量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程培训资料
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子物理薛定谔方程
方程左
端为： i
1 df (t) E
f (t) dt
其解为 f (t) CeiEt /
2
其右端 [ 2 V ( x)]u( x) Eu( x) 2m
方程的解 ( x, t) u( x)eiEt /
定态薛定谔方程 或哈密顿方程 P54 2.3.12式
2
定态薛定谔方 [ 2 V (x)]u(x) Eu(x) (x, t) u(x)eiEt / h
2
2m
2
( x, t)
p2
2m
( x, t)
Ek
( x, t)
其中
2 2 2 2 x2 y2 z2
拉普拉斯算符
Ek
p2 2m
p2 px2 py2 pz2
粒子的动能
由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动
能，即
E
Ek
p2 2m
所以
i
(x,t)
t
E
( x, t )
Ek
( x, t )
14
徐光宪
1920
88
神经外科专家 化学家
15
谷超豪
1926
83
数学家
16 截止22000191年20名孙家最栋高科学技术奖192获9 得者获奖时平80 均年龄81.85火岁箭（卫星岁专家数
总和1637岁），最小的64岁，最大的92岁。
17
师昌绪
1920
90
金属学及材料专家
2010
18
王振义
1924
其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解。
如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有
V (x,t) V (x)
狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
17.4 薛定谔方程
( x)
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大
第17章 量子物理基础
18
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
( x) 定态波函数：
3 含时波函数
2 nπ sin x A sin kx a a
i
2π ( Et px ) h
第17章 量子物理基础
4
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
带入下面两式
2 粒子在势能为 Ep的势场中运动 p2 Ep E Ek Ep 2m
Ψ i2π EΨ t h
2Ψ 4π 2 p 2 Ψ 2 2 x h
得到：
一维运动粒子的含时薛定谔方程
17.4
薛定谔方程
Ep
通解：
( x) A sin kx B cos kx
A、B和 k 是待定常数
5
由波函数自然条件和边界条件定特解 o
连续性： (0) (a) 0
(0) Asin 0 B cos 0 0 (a) Asin ka B cos ka 0
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
一.经典力学的动力学方程
dp F mav c dt
实验规律
r
p
已知F
a
v
描述粒子运动
二.量子力学的动力学方程 描述粒子运动
薛定谔方程
1
假定和建立（不是推导）薛定谔方程
第17章 量子物理基础
狄拉克方程PPT精品文档
.
18
其中 a(a1,a2,a3)β是待定系数。不过它们不是一般的系
数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
.
4
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
.
5
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
.
1
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
.
2
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
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3
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
中就应该包含动量算符Pˆ 。
.
16
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是
薛定谔方程-最全资料PPT
2. 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标 变换的不变性，例如，对极坐标
x22y22z22r22 22 22
3. 关于薛定谔方程的边界条件
① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数 也处处连续。
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面， 则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本 方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满 足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。
三、关于薛定谔方程的说明 1. 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整
③ 若势能V(r)具有一阶奇点，则波函数必须连 续，其一阶导数可以不连续。
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒 子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验 证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能 从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确 性由它解出的结果是否符合实验来检验。
§2.3 薛定谔方程
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 3、薛定谔方程是线性方程。 是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
量子领域：量子力学方程
量子领域：量子力学方程
薛定谔方程和狄拉克方程都是量子力学框架下描述微观粒子运动规律的基本方程。
是量子领域两道靓丽的风景线。
两者都是以“量子”为建制单位，这是它们的统一性的一面，但是它们的区别在于：薛定谔方程本质上源自于光谱学和分析力学的结合，是描述微观粒子的量子力学基本方程，薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子（注：绝对对立态的特殊表现，也就是垂直形式，有静止性的‘’地平面‘’参照系形式，描述运动体以质点形式的整体考虑，不做质点内部的分析），其中也没有包含关于粒子自旋的描述，是几何体的层次展示。
当涉及相对论效应时（注：相对对立形式，是非垂直形式的一类，包括范围在0°～90°之间的一个范围量状态，包含若干形式性，没有静止‘’地平线‘’参照系，皆以运动的相对性论述），薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋；而狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋负½粒子的波函数方程，是集合面的线性函代数的展示，它不仅考量定点坐标，也要考量动点坐标，是遵守了狭义相对论与量子力学双重的原理，对基本粒子进行了建群分类。
也预言了反费米粒子的存在。
量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程共21页文档
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
ห้องสมุดไป่ตู้
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
量子力学课件--薛定谔方程
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
(r,t)和c( p,t)可以通过以上傅里叶变换互求， 但仅仅从空间几率密度|(r,t) |2 不能得到动量几率密度|c( p,t) |2 ！
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满
足的偏微分方程。这个基本定律在本 质上是一个假说。
i ( )
2
w J 0 t
J i ( )
2
定义流密度
记
J
i
( ),
2
则
w
J
0,
t
这是薛定谔方程造成的结果，代表一种 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。
理解（推导积分形式）
对任何体积V，对上式积分
V
V
w t
d
V
Jd ,
S
等式右方用Gauss定
d
回顾：叠加原理
cnn.
n
几率振幅。
常数相位
绝对常数相位没有意义 相对常数相位才是有意义的
c11 c22
c1 | c1 | ei1 c2 | c2 | ei2
| |2 依赖于2 1 能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
(r , t ) | (r , t) | ei(r ,t)
i
f (t ) e Et .
