几何五大模型之二(鸟头定理)教案资料

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小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =V V ，1ABC S =V ， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=． (法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯V V ．又1ABC S =V ，所以8FCE S =V ．同理可得6ADF S =V ，3BDE S =V ．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=V V V V V ．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．B DCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

六年级下册数学小学奥数几何模块鸟头模型ppt(31页PPT)全国通用标准课件

主讲老师：癸酉0311
目录
专题解析例题讲解总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC的面积是1，B、C、D在同一条直线上，且CD：BC=1:3，E为AC的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分的面积是10，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例题讲解
例4：如图，三角形ABC的面积是1，D、E、F分别在AB、BC、CA的延长线上，且BD=2BA， CE=2CB，AF=3AC，求三角形DEF的面积.
例题讲解
练一练4：如图，平行四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=BA，CF=2CB，DG=2DC，AH=3AD，求四边形EFGH的面积.
例题讲解
练一练2：如图，三角形ABC中，D、G分别是AB、AC的中点，E、F为BC的三等分点，已知阴影部分的面积是5，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例3：如图，四边形ABCD、DEFG是正方形，试判断三角形CDE与三角形ADG面积的大小关系，并说明原因.
例题讲解
练一练3：如图，以三角形ABC的三条边分别为边长作正方形，已知AB=8厘米，AC=6厘米，求图中阴影面积的总和.
专题解析
基本形式
练一练5：如图，四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=2BA，CF=2CB，DG=2DC，AH=2AD，求四边形EFGH的面积. 练一练6：如图，三角形ABC的面积是2，D、F分别在AB、BC的延长线上，且BD=BA，CB=2CF，E是AC的中点，求三角形DEF的面积. 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系. 例7：如图，正六边形ABCDEF中，G、H、I、J、K、L分别是各边的四等分点，求图中阴影部分面积与正六边形ABCDEF的面积比. 例1：如图，三角形ABC的面积是1，B、C、D在同一条直线上，且CD：BC=1:3，E为AC的中点，求图中阴影部分的面积. 例1：如图，三角形ABC的面积是1，B、C、D在同一条直线上，且CD：BC=1:3，E为AC的中点，求图中阴影部分的面积. 作业2：如图，三角形ABC的面积是5，D、E、F分别在BA、AC、CB的延长线上，且AD=AB，CE=CA，BF=BC，求三角形DEF的面积. 例5：如图，四边形ABCD的面积是1，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=BA，CF=CB，DG=DC，AH=AD，求四边形EFGH的面积. 练一练5：如图，四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=2BA，CF=2CB，DG=2DC，AH=2AD，求四边形EFGH的面积. 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明. 练一练7：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，G为AB的三等分点，H为CD的中点，求图中阴影部分面积. 练一练5：如图，四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=2BA，CF=2CB，DG=2DC，AH=2AD，求四边形EFGH的面积. 主讲老师：癸酉0311 作业3：如图，平行四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在BA、CB、DC、AD的延长线上，且AE=3AB，BF=BC，CG=2CD，DH=DA，求四边形EFGH的面积. 练一练3：如图，以三角形ABC的三条边分别为边长作正方形，已知AB=8厘米，AC=6厘米，求图中阴影面积的总和. 练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，且AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分的面积是10，求三角形ABC的面积. 主讲老师：癸酉0311 例4：如图，三角形ABC的面积是1，D、E、F分别在AB、BC、CA的延长线上，且BD=2BA，CE=2CB，AF=3AC，求三角形DEF的面积.

