3差分格式
差分格式
§1. 差分 1．一阶导数的差分近似（差商）导数的定义： ()()()0000limx x f x f x f x x x ®-¢=-导数的近似：()()()10010f x f x f x x x -¢»- （当 1x 与 0x 足够接近时）这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。
误差分析 － 泰勒展开：将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开，有()()()()()()21001001012f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L于是()()()()1001010f x f x f x x x x x -¢-=--各种差分近似： 取 0h >（称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>）()()()000f x h f x f x h+-¢»向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<）()()()000f x f x h f x h--¢»中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均）()()()0002f x h f x h f x h+--¢»2． 差分近似的一般形式差分近似的一般形式可写成()()()()()()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x hc f x c f x c f x c f x ------é¢?++êë+ù++++úûL L或简写为()()01nj j j mf x c f x h =-¢»å 称为一阶导数 ()0f x ¢ 的一个 1m n ++ 点差分近似。
这里0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L差分近似的精度 ： 阶 定义：若()()()01n pj jj mf x c f x h h =-¢-=å 则称表达式 ()1nj j j mc f x h =-å 是一阶导数 ()0f x ¢ 的 p 阶差分近似。
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
poisson方程三维有限差分格式
poisson方程三维有限差分格式三维Poisson方程有限差分格式主要应用于求解三维空间中的Poisson方程。
与二维情况类似，我们需要将三维空间划分为网格，然后对网格节点上的函数值进行差分。
以下是一个基本的三维有限差分格式求解过程：1. 网格划分：首先对三维求解区域进行网格划分。
网格划分的方向可以采用均匀网格或非均匀网格，取决于问题的特性。
通常，在边界附近的网格节点密度会较大，以更好地捕捉边界附近的梯度变化。
2. 建立差分方程：根据五点差分格式，我们可以得到三维Poisson方程的差分形式。
在x、y、z方向上，分别对函数u(x, y, z)进行差分，得到如下形式的差分方程：u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z) / (2h) = λ* (u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z)) / (2h) u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z) / (2h) = λ* (u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h)) / (2h) u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h) / (2h) = λ* (u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z)) / (2h)其中，h为网格步长，λ为比例系数，可根据边界条件和初始条件进行调整。
3. 迭代求解：将差分方程组转化为矩阵形式，然后采用迭代方法（如Gauss-Seidel迭代法）求解。
对于每个网格节点，迭代更新u(x, y, z)的值，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
4. 后处理：在求解过程中，可以采用一些后处理方法来提高解的质量，如欠松弛技术、人工粘性层等。
5. 验证与分析：将求解得到的结果与理论解析解或实验数据进行比较，分析数值解的准确性和稳定性。
需要注意的是，在实际应用中，根据问题的具体情况，可能需要对上述求解过程进行相应的调整，如采用非均匀网格、多重网格技术、自适应步长等方法。
中心差分高阶格式
中心差分高阶格式
中心差分法是数值计算中一种常用的近似求解微分方程的方法之一，它常被应用于数值模拟、计算流体力学、物理学等领域。
在中心差分法中，我们通过计算函数在节点处的导数，来近似求解微分方程的解。
中心差分法的高阶格式则是在基本的中心差分公式上，通过引入更多的节点和更高阶的近似求解，提高该方法的精度和稳定性。
基本的一阶中心差分公式为：
$$\frac{df}{dx} = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$$
其中 $h$ 为节点之间的距离，该公式的精度为 $O(h)$。
而在二阶中心差分公式中，我们可以引入更多的节点来提高精度，例如：
$$\frac{d^2f}{dx^2} = \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2)$$
这个公式中，我们通过引入两个节点，将精度提高到了$O(h^2)$ 的二阶。
而在高阶中心差分公式中，我们可以通过引入更多的节点和更高阶次的求导来进一步提高精度。
例如，三阶中心差分公式为：
$$\frac{d^3f}{dx^3} = \frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) - f(x-2h)}{2h^3} + O(h^2)$$
这个公式中，我们引入了四个节点，并通过更高阶次的求导来提高精度。
同理，我们也可以通过引入更多节点和更高阶次的求导来构造四阶、五阶或更高阶的中心差分公式，以达到更高的精度和更好的稳定性。
总之，中心差分高阶格式是中心差分法在精度和稳定性方面的一种进一步提高。
在实际应用中，我们可以根据问题的特点和要求，选择不同阶次和形式的中心差分公式来近似求解微分方程的解。
高精度差分格式及湍流数值模拟(三)
~m; (~10m)
最小尺度涡： 微米量级； 中小尺度涡： 0.1mm~ 1mm量级
直接数值模拟： 分辨出最小尺度涡； 网格量极为巨大： 计算量、存储量大
