数字信号处理 程佩青PPT第三章
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数字信号处理课件ppt
| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 C Sss ( z) H opt ( z)S xs ( z ) z 2πj
通过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 B( z 1 ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
1 ˆ' rxx (m) N
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k
m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k
ryy (m)
m0
k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
数字信号处理第三版第3章.ppt
x1(n) x2 (n)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
9
c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
┇ y3 (n) = ay3 (n − 1) + x3 (n) = a n−1 ∴ y3 (n) = a n−1 , n ≥ 1 ii)向 n < 0 处递推
解：(1 )
n
y(n) = ∑ x(m ) m = −∞
n
y1 (n ) = T [x1 (n )] = ∑ x1 (m ) m = −∞
y2 (n ) = T [x2 (n )] =
n
∑ x2 (m )
m = −∞
n
ay1(n)+ by2 (n) = ∑[ax1(m) + bx2 (n)] m = −∞
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
j sin(
n 6
−π)
=
− cos
n 6
−
j sin
n 6
2π /ω 0 = 12π 5. 设系∴统是差非分周方期程的为。:
T 是无理数
y (n ) = ay (n − 1) + x(n )
其中 x(n) 为输入, y(n) 为输出。当边界条件选为
(1) y(0) = 0 (2) y(−1) = 0
4
第一章 离散时间信号与系统
数字信号处理-程佩青第三版课件
xa(t) 0
xa(nT)
t
2T
0
t
T
这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是 一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信 号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n) xa (nT ), n
离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形 表示法、集合符号表示法，如
称该系统是因果系统。 因果系统是指输出的变化不领
先于输入的变化的系统。
对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是 系统的单位取样响应满足：
如
稳定系统
稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有 界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)， 有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。
x(n) ...1,2,3,7,8,9,...
二、常用序列
1. 单位抽样序列(n)
(t) 1/
0 t
(n)
1
0
n
(t)
(1)
t
0
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n) 0
u(t)
1
…
n
0
t
(n)与u(n)之间的关系
令n-k=m，有
3. 矩形序列RN(n)
N为矩形序
列的长度
R4(n)
n 012 3
4. 实指数序列
，a为实数
0<a<1
a>1
n
n
0
0
-1<a<0
a<-1
0
n0
n
a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动
数字信号处理(第四版)第三章--上ppt
2
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
Objective of this lecture
Time domain representation of a DT signal x[n] = sum_k(a_n delta[n-k])
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.1 Review of CTFT
Dirichlet conditions
(1) finite discontinuities, finite number of maxima and minima in any finite interval
Discrete-Time Signals in Frequency Domain
3.2 Discrete-time Fourier transform (DTFT)
Convergence condition
(3) Dirac delta function: for sequences that are neither absolutely summable nor square-summable.
Signal energy and energy density spectrum Energy definition in time domain
(1) Parseval’s theorem (2) Energy density spectrum
6
Digital Signal Processing
Amplitude
数字信处理教程》程佩青第三版课后答案
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
y2 (2) = ay 2 (1) + x2 (2) = a
┇
y2 (n) = ay2 (n − 1) + x2 (n) = a n−1
∴ y2 (n) = a n−1 , n ≥ 1
ii)向 n < 0 处递推 ，按变换后的 y2 (n)
y2
( n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
y2 (−1)
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
9
c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
4
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换
• 证明：
– 已知
~ ~ ( n )e X (k ) x
n 0
N 1
jn
2 k N
k 0,1,2 N 1
• 两边同乘以
e
j
2 kr N
,并对一个周期求和
DFS的反变换－续
k 0 N 1
~ X ( k )e
j
2 kr N
( ~ ( n )e x
n 0 k 0
三、本章主要讨论
• 离散傅里叶变换的推导
• 离散傅里叶变换的有关性质
• 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题
第二节 傅里叶变换的几种形式
• 傅里叶变换： 建立以时间t为自变量的“信号” 与 以 频 率 f 为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频 谱) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 .