小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图2)，则 S ABC ： S A ADE (AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , S A ADE : S A ABE AD ： AB 2 :5(2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC AE : AC4 : 7 (4 5) : (75)，所以S A ADE : S A ABC(24) :(75)，设 S A ADE8份，则S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC4：7 , S A ADE 16平方图⑵么三角形ABC 的面积是多少?EC 3AE【解析】连接FB.三角形AFB 面积是三角形CFE 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍,【巩固】【解析】【例2】【解析】二 S V ABC 3SVABE又••• AB 5AD…S V ADES V ABE5S VABC15，…S V ABC15S VA DE如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？DC 4, BE 3 , AE 6，乙部分面连接AD .T BE 3 , AE 6二 AB 3BE , S VABD 又••• BD DC 4, …B/ABC 2S V ABD ，…SVABC6S VBDE ， S 乙3S VBDE5耳.如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上,AE : EC 3: 2 , S A ADE12平方厘米，求 E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.AB: AD 5:2 ,AD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2)(3 5): (3 2) 5 ,S A ABE : S A ABCAE:AC所以S A ADE :S A ABC（3 2） : 5 （3 2）6:25 ，设S A ADE 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角6份，则 △ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到（相等角或互补角）两夹边的乘积之S A ABC 25份，S AADE12平方厘【例3】如图所示，在平行四边形 ABCD 中, E 为AB 的中点,为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？ AF 2CF ，三角形AFE 图中阴影部分）的面积【解C连接 BE , S A ADE :S A ABE所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 48(平方厘米)•BE CE, AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】S A BDE : S A ABC (BDBE):(BA BC)(1 1):(2 3) 1:6 ,S ACEF ::S A ABC (CECF): (CB CA)(1 3):(2 4) 3:8SA ADF:SA ABC (AD AF) :(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6设S A ABC 24份，则 SA BDE 4份，SA ADF 4份， S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 97 份，恰好是 7平方厘米，所以ABC 24平方厘米【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC:CD 3:2，三角形BDE 的面积是多少？【解析】由于 ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设 AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理 S A ABC ： S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S AABC6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE 1AC , CF 1BC .331 1 2【解析】同理得,【例7】如图，已知三角形 CA 至F ，使AF ABC 面积为1，延长 AB 至D ，使BD3AC ，求三角形DEF 的面积.AB ；延长BC 至E ，使CE 2BC ；延长【例4】已知△ DEF 的面积为7平方厘米, 【例6】角形DEF 的面积为 _______ 平方厘米.【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE 、CD •…5VDBC1同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 18 •（法2）用共角定理•••在 VABC 和VCFE 中， ACB 与 FCE 互补,S/ABC AC BC 1 1 1 …S/ZCE FC CE r~2 8 ' 又 S/ABC 1，所以 S VF CE 8•同理可得 S VADF 6 , S VBDE 3 •面积是2 ,求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.5A CDE: S A ACD2 :3；， SA CDE18 3 2 3 12， S A CDF故 S A DEFS A CEFS A DEC S A DFC4 S 12 610 (平方厘米)•HHE连接AC 、BD •根据共角定理•••在△ ABC 和△ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, .S A ABCAB BC 1 1 1S A FBE BE BF 1 3 3又 S A ABC 1，所以 S A FBE 3 •同理可得 S A GCF 8， S A DHG 15， S AAEH8•【解析】所以S EFGHAEHS A CFG S A DHG S A BEF S ABCDS EFGH2 1 36 18 【例9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米, 的面积. EA AB , CBBF , DC CG , HD DA ，求四边形 ABCDS/ABCS/DBCS /ABC所以S VDEF S /ABC S/FCE S V ADF1 8 6 3 18 •【例8】如图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA4AD ，平行四边形 ABCD 的8 8 15+3+2 36 •DE连接AC ，同理可以得到 S A DHGS A BEF 2S 四边形 ABCD【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有【解析】连接BD •由共角定理得S A BCD ：S A CGF (CD CB)： (CG CF) 1:2，即 S A CGF2S A CDB同理S A ABD :S A AHE 1:2，即 S A AHE2 S A ABD 所以S A AHE S A CGF2(SA CBD ADB ) 22边形 ABCDS 四边形EFGH& AHES A CGFS A HDG S A BEF S四边形ABCD5S 0 边形 ABCD【例10】所以s 四边形ABCD66 513.2平方米如图，将四边形ABCD 的四条边四边形ABCD 的面积为5，则四边形 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点EFGH 的面积是 _________ •G 、H ，若于是s BEF s HDG4S ABC4S ADC4S AB CD •再由于AE 3AB , AH3AD ，于疋 S AEH9S ABD ，冋理 s CFG 9S CBD •于疋S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD•那么SEFGHS BEF s HDGS AEHS CFGS ABCD4S ABCD9S ABCDS ABCD12S ABCD60【例11】如图，在 A ABC 中，延长AB 至D ，使BD AB ，延长BC 至E ，使CE中点，若 A ABC 的面积是2，则A DEF 的面积是多少？1 BC , F 是AC 的2【例12】FC CE 1 1 又 SVABC同理可得2，所以 S/FCE0.5 •S A ADF2，SA BDE所以S A DEFS A ABCS A CEFS A DEBS A ADF2 0.5 323.51 , BC 5BD , AC 4EC , DG GS SE , AFFG•求 S V FGS •【解析】连接AC 、BD •由于 BE 2 AB , BF 2BC ,于是 S BEF 4S ABC ，同理 S HDG 4S ADC •4 【解FCE 互补,AC BC 2 2 2 ABC S A FCE如图,S AABC一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的最后求得S^FGS的面积为S A FGS - 3 - 15 4 3 23种情况.1 12 10【例13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米,三角形ABG的面积是多少平方厘米？E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点,【解析】因为S A BCF S A CDE 18? 16，根据”4比等于夹这个角的两边长度的乘积比”或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S VAEF8 , S VEFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等,得到S VBFC16，S ABF E32，【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形假设正六边形的边长为为4 2 1形组成的,DEF，贝Ua，贝U AGF 与CEH7,那么它的面积为单位小正三角形面积的所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形DEF的面积为6【巩固】【解析】由于FA同理可知的1 1249AGF与CEH都是正三角形.的边长都是4a，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由4961249 .DEF的边长为6个单位小正三角4a，FB 3a，所以AFB与三角形DEF的面积之比为BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为13 49 133 —，所以ABC的面积的面积为一一49 6 49已知图中每个正六边形的面积都是1249 '136 .1,则图中虚线围成的五边形所以ABC的面积占三角形DEF面积ABCDE的面积是从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正范文范例指导参考六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于 1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 3由题意知AE -AC、CF -BC，可得CE - AC .根据”共角定理”可得，3 3 3S CEF : S A ABC (CF CE):(CB AC) 1 2 : (3 3) 2:9 ；而S^BC 6 6 2 18;所以S CEF 4 ;。

