(x <)4

1(y 【解析】因为0

对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：

当0

因为0log y 3，错误．

对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x

对于D ，函数y ＝)41(x 在R 上单调递减，故)41(x >)4

1(y ，错误． 3、单调性相关问题

【典例3】是否存在实数a ，使函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】设u（x）＝ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x=1

2a．

①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）＝ax2﹣x在[2，

②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，

则u（x）＝ax2﹣x在[2，4]上为减函数，

综上，a＞1时，函数f（x）＝log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．4、图像的变换

的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点()

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

∴只需将y＝lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平

【典例5】已知f (x )＝a x -2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (4)g (4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )

【解析】由f (4)g (4)<0知a 2·log a 4<0，∴log a 4<0，∴0

∴f (x )和g (x )在(0，＋∞)上都单调递减．

答案B.

6、换元法在求最值中的应用

【典例6】已知[]3,2x ∈-，求11()142

x x f x =-+的最小值与最大值．【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝

⎭, ∵[]3,2x ∈-, ∴

1284x -≤≤. 当122x -=,即1x =时,()f x 有最小值34

；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值57．

【解析】将方程变形为lg x ＝3－x 和10x ＝3－x .令y 1＝lg x ，y 2＝10x ，y 3＝3－x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y 1＝lg x ，y 2＝10x ，y 3＝3－x 的图象，如图所示．这样方程lg x ＝3－x 的解可以看成函数y 1＝lg x 和y 3＝3－x 的图象的交点A 的横坐标，方程10x ＝3－x 的解可以看成函数y 2＝10x 和y 3＝3－x 的图象交点B 的横坐标．因为函数y 1＝lg x 和y 2＝10x 互为反函数，所以y 1＝lg x 和y 2＝10x 的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A ，B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A ，B 两点的坐标分别为A (α，β)，B (β，α)．而A ，B 两点都在直线y ＝3－x 上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.

【答案】D

8、复合函数的单调性

【典例8】若函数()()

23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为（）

【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可.

【解析】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，

由()()

23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数，

内层函数为()2

5h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，

根据复合函数“同增异减”原则，