浙江省金丽衢十二校高三第一次联考(数学理)

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2021届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考数学试题(解析版)

2021届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{42}M xx =-<<∣，{}260N x x x =+-<∣，则M N =（）A ．{33}x x -<<∣B ．{32}xx -<<∣ C ．{22}x x -<<∣ D ．{23}xx <<∣ 【答案】B【分析】解一元二次不等式求出集合N ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得{}()(){}{}26032032N xx x x x x x x =+-<=+-<=-<<∣，又∵{42}M xx =-<<∣ ∴{}32M N x x ⋂=-<<．故选：B ．2．若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z y x =-的最小值为（）A ．1B ．13C ．7-D ．9-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，再根据目标函数的几何意义求解最小值即可. 【详解】由实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，画出示意图如下：将目标函数2z y x =-化成斜截式得：2y x z =+，则z 的几何意义是斜率为2的直线在y 轴上的截距，由图可知，当直线过(5,3)A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时min 3257z =-⨯=-，故选：C【点睛】简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．3．函数()f x 的图象如下，最恰当的解析式为（） A ．(sin c s )o y x =B ．cos(sin )y x =C ．sin(sin )y x =D ．cos(cos )y x =【答案】D【分析】先分析各选项中函数的奇偶性，然后在奇偶性满足的选项中分析(),02f f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，由此判断出最恰当的解析式.【详解】每个选项中的函数()f x 的定义域均为R ，关于原点对称， A ．()()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==，为偶函数；B ．()()()()()()cos sin cos sin cos sin f x x x x f x -=-=-==，为偶函数；C ．()()()()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x f x -=-=-=-=-，为奇函数；D ．()()()()()cos cos cos cos f x x x f x -=-==，为偶函数；由图象可知()f x 为偶函数，排除C ；又由图象可知()02f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，在A 中：()()sin cos sin 00,0sin cos 0sin1022f f ππ⎛⎫⎛⎫=====> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；在B 中：()()cos sin cos1,0cos sin 0cos 01cos122f f ππ⎛⎫⎛⎫=====> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；故选：D.4．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（） A ．13B ．23C ．233D ．223【答案】D【分析】首先还原几何体，再根据几何体的结构特征求体积即可. 【详解】由三视图分析几何体结构，得到如图所示几何体，该几何体为正方体截去了左右顶点的两个三棱锥，所以此几何体的体积为112282112323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 5．已知条件:1p t =，条件q ：直线1x ty =-与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据直线与圆相切求得1t =±，最后根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围做出判断即可.【详解】因为直线1x ty =-与圆2212x y +=相切，则d ==1t =±，所以条件q ：1t =±，又因为条件:1p t =，所以p 是q 的充分不必要条件；故选：A【点睛】本题主要考查充分必要性的判断，主要根据就是小范围能推出大范围，大范围推不出小范围，在备考过程中，要多总结提高.6．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量ξ．则ξ的数学期望()E ξ是（） A ．65B ．75C ．85D ．95【答案】B【分析】首先列出分布列，然后由期望的定义计算即可. 【详解】ξ的可能取值为0，1，2.()273210k k C C P k C ξ-==， ∴()1015P ξ==，()7115P ξ==，()7215P ξ==， ξ的分布列为∴()17770121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故选：B.7．若1021001210(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，x ∈R 则下列结论正确的是（）A ．01024a =-B ．12101a a a ++⋅⋅⋅+=-C ．10012103a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．123923910a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】C【分析】A ．令0x =可计算出0a 的值；B ．令1x =结合0x =的结果可计算出1210...a a a +++的值；C ．分别令1x =±，然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出01210a a a a +++⋅⋅⋅+的值；D ．将原式求导，然后令1x =即可得12309110239a a a a a +++⋅⋅+⋅+的值，再根据展开式的通项公式即可求解出10a 的值，则1239239a a a a +++⋅⋅⋅+的值可求. 【详解】A ．令0x =，所以()10100221024a =-==，故错误；B ．令1x =，所以01210...1a a a a ++++=，所以1210...1023a a a +++=-，故错误；C ．令1x =-，所以()101001210...33a a a a -+-+=-=，又01210...1a a a a ++++=，所以()10024102...31a a a a ++++=+，()1013592...13a a a a ++++=-，又因为()102x -的展开式通项为()10102rrr C x -⋅⋅-，所以当r 为奇数时，项的系数为负数，所以101010012103113322a a a a +-+++⋅⋅⋅+=+=，故正确； D ．因为()10210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，所以求导可得：()9291231010223...10x a a x a x a x -=++++，令1x =，所以1239102391010a a a a a +++⋅⋅⋅++=-，又因为展开式通项为()10102r rr C x -⋅⋅-，当0r =时，()00101021C a ⋅-==，所以1239101032029a a a a +++⋅⋅⋅+=--=-，故错误；故选：C.8．若数列{}n a 的通项公式为()22020n na n n *=∈+N ，则这个数列中的最大项是（） A ．第43项 B ．第44项 C ．第45项 D ．第46项【答案】C【分析】设()22020x f x x =+，化简得到()12020f x x x=+，结合基本不等式，求得当x()f x取得最大值，再根据数列的通项公式和4445，即可求解.【详解】根据题意，设()2(0)2020x f x x x =>+，则()12020f x x x =+，因为2020x x +≥x则当x 2020x x+取得最小值，此时()f x 取得最大值，对于数列{}n a ，其通项公式为()22020n na n n *=∈+N ，又由4445，则有4445224445442020452020a a =<=++，所以数列中最大项为第45项. 故选：C.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且113AM MD =，13BN NB =，11AP xAC yBD =+，,x y R ∈，则MP NP +的最小值为（）ABC． D【答案】A【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量坐标运算，利用11AP xAC yBD =+可求得P 点轨迹为平面11ABC D ，求出M 关于平面11ABC D 对称点1M ，从而得到11MP NP M P NP M N +=+≥，由此可求得最小值.【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 正方向为,,x y z 轴可建立如图所示空间直角坐标系，113A M MD =，又111A M MD+=，1A M ∴=，1MD =同理可得：BN=，1NB =， ()0,0,0A ，()11,1,1C ，()1,0,0B ，()10,1,1D ，()11,1,1AC ∴=，()11,1,1BD =-， ()()()1,1,11,1,1,,AP x y x y x y x y ∴=+-=-++，P ∴的轨迹为y z =（平面），即平面11ABC D ；点M 关于平面11ABC D 对称点1M 在1DD 上且满足1113DM M D=，1M ⎛∴ ⎝⎭； 11MP NP M P NP M N ∴+=+≥（当且仅当1,,M P N 三点共线时取等号），1M ⎛ ⎝⎭，N ⎛ ⎝⎭，11M N ∴=+=MP NP ∴+故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求得动点P 的轨迹，进而结合轨迹，利用对称性得到最值.10．已知函数ln(),0()1,0x x f x x x-<⎧⎪=⎨->⎪⎩的图像与曲线22220x y ay a ---=恰有4个交点，则实数a 的取值范围是（） A ．01a << B ．12a << C ．02a << D ．13a <<【答案】B【分析】首先化简曲线22220x y ay a ---=得到两直线，接着根据数形结合求得实数a 的取值范围.【详解】由22220x y ay a ---=得22222()x y ay a y a +=+=+，开平方得()x y a =±+，即0x y a ±--=，所以函数ln(),0()1,0x x f x x x-<⎧⎪=⎨->⎪⎩的图像与两条直线0x y a ±--=共有四个交点，如图画出示意图：由于两条直线0x y a ±--=斜率为±1，截距为a -，当y x a =--与函数()f x 的左半支相切时，1a =，此时两直线与函数()f x 图像有3个交点；当y x a =-与函数()f x 的右半支相切时，2a =，此时两直线与函数()f x 图像有5个交点；由图可得：当12a -<-<-即12a <<时，两直线与函数()f x 图像有4个交点；故选：B【点睛】本题主要考查函数图像交点个数的问题，解决本题主要通过数形结合给出参数的取值范围，关键在于把握满足题意的临界状况，根据求切线斜率及截距给出范围，在平时做题时要多总结多提高. 二、填空题11．将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答．．．．．）【答案】150【分析】首先确定将5名同学分成3组共有两种分法，接着计算每种分法下安排方法种数，最后相加即可.【详解】将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，分组方法有（113），（122）两种分法，当分成（113）时，有335360C A =种安排方法；当分成（122）时，有2235332290C C A A =种安排方法；综上，共有150种安排方法. 故答案为：150【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上第一象限内的点，O是原点．若2||FO FP PF ⋅=，则椭圆C 离心率的取值范围是______．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设出P 点坐标00,x y ，根据2||FO FP PF ⋅=得到关于0x 的一元二次方程，根据方程有解0∆≥求得,a b 之间的不等关系，结合222a b c =+可求解出离心率的取值范围.【详解】设()00,P x y ，(),0F c ，所以()()00,,,0FO c FP x c y =-=-，所以20FO FP c cx =-⋅，又()22200PF x c y =-+，所以()222000x c y c cx -+=-，所以220000x cx y -+=，又2200221x y a b+=，所以222200020b x x cx b a -+-=，所以2220020c x cx b a -+=，因为上述方程有正数解，只需222240c c b a∆=-⋅≥，所以224a b ≥，所以2243c a ≥，所以234e ≥且01e <<，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎣⎭.13．设321()(1)()3f x x ax a x a =++-∈R ，若对于满足()()()123f x f x f x ==的三个不同实数(1,2,3)i x i =，恒有1223134x x x x x x -+-+-≤，则实数a 的最小值为______．【答案】1-【分析】设()()()123f x f x f x k ===，且123x x x <<，则满足()()()()123f x k x x x x x x -=---，原不等式化简可得312x x -≤，结合展开式的根与系数关系可得()123122313113x x x a x x x x x x a ++=-⎧⎪⎨++=-⎪⎩，将()231x x -变形为()213134x x x x +-，再结合根与系数关系化简，由配方法和二次函数性质放缩即可求解【详解】设()()()123f x f x f x k ===，且123x x x <<，则1223131223134x x x x x x x x x x x x -+-+-=-+-+-+≤，即312x x -≤，由题意知，()()()()232131(1)03x f x k x x x x a x ax x k x ++-=-----==，即()()321231223131230x x x x x x x x x x x x x x x -+++++-=，根据对应关系有：()123122313113x x x a x x x x x x a ++=-⎧⎪⎨++=-⎪⎩，故()()()()()222311313221314413x x x x x x a x a x x x ⎡⎤-=+-=-----+⎢⎥⎣⎦222244444433333333a a a a a x ⎛⎫=-++-+≤-+ ⎪⎝⎭，故只需满足24444333a a -+≤，即220a a --≤，解得[]1,2a ∈-，故a 的最小值为1- 故答案为：1-【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，二次函数的性质，考查了转化与化归思想，其中对于三次函数的根与系数的关系接触较少，应类比于二次函数推导关系进行求解，属于难题三、双空题14．设平面向量(1,2)a =，(3,)b x =-，//a b ，则x =______，||b =______．【答案】6-【分析】首先根据向量平行的坐标运算求出x ，然后根据向量的模长公式计算可得||b . 【详解】∵(1,2)a =，(3,)b x =-，//a b ， ∴()123x ⋅=⨯-，∴6x =-，∴(3,6)b =--，∴()2||3b =-故答案为：6-；.15．设复数z a bi =+（i 是虚数单位），若232z z i +=+，则a =______，b =______．【答案】1 2-【分析】首先表示出z ，然后根据复数的加法运算得出23z z a bi +=-，然后根据复数相等列出方程组，解之即可得到结果. 【详解】∵z a bi =+，∴z a bi =-∵232z z i +=+，∴()232a bi a bi i ++-=+，即332a bi i -=+根据复数相等可得332a b =⎧⎨-=⎩，即12a b =⎧⎨=-⎩ 故答案为：1,2-.16．函数()sin 2cos 226f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期为____________，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为____________．【答案】2π⎡⎢⎣⎦【分析】首先化简函数1()sin(4)23f x x π=++调性求值域.【详解】因为1()sin 2cos 2cos 22sin 2)262f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114sin 4sin(4)423x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期为242T ππ==，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 44333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，所以sin(4)3x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin(4)023x π⎡+⎢⎣⎦，()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦，故答案为：2π；⎡⎢⎣⎦；17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()1xx af x e x +=-+，则a =____________，若(|1|)(2)f m f m ->，则实数m 的取值范围是______．【答案】1 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】由奇函数的定义得(0)0f =，结合函数解析式可得a 的值，再对函数求导讨论其单调性，结合不等式解出m 的范围.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故(0)0f =，当0x ≥时，2()=1xx af x e x +-+，则(0)10f a =-=，1a =，所以当0x ≥时211()==211xx x f x e e x x +-+-++，有()21()=01xf x e x '->+，则()f x 在[)0+∞，上为增函数，又()f x 为奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上增函数，所以()f x 在R 上为增函数；若(1)(2)f m f m ->，必有12m m ->，即{112m m m ≤->或{112m m m >->，解得13m <，即m 的取值范围为：13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，故答案为：1；13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，四、解答题18．已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，b a c <<，且2c b =，1cos sin 5A A -=-．（1）求函数sin A 的值；（2）若ABC 的面积为20，求a 的值．【答案】（1）4sin 5A =；（2）a =【分析】（1）根据边的大小关系确定角A 为锐角，结合同角的平方关系，解方程即可；（2）结合（1）的结果以及已知条件求出10c =，5b =，然后根据余弦定理即可求出结果.【详解】解：（1）因为b a c <<，所以A 为锐角由1cos sin 5A A -=-，结合22cos sin 1A A +=，求得3cos 5A =，4sin 5A =．（2）由（1）知4sin 5A =根据面积公式1sin 2S bc A =可求得50bc =，结合2c b =，求得10c =，5b =，又由余弦定理求得2310025250655a =+-⨯⨯=，所以a =19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AC ，AB AC ⊥，1AC BC ⊥，1120CBB ∠=︒．（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）求直线11B C 与平面1ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取BC 中点E ，连接AE 和1C E ，根据AB AC ⊥和1AC BC ⊥，证得BC ⊥面1AEC ，得到1BC C E ⊥，利用勾股定理证得1C E AE ⊥，得到1C E ⊥面ABC ，进而证得平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）以E 为原点，射线EA 为x 轴，射线EC 为y 轴，建立空间直角坐标系，求得平面1ABC的一个法向量(3,=-n 和向量11B C ，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）取BC 中点E ，连接AE 和1C E ，设1AC ==因为AB AC ⊥，1AB AC ==且E 是BC 中点，所以12AE BC ==且AE BC ⊥，又因为1AC BC ⊥，且1AC AE A =，可得BC ⊥面1AEC ，因为1C E ⊂面1AEC ，所以1BC C E ⊥，又因为E 是BC 中点，所以11C B C C =，因为1120CBB ∠=︒，可得160C CB ∠=︒，所以1C CB △是等边三角形，所以1C E =22211C E AE AC +=，所以1C E AE ⊥，又因为1BC C E ⊥，且BC AE E =，所以1C E ⊥面ABC ，又由1C E ⊂面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）以E 为原点，射线EA 为x 轴，射线EC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设12AC =，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C，1C，1(0,B -可得11(0,2,0)BC =，1(0,1BC =，(1,1,0)BA =，设平面1ABC 的一个法向量(,,)n x y z =，则100n BC n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取x =1y z ==，则(3,=-n ，设直线11B C 与平面1ABC 所成角为θ，则11111121sin cos ,7n B C n B C nB C θ⋅===⋅，故直线11B C 与平面1ABC ． 20．已知数列{}n a 中，112a =，()12122n n n n a a n *++=-∈N ．（1）求数列{}2nn a 的通项公式；（2）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证2n T <．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）化简递推关系得到()112221n n n n a a n n +*+=++∈N ，构造新数列{}2n n a ，利用累加法求其通项公式；（2）利用错位相减求和，再根据22n n +>0证明2n T <. 【详解】解：（1）由()1112122n n n n a a n *+++=+∈N知()112221n n n n a a n n +*+=++∈N令2nn n b a =，则11b =且()121n n b b n n *+=++∈N由()()()2112211(21)31n n n n n b b b b b b b b n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅++=,所以22n n a n =.（2）易知22n n n a =，所以2n n a n n =，于是123411234(1)222222n n n n n T --=++++⋅⋅⋅++ 所以2345111234(1)2222222n nn n nT +-=++++⋅⋅⋅++ 两式相减得23451111111122222222n n n n T +=+++++⋅⋅⋅+-，1111222n n n n T +=--，所以11222222n n n n n n T -+=--=-，由于22n n +>0，所以2222n n n T +=-<，即2n T <得证．【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．21．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF x ⊥轴时，||4MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H （不同于A ），直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）当AF x ⊥轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即||||24MN AB p ===可得答案；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+与抛物线方程联立12y y +、12y y ⋅，1y 和12x x +，圆的方程并令0y =，得34x x +，34x x ⋅，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，再证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥可得答案.【详解】（1）当AF x ⊥轴时，,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭故圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即||||24MN AB p ===，得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，()2Δ1610m =+>，124y y m +=，124y y ⋅=-，所以12y m ==+∴()21212242x x m y y m +=++=+，故圆心()221,2m m +，半径()21||212r AB m ==+，即圆的方程为()()2222221(2)41x m y m m --+-=+，令0y =，则()()2222221441x m m m --+=+，化简得：()224230x m x -+-=，23442x x m +=+，343x x ⋅=-，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则090BPH BMH ∠=∠=，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，下证：存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，设()55,H x y ，()66,B x y ，直线()111:AM x x t y y -=-和直线()121:AN x x t y y -=-，联立()21114y x x x t y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得：211114440y t y t y x -+-=，所以1514y y t +=，5114y t y =-，同理1624y y t +=，6214y t y =-，∴()65652265656512144424HG y y y y k y y x x y y t t y --====--++-，又∵1311x x t y -=，1421x x t y -=，∴113434114242HGy k x x x x x y y ==-=--+- 又1ABkm =，得HG k m =-=，所以32m m m +=，即32m 62410m m --=，设3()41f x x x =--，(0,)x ∈+∞，2()121f x x '=-，故()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，又∵(0)10f =-<，0f <⎝⎭，且(1)20f =>，故存在唯一(0,)x ∈+∞满足()0f x =，即存在唯一(0,)m ∈+∞，满足62410m m --=，综上结论得证．【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.22．设函数()ln f x x x =．（1）求函数()f x 的最小值；（2）设()()g x f x kx b =--存在两个不同零点1x ，2x ，记122x x M +=，122x xN -=，求证：1()ln02g M N<<．【答案】（1）min ()=1f x e-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导函数求出函数的单调性，进而求出最小值；（2）设()()g x f x kx b =--，首先利用导函数求出函数的单调区间，其次先证明()0g M N <，然后证明1()ln 2g M N<，在解题中涉及到基本不等式. 【详解】（1）函数()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞， ()1ln f x x '=+，当10x e <<时，1()()0f x f e ''<=，函数()f x 在1(0,)e 上单调递减；当1x e >时，1()()0f x f e''>=，函数()f x 在1[,)e +∞上单调递增；所以min 11()()f x f x f e e ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭；（2）不妨设120x x <<,122x x M +=，212x xN -= ()(1)ln g x k x -+'=，当10k x e -<<时，1()()0k g x g e -''<=，函数()g x 在1(0,)k e -上单调递减；当1k x e ->时，1()()0k g x g e -''>=，函数()g x 在1,()k e -+∞上单调递增；∴()g x 在()10,k e -递减，在()1,k e -+∞递增，∴11(0,)k x e -∈，2x ∈1,()k e -+∞，()()120g x g x == ∴122x x M +=()12x x ∈，，2102x xN -=> ∴()0g M <，()0g M N< ∵()()120g x g x ==，即111ln 0x x kx b --=，222ln 0x kx x b --= ∴112212ln ln 022x x x x x x k b ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴121122ln ln 22x x x x x x k b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭要证1()ln 2g M N <，即1()ln 2g M N >即证1212112221ln ln ()ln ln 22222x x x x x x x x x xg M +++-=->- 即证()()()()121212112212ln ln 2ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-+-->- 即证()1212121212lnln ln 222x x x xx x x x x x +++>- 又由于()212124x x x x +>，1221122lnln 2x x x x x x +>+，所以只需证()21212121222lnln ln 22x x xx x x x x x x ++>-+ 即证明()()21212122lnln 2x x x x x x x ->-+，即证212222x x x <+，即证10x >该式显然成立，于是原命题得证．【点睛】导数中双变量问题，处理的方式一般是通过变形,把21x x 看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量，这是一种比较常见的解题方法，然而这道题目是利用倒推的思想来证明的,在化简中注意基本不等式的应用.。