几何五大模型之二：鸟头定理(共角定理)模型

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型:两个三葡附有一个角扁同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘和之比。

如下图在△•ABC中，D, E分别是AB, AC上的点（或D在BA的延长线上，E 在AC 上），则S^AB c：S^ADE=（AB X AC）:（.W X证明：最后我们会发现两种情况的证明方法完全一样。

鸟头定理（共角定理）证明: 连接BE.在ZSAEB中，$4ADE _ 竺(1)S AABE AB在A AEC中，S AABE ■…AE<2)S AABC AC将（1） X（2）有,S AADE .AEXADS^ABC ACXAB 证毕。

例题1:如上图，4AABC中，D, E分别是AF AC ＞的点.BC=3AE, AD=2DB, S二ABC=h 求厶虹丘的面积。

题_解法一，利用鸟头定理有・Saads = AEXAP = ^x—= -x- = - 斤闭S A ABC ACXAB AC AB 43 6所以SaADE= ~o题_解法二:A本题也可叹不用鸟头定理，而用等积变换。

连接BE,在2XAEB中，S AAED：^AAEB=AD：AB=2；3S AAED=(2/3)S AAEB在厶削。

中，S AAEB：^AABC=AE： AC=1 ：4S A AEB=(1/4)S.ABC由⑴，⑵式可得S^ED=;X|X S A AB C 4通过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方如上图，在AABC 中，E 是AC±的点，D 昙BA 証长线卜的一軾苴中:EC=2AE, AB=2AD, S A ABC =1,求△ ADE 的面和连接BE,在AAEB 中， S AADE _ ADS AABE AB 在△ABC 中，_ AES Z I ABC AC 将(1) X (2)有：$AADE _ AExADS dx^BC ACXAB 证毕。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2), 则 S ABC ：S A ADE (AB AC)：(AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , S ^ADE : S ^ ABE AD : AB2 :5(2 4): (5 4),S ^ ABE: S^ ABC AE:AC 4:7 (45)：(7 5)，所以 ADE : S^ ABC(24):(7 5)，设 S^ ADE8份，则s ^ ABC 35份，s ^ ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC4:7 , s^ADE16平方图⑵资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除ACCB 【解AA乙乙CCDD【解5耳【DDA AEECCB B 【解A B【例3】5: 2AB: AD 6份，则 E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.DC 4, BE 3, AE 6，乙部分面如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上， 12平方厘米，求如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE （图中阴影部分）的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？D------------------ C如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？S ^ ABC 25份，S A ADE 12平方厘50平方厘米•由此我们得到（相等角或互补角）两夹边的乘积之比AD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,＞：5 (3 2) 6:25，设 S A ADE 25份就是50平方厘米 B ----------------- 连接BE .T EC 3AE…SVABC3S VA BE又••• AB 5AD…S V ADE S V ABE 5S V ABC 15，…&ABC15S VA DE 15AE : EC 3: 2 , SA ADED、、EDE at 甲B —甲连接 BE , SA ADE: SA ABESA ABE : S A ABC AE : AC : 所以 S A ADE : S A ABC （3 2）米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角连接AD .••• BE 3 , AE 6…AB 3 BE , S/ABD 3SVBDE 又••• BD DC 4,…B/ABC 2S V ABD ，… S/A BC 6S V BDE ， S 乙A么三角形ABC 的面积是多少?E【解连接FB .三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积【解析】S A BDE:S A ABC (BDBE)：(BA BC)(11):(23)1:6 ,S A CEF ::S A ABC (CE CF):(CB CA)(13):(24)3:8S A ADF:S A ABC (AD AF):(AB AC)(21):(34)1:6设S A ABC 24份，则S A BDE4份，S A ADF4份，S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 9 7 份，恰好是7平方厘米，所以ABC 24平方厘米【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE 2:5 , BC:CD 3: 2，三角形BDE的面积是多少？【解析】由于ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理S A ABC：S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S A ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE 1AC, CF - BC .3 3三角形DEF的面积为_________ 平方厘米.S A CDE : S A ACD 2 :3; ，S A CDE 18 3 2 12，S A CDF故S A DEF S A CEF S A DEC S A DFC 4 12 6 10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF ABC面积为1，延长AB至D，使BD3AC，求三角形DEF的面积.AB ;延长BC至E，使CE 2BC ;延长的2倍，所以平行四边形的面积是三角形8 6 48(平方厘米).AFE面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为【例4】已知△DEF的面积为7平方厘米, BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ABC 的面积.