Laplace拉氏变换公式表
laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )L [df ( t )sF ( s ) f ( 0 )dt ]d2f 2 ( t )L [dt] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L dnf n ( t ) s n F ( s )ns n k f ( k 1 ) ( 0 )kdt 1f ( k 1 ) ( t )d k1 f ( t )dt k 1L [d nf n ( t ) ] s n F ( s )dt一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)[f (t )dt]t 0s s2F (s) [ f (t)dt]t 0 [L[ f (t)( dt) ] s2 s2共n个n共 n个nF (s) 1L[ f (t)(dt) ] [s n k 1 s n k 1共n个2f (t )(dt) ]t 0f (t)(dt)n ]t 0初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t ) lim sF (s)t 0 stf1(t ) f2 ( )d ]tL[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)0 02．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a时间函数f(t)δ(t)T (t)(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atZ 变换 F(z)1zz 1zz 1Tz(z 1)2T 2 z(z 1)2(z 1) 3lim( 1) n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eaT8 1( s a) 2 te at Tze( z e aT )2aT91011121314as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a)2 2s a(s a)2 211 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos t(1 e ) z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz sin Tz2 2zcos T 1z( z cos T )z2 2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz15 s (1 / T ) ln a a t / Tz a3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉氏变换
1 1 1 2 = − + 2 2 s ⎛ 3⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜s+ ⎟ +⎜ ⎜s+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ s+
3 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
续
⎡ s+1 ⎤ 所以f (t ) = L ⎢ 2 ⎥ s s + s + 1 ⎣ ⎦
−1
(
)
－ 1 式中，L 是表示进行拉氏反变换 的符号
常用函数拉氏变换对照表
s s 2 + w2
拉 氏 变 换 续 表
典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1 （ t） ⎧0( t < 0) 1( t ) = ⎨ ⎩1( t ≥ 0)
F ( s ) = L[1( t )] = ∫
∞
0
1 − st ∞ 1( t )e dt = − e s 0
A3 A1 s + A2 + = (s + p1 )(s + p2 ) s + p3
1
系数求法：
An + ... + s + pn
s=− p [F ( s )(s + p1 )(s + p2 )]或 s=− p
2
⎡ A1 s + A2 A3 An ⎤ =⎢ + + ... + ⎥ (s + p1 )(s + p2 ) s = − p1 ( )( ) s + pn ⎦ s + p3 ⎣ s + p1 s + p2 或s = − p2
s −s+2 F (s ) = s s2 − s − 6
拉氏变换表(包含计算公式)
1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
常用的拉普拉斯变换公式表
常用的拉普拉斯变换公式表常用的拉普拉斯变换公式表在数学和理论物理领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具。
它将一个函数从时间或空间域转换到复频域，这对于解决许多实际问题是很有用的。
在使用拉普拉斯变换时，人们通常需要使用一些常用的公式来简化计算。
在这篇文章中，我将列出一些常用的拉普拉斯变换公式，方便读者在实际应用中使用。
一、定义和性质拉普拉斯变换是一种线性变换，它将一个函数f(t) 映射到复平面上的函数 F(s) 。
具体而言，拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st) f(t) dt其中s是复变量，常常被看作是频域变量。
对于给定的函数f(t)，我们可以求出它在复平面上的拉普拉斯变换F(s)。
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列的性质和定理。
下面是一些重要的性质和定理：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(t)、g(t)，有L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]2. 移位定理：对于f(t)的拉普拉斯变换F(s)，有L[e^(-at) f(t)] = F(s+a)3. 初值定理：如果f(t)在t=0处有一个有限的极限，那么L[f(t)] =lim_(s->∞) sF(s)4. 终值定理：如果f(t)是一个有限长度的函数，那么L[f(t)] = lim_(s->0) sF(s)二、常用的拉普拉斯变换公式在实际应用中，常常需要用到一些标准的拉普拉斯变换公式。