浙江省金丽衢十二校高三数学第一次联考试题理

数学理试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是 A ．若a b >，则ba 11>B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >3. 已知{}n a 为等比数列，则“321a a a >>”是“{}n a 为递减数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ．其中的正确命题序号是A ．③④B ．②④C ．①②D ． ①③5．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，32=a ，n n a a 32=+，则2014S =A ．1007232⨯- B ．100723⨯ C ．2014312-D ．2014312+6．函数()sin(2))f x x x θθ=++（2πθ<）的图像关于点(,0)6π对称，则()f x 的增区间A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦7. 已知()m x x x f x x ----+-=234234有两个不同的零点,则m 的取值范围是A.()3,∞-B. [)+∞,3C. ()3,0D.()+∞,3俯视图正视图侧视图5第14题图43A 1B 1C 1D 1ABCDE(第8题图)8. 长方体1111D C B A ABCD -的底面是边长为a 的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ,使得︒=∠901EB C ,则侧棱1AA 的长的最小值为 A. a B. a 2 C. a 3 D. a 49.已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 A. 3321<<e B. 332>e C. 3>e D. 31<<e 10.设实数c b a ,,满足,0)(252⎪⎩⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为A. 9B.332C. 349D. 19第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为 .12．已知,41)6sin(=+πx 则=-)3(sin 2x π . 13. 设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P ,Q 两点，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则实数a 的值为 .14.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 3cm . 15.已知()()(),log ,log ,log 936241x x f x x f x x f === 若()()()n m f m f n f +==321，则=nm. 16.已知ABC ∆是边长为32的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则⋅的最大值为 .17. 点P 为椭圆()0,012222>>=+b a by a x 在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线x aby -=于R Q ,，交y 轴，x 轴于N M ,两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积分别为21,S S ，当2=ab 时，2221S S +的最小值为 .三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 已知△ABC 的面积()22c b a S --=.（Ⅰ）求A sin 与A cos 的值；（Ⅱ）设a b λ=,若54cos =C ,求λ的值.19.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当2≥n 时，1401-≥++λλnn a a 恒成立，求λ的取值范围.20. （本题满分14分）如图，四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，3,2===AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点.（Ⅰ）证明⊥CH 面BFD ;（Ⅱ）若AE 与面ABCD 所成的角为︒60,求二面角D EF B --的平面角余弦值的大小.21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2>=Γp px y 的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）如图所示，直线1l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点，C 为抛物线Γ上异于A ,B 的一点，且⊥AC x 轴，过B 作AC 的垂线，垂足为M ,过C 作直线2l 交直线BM 于点N ,设21,l l 的斜率分别为21,k k ，且121=k k .（ⅰ）线段MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; （ⅱ）求证N C B A ,,,四点共圆.22. （本题满分15分）已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,()m x x g +-=)13(，()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根21. (Ⅰ)求c b a ,,的值;(Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围;(Ⅲ)令()()()x f x f x -+=1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题(5×10=50分)二、填空题(4×7=28分) 11. 1 12.1615 13. 2- 14. 20 15. 251+ 16. 3 17. 21三.解答题(72分)18解（Ⅰ）由题意可得bc A bc bc c b a A bc 2cos 22sin 21222+-=+--= 所以4cos 4sin =+A A 又因为1cos sin 22=+A A 解方程组可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1715cos 178sin A A-----------------------------7分（Ⅱ）易得53sin =C ()8577sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B所以4077sin sin ===A B a b λ.-----------------------------7分19. 解（Ⅰ）由题意可得12333=S ,∴433=S ,∴2123-=n n S n ∴=n S n n 21232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n 当1=n 时也成立, 23-=∴n a n-----------------------------6分（Ⅱ）1401-≥++λλnn a a ⇒λλ≥-++231413n n ⇒()()12347--+n n n λ≥-----------------------------10分解法一：设=n b ()()12347--+n n n=-+n n b b 1()()-++n n n 1348()()12347--+n n n ()11632---⨯=n n n n 当5≥n 时，n n n n b b b b >⇒>-++110当4≤n 时，n n n n b b b b <⇒<-++110∴n b 的最小值为1695=b ,169≤∴λ.-----------------------------14分解法二：设t n =-1 则()()12347--+n n n =169145483≥++tt （当4=t ，即5=n 时取最小值）20.（Ⅰ）证明：Θ四边形ABCD 为菱形 AC BD ⊥∴又Θ面ACFE ⊥面ABCD ACFE BD 面⊥∴CH BD ⊥∴ 即BD CH ⊥又ΘH 为FG 的中点,3==CF CGFG CH ⊥∴又ΘG BD FG =⋂ ∴⊥CH 面BFD ——————————5分（Ⅱ）过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MD MG MB ,, 易证得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，EAC ∠=︒60 DMB ∠为二面角D EF B --的平面角213,1,2,23=====DM BM BG BD MG 所以由余弦定理可得：135cos =∠DMB .A BCDEG H第20题图 FM21.解（Ⅰ）2=p ——————————4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ,则()()2111,,,y x M y x C -,直线1l 的方程为：b x k y +=1由⎩⎨⎧=+=xy b x k y 421消元整理可得：(221221+bk x k 所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212212112124k b x x k bk x x 可求得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+211y y y y ——————6分直线2l 的方程为：)(121x x k y y -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221,y x k y y N 所以MN =221k y y +=214k k =4.——————9分 AB 的中点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112,2k k bk E则AB 的中垂线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-21111212k bk x k k y 与BC 的中垂线x 轴交点为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'0,2221121k bk k o 所以ABC ∆的外接圆的方程为： 2222211212221121)22(22y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--——————12分由上可知()21,4y x N +022********112121************=⨯+--++=+--++--+k bk k x x k bk k x k bk k x Θ2212122221121122(224bk k y k bk k x +-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∴所以N C B A ,,,四点共圆.解法二：易知ABC ∆的外接圆圆心o '在x 作B 关于o '的对称点B ',则B B '为直径，易知B '横坐标为221121222x k bk k -+-⨯ 022242112121=⨯+--++k bk k x x Θ 所以42221221121+=-+-⨯x x k bk k所以︒='∠90NB B 所以N C B A ,,,四点共圆. 22. 解 (Ⅰ) 由()()x f x f -=⇒0=a由()()x h x f =可得：()0222=-++-b c cx x c 代入21=x 得：2149-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②联立方程①②解得：32,1==c b ∴0=a ，32,1==c b .—————3分(Ⅱ)m x x +-≤+)13(122当0=x 时，1≥m ————————4分当1=m 时，[]()()=---=+--+x x x x 1321321)13()12(2222()()01132≤--x x∴1)13(122+-≤+x x ∴1≥m ——————————7分(Ⅲ)由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ——————————9分由0=a ，32,1==c b 易证明()()2132+≥x x f 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立；由(Ⅱ)知1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立∴()()1)13(136+-≤≤+x x f x 在[]1,0∈x 上恒成立.又因为当[]1,0∈x 时, []1,01∈-x ∴()()1)1)(13(11136+--≤-≤+-x x f x∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ 即()136+≤≤x ϕ 621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ, ()()1310max max +==ϕϕ∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .————————15分另解：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，显然()PB PA x +=2)(ϕ，由下图易知： (),3min==+AB PB PA()2622max+=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .。