空间部分（定态薛定谔方程）
1 (r )
2
2
2
U(r )
E
2
2
U (r )
E (r ).
2
定态薛定谔方程
H (r ) E (r )
定态概念
完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）
薛定谔培训教程
薛定谔培训教程现代科学中的量子力学理论给我们带来了许多新奇的思维方式和观念，其中最为著名的就是薛定谔方程。
薛定谔方程不仅仅是一个数学公式，更代表了一种全新的科学理论和哲学思辨。
在本教程中，我们将以简明易懂的方式介绍薛定谔方程，并解释它对量子力学的重要性和影响。
一、薛定谔方程概述薛定谔方程是描述微观粒子运动状态的基本方程，由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出。
它采用了波函数的概念，将粒子的位置和运动状态描述为一个复数函数。
薛定谔方程的形式如下：Ψ(x, t) = ɸ(x) · exp(-iEt/ħ)其中Ψ(x, t)代表粒子的波函数，ɸ(x)是波函数的空间部分，exp(-iEt/ħ)是时间部分，E是粒子的能量，t是时间，x是空间坐标，ħ是普朗克常数的约化值。
二、薛定谔方程解的物理意义薛定谔方程的解Ψ(x, t)被称为量子态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而获得有关粒子位置、能量等相关信息。
值得注意的是，根据波函数的模的平方（|Ψ(x, t)|^2），我们可以得到粒子在不同位置出现的概率分布。
三、薛定谔方程的应用薛定谔方程在量子力学研究中广泛应用，为我们解释了许多奇特的现象。
以下是一些薛定谔方程的应用领域：1. 电子的行为根据薛定谔方程，我们可以研究电子在各种势场中的行为。
例如，通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子在原子中的能级结构和轨道形状，从而解释原子光谱等现象。
2. 粒子的散射薛定谔方程可以用来研究粒子在势场中的散射行为。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的入射波函数和散射波函数，从而计算出散射截面等物理量。
3. 量子隧穿效应薛定谔方程还可以用来研究量子隧穿效应。
当粒子遇到势垒时，根据经典物理学的观点，粒子是不能越过势垒的。
但量子力学中，薛定谔方程预言了一种量子隧穿效应，即粒子以一定的概率穿越势垒。
四、薛定谔方程的局限性尽管薛定谔方程在量子力学研究中取得了巨大的成功，但它也存在一些局限性。
量子力学课件-薛定谔方程
量子力学课件-薛定谔方程
课程概述
量子力学简介
介绍量子力学的基本概念和原理，解释微观世界的行为。
薛定谔方程的意义
探究薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
薛定谔方程的物理意义介绍
解释薛定谔方程在物理学中的具体含义和实际应用。
薛定谔方程的推导
1
经典力学中的哈密顿量
讨论经典力学中的哈密顿、算符和本征值问题
介绍量子力学中的态矢量、算符和本征值问题，探讨其在薛定谔方程中的应用。
3
薛定谔方程的推导
详细讲解薛定谔方程的数学推导过程和物理背景。
薛定谔方程的解与应用
1
时间无关薛定谔方程
讨论时间无关薛定谔方程及其解的特点和应用。
2
时间相关薛定谔方程
探究随时间演化的薛定谔方程和脉冲波包的描述。
发展案例介绍
介绍量子场论、矩阵力学和 路径积分等薛定谔方程的发 展方向。
总结
1. 量子世界的奇妙 2. 薛定谔方程的意义与缺陷 3. 量子力学的发展前景
3
应用案例介绍
以单电子的运动和氢原子的能级与波函数为例介绍薛定谔方程在不同领域的应用。
薛定谔方程的缺陷与发展
薛定谔方程的不足以及 量子力学的发展历程
讨论薛定谔方程的局限性以 及量子力学在科学发展中的 演变历程。
薛定谔方程的问题：量 子纠缠
解析薛定谔方程存在的问题， 重点讨论量子纠缠的概念和 影响。
量子力学四大方程
量子力学四大方程引言量子力学是物理学中的一个重要分支，用于描述微观世界中微粒的行为。
在量子力学中，有四个基本的方程，被称为量子力学四大方程。
这四大方程是：薛定谔方程、海森堡方程、狄拉克方程和密度矩阵方程。
本文将详细讨论这四个方程的含义、应用和重要性。
薛定谔方程（Schrödinger Equation）1.1 定义与形式薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，描述了系统波函数的时间演化。
它由奥地利物理学家爱尔温·薛定谔于1925年提出，成为量子力学的基石。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂∂tΨ(r,t)=Ĥ(r,t)Ψ(r,t)其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，r是位置矢量，t是时间，Ψ(r,t)是波函数（描述了系统在不同位置和时间的状态），Ĥ(r,t)是哈密顿算符（描述了系统的能量和相互作用）。
1.2 物理意义与应用薛定谔方程揭示了微观粒子（如电子、光子等）的波粒二象性和量子跃迁行为。
它允许我们计算粒子的能谱、波函数的空间分布以及系统在不同时间的演化情况。
薛定谔方程在固体物理、原子物理、量子力学和化学等领域具有广泛应用，例如帮助解释原子的光谱、电子行为以及材料的电子结构等。
海森堡方程（Heisenberg Equation）2.1 定义与形式海森堡方程是量子力学的另一个基本方程，由德国物理学家维尔纳·海森堡于1925年提出。
海森堡方程的一般形式为：∂∂t Â(t)=iℏ[Ĥ(t),Â(t)]+∂∂tÂ(t)其中，Â(t)是算符（描述了物理量的测量），Ĥ(t)是哈密顿算符。
2.2 物理意义与应用海森堡方程描述了算符随时间的演化规律。