0 r n
n 0,1,2 N 1
rn
回顾DFS
• 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : • 正变换 2
N 1 N 1 j nk ~ nk X (k ) DFS [ ~(n)] ~(n)e N ~(n)WN x x x n 0 n 0
二、DFT定义
• 正变换
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
n 0
N 1
j
2 nk N
x(n)W
n 0
N 1
nk N
• 反变换
1 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )e N k 0
N 1
j
2 nk N
x(k )W
现代数字信号处理-第三章-3-2016PPT课件
.
27
等同于线性预测
p
xˆ n k x n k k 1 p
e n x n xˆ n k x n k , 0 1 k 0
E e2 n min k
.
28
AR模型参数与线性预测器参数相同
等同于最优白化滤波
AR模型参数也可以通过最大化预测误差滤波器Prediction Error Filter (PEF)输出信号的谱平坦度spectral flatness来获得。
.
12
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
利用系数矩阵的Toeplitz性质，将扩大方程的行倒序，同 时列也倒序，得到下列“预备方程”
将待求解的k+1阶Y-W方程的解表示成扩大方程的解和预 备方程的解的线性组合形式
.
13
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
x
exp
1 2 1 2
ln
S xx
f
df
1 2 1 2
S xx
f
df
the geometric mean of Sxx f , the arithmetic mean of Sxx f
0 1
max e
x
Rxx Ree
(0) (0)
PEF
min Ree (0)
.
预测误差谱平坦度
AR模型谱估计方法，既要估计AR模型参数，又要估计模 型的阶。
一种简单而直观的确定AR模型的阶的方法，是不断增 加模型的阶，同时观察预测误差功率，当其下降到最小 时，对应的阶便可选定为模型的阶。
另一种简单方法是观察各阶模型预测误差序列的周期图，
数字信号处理-2018年最新程佩青第三版ppt课件合集.pdf
第一章离散时间信号与系统学习目标•掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。
•掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。
•理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。
•了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。
1.1 离散时间信号——序列信号是传递信息的函数。
针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：（1）连续时间信号-----自变量取连续值，而函数值可连续可离散。
当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。
（2）离散时间信号-----自变量取离散值，而函数值连续。
（3）数字信号-----自变量和函数值均取离散值。
它是信号幅度离散化了的离散时间信号。
——序列的概念(t)进行等间隔这里n 取整数。
对于不同的n 值，x a (nT)是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。
注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即∞<<∞-=n nT x n x a ),()({},...9,8,7,3,2,1...)(=n x 离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如二、常用序列δ(n)δ(n)与u(n)之间的关系)1()()(--=n u n u n δ∑∞=-=0)()(k k n n u δ令n-k=m ，有∑-∞==nm m n u )()(δ3. 矩形序列R(n)N4. 实指数序列)()(n u a n x n ，a 为实数0n0<a<10n a>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动0n -1<a<00n a<-15. 正弦序列)sin()(φω+=n A n xnj en x 0)(ω=)sin()cos()(00n j n n x ωω+=()nj nM j ee002ωπω=+Λ2,1,0±±=M nj en x )(0)(ωσ+=6. 复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。
数字信号处理第三章3.3
X k DFT xn
H k DFT hn
Y k X k H k
y n IDFT Y k xm h n m N R N n
m 0
N 1
hm x n m N R N n
简化的计算方法是：把序列 xn 顺时针分布 在N等分的圆周上，而序列 hn 按时间轴与 xn 相反方向分布在另一个同心圆上，每 当两个圆停留在一定相对位置上，两个序 列相乘取和，即得到卷积序列中的一个值， 依次在不同位置上相乘、取和，就得到全 部卷积结果。因此循环卷积也叫圆周卷积。
m
r2,1 n x 2 (m)x1 m n
m
互相关函数式与线性卷积表达式之间关系是：
r1, 2 n x1 (m)x 2 m n
m
x1 n l x 2 l
l
l nm
g l x2 l
N 1
2 nk X i k xn sin n 0 N
N 1
2. 实序列的离散傅里叶变换，在区间 0 n N 1
内，对于
N 2
点呈对称分布。 X k 是偶对称，
