3.5厄米算符本征函数的正交性

§3.5 厄米算符本征函数的正交性 已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二 个重要的性质： a.厄米算符本征值是实数； b.厄米算符本征函数是正交的。 本节来介绍厄米算符第二个性质。 1．什么叫二个函数Ψ1、Ψ2的正交？ 若
Ψ1*Ψ2 dτ = 0 ∫
(3.5.1） ）
（积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、 Ψ2相互正交。
* k
ˆΦ )* Φ dτ = λ Φ* Φ dτ = k∫ k l ∫ (F k l
所以，
(λk − λl ) ∫ Φ* Φ l dτ = 0 k
，（∵λk≠λl）
得，
Φ * Φ l dτ = 0 ∫ k
这就是我们所要证明的.
(3.5.8） ）
分立谱、 （2）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正交归一条件分别为： 分立谱正交归一条件分别为：
ψ nlm (r ,θ ,ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ ,ϕ )
∫ ∫ ∫
0 0
∞
π
2π
0
ψ
* nlm
(r , θ , ϕ )ψ n′l ′m′ (r ,θ , ϕ )r sin θ dθ dϕ
2
= δ nn′δ ll ′δ mm′
j
是本征值F 的本征函数。 1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
ˆ ˆ Fψ nj = F ∑ Ajiφni
ˆ = ∑ Aji Fφni
i =1 f
f
i =1
= Fn ∑ Ajiφni
i=1 =
f
= F nψ
nj
满足正交归一条件的f个新函数ψ 可以组成。 2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ˆ FΦ k = λk Φ k
ˆ FΦ l = λl Φ l
(3.5-3） ） (3.5-4） ） (3.5-5） ）
并且
λk ≠ λl
由厄米算符的定义
ˆ ˆ Φ* F Φ l dτ =l ∫ ( F Φ k )* Φ l dτ ∫ k
左边 右边
ˆΦ dτ = λ Φ * Φ dτ l∫ k l ∫Φ F l
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值Fn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
2．厄米算符本征函数是正交的 分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互 正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄 成相互正交。 a.属不同本征值的本征函数相互正交。
设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值 为λ1、λ2、…，则有
证明： 已知
∫ Φ Φ dτ = 0
* k l
(3.5-2） ）
φn *φndτ = 1 ∫ ∫φm *φndτ
∫φ
m
* φn dτ = δ mn
(3.5-10） ）
2. 连续谱正 交归一条 件表示为
φλ *φλ′dτ = δ (λ − λ′) ∫
(3.5-11） ）
满足上式的函数系φ 称为正交归一（函数） 满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1 f
j = 1,2,L, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f f(f件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。 个数即可。
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
ˆ 如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程： 满足本征方程：
ˆ Fφni = Fnφni
i =1,2,L, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
2π
0
Φm*Φm′dϕ = δmm′
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl (cos θ )e imϕ
m
m = 0, ±1, ±2, L , ± l
∫ ∫
0
2π
π
0
* Ylm (θ ,ϕ )Yl′m′ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ = δll′δ mm′
（4）氢原子波函数组成正交归一系
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行 的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确 定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本 征值的正交归一化的本征函数。
ψ n ( x) = N n e
N n N n′ ∫ e
−∞ ∞ −α 2 x 2
−α 2 x 2 / 2
H n (α x)
H n (α x) H n′ (α x)dx = δ nn′
（3）角动量本征函数组成正交归一系 1. Lz 本征函数
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
∫
2. L2本征函数