必修4课件2.1.3相等向量与共性向量
北师大必修四第二章：平面向量的概念
四.当堂训练
1.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a =b a ∥b （5）向量AB∥CD ，则A、B、C、D四点必在一直线上； 其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2 ) D. 3
零向量:长度为零的向量(方向任意). 表示为： 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, | 0 |= 0 （注意 0与0的区别）
单位向量:长度为1个单位长度的向量。
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a b A4
3. 向量间的关系：
A1
A3A2
亚里士多德
引入:老鼠由A向东北方向一每
秒6米的速度逃窜，如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追 赶，那么猫能否抓到老鼠吗？ 为什么？
嘻嘻!方向错了!
人生方向也一样！你 规划好了吗？
A B
唉, 哪儿去了?
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
ABCD的形状： （1）AD = BC
D
AB ； （2） = DC 且 AB = AD
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。
A
B
D
C
（2）四边形ABCD是菱形。
A
B
例3演变问题：判断正误
• 若平行四边形ABCD，则 AB = CD ； • 若 AB = CD ， 则ABCD是平行四边形。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
【精品资料】高一数学必修4 向量的概念及表示
高一数学必修4 向量的概念及表示一．教学目标：（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二．教学重点、难点；教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.三．教学方法与教学手段：教学方法：启发式教学教学手段：多媒体教学四．教学过程，（一）情景设置一个质量m=60kg的物体放在光滑的水平面上，在与水平方向成α=60 °角斜向上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。
物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。
问：再举出一些向量和数量数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等 向量：位移、力、速度、加速度等 （二）新课学习1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）用字母等表示；①用有向线段字母表示：（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：、、；（印刷用a ，书写用） 注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。
3．向量的有关概念： （1）大小：①向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||. ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.思考：0与0的含义与书写区别.③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位A(起点)B （终点）a向量.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？（2）方向：平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
人教A版高中数学必修4《2.1.3 相等向量与共线向量》_48
人教A 版高中数学必修4（一）教学目标：1. 知识与技能：了解向量的实际背景及基本概念（一个定义，两种表示，三个概念，四种关系）2. 过程与方法：在掌握向量的表示,知道零向量单位向量和模，理解平行向量、相等向量、共线向量、相反向量的概念过程中感悟数形结合，类比推理等思想方法。
3. 情感态度与价值观：经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会数学抽象，直观感知等数学核心素养。
（二）教学重难点：2.难点：向量的定义和共线向量概念形成过程；向量共线与平行的等价性五、教学过程（一）教学流程（二）具体过程1.创设情境，建构定义【思考1】 图中物理量的比较？通过让学生继续举例既有大小又有方向的的物理量，引出向量概念：既有大小，又有方向的量叫做向量。
创设情境建构定义练习：判断下列说法是否正确:1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量。
（错误,因为温度没有方向）2.坐标平面上的x轴和y轴是向量。
（错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小）【问题2】辨析有向线段和向量两个既有联系又有区别的量。
【问题3】类比数量中地位特殊的数有0，1，尝试思考：向量中有特殊地位的向量是哪两个？那刻画它们的角度在哪？【问题4】单位向量唯一吗? 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?4.探究互动，引出关系【问题1】之前用“大小”代数角度给出了向量的三个衍生概念，现在利用“方向”几何中角度，尝试给出向量平行的含义。
【问题2】之前从向量方向的角度给出了向量间平行的关系，进一步，在之前研究角度上加上“大小”，尝试给出向量相等的含义。
解：相等向量: 长度相等且方向相同的向量【问题3】学生探究画图：尽可能多样的向量平行关系。
【问题4】类比相等向量含义。
尝试给出相反向量含义。
解：相反向量: 长度相等且方向相反的向量5.练习巩固，交流互动【例1】判断下面的说法是否正确.(1) 若a与b都是单位向量，则||||. （√）a ba b，则a与b的方向相同. （×）(2) 若//(3 物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. （×）(4 若||0AB≠，则AB BA=. （×）【例2】如图，设ABCO是平行四边形形，角BCO=60°，问：（1），相等吗？（2）图中与向量模相等有哪些？（3）与向量共线的向量是？6. 课堂小结，作业布置1.学生交流学习体会、收获、感受：（1）了解向量的实际背景，能举出物理中的例子（2）向量的定义、表示、概念、关系（一个定义，两种表示，三个概念，四种关系）（3）从数量到向量，感悟类比思维认知过程。
2018学年高中数学人教B版必修4课件：2-1-5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 精品
向量共线问题
[探究共研型]
探究1 已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否 共线？
【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a＝ λb即可.