是奇对称[注意：认为 X N X 0 ]。 argX k
m 0
N 1
证明：
IDFT Y k
1
N 1
N k 0 1 N 1 N 1 xm W mk H k W nk N N m 0 N k 0
1 N 1 mk nk xm H k W N W N m 0 N k 0
n 0 n 0
N 1 2 2 xn cos nk j xn sin nk n 0 n 0 N N N 1
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理程佩青演示文稿讲课文档
E
x(n) 2
n
第二十八页，共61页。
二、线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成输出 序列的一种运算。
记为：T[]
x(n) 离散时间系统 y(n) T[ ·]
y(n)T[x(n)]
第二十九页，共61页。
1、线性系统
若系统 T [ ]
满足叠加原理： y1(n)T[x1(n)] y2(n)T[x2(n)]
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
第七页，共61页。
3）和
x(n)x1(n)x2(n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
第八页，共61页。
4）积
x(n)x1(n)x2(n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
第九页，共61页。
5）累加
n
y(n) x(k) k
第十页，共61页。
x(n)代表第n个序列值，
在数值上等于信号的采样值
x(n)只在n为整数时才有意义
第四页，共61页。
1、序列的运算
▪ 移位
▪ 翻褶 ▪和
▪积
▪ 累加
▪ 差分
▪ 时间尺度变换 ▪ 卷积和
第五页，共61页。
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
第六页，共61页。
模拟正弦信号：
x a (t) A s in ( t)
x ( n ) x a ( t)t n T A s i n ( n T )
0 T /fs 0 ： 数 字 域 频 率 ： 模 拟 域 频 率
T： 采 样 周 期 fs： 采 样 频 率
数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2x(m)()h n m -n1 1 1 0 0 0 0 y(n) 0 11 1 1 12 2 1 1 13 3 1 1 1 1 34 0 1 1 1 1 2 511111（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列， nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理教程第三版程佩青清华大学出版社dsp-ch
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。
X
第
• 对于线性相位滤波器，通常采用FIR滤波 33 页 器，其单位脉冲响应满足一定条件可以证 明其相位特性在整个频带中是严格线性的， 这是模拟滤波器无法达到的。当然．也可 以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对 其非线性相位特性进行相位校正，这样增 加了设计与实现的复杂性。
X
第
（2） 四种基本的滤波器
12 页
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：
X
第
（3） 理想滤波器的数字表示
13 页
X
第 14 页
上图给出的是理想数字滤波器幅度特性； 理想滤波器是物理不可实现的；
滤波器的传输函数都是以2π为周期的； 考察频率的范围为-π~π。
阻带最小衰减： 2
2 2 0 lg H H ( ( e e j j0 s t) ) 2 0 lg H (e j s t) 2 0 lg2
其中： H(ej0) 1
当 H (e j c)2 /2 0 .7 0 7 时， 13dB
称 c 为3dB通带截止频率
X
第
4、表征滤波器频率响应的特征参量
• 特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤 除的频率成分各占有不同的频带，通过一个 合适的选频滤波器达到滤波的目的。例如， 输入信号中含有干扰，如果信号和干扰的频 带互不重叠，可滤除干扰得到纯信号。
X
第 6
页
现代滤波器 ：
• 如果信号和干扰的频带互相重叠，这时需要采用
另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、卡
(ej)2 1jlnH H *((eej j))21jlnH H ((zz)1)zej
X
第
• 对于线性相位滤波器，通常采用FIR滤波 33 页 器，其单位脉冲响应满足一定条件可以证 明其相位特性在整个频带中是严格线性的， 这是模拟滤波器无法达到的。当然．也可 以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对 其非线性相位特性进行相位校正，这样增 加了设计与实现的复杂性。
X
第
（2） 四种基本的滤波器
12 页
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：
X
第
（3） 理想滤波器的数字表示
13 页
X
第 14 页
上图给出的是理想数字滤波器幅度特性； 理想滤波器是物理不可实现的；
滤波器的传输函数都是以2π为周期的； 考察频率的范围为-π~π。
阻带最小衰减： 2
2 2 0 lg H H ( ( e e j j0 s t) ) 2 0 lg H (e j s t) 2 0 lg2
其中： H(ej0) 1
当 H (e j c)2 /2 0 .7 0 7 时， 13dB
称 c 为3dB通带截止频率
X
第
4、表征滤波器频率响应的特征参量