下面是一些常用公式：1. 常数函数：L[1] = 1/s2. 单位阶跃函数：L[u(t)] = 1/s3. 二次函数：L[t] = 1/s^24. 指数函数：L[e^(at)] = 1/(s-a)5. 余弦函数：L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)6. 正弦函数：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)7. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) sin(bt)] = b/(s+a)^2+b^28. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) cos(bt)] = (s+a)/(s+a)^2+b^2以上是一些常用的拉普拉斯变换公式，它们的应用非常广泛，可以用于研究电路、控制系统和信号处理等领域。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表
拉普拉斯变换及反变换3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a sa s ab s b sb sb s A s B s F n n nn m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii nn ii s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或is s i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i ie c -=∑1 (F-4)② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn ii r r r r rr s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c rs s r -=→)]()([lim111s F s s dsd c rs s r -=→-)()(lim!11)()(1s F s s dsdj c rj j s s j r -=→- (F-5))()(lim)!1(11)1()1(11s F s s dsdr c rr r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( ts nr i it s r r r r i ec e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换公式表 -回复
拉氏变换公式表 -回复
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到复频率域。
它在信号处理、控制系统和电路分析等领域有广泛应用。
以下是一些常见的拉普拉斯变换公式：
1. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s
2. 单位脉冲函数：L{δ(t)} = 1
3. 指数函数：L{e^(-at)} = 1/(s+a)，其中a为正实数
4. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)
5. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)
6. 幂函数：L{t^n} = n!/(s^(n+1))，其中n为非负整数
7. 指数函数乘以多项式：L{te^(-at)} = 1/(s+a)^2，其中a为正实数
8. 指数函数乘以三角函数：L{e^(-at)sin(ωt)} = ω/((s+a)^2 +
ω^2)
这只是一些常见的例子，拉普拉斯变换还有很多其他的公式和性质。
使用这些公式，可以将一个函数从时间域转换到复频率域，从而更容易进行分析和处理。
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式1 / 43． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( ts nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
拉普拉斯变换及反变换
则
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [ 0
t
f ( )d ]
1 s
F ( s)
例
机械工程控制基础
四、时域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
五、 复频域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
(s+a)n+1
1
s+jw
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
例题 f1(t) 1 e-t t 1 0 f2(t) e-t t
拉普拉斯变换及反变换
求图示两个函数的拉氏变换式
0
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 1 拉氏变换式相同 F ( s)
s
当取上式的反变换时，只能表示出 0 区间的函数式 t
( n 1)
（0 ）
例1
ℒ [co s t ] ℒ [
1
1 d
[s
s
2 2
dt
(sin t )]
sin t
0
]
s s
2 2
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
d
2 2
拉普拉斯变换及反变换
d dt
dt
r (t ) a1
d dt
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换-精选
(3)逆变换
根L 据 etut 1 sα
得 : f ( t ) e t 5 e 2 t 6 e 3 t t 0
如何求系数k1, k2, k3``````？
第
10
页
对等式两边同 s1乘 ,且以令 s1
右边 (s1) sk 11sk 22sk 33 s 1k1
第
11
Fs
As
Dssα2β2
sαjβ F 1ssαjβ
页
共轭极点出现在 αjβ
Fs K1 K2 ......
sαjβ sαjβ
K1sαjβFssαjβ
F1αjβ
2jβ
K2sαjβFssαjβ
令 s 1 时 ,只能 k3 求 1 ,若 出 k2 求 ,两边再 右边 d d s (s1 )2sk 12(s1 )k2k3
2(s1)s( (s2 )k 2 1) 2k1(s1)2k20
左 边 dds(s1)2F(s)d d s ss 22 2s((ss 2 2 )) 2s2(ss2 2 4 )s2
k1 为 单 根 系 ,k3为 数重 根 最 高 次 系 数
s2 k1(s2)(s2)(s1)2 4
s2
k3(s1)2(s2)s2(s1)2
1
s1
如何求k2 ?
如何求k2?