【例6】【解析】由题意知AE ^AC、C F3BC，可得S A CEF : S A ABC (CF CE) :(CB AC)2CE - AC •根据”共角定理”可得，32 :(3 3) 2:9 ;而S A ABC 6 6 218 ；所以S A CEF 4 ;同理得,【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE、CD .S V ABC 1s 1■，F ABC 1，S VDBC 1 …S VDBC 1. 同理可得其它，最后三角形DEF的面积（法2）用共角定理■•在VABC和VCFE中,• S VABCS VFCE 又ABC 同理可得所以S/DEF18.ACB与FCE互补,AC BC 1 1 1FC CE 4 2 8 '1，所以S VFCE8 .S VADF 6，S VBDE 3•S VABC S VFCE S VADF S VBDE 1【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF2CB, GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD的【解析】【例9】面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.E连接AC、BD •根据共角定理E■•在△ABC 和△BFE中,ABC与FBE互补,S A ABC AB BCS A FBE BE BF又S A ABC同理可得1，所以S A FBES A GCF所以S EFGH所以^ABCDS EFGH8，S A DHG15，S A AEHS A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S A BCD15+3+2 36.36 18如图，四边形EFGH的面积是的面积.66平方米，EA AB, CB BF , DC CG, HD DA,求四边形ABCD【解析】连接BD .由共角定理得S A BCD : S A CGF (CD CB)：(CG:S A AHE 1:2，即S A AHE 2S A ABDCF) 1:2，即S A CGF2S A CDB【例10】【解析】【例11】【例12】同理S A ABD所以S A AHE连接AC ,S A CGF2(S A CBD S A ADB ) 2S四边形ABCD冋理可以得到S A DHG S A BEF 2S四边形ABCDS四边形EFGH所以S四边形ABCD 66S L\ AHECGF S A HDG5 13.2平方米ABCD的四条边四边形ABCD的面积为5，则四边形如图，将四边形连接AC、BD .由于BE 2 AB , BF 2BC，于是于是S BEF再由于AES HDG3AB,那么S AEHS EFGH如图,S CFGS BEFS A BEF S四边形ABCDAB、CB、CD、EFGH的面积是5S四边形ABCDAD分别延长两倍至点E、S BEF 4S ABC，冋理S HDG 4 S ADC -4S ABCD .AH 3AD，于是S AEH 9S ABD，同理S CFG 9S4S ABC 4S ADC9S ABD 9S CBD 9S ABCD .S HDG S AEH S CFG S ABCD 4S ABCD 9S ABCD S ABCD在△ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E ,中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?4【解析】FCE互补,AC BC 2 22 ABC S AFCE FC CE 1 112S ABCD使CE -260BC ,G、H，若F是AC的又Q ABC同理可得2，所以S/FCE0.5 .S A ADF 2，S A BDE所以S A DEF S A ABC S A CEF S A DEB S A ADF 2 0.5 3 2 3.55BD , AC 4EC , DG GS SE, AF FG.求S VFGS .如图, S A ABC 1，BC【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•因为S A BCF S A CDE- 82 16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 4比等于夹这个角的两边长度的乘积比” S V AEF 8 , S V EFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到S V BFC16 , S ABF E 32 ,S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1,三角形DEF 的面积为聖.6 6由于FA 4a , FB 3a ，所以AFB与三角形DEF 的面积之比为--12.7 7 49同理可知 BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 12 所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的1123翌,49 13所以ABC 的面积的面积为竺13134949649 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 _____________【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正最后求得S ^FGS 的面积为S A FGS4 3 2 1 1 15 4 3 2 2 10【例13】如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？E 是AD 的中点,F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 7,那么它的面积为单位小正三角形面积的 AGF 与CEH 都是正三角形. 的边长都是4a ，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由DEF 的边长为6个单位小正三角【解E六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 38、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。