• 特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤 除的频率成分各占有不同的频带，通过一个 合适的选频滤波器达到滤波的目的。例如， 输入信号中含有干扰，如果信号和干扰的频 带互不重叠，可滤除干扰得到纯信号。
X
第 6
页
现代滤波器 ：
• 如果信号和干扰的频带互相重叠，这时需要采用
另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、卡
(ej)2 1jlnH H *((eej j))21jlnH H ((zz)1)zej
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nk X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN n 0 N 1
0 k N 1
1 x ( n ) IDFT [ X ( k )] N
N 1 n 0
X ( k )WN nk 0 n N 1 k 0
N 1
或
nk X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) X ( k ) RN ( k )
…-4 -3 -2 -1 …1 1 0 0
0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 0 0
6 7… 1 1…
…3 4 5 0
…5 4 3 2 …0 5 4 3 …1 0 5 4 …2 1 0 5 …3 2 1 0 …4 3 2 1
1 2 3 4 5 0
1 0 5 4 3 2 2 1 0 5 4 3 3 2 1 0 5 4 4 3 2 1 0 5 5 4 3 2 1 0 m 0
N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
例：已知序列x1 (n ) R4 (n )， 2 (n ) (n 1) R5 (n ) x 分别将序列以周期为6周期延拓成周期序列 x1 (n )和x2 (n )，求两个周期序列的周期卷积和。
X (1) 1 j
2 1
2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (7) 1 j
X (3) 1 j
2 1
2 1
解法二：公式解 X k DFS x n x (n )e
周期(Ωs=2π/T)和连续
周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列：x(n ) x (n rN ) r为任意整数 N 为周期
连续周期函数： xa (t ) xa (t kT0 ) xa ( t )
k
T0为周期
1 N 1 N
N 1
X 1 ( k ) X 2 ( k )WN kn k 0 mk [ x1 ( m )WN ] X 2 ( k )WN kn k 0 m 0 X 2 ( k )WN ( n m ) k ] k 0 N 1 N 1 N 1
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n )WN n 0 2 nk N N 1 k 0 N 1
(k )] 1 x(n ) IDFS [ X N
X ( k )e
k 0
N 1
j
1 N
X (k )WN nk
其中： WN e
n
x( n)e jn
1 x ( n) 2
X (e j )e jn d
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时 域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶级数
X ( k ) x ( n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周 期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
离散(T)和周期(T0)
A( k )e jk 0t
基频：0 2 / T0 k次谐波分量：e jk0t 基频：0 2 / N k次谐波分量：e jk0n
N 为周期的周期序列： x(n )
k
A( k )e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) DFS [ x(n )] x(n )e
3 j k 8
1 e
e
sin sin
2
k k
8
X k 与z变换的关系：
x n 令x n 0 0 n N 1 其它n
n
N 1 n 0
对x n 作z变换: X z
x n z
N
n
x n z
1 2 … y (n)
1 0… 2 1… 3 2… 4 3… 5 4… 0 5… 10
8 6
10
14
12
同样，利用对称性
若 则
y (n) x1 (n) x2 (n)
nk Y ( k ) DFS [ y ( n )] y ( n )WN n 0 N 1
x(n )
r
x (n )的主值序列
N
x(n rN ) x((n))
x(n )的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X ( k ) X (( k )) N X ( k ) X ( k ) RN ( k )
有限长序列的DFT正变换和反变换：
n 0 N 1 j 2 kn N
x n e
n 0
j k 2
7
2 j kn 8
e
n 0
3
j kn 4
1 e
j k 4 4 j k 4
j k j k e e 2 e 2 j k j k j k e 8 e 8 e 8
1、线性：
若
X 1 (k ) DFS [ x1 ( n )] X 2 ( k ) DFS [ x2 ( n )]
则
DFS [ax1 (n ) bx2 (n )] aX 1 (k ) bX 2 (k )
其中，a, b 为任意常数
2、序列的移位
DFS [ x ( n m )] WN mk X ( k ) e j 2 mk N
3、调制特性
nl DFS [WN x ( n )] X ( k l )
