3差分格式
§3. 热传导方程
上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例，对此展开讨论。为简单起见，先不给出定解条件。
考虑热传导方程
2
2u u
t x
抖=?? 方程中出现了一阶时间导数 u
t ?? 和二间空间导数 22u x
?? 。
对于一阶时间导数
u
t
?? ，常用的差分近似就有三种，记 向前差分近似
1n
n n j j
j
u u u
t
t
+-?ü
禗
向后差分近似
1
n
n n j j
j
u u u
t
t
--?ü
禗
中心差分近似
11
2n
n n j j
j
u u u t
t
+--?ü
禗
这里，我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。
前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为
2
11
2
2
2n
n n n
j j j j
u u u u
x x
+--+?ü
禗
但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开，有
()1
2
232
2
222
n n
n
n
j
j j j u
u u u
t t x x t x x O +抖抖=
+D +=+D 抖抖?L ()1
2
2
3
2
2
222
n n
n
n
j
j j j
u
u u u
t t x x t x x O -抖抖=
-D +=+D 抖抖?L 所以，如果用
1
2
2
n j
u
x +?? 或
1
2
2
n j
u x -?? 代替
2
2
n
j
u
x ?? ，虽然会引入新的误差，但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案
1
1112
2
11
2
2
2
2n
n n n n j j j j
j
u u u u
u
x x x
+++++--+抖苘
抖D
1
1112
2
11
2
2
2
2n
n n n n j j j j
j
u u u u u
x x x
----+--+抖苘
抖D
将前面讨论过的一阶时间导数的三种差分近似与这里给出的二阶空间导数的三种差分近似方案搭配起来，可以为热传导方程构造出九种不同的差分格式，如下表所示。
???
???
???
3
（注）二阶空间导数差分近似的三个方案可以叙述为：在用中心差分近似二阶空间导数时，时间自变量 t 的取值固定在 n t t = 、1n t t += 或
1n t t -= 三个不同的时刻。
在上面的表中，除了给出差分格式，还给出了这个格式所用到的网格点的图示，称为格式的模板。另外，表中打 ′ 表示这个格式在网格点的使用上明显不合理，下面将不予考虑。在余下的格式中，我们挑出三个作为基本格式（打?者，后面将会解释这三个名称的含义），它们是
两层显式格式
111
2
2n n
n n n
j j
j j j u u u u u t
x
α
++---+=D D
两层隐式格式
1111
11
2
2n n
n n n j j
j j j u u u u u t
x
α
+++++---+=D D
三层显式格式
11
11
2
22n n n n n
j j
j j j u u u u u t
x
α
+-+---+=D D
对表中标有 ?、?、?、? 的这四个格式，有以下的分析。 对于 ? 和 ? ，令 1n n ￠=- ，则 1n n ￠=+ ，于是它们可写成
111
2
2n n
n n n
j j
j j j u u u u u t
x
α
ⅱ
ⅱ
?
++---+=D D
1111
11
2
2n n
n n n j j
j j j u u u u u t
x
α
ⅱ
ⅱ
?
+++++---+=D D
显然它们与前两个基本格式是类似的。
而对于格式 ? 和 ? ，仍令 1n n ￠=- 并取 2t t ￠D =D ，则由于 1112n n n t t t t t +--￠=+D =+D ，所以如果用 2t t ￠D =D 作为时间
步长，1n t + 就是 1n t - 的下一个时刻，可记作 1n ⅱ
+ ，于是这两个格式也可写成
11
1
2
2n n n n n
j j j j j u u u u u t x αⅱ
ⅱ
ⅱ
++---+=￠D D 1111
1
1
2
2n n n n n j j j j j u u u u u t x αⅱ
ⅱ
ⅱ
ⅱ
?