对高性能计算需求强烈
二、 高精度CFD软件 OpenCFD
OpenCFD: 作者开发的一套高精度、开放的CFD程序
1） OpenCFD-SC : 高精度差分 2） OpenCFD-EC: 有限体积 3） OpenCFD-Comb: 化学反应计算
computational region
200
z 300
outflow boundary
buffer region
400
500
示例2：有攻角小头钝锥边界层转捩的DNS
3） 计算结果验证
a.不同网格之间的比较 （网格收敛性） b. 不同扰动形式的结果比较 （模型正确性） d. 与Horvath静风洞实验比较 （与实验结果比较） c. 与 eN方法比较 （与理论结果比较） e. 与Stenson实验比较 （与实验结果比较）
面向工程计算开放的CFD代码(Open CFD code for Engineering Computing)
算法： 多块结构网格有限体积 + RANS 特点： 适用于复杂外形工程计算
差分-有限体积混合方法
3） 高精度化学反应模拟程序—— OpenCFD-Comb
面向化学反应的开放CFD程序： An OpenCFD code for Combustion
高精度差分格式及 湍流数值模拟 （三）
Part 3 可压缩湍流DNS
1. 背景 2. OpenCFD软件简介 3. 典型可压缩湍流的直接数值模拟示例 4. 湍流模型的评估及改进 5. 湍流燃烧的DNS 6. 小结
【计算流体力学】第5讲-差分方法3
通量差分分Байду номын сангаас （FDS）： 耗散低、分辨率高
Step 1: 运用差分格式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Step 2: 运用Riemann解， 计算
F j 1/ 2
F
(U
L j 1/
2
,U
) R
j 1/ 2
Step 3: F Fj1/2 Fj1/2
x
x
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
二阶精度TVD区（二 者交集）
1
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
6
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
RTCMRTCM格式说明
RTCMRTCM格式说明
RTCM格式：
RTCM2.X：只⽀持部分系统，进⾏单⼀功能的扩展，⽬前该格式使⽤的已经不多；
RTCM3.X：
RTCM3.0：表⽰从 RTCM2.X 向 RTCM3.X 进⾏过渡，⽬前使⽤的并不多；
RTCM3.2：使⽤的较多，为标准格式；
RTCM3.3：格式与 RTCM3.2 基本⼀致，在RTCM3.2基础上增加了北⽃星历、GA1-7星历、SBAS系统等；
RTCM数据格式
RTCM数据格式分为包头、有效数据、校验帧尾
包头：
前导码：以 D3 00开头；
保留位：保留位补0, 存在6个⼆进制位；
电⽂长度：电⽂的有效数据长度；
RTCM常⽤的电⽂类型：
观测值电⽂：单个卫星系统为1包电⽂，所以多系统的单个历元中会存在多条电⽂；
星历电⽂：单颗卫星的信息为1包电⽂，电⽂在有卫星信息更新的时候进⾏播发，不同的卫星系统星历更新的时间段不⼀样；
基站电⽂：基站坐标、基站天线信息、辅助信息等；
SSR电⽂：精密轨道、精密钟差；
Q1:RTCM数据丢历元
说明：丢历元往往指的是观测值电⽂不完整的情况，表现为丢历元；
表现1：单个历元存在多个星系统，其中⼀个星系统丢失都表现为这个历元的丢失（多星系统中，有标志位字段⽤来表⽰单个星历是否完成播发）；
表现2：其中⼀个星系统出错都会表现为这个历元的缺失；
Q2:差分数据不能识别
1.差分格式中，分为 MSM1-7，不同的格式中包含的数据量不⼀样，板卡不⼀，兼容性没做好的板卡会出现识别不正常的问题；
2.RTCM
3.3 格式中，不⽀持北⽃3代的定义（卫星号可通过预留位进⾏表⽰，但 B1C/B2A 通道未定义，所以不能兼容）；。
第五讲——显式差分和隐式差分(5)
c(n)
T1n n T2 T3n n T4 T n 5n T 6
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16 s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
一维热传导方程
一维热传导方程一． 问题介绍考虑一维热传导方程： （1）,0),(22T t x f xu atu ≤<+∂∂=∂∂其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。
按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2）),()0,(x x u ϕ= ∞<<∞-x第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件： （3）),()0,(x x u ϕ=l x <<0及边值条件 (4).0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0假定)(x ϕ在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。
二． 区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。
去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。
用两族平行直线：),,1,0(N j jh x x j ===),,1,0(M k k t t k ===τ将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。
三． 离散格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。
第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。
1. 向前差分格式 （5） ,22111j kj k j k j kjk jf hu u u au u ++-=--++τ)(j j x f f =，)(0j j j x u ϕϕ==， 00==kN k u u ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。
有限差分法
有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
关于差分格式的构造一般有以下3种方法。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
复习第三章求解导热问题的有限差分法