ln ln nk 证：DFS [WN x ( n )] WN x ( n )WN n 0 ( x ( n )WNl k ) n n 0 N 1
N 1
X (k l )
4、周期卷积和
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m ) x2 (n m )
m 0
N 1
x2 ( m ) x1 ( n m )
m 0
N 1
证： y (n ) IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )]
X (k )
nk 证：DFS [ x ( n m )] x ( n m )WN n 0 N 1 m
N 1
令i n m
i m
k x (i )WN ( i m ) N 1 i 0
ki WN mk x (i )WN WN mk X ( k )
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
2 j k k z WN e N
X (e j )
2 k N
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。
例：已知序列x (n ) R4 (n ), 求x( n )的8点和16点DFT。
数字信号处理
第三章
目
1 3 2 3 4
录
离散傅里叶变换 傅里叶级数与周期卷积 圆周卷积、圆周移位 频域抽样、频谱分析
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷
积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共
轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
解法一：数值解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0 N 1
x ( n )W8nk W8nk
n 0 n 0
7
3
1 e
X (0) 4 X (4) 0
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
X (5) 1 j
1 T0 / 2 jk 0t X ( jk 0 ) x (t )e dt T0 / 2 T0
x(t )
k
X ( jk )e
0
jk 0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域 的离散对应时域是周期函数。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j )
解： y ( n ) x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0 5 N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
n m x1 n / m x2 n / m x2 m x2 1 m x2 2 m x2 3 m x2 4 m x2 5 m
j
2 N
例：已知序列x(n )是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0
5
N 1
x ( n )W6nk
n 0
14 12e 8e
X (0) 60 X (3) 0
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
0 k N 1
1 x ( n ) IDFT [ X ( k )] N
N 1 n 0
X ( k )WN nk 0 n N 1 k 0
N 1
或
nk X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) X ( k ) RN ( k )
…-4 -3 -2 -1 …1 1 0 0
0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 0 0
6 7… 1 1…
…3 4 5 0
…5 4 3 2 …0 5 4 3 …1 0 5 4 …2 1 0 5 …3 2 1 0 …4 3 2 1
1 2 3 4 5 0
1 0 5 4 3 2 2 1 0 5 4 3 3 2 1 0 5 4 4 3 2 1 0 5 5 4 3 2 1 0 m 0
N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
例：已知序列x1 (n ) R4 (n )， 2 (n ) (n 1) R5 (n ) x 分别将序列以周期为6周期延拓成周期序列 x1 (n )和x2 (n )，求两个周期序列的周期卷积和。
X (1) 1 j
2 1
2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (7) 1 j
X (3) 1 j
2 1
2 1
解法二：公式解 X k DFS x n x (n )e
周期(Ωs=2π/T)和连续
周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列：x(n ) x (n rN ) r为任意整数 N 为周期
连续周期函数： xa (t ) xa (t kT0 ) xa ( t )
k
T0为周期
1 N 1 N
N 1
X 1 ( k ) X 2 ( k )WN kn k 0 mk [ x1 ( m )WN ] X 2 ( k )WN kn k 0 m 0 X 2 ( k )WN ( n m ) k ] k 0 N 1 N 1 N 1
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n )WN n 0 2 nk N N 1 k 0 N 1
(k )] 1 x(n ) IDFS [ X N
X ( k )e
k 0
N 1
j
1 N
X (k )WN nk
其中： WN e
n
x( n)e jn
1 x ( n) 2
X (e j )e jn d
