高考数学复习专题10不等式选讲考点剖析

不等式选讲

主标题：不等式选讲

副标题：为学生详细的分析不等式选讲的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：绝对值不等式，含参数不等式，不等式证明

难度：3

重要程度：5

考点剖析：

1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．

2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.

3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．

命题方向：本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想

规律总结：1．对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二

是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．

2．使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6. 3．易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术—几何平均不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件.

知识梳理

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|0)⇔－a

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

3．算术—几何平均不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c

3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n

n

≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

4．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．