+++++---+=￠D D 可见它们也与前两个基本格式类似。
综合以上的分析，这四个格式与基本格式重复，也不必再考虑。 以下将集中分析上面选出的三个基本格式。前两个基本格式，只用到
n 和 1n + 两个时间层的网格点，故称为两层格式。而第三个格式用到了 1n -、 n 、 1n + 三个时间层的网格点，所以称为三层格式。
下面为热传导方程补上定解条件，考虑热传导方程定解问题
()()()()()()22 , , 0, , , , 0,0 , a b u u a x b t t x u a t g t u b t g t t u x x a x b α?ì?抖?=＃??????????==>í??????=<
对这个定解问题，第一个基本格式为
()()
()1112002 1,2,, 1 , 1,2,,1 , , 1,2,,1 , 1,2,,1n n n n n j j j j j n n n n a M b j j u u u u u t x j M n N u g t u g t n N u x j M α?++-ì?--+??=?D ?D ???=-=-??í???===-?????==-?
L L L L ?? 将它改写成便于计算的形式
()()
()()
01110 , 1,2,,12 1,2,, 1 , 1,2,,1 , , 1,2,,1j j n n n n n j
j j j j n n n n a M b u x j M u u r u u u j M n N u g t u g t n N ?++-ì?==-??????=+-+??í
??=-=-??????===-???
L L L L 式中 2
t
r x
α
D =D 。这个格式的求解步骤如下： 0t =时刻（0n =） ：()0j j u x ?=
1t t =时刻（1n =） ：()10000
11
2j j j j j u u r u u u +-=+-+
，(1,2,,1j M =-L )
()110a u g t = ，()
1
1M b u g t =
2t t =时刻（2n =） ：()21111
11
2j j j j j u u r u u u +-=+-+
，(1,2,,1j M =-L )
()220a u g t = ，()2
2
M b u g t =
一般地，如果已经求出 n t t = 时刻的近似解，则
1n t t +=时刻：()111
2n n n n n
j j j j j u u r u u u ++-=+-+
，(1,2,,1j
M =-L )
()110n n a u g t ++= ，()1
1
n n M b u g t ++=
对 0,1,2,,1n N =-L 反复进行这一步骤，直到求出 N t t T == 时刻的近似解。
从这个计算过程可以看出，只要用初始条件给出第0层网格点上的解，就可以用这个格式一步一步地计算出各个时间层的近似解。这样的格式称为显式格式。
再来考虑第二个基本格式，它可以改写成
()1111112n n n n
j j j j
ru r u ru u +++-+-++-= 显然，第 1n + 层的三个近似解 11n j u +-、1n j u +、1
1
n j u ++ 是耦合在一起的，无法单独计算出来。所以，需要在第 1n + 层的每一个网格点上列出差分格式，联立求解，即
()()()1111210
11112321111112 12 12 n n n n n n n n n n n j j j r u ru u ru ru r u ru u ru r u ru +++++++++-++-=+-++-=-++-O ()()1113212111211 12 12n j n n n n M M M M n n n n M M M M u ru r u ru u ru r u u ru +++----+++---ì??????????????????=í????-++-=-++=+?
O ?????????????? 方程组中的 ()110n n a u g t ++= ，()
11n n M b u g t ++= 都是已知的（由边界条件
事先确定的），所以可以移到方程右边。
如果将第 1n + 层的近似解和上述方程组的右端项写成向量
111211
1211n n n n j n M n M u u u u u +++++-+-骣÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷=?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷琪÷?桫
u M M ， ()
()
1110122
1221111
n n n n a n
n n n n j j n n M M n n n n M M M b u ru u rg t u u u u u u u ru u rg t +++--++--骣骣++÷??÷??÷??÷??÷??÷?÷?÷??÷??÷??÷??÷??÷?÷?÷??÷??÷??÷??÷??÷?÷==?÷??÷??÷??÷??÷??÷?÷?÷??÷??÷??÷??÷??÷?÷?÷??÷??÷??÷??÷?琪++÷??桫桫b M M M M ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
再将方程组的系数矩阵记作
1212121212r r r r r r r r r
r r r r 骣+-÷?÷?÷?÷?÷-+-?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?