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时 域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶级数
X ( k ) x ( n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周 期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
离散(T)和周期(T0)
A( k )e jk 0t
基频：0 2 / T0 k次谐波分量：e jk0t 基频：0 2 / N k次谐波分量：e jk0n
N 为周期的周期序列： x(n )
k
A( k )e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) DFS [ x(n )] x(n )e
3 j k 8
1 e
e
sin sin
2
k k
8
X k 与z变换的关系：
x n 令x n 0 0 n N 1 其它n
n
N 1 n 0
对x n 作z变换: X z
x n z
N
n
x n z
1 2 … y (n)
1 0… 2 1… 3 2… 4 3… 5 4… 0 5… 10
8 6
10
14
12
同样，利用对称性
若 则
y (n) x1 (n) x2 (n)
nk Y ( k ) DFS [ y ( n )] y ( n )WN n 0 N 1
x(n )
r
x (n )的主值序列
N
x(n rN ) x((n))
x(n )的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X ( k ) X (( k )) N X ( k ) X ( k ) RN ( k )
有限长序列的DFT正变换和反变换：
n 0 N 1 j 2 kn N
x n e
n 0
j k 2
7
2 j kn 8
e
n 0
3
j kn 4
1 e
j k 4 4 j k 4
j k j k e e 2 e 2 j k j k j k e 8 e 8 e 8
1、线性：
若
X 1 (k ) DFS [ x1 ( n )] X 2 ( k ) DFS [ x2 ( n )]
则
DFS [ax1 (n ) bx2 (n )] aX 1 (k ) bX 2 (k )
其中，a, b 为任意常数
2、序列的移位
DFS [ x ( n m )] WN mk X ( k ) e j 2 mk N
3、调制特性
nl DFS [WN x ( n )] X ( k l )
ln ln nk 证：DFS [WN x ( n )] WN x ( n )WN n 0 ( x ( n )WNl k ) n n 0 N 1
N 1
X (k l )
4、周期卷积和
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m ) x2 (n m )
m 0
N 1
x2 ( m ) x1 ( n m )
m 0
N 1
证： y (n ) IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )]
X (k )
nk 证：DFS [ x ( n m )] x ( n m )WN n 0 N 1 m
N 1
令i n m
i m
k x (i )WN ( i m ) N 1 i 0
ki WN mk x (i )WN WN mk X ( k )
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
2 j k k z WN e N
X (e j )
2 k N
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。
例：已知序列x (n ) R4 (n ), 求x( n )的8点和16点DFT。
数字信号处理
第三章
目
1 3 2 3 4
录
离散傅里叶变换 傅里叶级数与周期卷积 圆周卷积、圆周移位 频域抽样、频谱分析
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷
积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共
轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
解法一：数值解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0 N 1
x ( n )W8nk W8nk
n 0 n 0
7
3
1 e
X (0) 4 X (4) 0
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
X (5) 1 j
1 T0 / 2 jk 0t X ( jk 0 ) x (t )e dt T0 / 2 T0
x(t )
k
X ( jk )e
0
jk 0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域 的离散对应时域是周期函数。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j )
解： y ( n ) x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0 5 N 1
x1 ( m ) x2 ( n m )
m 0
n m x1 n / m x2 n / m x2 m x2 1 m x2 2 m x2 3 m x2 4 m x2 5 m
j
2 N
例：已知序列x(n )是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
nk X ( k ) x ( n )WN n 0
5
N 1
x ( n )W6nk
n 0
14 12e 8e
X (0) 60 X (3) 0
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换