设法使部分分式只保留k2，其他分式为0
第
15
对
原
式
两
边
乘(以 s
1)2
页
ss 22(s1)2sk 12k2(s1)k3
4
ft2 cto cs π o s2 stisn π i n cto sstin
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
(完整版)拉氏变换常用公式(可编辑修改word版)
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质t tL[⎰0 f1(t-)f2 ()d]=L[⎰0 f1(t)f2 (t-)d]=F1(s)F2 (s)表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表∞T(t ) = ∑(t - nT )n =0s 2 +2sin t z s in T z 2 - 2z cos T + 1s s 2 +2costz (z - cos T ) z 2 - 2z cos T + 1(s + a )2 +2e - atsin t ze - aT sin Tz 2- 2ze -aTcosT + e-2aTs + a(s + a )2 +2e - at costz 2 - ze - aT cos T z 2 - 2ze -aT cos T + e -2aT1 ⎢∑ i 1 1n 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F (s ) 是 s 的有理真分式B (s )b s m + b s m -1 + + b s + bF (s ) = = m m -1 1 0（ n > m ）A (s ) a s n + a n -1 s n -1+ + a s + a式中系数 a 0 , a 1 ,..., a n -1 , a n ， b 0 , b 1 , b m -1 , b m 都是实常数； m , n 是正整数。
按代数定理可将 F (s ) 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① A (s ) = 0 无重根这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s ) = c 1s - s 1 + c 2 s - s 2 + + c i s - s i + + c n s - s n= ∑ i =1 c i s - s i（F-1）式中， s 1 , s 2 , , s n 是特征方程 A(s)＝0 的根。
(完整版)拉氏变换常用公式
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设 有r重根 ，F(s)可写为
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
拉普拉斯变换及反变换
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例1
u(t)t0
k2(2 ss1)52(s1)2S13 k1dds(2s5)S12
f(t)L1[F(s])2et3tet t0
例2
F(s)
s2 2s2 (s2)3
k1 (s2)
(s k22)2(s k32)3
等式两边乘 (s 2)3
F(s)(s 2)3 k1(s 2)2 k2 (s 2) k3
k3s2(s22 s)32(s2)3S22
lims11 s s
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i( 0 ) lis ( m 52) li(m 52) 3 s s 1s 2s 1 1 /s1 2 /s
例3
I(s)ℒ [1e-t]1 1 s s1
11 i(t)t ls i0m s(ss1)1
例4：已知F(s)= 1 ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换的基本性质表
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质
(1)
利用 ℒ
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
__
1
(s-1)2
二、拉普拉斯反变换
1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)]
（1）利用公式
f(t) 1 2πj
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
Laplace拉氏变换公式表_百度文库.
附录A拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性£[形⑷2微分定理般形式]=vF ( f ]-ifJiOV f(硏-訂- r初始条件为时3积分定理般形式始条件为叠加性4延迟定理（或称•'域' 平移定理）5衰减定理（或称"域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理2.表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表，号拉氏变换E（s时间函数e（t Z变换E（z 1 1s (t11 2«.『一疗）1 一r t■fa •lim 00 = lim sF( s)3 inn1 J st7> IF] FJ 葺1 illIr?.- c? *T_ AT□rteU-■U!~ ■1 - L-(£- 1K *f- v',J )b- az z (& + *r)(b)-aT_ -f»r z- ez- lfffizsin 皿 TJ . 1 J ； 4 fJ!>lll tulz 2 - 2zcos w T + 1同COE 期门• ■-M.XI- 2 jctis *} f + Izc '1 Sin™ r1 —z ! - Ize " CDS (t )T v e456789101112133. 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项 查表进行反变换。
设是1的有理真分式()式中系数， 都是实常数； 是正整数。
按代数定理可将 展开为部分分式。
分 以下两种情况讨论。
①无重根 这时，F(s 可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
c CCC * I?尸($)=―+— + …+—+ …十一=22—i —-'一(F -1 )式中，―…*是特征方程A(s 二0的根。
为待定常数，称为F(s 在 处的留数，可按下式计算：c = lirn (耳一s)'(F-2)或(F-3)14C COS tyij? -ti )T + r15y- (1/ Tj-ln V式中，为|对、的一阶导数。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉普拉斯变换
4
4
Fs
s 1 s2
1 1 s2
s1 1 s2
由系统函数零、极点分布决定时域 特性
22
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应第
页
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
s2 k1 (s 2) (s 2)(s 1)2 4
s 2
k3
(s
1)2
(s
s2 2)( s
1)2
1
s 1
如何求k2 ?