÷?-+-=÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷-+-÷?÷?÷?÷
?÷
?÷-+?桫
A O O O O
O O 则方程组可写成
11n n ++=Au b
这个格式的求解步骤如下：
0t = 时刻（0n =） ：由初始条件 ()0j j u x = 计算 0u 。 1t t = 时刻（1n =） ：利用 0u 和边界条件计算右端项 1b ，
解方程组 11=Au b ，求出 1u 。
2t t = 时刻（2n =） ：利用 1u 和边界条件计算右端项 2b ，
解方程组 22=Au b ，求出 2u 。
一般地，如果已经求出 n t t = 时刻的近似解 n u ，则
1n t t += 时刻 ：利用 n u 和边界条件计算右端项 1n +b ，
解方程组 11n n ++=Au b ，求出 1n +u 。
对 1,2,,1n N =-L 反复求解方程组，直到求出 N t t T == 时刻的近似解。
从上述计算过程可以看出，这个格式一个时间步的计算都需要求解一个方程组，才能得到这个时间层的近似解。这样的格式称为隐式格式。
上面对显式格式和隐式格式的分析表明，从计算量和编程工作量的角度来说，显式格式由于不需要求解方程组，计算量小，便于编程，所以优于隐式格式。
最后，简单分析一下第三个基本格式，即三层格式，它可以改写成
()
1111
22n n n n n
j j j j j u u r u u u +-+-=+-+ 可以看出，这是一个显式格式，无需解方程组，这是它的优点。另一方面，作为三层格式，计算第 1n + 层的近似解需要用到前两个时间层（第 n 层和第 1n - 层）的近似解，那么在开始计算时就只能从第2层开始（用第1层和第0层的近似解来计算）。但是与上一节的波动方程不同，这里的热传导方程定解问题只有一个初始条件 ()(),0u x x ?= ，它只能给出第0层的解。第1层的近似解必须用其他方法确定（有时这很困难）。这是三层格式的缺点（对于热传导方程而言，所有三层格式都有这个缺点）。
（注）热传导方程的差分格式，无论是两层格式还是三层格式，无论是显式格式还是隐式格式，都会出现一个无量纲的量，就是比值
2
t
r x
α
D =D ，下面给出的格式也是如此。由此可见，r 是一个重要的量，称为（热传导方程差分格式的）网格比。
除了本节已经讨论过的三个基本格式之外，热传导方程还有没有其它形式的差分格式？答案显然是肯定的。这里再给出一个比较常用的格式，作为这一节的结束。
在三个基本格式中有两个是两层格式，它们的区别在于：用中心差分近似二阶空间导数时，时间自变量 t 的取值固定在 n t t = 时刻还是
1n t t += 时刻。这两种选择，分别得到了显式格式和隐式格式。如果不想做这个选择，可以考虑用这两者的加权平均，于是得到差分格式
()1111
1111
22
221n n n n n n n n j j
j j j j j j u u u u u u u u t
x x αθθ+++++-+-轾--+-+犏=+-犏D D D 犏臌
式中的 θ 是权（01θ＃）。这个格式称为六点格式，其模板是
六点格式可改写成
()()()()111
11
11 1211211n n n j j j n n n j j j ru r u ru ru r u ru θθθθθθ+++-+-+-++-轾=-+--+-犏臌
所以，只有 0θ= 时，六点格式才是显式格式，就是前面的两层显式格式。而当 0θ1 时，六点格式总是隐式格式。特别是当 1θ= 时，就是前面给出的两层隐式格式。从现在起，为了与 θ 取其它非零值的两层隐式格式相区别，将它改称为两层完全隐式格式。
除了这两个已知的格式之外，还有一个常用的格式，就是取 12
θ= ，称为两层平均隐式格式或Crank-Nicholson （C-N ）格式，形式为
11111111
22
2212n n n n n n n n j j
j j j j j j u u u u u u u u t
x x
α+++++-+-轾--+-+犏=+犏D D D 犏臌
对于三层格式也有类似的结果。例如，三层平均隐式格式（九点格式）
11
111111111111
222
222123n n n n n n n n n n n j j
j j j j j j j j j u u u u u u u u u u u t
x x x
+-+++---+-+-+-轾--+-+-+犏=++犏D D D D 犏臌
α
(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式
差分格式
§1. 差分 1． 一阶导数的差分近似（差商） 导数的定义： ()()()0 000 lim x x f x f x f x x x ?-￠= - 导数的近似： ()()()10010 f x f x f x x x -￠?- （当 1x 与 0x 足够接近时） 这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 － 泰勒展开：将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开，有 ()()()()()()2100100101 2f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L 于是 ()()()() 1001010 f x f x f x x x x x -￠- =-- 各种差分近似： 取 0h >（称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>） ()()() 000f x h f x f x h +-￠?