n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
12
第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
内容 （1）显式差分格式 1、差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法
2、直接差分法
1
第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。
3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。
处进行Taylor展开: 1)式的中心差分格式[6]n 1 n U j U jn nU j 1 U j 1 a2hnU j 1vn n2U j U j 1h2(3)若令a h，n 1 U jnU jVp，则h1 / n2(U 1(3)式可改写为n nU j 1) (U j 12u：n \U j 1)(4)从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量nU j1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。
因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1U j nU jU； 1 分别在(X j,t n)nUjU(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)nU j 1U(X j 1,t n) U(X j,t n)nU j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X jU n h22U nXj2 2 X j代入⑷式，有T (X j,t n)n 1UjnUjn nU j 1 U j 1 a2h2U nh2n0()n2a 0(h )2U2Xn2v 0(h )jhhnU j 10(h3)0(h3)nU j 1v ---20( h )显然，当0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为2O( h )。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
三阶weno格式
三阶weno格式
三阶WENO格式是一种用于数值求解偏微分方程的高分辨率差分格式。
这种格式基于WENO （Weighted ENO）的概念，其目标是在保持高分辨率的同时减少数值耗散。
WENO格式通过加权平均的方式来提高精度，特别是在激波和边界层等极端梯度区域。
与其他格式如Lax-Wendroff格式和TVD格式相比，WENO格式在某些情况下可以提供更高的精度。
此外，研究还表明，WENO-JS3格式和WENO-Z3格式在光滑流场区域（包括极值点）具有相同的理论精度，且均低于三阶设计精度。
总的来说，三阶WENO格式是一个强大的工具，可以在多种应用场景中提供准确的数值解。
有限差分法基本原理课件
离散网格点
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分概念：
设有x的解析函数 y f(x) ，函数y 对x 的导
数为：
d yli m ylim f(x x )f(x )
dx x 0 x x 0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别称 为函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
有限差分法基本原理
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于
复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程：
对流方程：
0
t x
对流－扩散方程：
t
x
2x2
热传导方程：
2
t
x2
有限差分法基本原理
Poisson方程：
*n i
为差分方程的近似数
值
解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
T i* n 1 S* i n T 1 ( 1 2 S )T * in S* i n T 1
in 1 Sn i 1 ( 1 2 S )n i Sn i 1
上式称为误差传播方程。
有限差分法基本原理
x等价定理
2
x2
2
y2
f
2 2
Laplace方程： x2 y2 0
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0
t x
(x,0) (x)
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
1.划分网格
对流扩散方程有限差分方式
对流扩散方程有限差分方式求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时刻导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就取得了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）假设令 haτλ=，2h vτμ=，那么（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式咱们看到，在新的时刻层1+n 上只包括了一个未知量1+n j u ，它能够由时刻层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分滑腻的解，将1+n j u ，n j u 1+，nj u 1-别离在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u unjn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++ )(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
接收机实现的NovAtel协议说明