2016届浙江省金丽衢十二校高三上第一次联考理科数学试卷

2016届浙江省金丽衢十二校高三上第一次联考理科数学试卷一、选择题（每题５分，共40分）1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22x x y -=+2．设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．要得到函数cos(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin(4)2y x π=+的图象（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）3cm ．A ．23 B ．2 C ．5．设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（）A ．(,)(,)M a b m a b a b +=+B ．(||,||)||||m a b a b a b +-=-C ．(||,||)||||M a b a b a b +-=+D ．((,),(,))(,)m M a b m a b m a b =6．设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的取值范围是（）A ．36m -≤≤B ．3m ≥-C ．6667m -≤≤ D ．332m -≤≤ 7．若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21[()]213xf f x +=+，则2(log 3)f =（）A ．1B ．45 C ．12D ．0 8．如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题（多空题每题6分，单空题每题４分，共36分）9．已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则A B = ，()U C A B = ．10．函数2()4sin cos 2cos 1f x x x x =+-的最小正周期为，最大值为．11．若抛物线28x y =的焦点与双曲线221y x m-=的一个焦点重合，则m = ． 12．设函数3|l o g (1)|,10()tan(), 012x x f x x x π+-<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= ，若1()()2f a f <，则实数a 的取值范围是．13．已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为．14．已知(){}f n n是等差数列，(1)2f =，(2)6f =，则()f n = ，数列{}n a 满足1()n n a f a +=， 11a =，数列1{}1n a +的前n 项和为n S ，则201520161S a += ．15．如图，在三棱锥中D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a =，BC b =，CD c =，则21c ab +的最小值为．三、解答题（共74分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知6AD =，1b =．（1）若23A π=，求c ；（2）求1c c+的最大值． 17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．18．已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a ．（1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围．19．已知点M 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点，椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 是定点，直线l ：1()2y x m m R =+∈交椭圆C 于不同的两点A ，B ，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求点P 的坐标，使得12k k +恒为0．20．已知23123()n n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，且(1)(1)nn f n -=-⋅，n =1，2，3，…．（1）求1a ，2a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）当7k >且*k N ∈时，证明：对任意*n N∈都有1212222311112n n n n k a a a a ++-+++⋯>++++成立．参考答案1．C 【解析】试题分析：A ：0y =既是奇函数，又是偶函数；B ：sin 2y x =是奇函数；C ：lg y x x =+的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；D ：()22x x y f x -==+其定义域为R 关于原点对称，且()()22()x x f x f x ----=+=，故为偶函数，故选C ．考点：函数的奇偶性判定． 2．A 【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ．考点：1．两直线的位置关系；2．充分必要条件． 3．B 【解析】试题分析：sin(4)cos 42y x x π=+=，而c o s (4)c o s [4()]312x x ππ-=-，∴应向右平移12π个单位，故选B ．考点：1．诱导公式；2．三角函数的图象变换． 4．D 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下三棱锥P ABC -，∴其体积11141332V Sh ==⋅⋅=D ．考点：1．三视图；2．空间几何体的体积． 5．B 【解析】试题分析：∵, (,), a a bM a b b a b≥⎧=⎨<⎩，, (,), b a bm a b a a b≥⎧=⎨<⎩，∴((,),(,m M a b m a b m a b =，D 正确；(,)(,)M a b m a b a b +=+，A 正确；(||,||)m a b a b +-==||, 0||||||, 0a b ab a b a b ab +<⎧⎨-=+≥⎩，B错误；(||,||)M a b a b +-== ||||||, 0||||||, 0a b a b ab a b a b ab +=+≥⎧⎨-=+<⎩，C 正确；故选B ．考点：函数型新定义问题． 6．A 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤，故选A ．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题角度有：1．求线性目标函数的最值；2．求非线性目标的最值；3．求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围． 7．C 【解析】试题分析：∵()f x 是R 上的单调函数，且21[()]213x f f x +=+，∴2()21xf x t +=+（t 为常数），2()21x f x t =-+，又∵1()3f t =，∴21213t t -=+，令2()21x g x x =-+，显然()g x 在R上单调递增，而1(1)3g =，∴1t =，∴22log 3221()1(log 3)121212xf x f =-⇒=-=++，故选C ．考点：1．函数的解析式；2．函数的性质．【思路点睛】求函数解析式常用的方法：1．待定系数法；2．换元法(换元后要注意新元的取值范围)；3．配凑法；4．解方程组法；而函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容，归纳起来常见的命题角度有：1．求函数的值域或最值；2．比较两个函数值或两个自变量的大小；3．解函数不等式或方程；4．求参数的取值范围或值． 8．D 【解析】试题分析：如下图所示，作AO α⊥，垂足为O ，连结BO ，在α内过O 作OB 的垂线，建立空间直角坐标系，由题意得，设ABO CAB θ∠=∠=，||AB a =，(,,0)C x y ，∴(0,0,sin )A a θ，(0,cos ,0)B a θ， ∴(,,sin )AC x y a θ=- ，(0,cos ,sin )AB a a θθ=- ，∴cos ||||AC ABAC AB θ⋅==⋅22222222222cos (cos sin )cos (sin )ay a a x y a θθθθθ=⇒+=++⇒2422222sin sin 2sin cos cos x a y a a θθθθθ=+-，∴点C 的轨迹方程是抛物线，故选D ．考点：立体几何中的动态问题．【思路点睛】在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题，也可利用空间直角坐标系求出轨迹方程，即可知其对应的轨迹类型，对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 9．{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<．【解析】试题分析：∵{|2A x x=≥，{05}B x =≤<，∴{|0A B x x =≥ ，(){|02}U C A B x x =≤< ．考点：集合的运算．10．π 【解析】试题分析：2()4sin cos 2cos 12sin 2cos2)f x x x x x x x ϕ=+-=+=+，1tan 2ϕ=，∴最小正周期22T ππ== 考点：1．三角恒等变形；2．三角函数的性质． 11．3．【解析】试题分析：∵抛物线28x y =的焦点坐标为(0,2)，∴2123m m +=⇒=．考点：抛物线，双曲线的标准方程． 12．1，21(,)32-．【解析】试题分析：∵110--<，∴311)|g(11)|2f-=-+=，∴1[1)]()2f f f-==tan14π=；若10x-<≤：1331()()log(1)1log(1)1132f a f a a a-<⇒-+<⇒+>-⇒+>⇒23a-<≤；若01x<<：11()()tan()10222f a f a aπ<⇒<⇒<<，故实数a的取值范围是21(,)32-．考点：1．分段函数；2．分类讨论的数学思想．13．220x y+-=．【解析】试题分析：将圆C的方程化为标准方程：22(1)(2)9x y-++=，∴圆心(1,2)C-，半径3r=，又由题意可知，圆心C到直线l=∴所有满足题意的直线l为圆D：22(1)(2)5x y-++=的切线，又∵直线l唯一，∴点P在圆D上，∴2(1)452t t-+=⇒=或0（舍），该切线方程为(21)(1)(2)(02)5220x y x y--+++=⇒+-=，即直线l的方程为220x y+-=．考点：1．直线，圆的方程；2．直线与圆的位置关系．14．2n n+，1．【解析】试题分析：设公差为d，由题意得(2)(1)32121f fd=-=-=，∴2()2(1)1()f nn f n n nn=+-⋅⇒=+，∴21111111111 ()(1)(1)11n n n n n nn n n n n n n na f a a a a aa a a a a a a a+++ ==+=+⇒==-⇒=-+++，∴12231111111111111111n n n n n n S S a a a a a a a a a a +++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⇒+==，∴2015201611S a +=．考点：1．等差数列的通项公式；2．数列求和．【方法点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，裂项相消法求和或利用其证明不等式是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{}n a 的通项公式或通项公式，达到求解目的． 15．2．【解析】试题分析：设AD a = ，CB b = ，DC c = ，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ，又∵3A CB D ⋅=-，∴2()()33a c bc a b b c c a +⋅--=-⇒⋅+⋅+， ∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 16．（1）1c =；（2）4．【解析】试题分析：（1）利用三角形的面积计算结合余弦定理可以得到a ，c ；（2）仿照（1）的过程可以将1c c+用A 的三角函数式表示出来，再利用三角恒等变形以及三角函数的性质即可求解．试题解析：（1）∵11sin 22S bc A a AD ABC ==⋅∆，即126c a ⋅=，即23c a =，根据余弦定理2222cos A a b c bc =+-，有21312()2c c c =+-⋅-，即2(1)0c -=，即1c =；（2）∵211226S BC AD a ABC =⋅=∆，又∵11sin sin 22S AC AB A c A ABC =⋅⋅=∆，∴2sin 6c A =，则2sin a A =，又∵22211sin cos 22c ac AA cc+-+-==，∴12cos 4sin()6c A A A c π+=+=+，当3A π=时，有max 1()4c c +=．考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．17．（1）详见解析；（2）4π．【解析】试题分析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，可证明四边形QFCD 是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）首先利用将平面CEF 与PA 的交点作出，再利用1PG =可求得PA 的长度，从而建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，即可求解．试题解析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =， ∵ 底面A B C D 为直角梯形，90CDA BDA ∠=∠=，2AB AD DC ===，即//CD AB ，12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴ 四边形QFCD 是平行四边形， ∴//FC QD ，又∵FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴ //FC 平面PAD ；（2）取PC 的中点M ，连接AC ，EM ，FM ，QM ，QM EF N = ，连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =，∵//CF 平面APD ，且平面CEF 平面APD EG =，∴//CF EG ，又∵//CF DQ ，∴ //EG DQ ，又∵ E 为中点，∴ G 为PQ 中点，∴44PA PG ==，建立直角坐标系如图所示，(0,0,0)A，B，C，D，E，F ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,1)n =，(CE =，(CF =-，设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z = ，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨取z =，则1x =，1y =，即2(1,1n =，∴121212cos ,122||||n n n n n n ⋅<>===⨯⋅4π，∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为4π．考点：1．线面平行的判定和性质；2．空间向量求空间角．18．（1）14t ≥；（2）104t <<．【解析】试题分析：（1）分析题意可知，不等式无解等价于222x x t +≥恒成立，参变分离后即再进一步等价为2max (22)x x t ≥-+，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令0k a u =>，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于t 的不等式即可求解．试题解析：（1）∵222log (2)log 2x x t x +<=，∴222xx t +<无解，等价于222xxt +≥恒成立，即222()xxt g x ≥-+=恒成立，即max ()t g x ≥，求得21max 1()(1)224g x g --=-=-+=，∴14t ≥；（2）∵2()log ()xa f x a t =+是单调增函数，∴()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22m m n na t aa t a+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，问题等价于关于k 的方程20kk aa t -+=有两个不相等的解，令0k a u =>，则问题等价于关于u 的二次方程20u u t -+=在(0,)u ∈+∞上有两个不相等的实根，即1212000u u u u +>⋅>∆>⎧⎪⎨⎪⎩，即014t t ><⎧⎪⎨⎪⎩，得104t <<．考点：1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想． 19．（1）22143x y +=；（2）3(1,)2P 或3(1,)2P --．【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆方程中222a b c =+的关系式，建立方程组，即可求解；（2）将直线方程与椭圆方程联立消去y 后可得2230x mx m ++-=，再由韦达定理以及120k k +=可得到关于0x ，0y 的一个方程，再根据恒成立的条件即可得到关于0x ，0y 的方程，从而求解．试题解析：（1）由题意，b =12c a =，又∵222a c b -=，∴1c =，2a =，∴所求的椭圆方程：22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把12y x m =+代入椭圆方程化简得：2230x mx m ++-=，∴22224(3)31204m m m m ∆=--=-+>⇒<，又∵122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩，∴221213222()y y m m x x +=+=+，而10201210200y y y y k k x x x x --+=+=--，∴10202010()()()()0y y x x y y x x --+--=，即1222()()y x y x x y y++-+-， ∴12210001201211()()2()()022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=， ∴121200012012()2()()0x x m x x x y y x x x y y +++-+-+=，∴3()2302m y x xy +-+-=， ∴000000310232302x y x y x y =⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪-=⎩⎩或00132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴3(1,)2P 或3(1,)2P --．考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．定点问题．【思路点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 20．（1）11a =，23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）根据条件(1)(1)n n f n -=-⋅，分别赋值令1n =，2n =，3n =即可求解；（2）利用已知条件中的(1)(1)n n f n-=-⋅，从而可得1111231(1)(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-⋅- ，2n ≥，再将两式相减即可求解；（3）将待证不等式中不等号左边的式子进行首尾配对，再利用基本不等式的变形当0x >，0y >时，x y +≥11x y +≥，11()()4x y x y ++≥，累加，放缩，即可得证．试题解析：（1）由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=，得23a =，又∵3123(1)3f a a a -=-+-=-，∴35a =；（2）由题得：123(1)(1)(1)nnn n f a a a a n -=-+-++-=-⋅ ， 1111231(1)(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-⋅- ，2n ≥，两式相减得：1(1)(1)(1)(1)(1)(21)n n n n n a n n n --=-⋅---=--，得当2n ≥时，21n a n =-，又11a =符合，∴21n a n =-（*n N ∈）；（3）令12n n a b n +==，则12111111121111n n n nk S b n n n nk b b b ++-==++++++-++++ ， ∴111111112()()()()112231S n nk n nk n nk nk n=++++++++-+-+-- …………(*)当0x >，0y >时，x y +≥11x y +≥，∴11()()4x y x y ++≥， ∴114x y x y+≥+，当且仅当x y =时等号成立，上述(*)式中，7k >，0n >，1n +，2n +，……，1nk -全为正，∴44444(1)21122311n k S n nk n nk n nk nk nn nk ->++++=+-++-++--++- ，∴2(1)2(1)2232(1)2(1)1117121k k S k k k n-->>=->-=++++-，得证．考点：1．数列的通项公式；2．放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．。