向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<） ()()() 000f x f x h f x h --￠? 中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均） ()()() 0002f x h f x h f x h +--￠? 2． 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 ()()()() () ()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é ￠? ++ê?+ù++++ú? L L 或简写为 ()()01n j j j m f x c f x h =-￠?? 称为一阶导数 ()0f x ￠ 的一个 1m n ++ 点差分近似。这里 0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L
Poisson方程九点差分格式_米瑞琪
数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩 一、实验目的，内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理； 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异； 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵； 二、算法描述 针对一个Poisson方程问题： 在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到： 为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有： 考虑，有：
将（3）代回（2）可得 得到Poisson方程的九点差分格式： 在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式 的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有： 对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：
以及 则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。 对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即： 写成相应的紧凑格式有：
该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：
%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果 针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下： 步长五点差分格式误差九点差分格式误差 可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。 五. 计算中出现的问题，解决方法及体会 在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。 教 师 评 语 指导教师：年月日
对流扩散方程有限差分方法.
对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ
利用中心差分格式数值求解导数
利用中心差分格式数值求解导数 目录 一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)
一、问题描述 利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散 将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长，等步长的离散为n 个小段，包括端点，共n+1个网格节点，示意图如下： 线段上边的数字表示x 轴上的坐标值，线段下边的数字表示节点编号，从0到n 编号。 二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中，x ? 为空间离散步长；i=1,2，……，n-1 包括边界条件的线性方程组如下：
边界条件 边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式： f Ay = 其中，?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ，??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ，??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0，其余位置上的数值全为0，是 典型的对角占优的三对角矩阵，列向量f 中，)2sin(2x i x f i ??=，且10==n f f ，作为边界条件。 追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101
差分格式稳定性及数值效应比较实验
差分格式稳定性及数值效应比较实验 5090719044 张赟F0907102 一实验目的： 1.以一阶线性双曲线方程为例，使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。 2.了解4种差分格式的稳定性 二实验问题： 对于一阶线性双曲型方程： 取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎风格式）及不同的a值进行迭代计算。通过将计算结果与精确解来进行比较，来讨论分析差分格式的稳定性。 三实验原理： 1.迎风格式： 这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下： 运算格式： https://www.360docs.net/doc/4010969418.html,x-Friedrichs格式：
运算格式： https://www.360docs.net/doc/4010969418.html,x-Wendroff格式： 这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到，运算格式： 4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）： 其中是取整数部分，=。根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。 四四种格式理论分析： 通过求差分格式的增长因子G(τ, k)，来判定差分格式是否稳定。 1.迎风格式： 记，则， 得, 即。 所以。 则在，满足von Neumann条件，格式稳定。 以下格式用相同方法求解稳定性条件。 https://www.360docs.net/doc/4010969418.html,x-Friedrichs格式： ，在时稳定。
https://www.360docs.net/doc/4010969418.html,x-Wendroff格式： ，在时稳定。 4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）： ， 其中，的成立条件为。而恒成立，故格式无条件稳定。 五实验结果： a=1（） 迎风格式Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式修正迎风格式