接收机实现的NovAtel协议说明1、HXHD接收机实现的NovAtel协议说明1.1 log指令//NMEA语句log com1 gpgga ontime X(X = 0.1 0.2 0.5 1 2 5…) log com1 gpgll ontime X log com1 gpgsa ontime Xlog com1 gpgst ontime Xlog com1 gpgsv ontime Xlog com1 gphdt ontime Xlog com1 gprmc ontime Xlog com1 gpvtg ontime Xlog com1 gpzda ontime X// ⼆进制数据log com1 bestposb ontime Xlog com1 bestxyzb ontime Xlog com1 timeb ontime Xlog com1 refstationb ontime Xlog com1 refstationb onchangedlog com1 rangecmpb ontime Xlog com1 rangeb ontime Xlog com1 psrdopb ontime Xlog com1 psrposb ontime Xlog com1 satvisb ontime X// ASCII码格式数据log com1 bestvela ontime Xlog com1 headinga ontime Xlog com1 comconfiga ontime Xlog com1 comconfiga oncelog com1 loglista ontime Xlog com1 loglista oncelog com1 versiona ontime Xlog com1 versiona once1.2 设置串⼝波特率com com1 X (X = 9600 19200 38400 115200)1.3 请求卫星星历指令命令⽰例：log com1 ionutcb onchanged/onnew //GPS电离层和UTC参数log com1 rawephemb onchanged/onnew //GPS星历log com1 gpsephemb onchanged/onnew //GPS星历log com1 bdsephemerisb onchanged/onnew //BD2星历log com1 gloephemerisb onchanged/onnew //GLONASS星历log com1 ionutcb ontime 60 //GPS电离层和UTC参数log com1 rawephemb ontime 60 //GPS星历log com1 gpsephemb ontime 60 //GPS星历log com1 bdsephemerisb ontime 60 //BD2星历log com1 gloephemerisb ontime 60 //GLONASS星历1.4 设置基准站，并发送RTCM3格式差分数据fix position latitude longitude height //设置基准站坐标上述命令中，纬度和经度的单位是度，⾼程的单位是⽶log com2 rtcm1004 ontime 1 //GPS差分数据log com2 rtcm1104 ontime 1 //BD2差分数据log com2 rtcm1006 ontime 1 //基准站信息1.5 设置移动站，并接收RTCM3格式差分数据interfacemode com2 rtcmv3 novatel1.6 关闭输出指令unlog—关闭指定输出例如：unlog com1 bestposbunlogall—关闭当前串⼝全部输出例如：unlogall com11.7 保存接收机配置和串⼝输出等saveconfig1.8 清除保存的接收机配置和串⼝输出等freset command1.9 设置卫星遮蔽⾓ecutoff angle// angle的单位是度例如：设置卫星遮蔽⾓为10度ecutoff 10.01.10 接收机复位重启reset1.11 关闭/开启卫星系统关闭卫星系统lockoutsystem 卫星系统开启卫星系统unlockoutsystem 卫星系统上述卫星系统参见表1。
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§3. 热传导方程上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。
下面以热传导方程为例，对此展开讨论。
为简单起见，先不给出定解条件。
考虑热传导方程22u ut x抖=¶¶ 方程中出现了一阶时间导数 ut ¶¶ 和二间空间导数 22u x¶¶ 。
对于一阶时间导数ut¶¶ ，常用的差分近似就有三种，记 向前差分近似1nn n j jju u utt+-¶Ü禗向后差分近似1nn n j jju u utt--¶Ü禗中心差分近似112nn n j jju u u tt+--¶Ü禗这里，我们用“Ü”代表上一节推导差分近似的过程。
前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。
对这里的二阶空间导数的中心差分近似为211222nn n nj j j ju u u ux x+--+¶Ü禗但是也可以考虑其他可能的方案。
由泰勒展开，有()122322222n nnnjj j j uu u ut t x x t x x O +抖抖=+D +=+D 抖抖?L ()122322222n nnnjj j juu u ut t x x t x x O -抖抖=-D +=+D 抖抖?L 所以，如果用122n jux +¶¶ 或122n ju x -¶¶ 代替22njux ¶¶ ，虽然会引入新的误差，但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。
这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案111122112222nn n n n j j j jju u u uux x x+++++--+抖苘抖D111122112222nn n n n j j j jju u u u ux x x----+--+抖苘抖D将前面讨论过的一阶时间导数的三种差分近似与这里给出的二阶空间导数的三种差分近似方案搭配起来，可以为热传导方程构造出九种不同的差分格式，如下表所示。
✓❷✓✓⨯❹⨯❶❸3（注）二阶空间导数差分近似的三个方案可以叙述为：在用中心差分近似二阶空间导数时，时间自变量 t 的取值固定在 n t t = 、1n t t += 或1n t t -= 三个不同的时刻。
在上面的表中，除了给出差分格式，还给出了这个格式所用到的网格点的图示，称为格式的模板。
另外，表中打 ´ 表示这个格式在网格点的使用上明显不合理，下面将不予考虑。
在余下的格式中，我们挑出三个作为基本格式（打✓者，后面将会解释这三个名称的含义），它们是两层显式格式11122n nn n nj jj j j u u u u u txα++---+=D D两层隐式格式11111122n nn n n j jj j j u u u u u txα+++++---+=D D三层显式格式1111222n n n n nj jj j j u u u u u txα+-+---+=D D对表中标有 ❶、❷、❸、❹ 的这四个格式，有以下的分析。
对于 ❶ 和 ❷ ，令 1n n ¢=- ，则 1n n ¢=+ ，于是它们可写成11122n nn n nj jj j j u u u u u txαⅱⅱ?++---+=D D11111122n nn n n j jj j j u u u u u txαⅱⅱ?+++++---+=D D显然它们与前两个基本格式是类似的。