2020届年浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题(解析版)

2020届年浙江省金丽衢十二校高三第一次联考数学试题一、单选题1．设集合{}{}|(3)(2)0,,|13,M x x x x R N x x x R =+-<∈=≤≤∈，则M N ⋂=（） A ．[)1,2 B ．[1,2]C ．(]2,3 D ．[2,3]【答案】A 【解析】因为{}{}|(3)(2)0,{|32},|13,M x x x x R x x N x x x R =+-<∈=-<<=≤≤∈，因此可知M N ⋂=[)1,2，选A2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（） A．BCD．【答案】A【解析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2ba=，又，所以e ==故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.3．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（）A.2B.1C.-2D.-4【答案】A【解析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值. 【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y -可得最大值为2，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，然后计算出两个简单几何体的体积，相加可得出结果. 【详解】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1、2的直角三角形，高为1．则几何体的体积211111111213432123V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题时要利用三视图得出几何体的组合方式，并计算出各简单几何体的体积，然后将各部分相加减即可.5．己知a ，b 是实数，则“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可。

浙江省金丽衢十二校2022届高三数学第一次联考试题(含解析)

同理可得：公差时，共有8个，987，……，321，210．
公差时，共有6个．
公差时，共有4个．
公差时，共有2个．
综上共有45个．
②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比时，共有9个：111，……，999．
公比时，共有2个：124，248．公比时，共有2个：421，842．
公比时，共有1个：139．公比时，共有1个：931．
【详解】如图所示，
设切点直线的方程为：．
联立，化为：．
由直线与椭圆相切，可得：．
化为：．
，化为：．
由，可得：，解得，．
由直线的方程为：．．
可得．
．当且仅当时取等号．
设，，．
，
化为：．
，
代入化ห้องสมุดไป่ตู้：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相切、三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
试题解析：（1）在中，，，
所以．
同理可得，．
所以
．
（2）在中，由正弦定理得，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
．
【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M、E分别是PA、PD的中点
13.若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．

浙江省金丽衢十二校高三第一次联合考试数学试题(理科)

浙江省金丽衢十二校高三第一次联合考试数学试题(理科)命题：浦江中学方文才黄升光注意事项：1. 本试卷满分150分.考试时间120分钟.2. 将所有答案填写在答题卷的相应位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共 50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、不等式组13y x x y y ⎧<⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，点()13,2P -，点()20,0P 则-------（）A ．1P ∈D 且2P ∉DB ．1P ∉D 且2P ∈DC ．1P ∉D 且2P ∉D D ．1P ∈D 且2P ∈D2、已知33i z i +=⋅，那么复数z 在复平面上对应的点位于----------------------（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2sin a b C =，则△ABC 的形状一定是 ------------------------------------------------------------------------------------------------（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形4、函数()2log 12x y =-的定义域为M ，值域为N ，则MN 是------------------------ （）A. (),0-∞B.()0,1C. ()1,0-D. ∅ 5、若,a b R ∈，那么ba 11>成立的一个充分非必要条件是--------------------------------（） A ．a b > B ．()0ab a b ⋅-< C ．0a b << D ．a b <6、将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，0）与点（-1，1）重合，则这时与点（3，1）重合的点坐标为------------------------------------------------------------（） A ．(2,2) B ．(0,4) C ．(4,0) D ．19(,)22-7、对任意实数x ，不等式0124>+⋅+xxa 恒成立，则实数a 的取值范围是------（）A ．()2,2-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．()(),22,-∞-+∞8、如图，在△ABC 中，∠CAB=∠CBA=30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的和为-----------------（）A ．1B ．3C ．2D ．239、函数)2201y x x x =-≤≤的图象与它的反函数图象所围成的面积是------- ( )A ．2π- B ． 1π- C ．12π- D ． 122π- 10、已知数列{}n a 满足1223n n na a a +=+-，首项a a =1，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是----------------------------------------------------（） A ．()()+∞,21,0 B ．()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 C ．()1,0 D ．()+∞,2 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11、已知α为锐角，1cos ,63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 则5sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 12、数列{a n }满足a 1=1, a 2=32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则2006a 等于_______． 13、已知),(),,(2211y x B y x A 是圆221x y +=上两点，O 为坐标原点，且120=∠AOB ，则=+2121y y x x ．14、下列函数的图象按某个向量平移后可成为奇函数的有（把正确答案的序号都填上）．（1） 2312+-=x x y （2）lg y x = （3）2x y = （4）2cos y x =三、解答题（本大题共6小题，每题14分，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、已知函数1cos sin 3cos )(2++=x x a x a x f ． )0(≠a（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值．16、已知向量)1,1(=a ，)0,1(=b ，c 满足0=⋅c a c a =，0>⋅c b 。

浙江省金丽衢十二校高三第一次联考(返校考)数学试题

金丽衢十二校2018学年高三第一次联考数学一、选择题1、若集合A ＝（－∞，5）。

B ＝［3，＋∞），则A 、RB 、∅C 、［3,5）D 、（－∞，5）U ［5，＋∞） 2、已知向量(4,3),(1,53)a b ==，则向量,a b 的夹角为（） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°3、等比数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，己知S 2＝3，S 4＝15，则S 3＝（） A. 7 B 、－9 C 、7或－9 D 、6384、双曲线9y 2一4x 2＝1的渐近线方程为（） A 、49y x =±B 、94y x =±C 、23y x =±D 、32y x =± 5.己知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A 、43 B 、83 C 、163 D 、3236.己知复数z 满足zi 5＝（π＋3i ）2，则z 在复平面内对应的点位于（）A 、第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D 、第四象限7.设函数f （x)的定义域为D ，如果对任惫的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x)=－f （y ）成立，则称函数f （x)为“H 函数”，下列为“H 函数”的是（）A 、y = sinxcos+cos 2xB 、y=lnx+e xC 、y=2xD 、y=x 2-2x8.如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且AB ，BD ＝CD ＝2， ∠ABC ＝4π，∠BCD ＝3π，则AD 与β所成角的大小为（） A 、4π B 、3π C 、6πD 、12π9.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2 人，则他们每人得1分：若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分。

记小强游戏得分为ξ，则E ξ＝（） A 、516 B 、1116 C 、58 D 、1210.在等腰直角△ABC 中，AB ⊥AC, BC=2. M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC.边上一个动点，△ABD 沿AD 向纸面上方或著下方翻折使BD ⊥DC ，点A 在面BCD 上的投影为O 点。

2022届浙江省金丽衢十二校高三上学期期末第一次联考数学试题(解析版)