②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。

如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。

反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。

⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。

EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。

爱提分几何第02讲鸟头模型资料

精品文档鸟头模型讲_几何第02知识图谱-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头02讲_鸟头模型几何第一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三我们把这样的（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．角形的面积比等于对应角．的面积是：ADE的面积比△ABC图形，称为鸟头模型．如图所示，△三点剖析进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，：复杂图形如何构造鸟头模型，重难点进而解决它们．题模精讲三角形中的鸟头题模一、例1.1.1面积ABCADE，，那么三角形占三角形如图，．________的精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，1.1.2、例ABC，中，，已知已知三角形，ABC在三角形．的面积是，那么三角形24DEF_______面积是答案：7解析：精品文档．精品文档所占比例分别为根据鸟头模型，、、．因此，、、．1.1.3例、，求阴影部BD=2AD 中，，，AG=2CGABC如图，在△面积的几分之几？分的面积占△ABC答案：解析：，故BG；．，故连结，．同理，，即．面积的ABC，故阴影部分的面积占△精品文档．精品文档四边形中的鸟头题模二、例1.2.1．三角形48，，如图，长方形ABCD的面积是．__________CEF的面积是答案：10解析：面积是△．根据鸟头模型，△CEF是CE连接BD，是BC的，CF的CD．的面积是CEFBCD面积的．那么△、例1.2.2精品文档．精品文档边上，且的面积是如图，长方形ABCD1N，是AD边的中点，在AB．．那么，阴影部分的面积为答案：解析：．．连结例1.2.3、在边DC上，，ADABCD如图，正方形中，点E在边上，点F ．_____的面积的比值是的面积与正方形，则ABCD精品文档．精品文档答案：解析：和、三块空白的面积分别占总面积的的面积的比值是，因此ABCD的面积与正方形．、例1.2.4，那60的面积是，E是CD边上的中点，ABCD 如图所示，长方形．__________的面积是么三角形AEF答案：精品文档．精品文档27解析：的面积ABF，ABCD△CEF的面积占长方形△面积的，连接BD面积的ABCD的面积占长方形ABCD面积的，△ADE占长方形面积的的面积占长方形ABCD．所以△AEF．，面积是例1.2.5、的面的面积相等．△AEFADFABCD如图在长方形中，△ABE、△、四边形AECF面积的几分之几？ABCD积是长方形答案：解析：精品文档．，同ABCD面积的，故与△ABE等底等高的长方形面积占面积的CEF面积占ABCD理．因此，，△．ABCD面积的，△AEF的面积是长方形1.2.6、例平方厘米，右上如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5__________角直角三角形面积为7那么中间三角形平方厘米．面积是（阴影部分）平方厘米．答案：15.5解析：，由两个直角三角形面积可设，则．阴影得，所以．面积精品文档．精品文档、例1.2.7，DE，分别为，，为正六边形．如图，ABCDEFG，HI，JK，LAB，BCCD，．请问：小正六边形占大正EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL六边形面积的几分之几？答案：解析：，根；，S设正六边形ABCDEF的面积为，则；小正六边形是，因此据鸟头模型，，一样的三角形得到的，面积为大正六边形减去六个和．小正六边形占大正六边形面积的精品文档．精品文档随堂练习随练1.1、三倍．倍，中，AD的长度是BD的3AC的长度是EC的3在三角形如图，ABC．角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________答案：20解析：面面积是△ABC是AC．