而对于格式 ❸ 和 ❹ ，仍令 1n n ¢=- 并取 2t t ¢D =D ，则由于 1112n n n t t t t t +--¢=+D =+D ，所以如果用 2t t ¢D =D 作为时间步长，1n t + 就是 1n t - 的下一个时刻，可记作 1n ⅱ+ ，于是这两个格式也可写成11122n n n n nj j j j j u u u u u t x αⅱⅱⅱ++---+=¢D D 11111122n n n n n j j j j j u u u u u t x αⅱⅱⅱⅱ?+++++---+=¢D D 可见它们也与前两个基本格式类似。
综合以上的分析，这四个格式与基本格式重复，也不必再考虑。
以下将集中分析上面选出的三个基本格式。
前两个基本格式，只用到n 和 1n + 两个时间层的网格点，故称为两层格式。
而第三个格式用到了 1n -、 n 、 1n + 三个时间层的网格点，所以称为三层格式。
下面为热传导方程补上定解条件，考虑热传导方程定解问题()()()()()()22 , , 0, , , , 0,0 , a b u u a x b t t x u a t g t u b t g t t u x x a x b αϕìï抖ï=＃?ïﶶïïïïï==>íïïïïïï=<<ïïïî对这个定解问题，第一个基本格式为()()()1112002 1,2,, 1 , 1,2,,1 , , 1,2,,1 , 1,2,,1n n n n n j j j j j n n n n a M b j j u u u u u t x j M n N u g t u g t n N u x j M αϕ++-ìï--+ïï=ïD ïD ïïï=-=-ïïíïïï===-ïïïïï==-îL L L L ïï 将它改写成便于计算的形式()()()()01110 , 1,2,,12 1,2,, 1 , 1,2,,1 , , 1,2,,1j j n n n n n jj j j j n n n n a M b u x j M u u r u u u j M n N u g t u g t n N ϕ++-ìï==-ïïïïïï=+-+ïïíïï=-=-ïïïïïï===-ïïîL L L L 式中 2tr xαD =D 。
这个格式的求解步骤如下： 0t =时刻（0n =） ：()0j j u x ϕ=1t t =时刻（1n =） ：()10000112j j j j j u u r u u u +-=+-+，(1,2,,1j M =-L )()110a u g t = ，()11M b u g t =2t t =时刻（2n =） ：()21111112j j j j j u u r u u u +-=+-+，(1,2,,1j M =-L )()220a u g t = ，()22M b u g t =一般地，如果已经求出 n t t = 时刻的近似解，则1n t t +=时刻：()1112n n n n nj j j j j u u r u u u ++-=+-+，(1,2,,1jM =-L )()110n n a u g t ++= ，()11n n M b u g t ++=对 0,1,2,,1n N =-L 反复进行这一步骤，直到求出 N t t T == 时刻的近似解。
从这个计算过程可以看出，只要用初始条件给出第0层网格点上的解，就可以用这个格式一步一步地计算出各个时间层的近似解。
这样的格式称为显式格式。
再来考虑第二个基本格式，它可以改写成()1111112n n n nj j j jru r u ru u +++-+-++-= 显然，第 1n + 层的三个近似解 11n j u +-、1n j u +、11n j u ++ 是耦合在一起的，无法单独计算出来。
所以，需要在第 1n + 层的每一个网格点上列出差分格式，联立求解，即()()()111121011112321111112 12 12 n n n n n n n n n n n j j j r u ru u ru ru r u ru u ru r u ru +++++++++-++-=+-++-=-++-O ()()1113212111211 12 12n j n n n n M M M M n n n n M M M M u ru r u ru u ru r u u ru +++----+++---ìïïïïïïïïïïïïïïïïïï=íïïïï-++-=-++=+îO ïïïïïïïïïïïïïï 方程组中的 ()110n n a u g t ++= ，()11n n M b u g t ++= 都是已知的（由边界条件事先确定的），所以可以移到方程右边。
如果将第 1n + 层的近似解和上述方程组的右端项写成向量1112111211n n n n j n M n M u u u u u +++++-+-骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷琪÷ç桫u M M ， ()()11101221221111n n n n a nn n n n j j n n M M n n n n M M M b u ru u rg t u u u u u u u ru u rg t +++--++--骣骣++÷çç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç÷ç÷çç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç÷ç÷çç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç÷==ç÷çç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç÷ç÷çç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç÷ç÷çç÷çç÷çç÷çç÷ç琪++÷çç桫桫b M M M M ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷再将方程组的系数矩阵记作1212121212r r r r r r r r rr r r r 骣+-÷ç÷ç÷ç÷ç÷-+-ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç-+-=÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-+-÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-+ç桫A O O O OO O 则方程组可写成11n n ++=Au b这个格式的求解步骤如下：0t = 时刻（0n =） ：由初始条件 ()0j j u x = 计算 0u 。