2022届浙江省金丽衢十二校高三上学期期末第一次联考数学试题一、单选题1．全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}13,5A =,，{}2,4,5,6B =，则()UA B =（）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3,5【答案】A【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()U A B ∩. 【详解】由已知可得{}1,3,7UB =，因此，(){}1,3UAB =.故选：A.2．设()13i i z =+，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简复数的代数式即可.【详解】因为()213i i 3i i=-3i z =+=++ ，故在复平面内z 对应的点()3,1-位于第二象限，故B 正确. 故选：B3．实数x ，y 满足条件220,2360,0,x y x y x ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则23z x y =+的取值范围是（）A ．[]6,0-B ．[]0,6C ．[)0,∞+D ．[)6,+∞【答案】C【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由2++2023+60x y x y =⎧⎨-=⎩，解得312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，目标函数化为2+33z y x =-，当目标函数过点A 时，z 取得最小值min 323102z ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以23z x y =+的取值范围是[)0,∞+，故选：C ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：2cm ）是（）A ．3B ．76C ．1D ．23【答案】D【分析】先在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图，再将几何体补成三棱柱，分别求得三棱柱与四棱锥的体积，作差即可.【详解】在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图ABDCEF ，且=2=22=2AB DC EF ，==1DF CE ，将几何体补成三棱柱AHG BNM -如图：则几何体ABDCEF 的体积=AHG BNM A HCEG B DFMN V V V V -----，且22AH =，1HG =，22HN =，12=122=12AHG BNM V -⨯，由对称性可得112211336A HCEGB DFMN DFMN V V S BN --==⨯⨯==四边形，所以几何体ABDCEF 的体积112=1=663V --，故选：D5．过点()2,1-的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y ++=的距离为（） A 5B 25C 35D 45【答案】B【分析】先根据圆与x ，y 轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】设圆心为(,)a b ，由已知得220,0(2)(1)a b a b a b a⎧><⎪⎪=-⎨-++，解得1a =，1b =-，或5a =，5b =-，所以圆心为(1,1)-或(5,5)-．当圆心为(1,1)-时，圆心到直线230x y ++=的距离222215d ==+ 当圆心为(5,5)-时，圆心到直线230x y ++=的距离222521d + 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（） A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】D【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断17S 、18S 、19S 的符号即可. 【详解】由513S S =，得6712130a a a a ++++=，因为{}n a 是等差数列，所以6130a a +=，6141020a a a +=<，100a <，6146130a a a a d d +=++=<，961261261320a a a a a d a a =+>++=+=，90a >，所以()1911910191902S a a a =+=<， ()()1811861318902S a a a a =+=+= ()171179171702S a a a =+=> 使得0n S <的正整数n 的最小值为19. 故选: D.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“C ∠是锐角”是“()3332c a b <+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由余弦定理结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】当C ∠为锐角时，等价于cos 0C >，由余弦定理，得222cos 02a b c C ab+-=>，有2220a b c +->，即等价于222c a b <+，在ABC 中，c a b <+，2222222a a b b b a -≥++，若C ∠为锐角，则()()()()()222232323222a c c a b c a b a b a b a b b ab <+≤+<=-+++-，充分性成立；若()3332c a b <+，不妨令3,4,5a b c ===，满足()3332c a b <+，但90C =∠，不为锐角，所以必要性不成立.故“C ∠为锐角”是“()3332c a b <+”的充分不必要条件.故选：A8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，设()()e xg x f x -⋅=，若函数()g x 的导函数()g x '的图像如图所示，则（）A ．a b <，b c <B ．a b >，b c >C ．1ba >，bc = D ．1ba<，b c = 【答案】D【分析】求出函数()g x '，再根据给定图象与x 轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，()2e ()x g x ax bx c -=++，求导得2()e ()e (2)x x g x ax bx c ax b --'=-++++2[(2)]e x ax a b x c b ---+-=-，观察()g x '的图像得：()00g c b '=-=，即b c =，()g x '的另一个零点为221a b ba a-=->，即1ba<，所以有1ba<，b c =. 故选：D9．当实数m 变化时，不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线【答案】B【分析】将直线()2241220mx m y m +---=看作是关于m 的一元二次方程，根据题意知，该方程无解时的(),x y 就是不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹，然后根据判别式建立不等式即可【详解】()2241220mx m y m +---=可化简为：()22420y m xm y +-+-=则有：()()2164220x y y ∆=-+-<化简可得：2214y x +< 故轨迹边界曲线是：2214y x += 则不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是椭圆. 故选：B10．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 【答案】C【分析】对选项A ，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明PAO 与PBO 全等，然后根据直线OC 垂直并平分线段AB 即可判断AC BC =；对选项B ，找到角的关系PAM PAO MAO ∠=∠-∠和PBM PBO MBO ∠=∠-∠，然后分别运用正切的两角差公式解得212OM OA OB =⋅即可；对选项C 和D ，均是先根据PAM PAO MAO ∠=∠-∠运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断.【详解】如图所示，连接延长AO 交BC 与F ，连接延长BO 交AC 与G ，设平面ABC 平面l α顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O ，//BC 平面α，平面ABC 平面l α则有：直线BC 与l 平行又AO BC ⊥，则AO l ⊥PO ⊥平面ABC ，则PO BC ⊥又AO BC ⊥ 则BC ⊥平面PAO 从而PA l ⊥故MAO ∠为α与平面ABC 的二面角，即1MAO θ∠= 同理可得：2MBO θ∠=对选项A ，PAM PBM θ∠=∠=，又12θθ=，则有：PAO PBO ∠=∠ 可得：PAO 与PBO 全等，则AO OB = 又根据O 是ABC 的垂心，则，OC AB ⊥ 综上可得：直线OC 垂直并平分线段AB 可得：AC BC =，故选项A 正确；对选项B ，易知有如下角关系：PAM PAO MAO ∠=∠-∠ PBM PBO MBO ∠=∠-∠又PAM PBM θ∠=∠=，则有：tan tan PAM PBM ∠=∠tan tan tan 1tan tan PAO MAOPAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠tan tan tan 1tan tan PBO MBOPBM PBO MBO∠-∠∠=+∠⋅∠可得：2211OP OM OP OMOA OA OB OB OP OM OP OM OA OB --=⋅⋅++解得：212OM OA OB =⋅ 则2121tan tan 2OM OA OB θθ⋅==⋅，故选项B 正确；对选项C ，若6πθ=，则有：tan tan tan 1tan tan PAO MAO PAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠则有：222OM OA OM OA ⋅=+化简后可得：2210OM OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭令OMt OA=，则有：2210t +=则有：3850∆=-=-<，此时方程无解，故选项C 错误；对选项D ，设tan a θ=（0a >），则有：222OM OAa OM OA ⋅=+可化简为：220OM OMa a OA OA ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭令OMx OA=，则有：220ax x a -+= 则有：2180a ∆=-≥解得： 0a <≤故θ取得最大值时，tan 4θ=1tan 2OM OA θ==同理可得：2tan OM OB θ==故12tan tan θθ=，且12,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则有：12θθ=，故选项D 正确；故选：C【点睛】二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法二、填空题11．若双曲线221y x a-=，则实数a 的值为______．【答案】1【分析】由离心率公式，解方程可得a 的值．【详解】双曲线221y x a-=可得e 解得1a =，故答案为：1．12．甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是23，14，则2人中恰有1人投进的概率为______．【答案】712【分析】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【详解】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”，则P （A ）23=，P （B ）14=，2∴人中恰有1人投进的概率：()()P AB P AB +212111(1)(1)3434217122=⨯-+-⨯=+=．故答案为：712． 13．已知函数()2ln f x x x a =--．若存在实数a ，使得集合()t x f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中的元素至少有2个，则实数t 的最小值为______．【答案】2e -2e- 【分析】将问题转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点，然后讨论函数()y f x =的单调性和极值，进而求得答案.【详解】问题可以转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点. 由题意，()()()2ln ,e ,2ln 2ln ,0e .a a x x a x t f x x x a x x a x a ⎧--≥⎪=---=⎨+-<<⎪⎩当[e ,)a x ∈+∞时，则()1212x f x x x -'=-=，若1e ln 22aa ≥⇒≥-，则()0f x '≥，()f x 单调递增；若1e ln 22a a <⇒<-，则1[e ,]2a x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.当()0,e ax ∈时，则()f x 单调递增（增+增）.于是，（1）当ln 2a ≥-时，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =与ty a=的图象至多只有1个交点，不合题意；（2）当ln 2a <-时，()f x 在()0,e a上单调递增，在1e ,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，e a x =时，函数取得极大值为()e 2e a af =，12x =时，函数取得极小值为11ln 22f a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 限定10e e 2a a x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，()()()2ln 2ln e 2af x x x a x a x =+-<+-=，则当0e a x <<且1ln 22a x ++<时，()122f x x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.限定12x >，()()2ln f x x x a =--，设()ln g x x x =-，()11g x x'=-，()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()110ln g x g x x ==>⇒>，所以，()()2ln f x x x a x a =-->+.于是，12x >且2e a x a >-时，()()e af x f >.故当1ln 22e a ta a++≤≤时，函数()y f x =与t y a =的图象至少有2个交点，此时()2e 1ln 2a a t a a ≤≤++.设()()2e ln 2a h a a a =<-，()()2e 1ah a a '=+，(),1a ∞∈--时，()0h a '<，()h a 单调递减，()1,ln 2a ∈--时，()0h a '>，()h a 单调递增，所以()()min 21eh a h =-=-，于是t的最小值为：2e-. 故答案为：2e-.【点睛】首先将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在第（2）步求出函数的单调区间和极值后一定要注意，必须要说明在12x =的左侧是否存在比极小值12f ⎛⎫⎪⎝⎭更小的值，在e a x =的右侧是否存在比极大值()e af 更大的值，进而才能解决问题.14．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．【答案】22【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案. 【详解】()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+可变形为()222b a c b a c b c +⋅-⋅+=--，即()()22b a bc b c -⋅-=--，如图，两圆为半径为1的圆，则()()2cos 2b a bc b a b c CBA b c -⋅-=-⋅-∠=--，从而3π4CBA ∠=-，设,a b α=，,c b β=，21cos 122cos cos a b b a b b cb ααβ⋅+⎛⎫+=+⇒=+ ⎪⋅⎝⎭，解得：22cos cos2αβ=，所以2αβ=，在△AOC 中，由余弦定理得：()()2112cos 22cos AC αβαβ=+-+=-+，在三角形BAC中，2223π12cos124AC BC BC BC BC =+-⋅=++，从而()222cos 12BC BC αβ-+=++，即()23212cos 12cos2BC BC ααβ+=-+=-，因为OA AB =，所以OBA AOB α∠=∠=，所以3π4OBC α∠=-，3ππππ424OCB OBC αβαβ∠=-∠-=-+-=+，在△OBC 中，由正弦定理得：sin sin OB OCOCB OBC =∠∠，即1π3πsin sin 244OB αα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在三角形OAB 中，由正弦定理得：sin sin OB AB OAB AOB=∠∠，即()1sin π2sin OB αα=-，1sin 2sin OB αα=，从而πsin sin 2243πsin sin 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：cos 2sin 2cos sin 122αααα+=+-，解得：π3α=，所以23π212cos 12cos 122BC BC α+=-=-=，解得：2602BC -+=>或2602BC --=<（舍去），故()2223b c CB -==-.故答案为：23【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解. 三、双空题15．杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出，后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明．杨辉三角中的三角形数表，是自然界和谐统一的体现．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其中蕴含着二项式系数的性质，例如递推性质11i i in nnCCC -+=+．在62x x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数和为______，常数项为______．【答案】 35 60；【分析】根据二项式定理可知第三项和第四项的二项式系数分别为26C ，36C ，从而可求出答案；根据二项式定理的通项公式可求出常数项.【详解】在62x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项的二项式系数为2615C =，第四项的二项式系数为3620C =，所以第三项和第四项的二项式系数和35；()363216622,0,1,,6rrr r r r r T C C x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭…，令3302r -=，得2r =，所以()22026241560T C x =-=⨯=，所以常数项为60. 故答案为：35；60.16．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知22sin cos 212A BC +-=，则角C =______；若b a -，2c，b a +成等比数列，则sin sin B A =______．【答案】 120°23π 【分析】（1）将22sincos 212A B C +-=利用二倍角公式化简整理，得 2cos 2cos 10C C -+=，解出cos C ，求得答案‘（2）根据b a -，2c，b a +成等比数列，得到2224c b a =-，再结合余弦定理，得到关系式2235b a ab -=，利用正弦定理边化为角，进而求得答案. 【详解】由22sin cos 212A B C +-=得：22sin cos 212CC π--=, 即22cos1cos 202CC --=，2cos 2cos 10C C -+=，解得1cos 2C =- 或cos 1C =（舍去），所以120C = ；由b a -，2c，b a +成等比数列得：2224c b a =- ，又2221cos 22a b c C ab +-==- ,即222c a b ab --=, 整理得222244b a a b ab ---=，即2235b a ab -=，所以223sin 5sin sin sin B A A B -=,所以223sin sin 50sin sin B B A A --=,解得sin sin B A = ,而sin 0,sin 0A B >> ,故sin sin B A =，故答案为：12017．随机变量ξ的分布列如下表，其中1142p ≤≤．当p =______时，()E ξ取最大值；当p =______时，()D ξ有最大值．【答案】140.25 13【分析】求出()E ξ、()D ξ的表达式，利用一次函数和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】由题意可得()1281232333E p p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭，故当14p =时，()E ξ取最大值；()2228182812223233333D p p p p p ξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯--+-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦282439p p =-++，故当()813243p =-=⨯-时，()D ξ取最大值.故答案为：14；13.四、解答题18．设()0,2a π∈，将奇函数()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像． (1)求a 的值及函数()g x 的解析式；(2)设()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()F x 的值域．【答案】(1)a π=，()sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)512⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据奇函数性质，确定a 的值，再根据图象变换的规律，确定()g x 的解析式；（2）先写出()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域. (1)因为()f x 是奇函数，且在0x =处有定义，可知()0sin 0f α==，得到()a k k π=∈Z ，因为()0,2a π∈，所以a π=，由()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位得到πsin 6y x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，可得()sin 2sin 266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由（1）可得：()212sin sin 21cos 22cos 262F x x x x x x π⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭32cos 212123x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()512F x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19．在三棱台111ABC A B C -中，8AC =，6BC =，AC BC ⊥，点H 在棱AC 上，且满足1B H AC ⊥，3CH =，1B H =145B BC ∠=︒．(1)求证：11B C ⊥平面1AB C ；(2)求1B C 与平面11AA B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析 23【分析】（1）根据题意，先证明BC ⊥平面1AB C ，进而根据11BC B C ∥即可证明；（2）结合（1）得1,,CA CB HB 两两垂直，进而建立空间直角坐标系，再结合平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面将问题转化为求平面1ABB 的一个法向量，再根据向量求解即可. (1)证明：因为1B H AC ⊥，3CH =，133B H =所以在1Rt B HC △中，16B C =．又因为145B BC ∠=︒，16B C BC ==，所以1BC B C ⊥．又因为BC AC ⊥，1AC B C C ⋂=，所以BC ⊥平面1AB C ，因为在三棱台111ABC A B C -中，11BC B C ∥，所以11B C ⊥平面1AB C ； (2)解：结合（1）得1BC B H ⊥，所以1,,CA CB HB 两两垂直，故以C 为原点，,CA CB 方向分别为,x y 轴，过C 且与1HB 平行的直线为z 轴，如图，建立空间直角坐标系，所以()()()13,0,33,8,0,0,0,6,0B A B ，所以()13,0,33CB =，因为平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面，所以()8,6,0BA =-，()13,6,33BB =-，设平面11AA B 的法向量为(),,n x y z =，所以430230x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，故令5z =，则33,43x y ==，所以平面11AA B 的一个法向量()33,43,5n =，设1B C 与平面11AA B 所成角为θ，所以111243sin cos ,610235CB n CB n CB nθ⋅====⨯．所以1B C 与平面11AA B 所成角的正弦值为235.20．已知各项为正的数列{}n a 满足：113a =，()*134N nn n a a n a +=∈+． (1)设0a >，若数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列，求a 的值；(2)设数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明4543n S n ≤<+．【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的定义，将已知递推关系进行变形取对，再由已知公差可得所求；（2）由题意得到1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由于各项均为正，可证得15n S S ≥=，再将数列通项进行放缩为可求和的等比数列，求和证明. (1) 因为()*134N n n n a a n a +=∈+，所以111141n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭等式两边同时取以a 为底的对数可得111log 1log 1log 4a a a n n a a +⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()*N n ∈ 又数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列可知log 42a =，即2a = (2)由（1）可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为4的等比数列，可得11111414n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 的通项公式为()*1N 14n n a n =∈- 记1n n n a b a +=可求得其通项公式为()1*4141N n n n b n +-=∈- 显然{}n b 为正项数列，因此()11*N 5n S S b n ≥==∈另一方面，构造数列{}n c 满足()*N 4n n c b n =-∈可得其通项公式为()*1N 34n nc n =∈- 注意到1113134414n n n n c ---⎛⎫=≤ ⎪⋅+-⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，可得11441314n n T -≤<-，而由于4n n c b =-，因此()*4N n n T S n n =-∈，从而443n S n <+，综上所述，4543n S n ≤<+.21．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点()4,0A 的直线l 与抛物线交于两个不同的点M ，N （M 是第一象限点），MN 的垂直平分线交抛物线于P ，Q ．当直线l 的斜率为2-时，3MF =．(1)求抛物线的方程；(2)若1p >，求PQ 的最小值．【答案】(1)24y =或243y x =(2)min 67PQ =【分析】（1）设点M 的坐标为()11,x y ，由已知条件列出方程组211111232 24y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，解方程组即可得到答案；（2）设直线l 的方程为4x my =+及其点()11,M x y ，()22,N x y ，将点()11,M x y ，()22,N x y 代入抛物线方程作差，即可得到1214m y y =+，由此可以求得故MN 中点坐标为()224,2mm +，设出PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，与抛物线的方程联立得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求出PQ ，最后用导数求其最值即可. (1)设点M 的坐标为()11,x y ，根据题意可列出方程组211111232 24y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，可解得2p =或23p =因此可得到抛物线方程为24y =或243y x =(2)由于1p >，可知抛物线方程为24y x =，设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ,即2114y x =和2224y x =，两式相减为1212124y y x x y y -=-+，即1214m y y =+，则1222y y m +=，12212244422x x y my m m ++=++=+ 故MN 中点坐标为()224,2m m +，设PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，()33,P x y ，()44,Q x y , 联立()()2241242y xx m y m m ⎧=⎪⎨-+=--⎪⎩得2248240y y m m +--=， ()221=230m m ∆++>，即20m >，由韦达定理可知342344824y y m y y m ⎧+=-⎪⎨⎪=--⎩，于是可得34PQ y y =-=令2t m =，并记()27128f t t t t =+++()0t > ，求导函数得()23722f t t t '=--，令()0f t '=，解得导函数零点为2t =，且导函数在()0,∞+上单调递增，因此导函数在()0,2上恒为负，在()2,+∞上恒为正，可知原函数在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则在2t =处取得最小值，则()()min 6324f t f ==，即min PQ =22．已知*N n ∈，函数()()2e xf x n x -=-，()1nx g x n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)若8n =，求函数()f x 的极值； (2)当(],x n ∈-∞时，求证：()()f x g x ≤．【答案】(1)极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何性质，确定函数的单调性，然后就可以计算极值；(2)作差比较，由于e 0x > ，令()()()e xF x g x f x =-⎡⎤⎣⎦，构造一个新函数，再利用导数判断单调性，通过多次构造后，得到()0F x ≥. (1)因为()()2e xf x n x -=- ，所以()()2222e ee xxxx x nf x x n x ----'=---=，当8n =时，()()()42e xx x f x -+'=，令0fx 得2x =-或4x =，当()(),24,x ∈-∞-+∞时，0fx；当()2,4x ∈-时，0fx ．故函数()f x 的增区间为(),2-∞-，()4,+∞，减区间为()2,4-，所以函数()f x 的极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-； (2)令()()()()2e 1e nx x x F x g x f x n x n n ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，只需证明当(],x n ∈-∞时，()0F x ≥即可．求导得()12e 1n x x F x x n -⎡⎤⎛⎫'=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．下面对n 分类讨论：①当1n =时，有()()21e 1x F x x x =-+-，()()2e x F x x '=-，()F x 在(),0-∞递减，在()0,ln 2递增，在(]ln 2,1递减．又因为()()010F F ==，所以()0F x ≥得证． ②当2n ≥时，令()1e 1n x x G x n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得()21e 1n x x x G x n n --⎛⎫'=⋅- ⎪⎝⎭，所以()G x 在(),1-∞递增，在()1,+∞递减．于是有()()1max 11e 1n G x G n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．我们令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-，所以()()max 10x ϕϕ==，即()0x ϕ≤恒成立．于是可以得到11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，进而有1e 1n n -⎛⎫<- ⎪⎝⎭，代入()1G 可得到()11111e 1121n n G n n n --⎛⎫⎛⎫=-<-=≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即当2n ≥时()2G x ≤恒成立．于是，()()12e 12n x x F x x x G x n -⎡⎤⎛⎫'=--=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，在(),0-∞上，()0F x '<，故()F x 在(),0-∞上单调递减；在()0,+∞上，()0F x '>，故()F x 在()0,+∞第 21 页共 21 页上单调递增，所以()()00F x F ≥=．综合①②可知，原命题得证！。

浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题

浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A={0,1,2,3,5}，B={x|x2−2x>0}，则A∩B=（）A．{0,1,2}B．{0,3,5}C．{3,5}D．{5}2．圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为（）3．已知平面向量a⃗,b⃗⃗满足：|b⃗⃗|=2|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)(λ∈R)，则λ=（）4．已知直线a,b和平面α,a⊄α,b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(1+x−y)5展开式中含x2y项的系数为（）A．30B．−30C．10D．−106．已知函数y=2sin(ωx+φ)，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点(1,0)是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是（）7．一个正方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点O处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：O→P1→P2→P3→P4→P5→⋯.．，点O到P1的长度为1，点P1到P2的长度为2，点P2到P3的长度为3，点P3到P4的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（）A．4752B．4753C．4850D．4851二、多选题10．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：(10,52),(20,67),(30,70),(40,75),(50,86)，根据以上数据可得经验回归方程为：ŷ=0.76x+â，则（）A．â=47.3B．回归直线ŷ=0.76x+â必过点(30,70)C．加工60个零件的时间大约为92.8minD．若去掉(30,70)，剩下4组数据的经验回归方程会有变化11．设P是抛物线弧C:y2=8x(y>0)上的一动点，点F是C的焦点，A(4,4)，则（）A．F(2,0)B．若|PF|=4，则点P的坐标为(2,4)C．|AP|+|AF|的最小值为2+2√5D．满足△PFA面积为9的点P有2个212．对于集合A中的任意两个元素x,y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”；②d(x,y)=d(y,x)；③∀z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)．则称d(x,y)为集合A上的距离，记为d A．则下列说法正确的是（）A．d(x,y)=|x−y|为d RB．d(x,y)=|sinx−siny|为d RC．若A=(0,+∞)，则d(x,y)=|lnx−lny|为d AD．若d为d R，则e d−1也为d R（e为自然对数的底数）三、填空题四、解答题17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2−a2=sinCsinB．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=√7，且△ABC的面积为3√34，求AD的长．18．在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．19．袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续参考答案：1．C【分析】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，再运用集合的交集即可.【详解】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，则集合{x|x>2或x<0}，又A={0,1,2,3,5}，∴A∩B={3,5}.故选：C.2．A【分析】将一般方程化为标准方程即可求解.【详解】圆C:x2+y2−2x+4y=0，即C:(x−1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,−2),r=√5.故选：A.3．D【分析】先计算平面向量a⃗,b⃗⃗的数量积，再利用(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，列式解得即可.【详解】由题意，得a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos120°=1×2×(−1)=−1，2由(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)，得(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，即λa⃗2+(1−λ)a⃗⋅b⃗⃗−b⃗⃗2=0，.∴λ−(1−λ)−4=0，解得λ=52故选：D4．A【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α，若a∥b且a⊄α，则a//c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β//α，b⊂β,a⊂β,a∩b=P，则有a∥α，但a,b不平行，即必要性不成立.故选：A.5．B【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.【详解】由题意得，(1+x−y)5展开式中含x2y的项为(C52⋅x2)⋅[C31⋅(−y)]⋅(C22×12)=−30x2y，故选：A【点睛】结论点睛：若A、B分别为双曲线的左、直线PB的斜率之积为定值.9．ACD【详解】）m,0)，在△F1PF2中，PM是x0，）知|PF1|=2+12PF2|=√(x0−1)2+y02=且x。

浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题1. 已知l ，m 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若l ⊥α，m ∥l ，m ⊂β，则α⊥βB ．若α∥β，l ∥α，则l ∥βC ．若l ⊥m ，l ⊥α，α∥β，则m ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β2. 某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为的样本，其中高中生有24人，那么等于A ．12B ．18C ．24D ．363. 设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n 阶幻方. 记n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（）A．B ．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25C ．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D ．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为3965. 已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率（）A．B．C．D．6. 已知复数z 满足，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知为等边三角形，，设点，满足，，，若，则（）A．B．C．D．8. 老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答该问题的概率分别为0.4与0.5，在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A．B．C．D．9.在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（）浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题二、多选题三、填空题A ．有且仅有1条B ．有且仅有2条C ．有且仅有3条D ．有无数条10.已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．11. 已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．12.已知满足，其中e 是自然对数的底数，则的值为（）A ．eB．C．D．13. 已知函数，则（）A．过点有且只有一条直线与曲线相切B ．当时，C．若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1D ．若，，则14. 已知函数，则（）A．的最大值为3B．的最小正周期为C ．的图象关于直线对称D ．在区间上单调递减15. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个，图片b张（且）.从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（）A．B．C．D．16.已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（）A．B．存在C．不存在以为直径且经过焦点的圆D ．当的面积为时，直线的倾斜角为或17. 已知为锐角，，则__________.四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题18. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=______.19. 已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则________.20. 若二项式展开式中的常数项为60，则正实数的值为__________；该展开式中的奇数项的系数之和为__________．21. 已知平面向量，，设，，，则与的夹角为______，当时，___________22.设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.23. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．24.如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且.(1)求多面体的体积；(2)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.25. 如图，在三棱柱ABC −中，平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为，AC ，，的中点，AB=BC =，AC ==2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B−CD −C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．26. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，ABCD ，PC ⊥底面ABCD ，AB =2AD =2CD =4，PC =2a ，E 是PB 的中点.八、解答题九、解答题(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)当a =1时，求直线PD 与AE 所成角的正弦值；(3)若二面角P -AC -E 的余弦值为，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.27. 某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）28. 在我国抗疫期间，为了保证高中数学的正常进行，通过“钉钉､腾讯会议”等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利用“VB ”等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才为一次成功制作，该视频视为合格作品.(1)求小明同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小明同学制作15次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某高校看中，聘其为单位制作教学软件，决定试用一段时间，每天制作小视频（注：每天可提供素材制作个数至多40个），其中前7天制作合格作品数与时间如下表：（第天用数字表示）时间1234567合格作品数3434768其中合格作品数与时间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考答案，，参考数据：）.。

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金华一中2021级高三12月月考数学试题〔理〕150分，共120分钟一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1．复数3ii-在复平面上对应的点位于〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．a R ∈，那么“2a >〞是“22a a >〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．为了得到函数lg 10xy =的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点〔〕A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向上平移1个单位长度D ．向下平移1个单位长度4．直线1y x =+与曲线x ay e +=相切，那么a 的值为〔〕A ．1B ．2C ．-1D ．0 5．函数()sin cos f x x x =是〔〕A ．最小正周期为2π且在[0,]π内有且只有三个零点的函数B ．最小正周期为2π且在[0,]π内有且只有二个零点的函数C ．最小正周期为π且在[0,]π内有且只有三个零点的函数D ．最小正周期为π且在[0,]π内有且只有二个零点的函数6．函数()3sin 5sin(60)f x x x =++的最大值是〔〕A ．8B ．7C ．6．5D ．5．57．假设0ab ≠，那么方程22()()0ax y b bx ay ab -++-=表示的曲线只可能是〔〕A B C D8．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，那么异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是〔〕A ．2πB ．4π C ．6πD ．3π 9．设第一象限内的点(,)x y 满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，假设目标函数(0,z ax by a =+>0)b >的最大值为40，那么51a b+的最小值为〔〕A ．256B ．94C ．1D ．410．O 为ABC ∆的外心，4,6,8AB AC BC ===，那么AO BC = 〔〕A ．18B ．10C ．-18D ．-10二、填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分．11．设全集合{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}1,1,U C M =-{}0,1,2,3N =，那么集合M N = ．12．向量(1,0),(0,1),,2a b c ka b d a b ===+=-，如果//c d ，那么k = ． 13．在研究性学习中，我校高三某班的一个课题研究小组做“关于横波的研究实验〞．根据实验记载，他们观察到某一时刻的波形曲线符合函数()2sin()f x x ωϕ=+的图像，其局部图像如以下列图，那么(0)f = ．14．假设某几何体的三视图〔单位：cm 〕如右图所示，那么该几何体的外表积为2cm ．2 -2 x y O 4π 134π15．设A 和B 是抛物线L 上的两个动点,且在A 和B 处的抛物线切线相互垂直, 由A B 、及抛物线的顶点P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线, 记为1L ．对1L 重复以上过程,又得一抛物线2L ，余类推．设如此得到抛物线的序列为12,,,n L L L ，假设抛物线L 的方程为26y x =，经专家计算得， 21:2(1)L y x =-，222124:(1)()3333L y x x =--=-，23211213:(1)()93999L y x x =---=-，，22:()n n n nT L y x S S =-．那么23n n T S -= ．16．：直线,a b ，平面,,αβγ，给出以下四个命题：①//,,//a b a b αβ⊥，那么αβ⊥； ②//,//,//a b a b αβ，那么//αβ； ③,αγβγ⊥⊥，那么//αβ； ④//,//,a a b αβαβ=，那么//a b ．其中真命题是〔填写真命题的编号〕．17．设12F F 、分别为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M N 、两点，且满足120MAN ∠=，那么该双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共4小题，总分值72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18．〔此题总分值14分〕在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，72c =，ABC ∆，又tan tan tan 1)A B A B +=-．〔I 〕求角C 的大小；〔II 〕求a b +的值． 19．〔此题总分值14分〕22()(1),()f x x a x a a R =+++∈，假设()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和．〔I 〕求()g x 和()h x 的解析式；〔II 〕假设()f x 和()g x 在区间2(,(1)]a -∞+上都是减函数，求(1)f 的取值范围． 20．〔此题总分值14分〕如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，且11(01)PC CC λλ=<<．〔I 〕求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥；〔II 〕假设13λ=，求二面角1P AB B --的余弦值；〔III 〕是否存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影平分1B AC ∠？假设存在, 求出λ的值, 假设不存在，说明理由．21．〔此题总分值15分〕椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点P 在椭圆上，且满足12122,30PF PF PF F =∠=，直线y kx m =+与圆2265x y +=相切，与椭圆相交于,A B 两点．〔I 〕求椭圆的方程；〔II 〕证明AOB ∠为定值〔O 为坐标原点〕．22．〔此题总分值15分〕函数2()(22)ln (1)m f x m x mx m x+=-++-≥-．〔I 〕讨论()f x 的单调性；〔II 〕设 22 5 (1)()113 (1)22x x x x g x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩．当2m =时，假设对任意1(0,2)x ∈，存在2x ∈[,1]k k +〔k N ∈〕，使12()()f x g x <，求实数k 的最小值．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B 二、填空题11．{}0,2,3 12．12- 13． 14．7π 15．1- 16．①④ 17．3三、解答题 18．解：〔I〕tan tan tan 1)A B A B +=-,tan tan tan()1tan tan A BA B A B+∴+==-且,,A B C 为ABC ∆的内角，23A B π∴+=，从而3C π=．〔7分〕〔II〕由1sin 22ABC S ab C ∆==，及3C π=得6ab =，又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--===，72c =，112a b ∴+=．〔１４分〕19．解：〔I 〕由题意得22()(1),()g x a x h x x a =+=+；〔写出答案就给总分值〕〔4分〕〔II 〕()f x 和()g x 在区间2(,(1)]a -∞+上都是减函数，21(1)210a a a +⎧-≥+⎪∴⎨⎪+<⎩312a ∴-≤<-，221711(1)2()(2,]244f a a a ∴=++=++∈．〔14分〕 20．解：〔I 〕以D 为坐标原点，分别以1DA DC DD 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1AB =，那么1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,2)D A B C B ， 1(0,1,2),(0,1,22)C P λ-，从而(1,1,0),(1,1,22)BD AP λ=--=--，0BD AP ∴=，即AP BD ⊥．〔４分〕〔II 〕由〔Ｉ〕及13λ=得，14(1,1,),(0,1,2)3AP AB =-=，设平面1AB P 的法向量为(1,,)n x y =，那么431033202x x y y x y =⎧⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪+=⎩⎩，从而可取平面1AB P 的法向量为(2,6,3)n =-，又取平面1ABB 的法向量为(1,0,0)m =，且设二面角1P AB B --为θ，所以 2cos 7m n m nθ==〔９分〕〔III 〕假设存在实数(01)λλ<<满足条件，由题结合图形，只需满足AP 分别与1AC AB 、所成的角相等，即11AP AB AP AC AP ACAP AB =，即2624865λλ=-+，解得 5(0,1)4λ=∈．所以存在满足题意得实数54-，使得AP 在平面1B AC 上的射影平分1B AC ∠ 〔14分〕21．解：〔I 〕由题意，1212122,30,2PF PF PF F F F =∠==，解三角形得1223PF PF ==，由椭圆定义得122a PFPF =+= 从而a =又1c =，那么b =22132x y += 〔6分〕〔II 〕设交点1122(,),(,)A x y B x y ，联立22132y kx mx y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 得222(23)6360k x kmx m +++-=由韦达定理得2121222636,2323km m x x x x k k --+==++ 〔9分〕又直线ykx m =+与圆2265x y +=相切，22566m k ==+ 〔11分〕从而22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++222222222366(566)(1)0232323m km m m k k km m k k k ----=+++==+++ 〔14分〕所以0OA OB =，即90AOB ∠=为定值．〔15分〕22．解：〔I 〕由题意函数()f x 的定义域为(0,)+∞， '22222(1)[(2)]()m m x mx m f x m x x x--+--+=++= 〔1〕假设'2,220()x m f x x -+==则，从而当1x <时，'()0f x >；当1x >时'()0f x <，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,)+∞ 〔3分〕〔2〕假设0m ≠，那么'22(1)[(1)]()m x x m f x x --+=①当0m >时，211m +>，从而当1x <或21x m>+时，'()0f x >，当211x m<<+时，'()0f x < 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和2(1,)m ++∞，单调递减区间为2[1,1]m+； ②当10m -≤<时，210m+≤，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,)+∞综上所述，当10m -≤≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,)+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和2(1,)m++∞，单调递减区间为2[1,1]m+．〔8分〕〔II 〕由〔Ｉ〕可得当2m =时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以在区间(0,2)上，max ()(1)2f x f ==-由题意，对任意1(0,2)x ∈，存在2x ∈[,1]k k +〔k N ∈〕，使12()()f x g x < 从而存在x ∈[,1]k k +〔k N ∈〕使()2g x >-，即只需函数()g x 在区间x ∈[,1]k k +〔k N ∈〕上的最大值大于－２，又当0k =时，11[0,1],6()2x g x ∈-≤≤-，不符，所以在区间x ∈[,1]k k +〔*k N ∈〕上2max ()(1)62g x g k k =+=->-解得2()k k N >∈，所以实数k 的最小值为３．〔15分〕。

浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考理数试

一、选择题（本大题共8个小题，每小题35分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22x x y -=+【答案】C.考点：函数的奇偶性判定．2.设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A. 【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ．考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件． 3.要得到函数cos(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin(4)2y x π=+的图象（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】B. 【解析】试题分析：sin(4)cos 42y x x π=+=，而c o s (4)c o s [4()]312x x ππ-=-，∴应向右平移12π个单位，故选B ．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换．4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）3cm .A ．23 B ．2 C.【答案】D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积． 5.设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（）A.(,)(,)M a b m a b a b +=+B.(||,||)||||m a b a b a b +-=-C.(||,||)||||M a b a b a b +-=+D.((,),(,))(,)m M a b m a b m a b = 【答案】B.考点：函数型新定义问题．6.设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x mx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的取值范围是（）A ．36m -≤≤B ．3m ≥-C ．6667m -≤≤ D ．332m -≤≤【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤，故选A ．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1.求线性目标函数的最值；2.求非线性目标的最值；3.求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围.7.若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21[()]213xf f x +=+，则2(log 3)f =（） A ．1 B ．45C ．12D ．0【答案】C.考点：1.函数的解析式；2.函数的性质．【思路点睛】求函数解析式常用的方法：1.待定系数法；2.换元法(换元后要注意新元的取值范围)；3.配凑法；4.解方程组法；而函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容，归纳起来常见的命题角度有：1.求函数的值域或最值；2.比较两个函数值或两个自变量的大小；3.解函数不等式或方程；4.求参数的取值范围或值.∠等于8.如图，AB是平面α外固定的斜线段，B为斜足，若点C在平面α内运动，且CAB直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【答案】D.考点：立体几何中的动态问题．【思路点睛】在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题，也可利用空间直角坐标系求出轨迹方程，即可知其对应的轨迹类型，对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.二、填空题（本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上．）9.已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则AB = ，()U C A B = .【答案】{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<. 【解析】试题分析：∵{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，∴{|0}A B x x =≥，(){|02}U C A B x x =≤<．考点：集合的运算．10.函数2()4sin cos 2cos 1f x x x x =+-的最小正周期为，最大值为 . 【答案】π考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质．11.若抛物线28x y =的焦点与双曲线221y x m-=的一个焦点重合，则m = . 【答案】3. 【解析】试题分析：∵抛物线28x y =的焦点坐标为(0,2)，∴2123m m +=⇒=．考点：抛物线，双曲线的标准方程．12.设函数3|log (1)|,10()tan(), 012x x f x x x π+-<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= ，若1()()2f a f <，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1，21(,)32-. 【解析】试题分析：∵1103-<-<，∴31(1)|log (11)|332f -=-+=，∴1[(1)]()32f f f -== tan14π=；若10x -<≤：1331()()log (1)1log (1)1132f a f a a a -<⇒-+<⇒+>-⇒+>⇒203a -<≤；若01x <<：11()()tan()10222f a f a a π<⇒<⇒<<，故实数a 的取值范围是21(,)32-．考点：1.分段函数；2.分类讨论的数学思想．13.已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为 . 【答案】220x y +-=.考点：1.直线，圆的方程；2.直线与圆的位置关系. 14. 已知(){}f n n是等差数列，(1)2f =，(2)6f =，则()f n = ，数列{}n a 满足1()n n a f a +=， 11a =，数列1{}1n a +的前n 项和为n S ，则201520161S a += . 【答案】2n n +，1. 【解析】试题分析：设公差为d ，由题意得(2)(1)32121f f d =-=-=，∴2()2(1)1()f n n f n n n n=+-⋅⇒=+， ∴21111111111()(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n a f a a a a a a a a a a a a a +++==+=+⇒==-⇒=-+++， ∴12231111111111111111n n n n n n S S a a a a a a a a a a +++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⇒+==，∴2015201611S a +=．考点：1.等差数列的通项公式；2.数列求和．【方法点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，裂项相消法求和或利用其证明不等式是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{}n a 的通项公式或通项公式，达到求解目的．15.如图，在三棱锥中D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a =，BC b =，CD c =，则21c ab +的最小值为 .【答案】2.考点：1.空间向量的数量积；2.不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题15分) 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知AD =，1b =. （1）若23A π=，求c ；（2）求1c c +的最大值.【答案】（1）1c =；（2）4．考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形．17．(本小题15分) 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）4π．【解析】试题分析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，可证明四边形QFCD 是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）首先利用将平面CEF 与PA 的交点作出，再利用1PG =可求得PA 的长度，从而建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，即可求解．1y =，即2(1,1n =，∴1212122cos ,122||||n n n n n n ⋅<>===⨯⋅，即两个法向量的夹角为4π，∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为4π.考点：1.线面平行的判定和性质；2.空间向量求空间角．18.(本小题14分) 已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a . （1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围. 【答案】（1）14t ≥；（2）104t <<．考点：1.恒成立问题；2.二次方程的根的分布；3.转化的数学思想．19.(本小题15分) 已知点M 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点，椭圆C的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 是定点，直线l ：1()2y x m m R =+∈交椭圆C 于不同的两点A ，B ，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求点P 的坐标，使得12k k +恒为0.【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2P 或3(1,)2P --．【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆方程中222a b c =+的关系式，建立方程组，即可求解；（2）将直线方程与椭圆方程联立消去y 后可得2230x mx m ++-=，再由韦达定理以及120k k +=可得到关于0x ，0y 的一个方程，再根据恒成立的条件即可得到关于0x ，0y 的方程，从而求解．试题解析：（1）由题意，b =12c a =，又∵222a c b -=，∴1c =，2a =，∴所求的椭圆方程：22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把12y x m =+代入椭圆方程化简得：2230x mx m ++-=，∴22224(3)31204m m m m ∆=--=-+>⇒<，又∵122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩，∴221213222()y y m m x x +=+=+，而10201210200y y y y k k x x x x --+=+=--，∴10202010()()()()0y y x x y y x x --+--=，即1222()()y x y x x y y++-+-， ∴12210001201211()()2()()022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=， ∴121200012012()2()()0x x m x x x y y x x x y y +++-+-+=，∴3()2302m y x xy +-+-=，∴000000310232302x y x y x y =⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪-=⎩⎩或00132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴3(1,)2P 或3(1,)2P --. 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.定点问题．【思路点睛】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20.(本小题15分)已知23123()n n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，且(1)(1)n n f n -=-⋅，n =1，2，3，….（1）求1a ，2a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）当7k >且*k N ∈时，证明：对任意*n N ∈都有1212222311112n nnn ka a a a ++-+++⋯>++++成立．【答案】（1）11a =，23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）详见解析．试题解析：（1）由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=，得23a =，考点：1.数列的通项公式；2.放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2.重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3.数学归纳法.。