3差分格式
§3. 热传导方程 上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例，对此展开讨论。为简单起见，先不给出定解条件。 考虑热传导方程 2 2u u t x 抖=?? 方程中出现了一阶时间导数 u t ?? 和二间空间导数 22u x ?? 。 对于一阶时间导数 u t ?? ，常用的差分近似就有三种，记 向前差分近似 1n n n j j j u u u t t +-?ü 禗 向后差分近似 1 n n n j j j u u u t t --?ü 禗 中心差分近似 11 2n n n j j j u u u t t +--?ü 禗 这里，我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。
前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为 2 11 2 2 2n n n n j j j j u u u u x x +--+?ü 禗 但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开，有 ()1 2 232 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O +抖抖= +D +=+D 抖抖?L ()1 2 2 3 2 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O -抖抖= -D +=+D 抖抖?L 所以，如果用 1 2 2 n j u x +?? 或 1 2 2 n j u x -?? 代替 2 2 n j u x ?? ，虽然会引入新的误差，但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x +++++--+抖苘 抖D 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x ----+--+抖苘 抖D
差分方法的稳定性
差分方法的稳定性 1.实验内容 对于一阶线性双曲线型方程： 其中初值 取空间长度h=0.01，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间来讨论和分析差分格式的稳定性。 2.算法思想与步骤 2.1迎风格式 这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特 征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下： 运算格式： 2.2 Lax-Friedrichs 格式
运算格式： 2.3 Lax-Wendroff格式 这种格式构造采用Taylor级数展开和微分方程本身得到 运算格式： 2.4 Bean-Warming格式（二阶迎风格式） 借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。 A,B,C和D 层上网格点P 假定C.F.L条件成立，过P点特征线与BC交于点Q， ①用B,C两点值进行线性插值，得到的是迎风格式; ②用B,D两点值进行线性插值，得到的是Lax-Friedrichs格式； ③用B,C和D三点值进行抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff格式。 如果我们采用A,BC三点来进行抛物型插值，可以得到 这就是Beam-Warming格式。
2.5 蛙跳格式 运算格式： 保持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff格式或Beam-Warming格式。 2.6 目标点范围跟踪格式（迎风格式的改进） 下面的分析将会得到这是一个无条件稳定结构。 3.数据分析与作图 3.1迎风格式
稳定性分析： 记，则，得
研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告
2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人
研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。 关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性 Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability 1 前言 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。 2 Hirt启示性方法 2.1 方法概述 Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似
一阶中心差分格式
中心差分格式的程序实现 数学10-1班 余帆 10072121 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+= , h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步长。 差分格式为： . ,,1,,2,1202 1 1βα==-???==++--=-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344 2222 1 1h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3 44 2h dx x u d h u R i i O +? ?????-=
4、数值例子 x x q e x u x sin 1)()(+== x e x f x sin )(= 其中[]1 ,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22， x e x f x sin )(= x x q e x u x sin 1)()(+== 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ????????????? ?+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ????????????-121N u u u = ?????? ? ????? ??++-βα 12 2 212N f h f h f h 系数矩阵A=??? ? ? ? ? ??? ? ???+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ，我们可以利用高斯消去 法求得u （x ）的数值解。 6、实验结果 程序输出结果： 取N=10； 逼近解u1 真解u 1.10521961652189 1.10517091807565 1.22149147782632 1.22140275816017
偏微分中心差分格式实验报告(含matlab程序)
二阶常微分方程的中心差分求解 学校:中国石油大学（华东）理学院 姓名：张道德 一、 实验目的 1、 构造二阶常微分边值问题: 22,(),(), d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<