若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n). ∵m，n不共线，∴6－λ＝8λ3＝，4. ∵不存在λ同时满足此方程组，∴a与b不共线.
【解】
(1)根据向量求和的多边形法则，有
→ AD
＝ A→B ＋ B→C ＋
→ CD
＝(e＋2f
)＋
(－4e－f )＋(－5e－3f )＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f ＝－8e－2f .
(2)证明：因为A→D＝－8e－2f ＝2(－4e－f )＝2B→C，即A→D＝2B→C.
所以A→D∥ B→C，且A→D的长度为B→C 的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD
【自主解答】 (1)∵AC＝5， ∴c－(－4)＝5，∴c＝1. (2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6， 即d＋2＝6或d＋2＝－6， ∴d＝4或d＝－8.
(3)因为C→D＝C→A＋A→D＝－A→C＋A→D， 而A→C＝－3AD， 所以C→D＝－(－3A→D)＋A→D＝4A→D，所以3C→D＝12A→D， 又－4A→C＝－4×(－3A→D)＝12A→D， 故3C→D＝－4A→C.
4.向量 A→B 的坐标常用AB表示，则 A→B ＝ABe. A→B 表示向量，而AB表示数量，且 有AB＋BA＝0.
5.轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB ＝ x2－x1 ，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
6.数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则 |AB|＝ |x2－x1| .
【数学】2.1《向量的概念及表示》课件(苏教版必修4)
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量
A
D
记作： DC AB
C
我们把与a 长度相等，方向相反的 相反向量的定义： 向量叫做a 的相反向量. 记做： a -
B
a
c
c = -a
b
- ( - a) = ？
a = -c
共有14种不同的向量
（ AB除外）
B
(1)共有7个向量与AB相等 (2)共有15个向量与AB共线
A
P57练习2.在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合；
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。 正确的有：（4）
A
B
（3）虽然OA // BC，且| OA|=|BC |， 但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB ， 分别以图中的格点为起点和终点作向量， （1）其中与 AB 相等的向量有多少个？ （2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？
重性， 不能比较大小。
二、向量的表示方法
（1）几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ 大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
（2）字母表示： a b c
d ….
大小记为┃a┃
（3）模的概念： 向量 AB 的大小即向量 AB 的长度也为向量 的模. 记作：|
高中数学人教B版必修4 向量的概念
2．1.1向量的概念(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？(2)向量的相关概念有哪些？[新知初探]1．向量的概念及表示印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头2．与向量有关的概念长度等于0的向量规定：零向量与任意向量都平行共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量AB 与向量BA 是相等向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案：B3．下列结论中正确的是( ) ①由a ＝b 可知a ∥b 且|a |＝|b |； ②由a ＝b 不能得到a ∥b 且|a |＝|b |； ③a 与b 方向相同且|a |＝|b |等价于a ＝b ； ④由a 与b 方向相反或|a |＝|b |可知a ＝b . A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①③④ 答案：A4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有______．答案：AB ，DC[典例] 给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形ABCD 中，一定有AB ―→＝DC ―→； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．[解析] 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O 时，终点都在以O 为圆心，1为半径的圆上，故②正确．③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.[答案]②③④有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC 如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，EA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|. 3．向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为( ) A ．向量AC 与向量AB 一定同向B ．向量AC ，向量AB ，向量AC 一定共线 C ．向量AC 与向量BC 一定相等D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ，BC ，AC 这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE 平行的向量有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE 平行的向量有BE ，FD ，FC ，共3个． 5．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO ，BO 分别是与a ，b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A ．AO ＝BOB ． AO ＝BO 或AO ＝－BOC ．AO ＝1D ．|AO |＝|BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故AO 与BO 无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又AO 与BO 均为模为1的向量．∴|AO |＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB |＝1，|AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC |＝________. 解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC |＝ 3. 答案： 37.如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为22的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其中一个正方形中，与AC 平行且长度为22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列命题正确的是()A．若|a|＜|b|，则a＜bB．若a≠b，则|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线解析：选C因为向量不能比较大小，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C．BD的模为DA模的3倍D．CB与DA不共线解析：选D A项，由相等向量的定义知，与AB相等的向量只有DC，故A正确；B 项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与AB的模相等的向量除AB外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝32DA，所以BD＝3DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以CB与DA共线，故D项错误，选D.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD .答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD 7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量． 解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ； 与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，|AB |＝1.解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有 |AB 1|2＝|OA |2＋|OB 1|2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1， 即|AB 1|＝1.同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，|AB 2|＝1. 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2时，|AB |＝1.。