根据鸟头模型，有△的ADE是ADAB的，AE．的面积是ABC20．那么△积的随练1.2、，甲乙两个图形面积的，在右图的三角形ABC中，．比是_________精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是随练1.3、，，，12的面积是．已知△DEF如图所示，的面积是多少？那么△ABC答案：36解析：精品文档．，同理的面积是△ABC面积的根据鸟头模型，△AEF ABCDEF的面积是△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△和△可得△BDF．的面积是．所以△面积的ABC、随练1.4．请问：三角形，16如图，已知长方形ADEF的面积是，．__________BCE的面积是答案：3解析：．那么△DEF面积是△面积的BCEDF连接，根据鸟头模型，可知△．BCE的面积是精品文档．精品文档、1.5随练，如果阴影的面积是在长方形如图所示，ABCD6中，，，．的面积是__________ABCD那么长方形答案：18解析：．那么阴影部分的BCD根据鸟头模型，可知△CEF面积是△面积的．阴影的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．ABCD，那么长方形的面积是6面积是1.6随练、精品文档．精品文档的面积是中，ABCD，长方形ABCD如图，在长方形．________AEF48，那么三角形的面积是答案：12解析：ADF的面积是长方形面积的根据一半模型和等高模型，△ABE，△的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，面积AEF的面积是长方形面积的，所以△是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那．么△__________的面积是ADE 精品文档．精品文档答案：12解析：的面积是，即△的面积是△ABCADE面积的ADE根据鸟头模型，△．、作业2倍．如果△ACBDAB的长度是的4倍，的长度是EC的3中，如图，在△ABC 的面积是多少平方厘米？20平方厘米，那么△ADE的面积为ABC答案：10解析：精品文档．精品文档．由鸟头模型可知，由题意知，，平方厘米．3、作业，上的一点，且中，如右图，在三角形为为的中点，．已知四边形的面积为的面积是35，则三角形_____答案：42解析：．，易知，，故4作业、的值？如图，已知，，试求，精品文档．精品文档答案：解析：，根据鸟头模型，，同理．，因此、5作业点的四等分AAC边上靠近EAB如图所示，D是边上靠近A点的三等分点，是，那么三C是FBC边上靠近点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24点，．的面积是DEF__________角形答案：5.6精品文档．精品文档解析：，由鸟头模型可得，，，所以．、作业6是的三等分点，边靠近CF是是如图，三角形ABC中，DAB边的中点，EAC 的面积是多少？三角形ABC边靠近BCB的四等分点，三角形的面积为1．DEF答案：解析：，，同理根据鸟头模型，．的面积是：DEF，所以三角形精品文档．精品文档7、作业如CE中，AF的长度是FD的2倍，的长度等于ED．ABCD如图，在平行四边形的面积是多少平方厘果平行四边形ABCD的面积为FDE120平方厘米，那么△米？答案：10解析：．由鸟头模型可知，，由题意知，AC连接，平方厘米．8、作业点的三等分点，边上靠近DAD96长方形ABCD的面积是平方厘米，E是如图，平方厘米．__________CCDF是边上靠近点的四等分点．阴影部分的面积是精品文档．精品文档答案：平方厘米40解析：，分别求出它们的面积．，△考虑空白△AEB，△BFCEDF，AD的；它的高为AB首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长与长方形的宽相等．的面积是长方形面积的，即AEB所以△平方厘米．，BF 同样可求得平方厘米的面积是长方形面积的平方厘米．，即△EDF的面积是长方形面积的，阴影部分的面积为所以空白部分的总面积为作业9、精品文档．精品文档ACF2，三角形ADBADEF如图，已知长方形的面积是16，三角形的面积是ABC的面积是4．请问：三角形的面积是多少？答案：7解析：，；；，；因此，；．精品文档．。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．B DCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