11122 222222333222122112 100121012010012 00N N N u f q h h u f q h h h u f q h h h q u f h h ---???? ??+-???? ??? ???? ???????-+-? ?????? ???????????=-+? ?????? ???????????-???? ????????-+????? ?? ????? 可以看出系数矩阵为三对角矩阵，而对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组可以用“追赶法”求解，则可以得出二阶常微分方程问题的数值解。 四、 举例求解 我们选取的二阶常微分方程边值问题为： 2 22242,01 (0)1,(1), x d u Lu x u e x dx u u e ?=-+=-<
中心差分格式
中心差分格式 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+=, h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步 长。 差分格式为： .,,1,,2,120211βα==-???==++-- =-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344222211h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3442h dx x u d h u R i i O +??????-= 4、数值例子
x x q e x u x sin 1)()(+== 其中[]1,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22，且已知 x x q e x u x sin 1)()(+== 可得x e x f x sin )(= 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ??????????????+--+--+-21222 1211 21 12h q h q h q N ????????????-121N u u u =??????????????++-βα122212N f h f h f h 系数矩阵A=?????? ????????+--+--+-212 221211211 2h q h q h q N ，我们求出矩阵A 极其逆便可求得u （x ）的数值解。 6、参考文献 《偏微分方程数值解法》李荣华 高等教育出版社 《科学计算中的有限差分法》 《MATLAB 程序设计教程》刘卫国 中国水利水电出版社
2差分格式的构造
§2. 差分格式的构造 1． 差分格式 对于描述流体流动的微分方程定解问题，用差分来近似方程及定解条件中的导数，就可以构造出该定解问题的差分格式。 【例】波动方程初边值定解问题 ()()()()()()()22 2 22010 , , 0 , , , , 0 ,0 , , a b t u u c a x b t t x u a t g t u b t g t t u x x a x b u x a x b t ??=ì?抖?=＃ ??抖???????==>????í???=<
b a x M -D = ，时间 t 方向的步长取为 T t N D = ，记 n t n t =D ， （0,1,2,,n N =L ） j x a j x =+D ，（0,1,2,, j M =L ） 求解区域里像 () ,n j x t 这样的点称作网格点。 定解问题的离散化：在网格点 () ,n j x t 处列出方程 2 2 2 2 2n n j j u u c t x 抖=抖 对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数，都采用中心差分近似，即 ()()( )() 11 2 2 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u t t t O +--+?= +D 禗 ()()( )() 2 112 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u x x x O +--+?= +D 禗 代入原方程，就有 ()()( )() ()()( )() 11 2 2 112 2 2 ,2,,,2,,n n n j j j n n n j j j u x t u x t u x t t t u x t u x t u x t c x t O O +-+--++D D -+=+D D
有限差分法
有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛
差分格式稳定性实验报告——张方博5090719049
差分格式稳定性实验报告 张方博 学号：5090719049 班级：F0907102 一、 实验目的 1、 加深对几种差分格式稳定性及其稳定条件的理解； 2、 利用matlab 数值直观上验证差分格式是否稳定性； 二、 实验问题 考察对流方程： 其中() 1 (0),()0(0)f x x f x x =≤=> 给定 0.1 ,=0.08 ,=h/h τλτ=，对a=1,2,4,分别对以下格式求解出t=4时的数值结果，并绘制u(x,4)的函数图像 1111111122111111() 11()()22 11()(2)22 n n n n j j j j n n n n n j j j j j n n n n n n n j j j j j j j n n j j p u u a u u Lax Friedrichs u u u a u u Lax Wendroff u u a u u a u u u u du λλλλ+-++-+-++-+-+--=---=+---=--+-+=+迎风格式（upwind ）: 格式： 格式： 修正迎风格式： [][]2362 (1),10~10n j p d u p a d a a λλλ--==-这里 三、 实验过程 0, (0,)()t x u au u x f x +==
用matlab编程，程序附在文档后，绘制图形，分析比较。 四、实验结果 这里只给出绘制的图像如下： （1）a=1: upwind Lax-Friedrich
Lax-Wendroff Modified Upwind （2）a=2:
Upwind Lax-Friedrich
对流占优扩散方程的差分法
摘要 对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。 本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。 关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法
Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method
研究报告有限差分格式稳定性的其他方法-报告
研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。 关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性
Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a mon and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of monly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability