数字信号处理 程佩青PPT第三章

1 T0 / 2 jk 0t X ( jk 0 ) x (t )e dt T0 / 2 T0
x(t )
k
X ( jk )e
0

jk 0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域 的离散对应时域是周期函数。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j )
3 j k 8

1 e

e
sin sin

2
k k
8
X k 与z变换的关系：
x n 令x n 0 0 n N 1 其它n
n
N 1 n 0
对x n 作z变换: X z
x n z
N

n
x n z
j
2 N
例：已知序列x(n )是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0
5
N 1
x ( n )W6nk
n 0
14 12e 8e
X (0) 60 X (3) 0
n 0 N 1 j 2 kn N
x n e
n 0
j k 2
7
2 j kn 8
e
n 0
3
j kn 4


1 e
j k 4 4 j k 4

j k j k e e 2 e 2 j k j k j k e 8 e 8 e 8
1 N 1 N
X 1 (l ) X 2 ( k l )
l 0
N 1
X
l 0
N 1
(l ) X 1 ( k l ) 2
三、离散傅里叶变换（DFT）
长度为N的有限长序列x (n ) 周期为N的周期序列x (n )
x(n ) x(n ) RN (n )
n




x( n)e jn
1 x ( n) 2

X (e j )e jn d
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时 域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶级数
X ( k ) x ( n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
1 x(n) N
4、周期卷积和
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m ) x2 (n m )
m 0
N 1
x2 ( m ) x1 ( n m )
m 0
N 1
证： y (n ) IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )]
3、调制特性
nl DFS [WN x ( n )] X ( k l )
ln ln nk 证：DFS [WN x ( n )] WN x ( n )WN n 0 ( x ( n )WNl k ) n n 0 N 1
N 1
X (k l )
1 N 1 N
N 1
X 1 ( k ) X 2 ( k )WN kn k 0 mk [ x1 ( m )WN ] X 2 ( k )WN kn k 0 m 0 X 2 ( k )WN ( n m ) k ] k 0 N 1 N 1 N 1
解法一：数值解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0 N 1
x ( n )W8nk W8nk
n 0 n 0
7
3
1 e
X (0) 4 X (4) 0
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
X (5) 1 j
1 x(n) N
X ( k )WN nk RN ( n ) x ( n ) RN ( n ) k 0
2 N
N 1
其中： WN e
j
DFT 与序列的DTFT和z变换的关系：
X (e j ) x(n)e jn
n 0 nk X ( k ) x ( n )WN X ( z ) n 0 N 1 N 1
1 2 … y (n)
1 0… 2 1… 3 2… 4 3… 5 4… 0 5… 10
8 6
10
14
12
同样，利用对称性
若 则
y (n) x1 (n) x2 (n)
nk Y ( k ) DFS [ y ( n )] y ( n )WN n 0 N 1
x(n )
r
x (n )的主值序列
N
x(n rN ) x((n))
x(n )的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X ( k ) X (( k )) N X ( k ) X ( k ) RN ( k )
有限长序列的DFT正变换和反变换：
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
连续时间、连续频率—傅里叶变换
X ( j) x(t )e jt dt

1 x(t ) 2



X ( j)e jt d
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
连续时间、离散频率—傅里叶级数
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n )WN n 0 2 nk N N 1 k 0 N 1
(k )] 1 x(n ) IDFS [ X N
X ( k )e
k 0
N 1
j
1 N
X (k )WN nk
其中： WN e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
10e X (1) 9 j 3 3 X (2) 3 j 3 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
2 3k 6
6e
2 4k 6
例：已知序列x (n ) R4 ( n ), 将x( n )以N 8为周期 进行周期延拓成x (n )，求x (n )的DFS。
N 1
1 x1 ( m )[ N m 0
N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
例：已知序列x1 (n ) R4 (n )， 2 (n ) (n 1) R5 (n ) x 分别将序列以周期为6周期延拓成周期序列 x1 (n )和x2 (n )，求两个周期序列的周期卷积和。
解： y ( n ) x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0 5 N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
n m x1 n / m x2 n / m x2 m x2 1 m x2 2 m x2 3 m x2 4 m x2 5 m
…-4 -3 -2 -1 …1 1 0 0
0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 0 0
6 7… 1 1…
…3 4 5 0
…5 4 3 2 …0 5 4 3 …1 0 5 4 …2 1 0 5 …3 2 1 0 …4 3 2 1
1 2 3 4 5 0
1 0 5 4 3 2 2 1 0 5 4 3 3 2 1 0 5 4 4 3 2 1 0 5 5 4 3 2 1 0 0 5 4 3 2 1
X (k )
nk 证：DFS [ x ( n m )] x ( n m )WN n 0 N 1 m
N 1
令i n m


i m
k x (i )WN ( i m ) N 1 i 0
ki WN mk x (i )WN WN mk X ( k )
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周 期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
离散(T)和周期(T0)
X (1) 1 j
2 1
2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (7) 1 j
X (3) 1 j
2 1
2 1
解法二：公式解 X k DFS x n x (n )e
周期(Ωs=2π/T)和连续
周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列：x(n ) x (n rN ) r为任意整数 N 为周期
连续周期函数： xa (t ) xa (t kT0 ) xa ( t )
k
T0为周期
n 0
j 2 k N
N 1
n
nk X k x n WN X z z W
k
e
X k 可看作是对 x n 的 一个周期 x n 做 z 变换 然后将 z 变换在 z 平面 2 单位圆上按等间隔角 N 抽样得到
DFS的性质
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
2 j k k z WN e N
X (e j )

2 k N
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。
例：已知序列x (n ) R4 (n ), 求x( n )的8点和16点DFT。
了解频域抽样理论 理解频谱分析过程 了解序列的抽取与插值过程
第三章
离散傅里叶变换
DFT: Discrete Fourier Transform
一、Fourier变换的几种可能形式
时间函数 频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
数字信号处理
第三章
目
1 3 2 3 4
录
离散傅里叶变换 傅里叶级数与周期卷积 圆周卷积、圆周移位 频域抽样、频谱分析
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷
积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共
轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系



A( k )e jk 0t
基频：0 2 / T0 k次谐波分量：e jk0t 基频：0 2 / N k次谐波分量：e jk0n
N 为周期的周期序列： x(n )
k

A( k )e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) DFS [ x(n )] x(n )e
1、线性：
若
X 1 (k ) DFS [ x1 ( n )] X 2 ( k ) DFS [ x2 ( n )]
则
DFS [ax1 (n ) bx2 (n )] aX 1 (k ) bX 2 (k )
其中，a, b 为任意常数
2、序列的移位
DFS [ x ( n m )] WN mk X ( k ) e j 2 mk N
nk X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN n 0 N 1
0 k N 1
1 x ( n ) IDFT [ X ( k )] N
N 1 n 0
X ( k )WN nk 0 n N 1 ຫໍສະໝຸດ Baidu k 0
N 1
或
nk X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) X ( k ) RN ( k )