几何五大模型之二：鸟头定理(共角定理)模型讲课教案

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型证明：例题1：例题2：现行用拉丁文为生物命名的体系是由林奈（Carl von Linne，通常用其笔名Linnaeus）250年前提出来的。

他的《植物种志》（Species Plantarum）1735年出版。

这个体系称作林奈双名命名体系（Linnaean binomial system of nomenclature），其中生命，如植物，采用两个拉丁化的名字（拉丁双名）来命名。

第一个名代表“属”（genus）名，第二个名代表“种加”（specific epithet）词。

由属名（generic name）和种加词组合起来构成了物种名（species name）。

科、属、种是最常用到的分类单位。

采用拉丁化名字和拼写的习惯一个是源于中世纪的学者，另一个是因为直到19世纪中叶多数植物学出版物仍然使用拉丁语。

“种”以上的分类单位是“属”，再往上是“科”，依次各个分类阶元构成植物分类的阶层系统。

由高到低，植物分类的阶层系统表示如下：--------------------------------------------------------------------------------植物界vegnum vegetable(拉丁名),vegetable kingdom(英文名)门divisio, phylum纲classis, class目ordo, order科familia, family属genus, genus种species, species--------------------------------------------------------------------------------在其中还可以插入亚门、亚纲、亚目、族(tribus, tribe)、亚族、亚属、组(sectio, section)、亚组、系(series, series)、亚种、变种(varietas, variety)、变型(forma, form)等更细的分类阶元。