15
如何求k2? 设法使部分分式只保留k2，其他分式为0 第
对原式两边乘以( s
1)2
s2 s2
(s
1)2
k1 s2
k2(s
1)
页
k3
令s 1时,只能求出k3 1,
j 1
K n (s pk ) k 1
z1 , z2 zn 系统函数的零点
p1 , p2 pn 系统函数的极点
在s平面上，画出H(s)的零极点图：
极点：用×表示，零点：用○表示
23
第
例4
H(s)
s(s 1 j1)( s 1 (s 1)2(s j2)( s
3
所以 k2 3
s 1
逆变换
4 3 1
F(s)
s
2
s1
(s 1)2
所以 f (t) L1 F(s) 4e2t 3et t et
第 页
t 0
16
17
五．F(s)两种特殊情况
第
页
1 非真分式—— 化为真分式＋多项式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
419
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1拉氏变换的基本性质1
线性定理
齐次性)
()]([s aF t af L =叠加性
)
()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式
=
−=][ ′− −=−=−−−−=−∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ⋮）（初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n =3
积分定理
一般形式
��∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共⋯⋯⋮初始条件为0时
�
n
n n s
s F dt t f L )
(]))(([=∫∫个
共⋯4延迟定理（或称t 域平移定理）)
()](1)([s F e T t T t f L Ts −=−−5衰减定理（或称s 域平移定理）)
(])([a s F e t f L at +=−6终值定理)
(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=7初值定理)
(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=8
卷积定理
)
()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =−=−∫∫τττττ
420
2．表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
Z 变换E(z)
11
δ(t)12Ts
e −−11∑∞
=−=0)
()(n T nT t t δδ1−z z 3s
1)(1t 1
−z z 42
1s t
2
)1(−z Tz 53
1s 2
2t 3
2)1(2)1(−+z z z T 61
1
+n s !n t n )(!)1(lim 0aT
n n n a e z z a n −→−∂∂−7a
s +1at e −aT
e z z
−−82)(1a s +at
te
−2
)(aT aT e z Tze −−−9)(a s s a +at
e
−−1)
)(1()1(aT aT e z z z e −−−−−10)
)((b s a s a b ++−bt at e e −−−bT aT e z z
e z z −−−−
−112
2ωω+s t ωsin 1
cos 2sin 2+−T z z T
z ωω122
2ω+s s t
ωcos 1
cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω132
2)(ωω
++a s t e at
ωsin −aT
aT aT e T ze z T
ze 22cos 2sin −−−+−ωω142
2)(ω+++a s a s t
e
at
ωcos −aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15
a
T s ln )/1(1
−T
t a /a
z z −
421
3．用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
1110
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=
=−−−−⋯⋯（m n >）
式中系数n n a a a a ,,...,,110−，m m b b b b ,,,110−⋯都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
①
0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=−=−++−++−+−=n
i i
i
n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)(⋯⋯（F-1）
式中，n s s s ,,,21⋯是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)
()(lim s F s s c i s s i i
−=→（F-2）
或
i
s
s i s A s B c =′=
)()
(（F-3）
式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡−==∑=−−n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t s n i i i
e c −=∑1
(F-4)
2
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r s s s s s s s B s F −−−=
+⋯=
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −+
+−++−+−++−+−++−−⋯⋯⋯11
111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…,n s 为F(s)的n-r 个单根；
422
其中，1+r c ，…,n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1−r c ，…,1c 则按下式计算：
)
()(lim 11
s F s s c r s s r −=→)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r −=→−⋮
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r −=→−(F-5)
⋮
)
()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s −−=−−→原函数)(t f 为
[]
)()(1s F L t f −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−++−+−++−+−=++−−−n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ⋯⋯⋯11111
1
111)()()(t
s n
r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=−−−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++−+−=112211
1
)!2()!1(⋯（F-6
）。