向量的几何表示和相等向量与共线向量PPT
)
C
D. 3
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
A B B
当b ≠ 0时成立。
A
练习:
• (1)画两个长度为2,方向向东南的相等向 量 • (2)画一个长度为3,方向向北的向量AB 再画一个长度为3,方向向南的向量CD • (3)画一个长度为1,方向向北的向量 a 再画一个长度为3,方向向北的向量 b
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.1.2-3《向量的几何表示 和相等向量与共线向量》
教学目标
• 掌握向量的表示方法、相等向量、共线 向量等概念；并会区分平行向量、相等 向量和共线向量. • 通过对向量的学习，使学生初步认识现 实生活中的向量和数量的本质区别. • 通过学生对向量与数量的识别能力的训 练，培养学生认识客观事物的数学本质 的能力. • 教学重点：理解并掌握相等向量、共线 向量的概念， • 教学难点：平行向量、相等向量和共线
B D C F E M
BAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK
四、小结：
本 节 内 容
向量的概念；
向量的表示方法； 向量的模, 零向量、单位向量； 平行向量、共线向量、相等向量。
五、作业：
课本77页 课本78页 练习第3题 习题第6题
(× )
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
高一数学必修4课件：2-2-3向量数乘运算及其几何意义
→ → 1→ PN ，则选项A，C，D不正确，很明显MP ＝ 2 MN ，则选项B正 确．
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
4．向量的线性运算
加、减、数乘 向量的________________运算统称为向量的线性运算，
对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a± 2b)＝ μ λμ1a± 2b. λμ
第二章
2.2
2.2.3
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已知非零向量a，b满足a＝4b，则( A．|a|＝|b| C．a与b的方向相同 B．4|a|＝|b|
)
D．a与b的方向相反
[答案] C
第二章
2.2
2.2.3
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[解析]
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
第二章
2.2
2.2.3
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定义 长度 方 向 λ>0 λ＝0 λ<0
向量 一般地，实数λ与向量a的积是一个____，
这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向______ 相同 λa＝0 λa的方向与a的方向_____ 相反
第二章
第二章 平面向量
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.2
2.2.3
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课前自主预习
第二章
2.2
2.2.3
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高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4
1 AB 2 AC.
所以6λ1+λ32= 1 .
答案: 1
2
2
第十四页，共46页。
【备选训练】已知G为△ABC的重心(zhòngAxīBn),a,设AC b. 试用基底a,b表示向量 AG(仿. 照教材P94例1的解析过程)
第十五页，共46页。
【解析】连接(liánjiē)AG并延长,交BC于点D,则D为BC的
的夹角为
答案:120°
第十二页，共46页。
4.设D,E分别(fēnbié)是△ABC的边AB,BC上AD的点1 A,B，
2
BE 2 BC，若
3
DE 1AB 2 AC (λ1,λ2为实数),则
λ1+λ2的值为________.
第十三页，共46页。
【解析( jiě xī)】D易E知 1 AB 2 BC 1 AB 2 AC AB 23 23
3
故AG AB BG AB 2 BF a 2 (b 1 a)
3
32
a 2 b 1 a 2 a 2 b. 3333
第三十二页，共46页。
2.若本例中的基向量 “AB, AD”换为“CE，C即F”若 CE a,CF b试, 用(shìyòng)a,b表示D向E,量BF. 【解析】
第十七页，共46页。
2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数 λ1,λ2的值是否相同? 提示(tíshì):不相同,根据平面向量基本定理 a=λ1e1+λ2e2,向量e1,e2改变时,λ1,λ2的值也变化.
第十八页，共46页。
【拓展延伸】平面向量基本定理的实质 这个(zhè ge)定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿 两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解 是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平 面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的 所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R) 就是平面内的全体向量.
高中数学人教B版必修四课件：2 1 1 向量的概念
要点二 向量的表示 例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆 规画出下列向量：
2．1.1 向量的概念
17
要点二 向量的表示 例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆 规画出下列向量：
(1)O→A，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°； 解 由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A|＝4 2，小方格边 长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数 与纵向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以 确定，画出向量O→A如图所示．
答案 ④⑤
规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白 它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是 解决与向量概念有关问题的关键．
跟踪演练1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量A→B与C→D是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一直
解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．
1234
4．在四边形 ABCD 中，A→B∥C→D且|A→B|≠|C→D|，则四边形 ABCD
的形状是__梯__形____．
解析 ∵A→B∥C→D且|A→B|≠|C→D|，
∴AB∥DC，但 AB≠DC，∴四边形 ABCD 是梯形．
课堂小结
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特 征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转 化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形 结合的桥梁作用． 2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量 所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．
2.1.3相等向量与共线向量 优秀课件(人教A版必修4)
（1）与向量O→A长度相等的向量有多少个？
11
（2）是否存在与向量O→A长度相等，方向相反的向量？
→ FE
（3）与向量O→A共线的向量有哪些？
F→E、C→B、D→O
例3：给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相ห้องสมุดไป่ตู้；
⑵若
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各
顶点；AB = DC
通过对向量的学习，初步认识现实生活 中的向量和数量的本质区别.