与薛定谔方程不同，海森堡方程着重于物理量的演化，而不是波函数的演化。
海森堡方程在量子力学中具有重要的实用性，特别在与实验测量结果相联系的物理量的变化关系中发挥关键作用。
它为计算和解释物理量的测量结果提供了理论基础。
狄拉克方程（Dirac Equation）3.1 定义与形式狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，描述了自旋为1/2的粒子，如电子的运动。
量子力学课件--薛定谔方程
V
w d Jd , V t
S
d WV J dS , S dt
V内部几率变化
等式右方用Gauss定 理，得
由边界流入或流出的量。
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物理上应该满足随r趋向无穷远而迅速趋于零，于是
d Wv J dS dt i （ ） dS 0 2
2
再推广到含有势能U的情况
E p / 2 +U（r）
2
两边作用于波函数
Ei t
p i
2 i U ( r ). t 2
2
便于记忆的形式
i H t
H p / 2 +U（r）
2
( p i )
H
2
记住
2
2 U ( r )
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
i J ( ), 2
i 电流密度 J eJ e ( ), e 2
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w( r , t ) ( r , t ) 根据薛定谔方程
2
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化：
2 w( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
回顾：叠加原理
cnn .
n
几率振幅。
常数相位
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他 对物理学的主要贡献是：给出描述费米子的相 对论性量子力学方程（狄拉克方程），给出反粒子（正电 子）解，1932年，美国物理学家安德森证实反粒子的存在； 预言磁单极；费米—狄拉克统计。另外在量子场论尤其是 量子电动力学方面也作出了奠基性的工作。在重力论和重 力量子化方面也有杰出的工作。
其他即将实现的应用
狄拉克方程
在理论物理中，相对于薛定谔方程之 于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论 量子力学的一项描述自旋-½ 粒子的波函数方 程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量 子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛 伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在， 随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子 (positron)而证实。
上图：晶体管的变迁 右图：Intel公布的含15 亿晶体管的Ivy Bridge 芯片
二、激光诞生 今天，无论是家用CD播放器，还是战区导弹防御系
统，激光已经在当代人类的社会生活中，占据了核心地位。 激光器的原理，是先冲击围绕原子旋转的电子，令其
在重回低能量级别时迸发出光子。这些光子随后又会引发 周围的原子发生同样的变化，即发射出光子。最终，在激 光器的引导下，这些光子形成稳定的集中束流，即我们所 看到的激光。当然，人们能够知晓这些，离不开理论物理 学家马克斯·普朗克及其发现的量子力学原理。普朗克指 出，原子的能量级别不是连续的，而是分散、不连贯的。 当原子发射出能量时，是以在离散值上被称作量子的最小 基本单位进行的。激光器工作的原理，实际上就是激发一 个特定量子散发能量。
一、薛定谔方程和狄拉克方程 二、量子力学的一些应用
认识一下量子前辈们
一、量子力学之薛定谔方程和狄拉克方 程
薛定谔
狄拉克
薛定谔(Erwinschrodinger，1887-1961)因发现原子理论
的有效的新形式——波动力学ceDirac，1902—1984)因创立相对论
三、量子力学的应用 量子力学在哪？
你不正沉浸于其中吗。。。
一、陌生的量子，不陌生的晶体管 晶体管的优势在于它能够同时扮演电子信号放大器和 转换器的角色。这几乎是所有现代电子设备最基本的功能 需求。但晶体管的出现，首先必须要感谢的就是量子力学。 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的 研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930 年发现半导体的性质。在晶体管上加电压能实现门的功能， 控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信 息编码，以至于编写一种1和0的语言来操作它们。到 1954年，美国军方成功制造出世界首台晶体管计算机 TRIDAC。与之前动辄楼房般臃肿的不靠谱的真空管计算 机前辈们相比，TRIDAC只有3立方英尺大，耗电不过100 瓦特。今天，英特尔和AMD的尖端芯片上，已经能够摆 放数十亿个微处理器。而这一切都必须归功于量子力学。
性的波动力学方程——狄拉克方程，共同分享了1933年
度诺贝尔物理学奖。
在1926年发表的第二篇论文中，薛定谔建立了更为 一般的含时间的薛定谔方程
保罗·阿德里·莫里斯·狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英 国理论物理学家，量子力学的奠基者之一