爱提分几何第02讲鸟头模型

知识图谱几何第02讲_鸟头模型-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，△ADE的面积比△ABC的面积是：．三点剖析重难点：复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．题模精讲题模一三角形中的鸟头例1.1.1、如图，，，那么三角形ADE占三角形ABC面积的________．答案：解析：根据鸟头模型，．例1.1.2、在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC 面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．答案：7解析：根据鸟头模型，、、所占比例分别为、、．因此，．例1.1.3、如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，，求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？答案：解析：连结BG．，故；，故，即．同理，，，故阴影部分的面积占△ABC面积的．题模二四边形中的鸟头例1.2.1、如图，长方形ABCD的面积是48，，．三角形CEF的面积是__________．答案：10解析：连接BD，CE是BC的，CF是CD的．根据鸟头模型，△CEF面积是△BCD面积的．那么△CEF的面积是．例1.2.2、如图，长方形ABCD的面积是1，是AD边的中点，N在AB边上，且．那么，阴影部分的面积为．答案：解析：连结．．例1.2.3、如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，，，则的面积与正方形ABCD的面积的比值是_____．答案：解析：三块空白的面积分别占总面积的、和，因此的面积与正方形ABCD的面积的比值是．例1.2.4、如图所示，长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点，，那么三角形AEF的面积是__________．答案：27解析：连接BD，△CEF的面积占长方形ABCD面积的，△ABF的面积占长方形ABCD面积的，△ADE的面积占长方形ABCD面积的．所以△AEF的面积占长方形ABCD面积的，面积是．例1.2.5、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等．△AEF的面积是长方形ABCD面积的几分之几？答案：解析：与△ABE等底等高的长方形面积占ABCD面积的，故，同理．因此，，△CEF面积占ABCD面积的，△AEF的面积是长方形ABCD面积的．例1.2.6、如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米．那么中间三角形（阴影部分）面积是__________平方厘米．答案：15.5解析：设，则，由两个直角三角形面积可得，所以．阴影面积．例1.2.7、如图，ABCDEF为正六边形．G，H，I，J，K，L分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL．请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？答案：解析：设正六边形ABCDEF的面积为S，则；，，根据鸟头模型，，因此；小正六边形是大正六边形减去六个和一样的三角形得到的，面积为，小正六边形占大正六边形面积的．随堂练习随练1.1、如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________．答案：20解析：AD是AB的，AE是AC的．根据鸟头模型，有△ADE面积是△ABC面积的．那么△ABC的面积是20．随练1.2、在右图的三角形ABC中，，，甲乙两个图形面积的比是_________．答案：解析：根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是．随练1.3、如图所示，，，．已知△DEF的面积是12，那么△ABC的面积是多少？答案：36解析：根据鸟头模型，△AEF的面积是△ABC面积的，同理可得△BDF和△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△DEF的面积是△ABC 面积的．所以△ABC的面积是．随练1.4、如图，已知长方形ADEF的面积是16，，．请问：三角形BCE的面积是__________．答案：3解析：连接DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的．那么△BCE的面积是．随练1.5、如图所示，在长方形ABCD中，，，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是__________．答案：18解析：根据鸟头模型，可知△CEF面积是△BCD面积的．那么阴影部分的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是．随练1.6、如图，在长方形ABCD中，，长方形ABCD的面积是48，那么三角形AEF的面积是________．答案：12解析：根据一半模型和等高模型，△ABE的面积是长方形面积的，△ADF 的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，所以△AEF的面积是长方形面积的，面积是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那么△ADE的面积是__________．答案：12解析：根据鸟头模型，△ADE的面积是△ABC面积的，即△ADE的面积是．作业2、如图，在△ABC中，AB的长度是BD的4倍，AC的长度是EC的3倍．如果△ABC的面积为20平方厘米，那么△ADE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业3、如右图，在三角形中，为的中点，为上的一点，且，已知四边形的面积是35，则三角形的面积为_____．答案：42解析：易知，，故，．作业4、如图，已知，，，试求的值？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，因此．作业5、如图所示，D是AB边上靠近A点的三等分点，E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24，那么三角形DEF的面积是__________．答案：5.6解析：由鸟头模型可得，，，，所以．作业6、如图，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近C的三等分点，F是BC边靠近B的四等分点，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，所以三角形DEF的面积是：．作业7、如图，在平行四边形ABCD中，AF的长度是FD的2倍，CE的长度等于ED．如果平行四边形ABCD的面积为120平方厘米，那么△FDE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：连接AC，由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业8、如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．答案：40平方厘米解析：考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长AD的；它的高为AB，与长方形的宽相等．所以△AEB的面积是长方形面积的，即平方厘米．同样可求得△BFC的面积是长方形面积的，即平方厘米．△EDF的面积是长方形面积的，即平方厘米．所以空白部分的总面积为，阴影部分的面积为作业9、如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF 的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？答案：7解析：；，；，；因此，；．。