情感态度与价值观
培养认识客观事物的数学本质的能力.
教学重难点
重点：
理解并掌握相等向量、共线向量的概念.
难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量 叫相等向量.
如图：
a
b
说明：
（1）向量 a与 b相等，记作 a = b；
（1）与向量E→D相等的相等有
→→ AB , DC ；
（
2
）
若
︱
→ AB
︱
=3
，
则
向
量
︱
→ EC
︱
的
模
等
于
6
.
A
B
E
D
C
教材习题答案
B
1.
AB = 18N
A
CD = 28N
C
D
2. AB , BA .
这两个向量的长度相等，但他们不等.
3、 AB = 4, CD = 5, EF = 6, GH = 4 2 .
（2）与任何向量都平行的向量是零向量.
（3）a与b 是方向相同的非零向量，是 a∥b 的充
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向量Байду номын сангаас与b相等记作a=b.
思考3：用有向线段表示非零向量 AB 和 CD，如果 AB CD ，那么A、B、C、 D四点的位置关系有哪几种可能情形？
A B C D
C
A
D
B
思考4：对于非零向量 AB 和 CD ，如 果 ，通过平移使起点A与C重合， AB 那么终点B与D的位置关系如何？
B A D C
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量
问题提出
1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 联系：向量与数量都是有大小的量； 区别：向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示，也可以用字 母符号表示.
2.什么叫向量的模？零向量和单位 向量分别是什么概念？ 向量的模：表示向量的有向线段的长度. 零向量：模为0的向量. 单位向量：模为1个单位长度的向量. 3.引进向量概念后，我们就要建立 相关的理论体系，为了研究的需要，我 们必须对向量中的某些现象作出合理的 约定或解释，特别是两个向量的相互关 系.对此，我们将作些研究.
思考5：非零向量 AB 与 BA 称为相反向 量，一般地，如何定义相反向量？ 长度相等且方向相反的向量叫做 相反向量.
思考6：如果非零向量 AB 与 CD 是相反 向量，通过平移使起点A与C重合，那么 终点B与D的位置关系如何？
A B C
D
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 方向相同或相反 思考2：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么 平行向量所在的直线一定互相平行吗？ 思考3：零向量0与向量a平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行.
D B F C
E
小结作业
1.相等向量与相反向量是并列概念，平 行向量与共线向量是同一概念，相等向 量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段表示，并且与有向线段的 起点无关.
3.向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不同的概念，平行向量 （共线向量）对应的有向线段既可以平 行也可以共线.
思考7：对于向量a、b、c，若a // b， b // c，那么a // c吗？
思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？
理论迁移
例1 判断下列命题是否正确： （1）若两个单位向量共线，则这两个向 量相等； （× ） （2）不相等的两个向量一定不共线； （× ） （3）在四边形ABCD中，若向量与共线， 则该四边形是梯形； （ ×） （4）对于不同三点O、A、B，向量与一 定不共线. （ ×）
例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的 中心，分别写出与OA 、 相等的向量. OB
B A
OA CB DO EF OB DC EO FA
C
O
F E
D
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分 别是AB、BC、CA边上的点，已知 , 求DE AF AD DB DF BE 证： . A
4.平行向量不具有传递性，但非零平行 向量和相等向量都具有传递性.
探究（一）：相等向量与相反向量
思考1：向量由其模和方向所确定.对于 两个向量a、b，就其模等与不等，方向 同与不同而言，有哪几种可能情形？
模相等，方向相同；
模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；
思考2：两个向量不能比较大小，只有 “相等”与“不相等”的区别，你认为 如何规定两个向量相等？ 长度相等且方向相同的向 量叫做相等向量.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和 方向.如图，设a、b、c是一组平行向量， 任作一条与向量a所在直线平行的直线l， OA 在l上任取一点O，分别作 =a， =b， =c，那么点A、B、C的位置关系如何？ OB OC
a b c B O C A l
思考5：上述分析表明，任一组平行向 量都可以移动到同一直线上，因此，平 行向量也叫做共线向量.如果非零向量 AB 与 CD 是共线向量，那么点A、B、 C、D是否一定共线？ 思考6：若向量a与b平行（或共线），则 向量a与b相等或相反吗？反之，若向量 a与b相等或相反，则向量a与b平行（或 共线）吗？