浙江省金丽衢十二校2021-2022学年高三上学期期末第一次联考数学试题

6．设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和为 Sn ，且 S5 S13 ，a6 a14 0 ，则使得 Sn 0 的
正整数 n 的最小值为（
）
试卷第 1页，共 5页
A．16
B．17
C．18
D．19
7．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“ C 是锐角”是“ c3 2 a3 b 3 ”的
(2)求 B1C 与平面 AA1B1 所成角的正弦值．
20．已知各项为正的数列an满足：
a1
1 3
，
an1
an 3an
4
n N*
．
(1)设 a
0
，若数列
log
a
1 an
1 是公差为
2
的等差数列，求
a
的值；
(2)设数列
an
an1
的前
n
项和为
Sn
，证明
5
Sn
4n
4 3
．
21．如图，已知 F 是抛物线 y2 2 px p 0 的焦点，过点 A4, 0 的直线 l 与抛物线交于两
f
x 2x
ln x a
．若存在实数 a，使得集合 x
f
x
t
a
中的元素至少有
2
个，则实数 t 的最小值为______．
17．平面向量 a ， b ， c 满足
a
a b
c
1，b2 a c
2
bc
b
ac
，
2
a b b bc
a
1
b
b
，则
bc
2
______．
B． 0, 6

浙江省金丽衢十二校2013届高三第一次联考数学理试题

金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)一、选择题： 1．复数1ii -的共轭复数为A ．1122i -+B ．1122i + C ．1122i - D ．1122i --2．已知全集U R =，集合{}31<<=x x A ,{}2>=x x B ，则U A C B = A. {}21≤<x x B. {}32<<x x C. {}21<<x x D. {}2≤x x 3.设()2ln -+=x x x f ，则函数()x f 的零点所在的区间为 A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ． ()4,34．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =A ．4-B ．4±C ．22-D ．22±5．已知不重合的直线m 、和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β，则l m ⊥；②若α⊥β，则l m //;③若l m ⊥，则α∥β； ④若l m //，则αβ⊥.其中正确命题的个数是A ．B ．2C ．3D ．46．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象如右图所示，为了得到x A x g ωsin )(=的图象，可以将)(x f 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度7. 点集()()(){}042,2222≤-+++y x x y x y x 所表示的平面图形的面积为A ．πB ．π2C ．π3D ．π58. 在ABC ∆中，()︒︒=72cos ,18cos AB ,()︒︒=27cos 2,63cos 2BC ，则ABC ∆面积为A ．42 B ．22 C ．23 D ．29．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则 A ．()()()()201310,20130f ef f e f <> B ．()()()()201310,20130f ef f ef >> C ．()()()()201310,20130f ef f ef >< D ．()()()()201310,20130f ef f ef <<10．已知()1,0,∈b a ,则1≤+b a 是不等式()222by ax by ax +≥+ 对任意的R y x ∈,恒成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11. 若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是13. 设y x Z +=2，其中实数y x ,满足50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，则Z 的最大值是14. 一空间几何体三视图为如图所示的直角三角形与直角梯形，从该几何体的五个面中任意取四个面，这四个面的面积之和为（只选择一种情况） 15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AM 2=,则()PC PB PA +⋅的值为16. 已知点B 为双曲线)0,(12222>=-b a by ax 的虚轴端点，1F 是双曲线的焦点，O 为坐标原点.若O F 1在B F 1上的投影恰好为b ，则此双曲线的离心率=e ______17．设()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，()x x f 2=.若对任意的[]2,+∈a a x ,不等式()()2f x a fx +≥恒成立,则实数a 的取值范围是三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC ∆的面积为．（Ⅰ）求,a c 的值；（Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．19．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 满足62,10253=-=a a a .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧=--为偶数为奇数n a n b n n n 11212 , n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .20．（本题满分14分）如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将BCF ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使B A ,两点重合于点P ，得到多面体PEFCD .（Ⅰ）求证：//PD 平面EGC ；（Ⅱ）当⊥EG 面PFC 时,求二面角G DC P --的余弦值.21．（本小题满分15分）已知椭圆22:12yM x +=的左右顶点分别为C D ,，,过点()0,2-P 且斜率不为0的直线与椭圆M 相交于B A ,两点，设()()2211,,,y x B y x A . （Ⅰ）求21211x x x x ++的值；（Ⅱ）若直线BD AC 与相交于点E ,证明:点E 的横坐标为定值.22．（本小题满分15分）已知函数()()x e x x f -+=22（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设函数()()()xe xf t x xf x -+'+=2121ϕ，是否存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.金丽衢十二校数学试卷(理科)参考答案二、填空题(4×7=28分)11. 12.30 13.815.21- 16.215+ 17.23-≤a三、解答题(共72分) 18.1sin 2ABC S ab C ∆I == 解：（）5sin83a a π∴⨯⨯==得 ——3分2222cos ,c a b ab C c=+-=7== ——6分8sin 2,sin sin sin 7a c a C A ACcII =∴===（）2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯1113sin()sin coscos sin6667214A A A πππ+=+=⨯=————14分19.111210,42()6a d a d a d I +=+-+=解：() 112,4,(1)42n a d a a n d n ==∴=+-=- {}1n n b n n b II ()数列的前2项中，奇数项和偶数项各有n 项当奇数时，为首项是公比是4的等比数列——————7分1(1)1441=1143nnna q S q---==--奇——10分2(1)=422n n b n n S n n n-+⨯=-偶当为偶数时，为首项是1公差是4的等差数列——————13分224123nn T S S n n -=+=-+奇偶———14分20．（Ⅰ）证明：连接DF 交EC 于点O ，连接OG G O , 为中点 OG PD //∴ 又EGC PD 面⊄EGC OG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ——5分（Ⅱ）①当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又 G 为FB 的中点2==∴EP EF ，2=∴t ————8分方法一：分别取EP CD EF ,,中点Q N M ,,,连接GQ DQ MN PN PM ,,,,,设PM 与GQ 的交点为K ,因为PF PE =,PC PD =∴DC PN ⊥∴ 又DC MN ⊥⊥∴DC 面PMN PNK ∠∴为二面角G DC P --的平面角.———11分易求得215,6,23===NK PN PK ,在PNK ∆中由余弦定理可求得10103cos =∠PNK所以二面角G DC P --的平面角的余弦值为10103—14分21.解：（Ⅰ）设AB 方程为：(=k y ()024422222=-+++k x k x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+211x x x ∴21211x x x x ++4524252222-=+-+=k kk k———6分（Ⅱ）()()0,1,0,1C D -AC 的方程为：y 可联立解得E 点横坐标212112212112y y y x y x y y y x y x x E ++--++=4332121221+-++=x x x x x x ————12分(方法一)将()1452121-+-=x x x x 代入上式可得2143423212121-=++---=x x x x x E所以E 的横坐标为定值21-.————15分(方法二) 4332121221+-++=x x x x x x 44)(32211211221+-++++=x x x x x x x x 44243224224212212222+-+-++-++-=x k k x k kk k 2142882244122122-=-+-++-=x k kx k k . 22. 解：（Ⅰ） ()xex x f 2-=' ∴()x f '在()0,∞-上单调递增，在()+∞,0上单调递减.（Ⅱ）假设存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<，则()()max min ][][2x x ϕϕ<————————6分()()()xex f t x xf x -+'+=2121ϕ()xex t x 112+-+=∴()='x ϕ()()()xxex t x etx t x 112---=-++-① 当1≥t 时，()0≤'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递减∴()()012ϕϕ< 即132<-e t，得123>->et② 当0≤t 时，()0>'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递增∴()()102ϕϕ<即et -<32，得023<-<e t ————10分③ 当10<<t 时，在[)t x ,0∈，()0<'x g ，)(x g 在[]t ,0上单调递减在(]1,t x ∈，()0>'x g ， )(x g 在[]1,t 上单调递增∴()()(){}1,0max 2ϕϕϕ<t 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<+e t et t3,1max 12（★）由（Ⅰ）知()tet t f 12+=在]1,0[上单调递减故2224≤+≤tet e 而eet e 332≤-≤∴不等式（★）无解综上所述，存在()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃-∞-∈,2323,ee t ，使得命题成立．————15分∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ，此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xa x x h 的两个零点，————9分即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x a x ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e上递减，在),1(+∞e上递增要证明 ex x 231>+⇔132x e x ->⇔)2()(13x e g x g ->()()31x g x g = ∴即证0)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x e g x g x F --=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛e F 1 =0只需要证明]1,0(ex ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x ex F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————15分。

浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题含解析

【详解】由题意可知：四面体为正四面体，设球的半径为；
正方体棱长为，正四面体的棱长为，
设球心到正四面体各个面的距离为，
正四面体体积，表面积，；
①若正四面体的一个面截球如图所示，
设小圆半径为，则，解得：，
，解得：；
②若正四面体的一个面截图如图所示，
每个面截球所得的曲线长为，的长为，
且，，故
所以，，，
因为，所以四点共线，
又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，
所以几何体是三棱台，
因为，所以三棱台的高，
所以几何体的体积为
.
19.如图，在中，点在边上，
（1）证明：；
（2）若，，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若，则 ______.
【答案】729
【解析】
【分析】由展开式的通项可得：的奇数次项系数为负数，的偶数次项的系数为正数，令即可求解.
【详解】因为的展开式的通项，
所以含的奇数次项的系数为负数，含的偶数次项的系数为正数，
在中，
令可得：，
【详解】因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；
因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；
由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确；
根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，

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