简论中国古代数学中的“黄金分割率”
中国古建筑中的数理观念
中国古建筑中的数理观念
中国古建筑中的数理观念是指在设计和布局过程中运用数学和几何原理的一种理论体系。
这些观念源于古代中国人对宇宙和自然的观察和理解，通过将宇宙的秩序和规律应用于建筑设计中，创造出和谐、平衡、美观的建筑作品。
在中国古建筑中，数理观念主要体现在以下几个方面：
1. 九宫格：九宫格是一种运用了数学原理的布局方式。
古代建筑师将建筑平面图按照九宫格的形式进行划分，以达到平衡、和谐的效果。
2. 黄金分割：黄金分割是一种比例关系，古代建筑师在设计中常用黄金分割比例来确定柱子的高度、门窗的位置等，以使建筑物具有美感和平衡感。
3. 对称布局：古代建筑中常采用对称布局，以展现建筑物的庄重和谐。
对称布局可以通过水平对称、垂直对称或轴对称等方式来实现。
4. 空间比例：古代建筑注重空间比例的协调和统一。
建筑师通过合理的比例关系，使内外空间相互呼应，达到良好的视觉效果和使用效果。
5. 阴阳五行：古代中国人认为宇宙万物都受到阴阳和五行的影响，这种观念也被运用到建筑设计中。
建筑师会根据建筑的功能和所处环境，选择适宜的阴阳五行元素，以增加建筑物的气场和能量。
总之，中国古建筑中的数理观念是古代建筑师智慧和经验的结晶，
通过运用数学和几何原理，创造出具有和谐、平衡、美感的建筑作品。
这些观念不仅体现了中国古代人对自然规律的认知，也体现了他们对建筑艺术追求完美的态度。
黄金分割的数值序列
黄金分割的数值序列1.引言1.1 概述黄金分割是一个在数学、艺术和自然界中广泛存在的重要概念。
它由一个特殊的比率表示，即1：1.618（约等于1：0.618）。
这个比率在古希腊数学家斐波那契的研究中首次被提出，并且得名于他。
黄金分割在人类社会中的应用非常广泛。
它被广泛运用在建筑设计、绘画、音乐、金融和自然科学等领域。
人们将黄金分割认为是一种理想的、美学上令人愉悦的比例关系。
它被广泛视为一种对称、和谐和美丽的标志。
在自然界中，黄金分割也以奇妙的方式展现出来。
例如，许多植物的枝干和叶子分布呈现出黄金分割的比例。
动物的身体特征，如蜜蜂的身体分段和海螺的螺旋壳，也展现出黄金分割的特征。
黄金分割的数值序列也是一个非常有趣的话题。
数值序列是通过连续地进行黄金分割运算得到的。
它的特征是前后两个数的比值趋近于黄金分割比率。
这个序列以斐波那契数列闻名，它以斐波那契的名字命名，因为他早在13世纪就对这个序列进行了深入研究。
黄金分割的数值序列不仅仅是数学的一个概念，它还具有广泛的应用价值。
在金融领域，许多投资者和交易员使用黄金分割来预测股票、外汇和商品市场的趋势。
在艺术领域，许多画家和设计师运用黄金分割来构图和安排元素。
总之，黄金分割的概念和数值序列的特征对于我们理解数学、艺术和自然界的美妙之处具有重要意义。
在本文中，我们将深入探讨黄金分割的定义、历史背景、数值序列特征以及其在应用领域的意义与前景。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对黄金分割有更深入的理解和欣赏。
1.2文章结构文章结构在本篇文章中，将会对黄金分割的数值序列进行深入的探讨和研究。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对黄金分割进行概述，介绍其基本概念和历史背景。
同时，文章的结构也将在这部分得到明确的交代，以便读者能够更好地理解文章的整体思路和框架。
此外，我们还将明确本篇论文的目的，即要探究黄金分割数值序列的特征和其在实际应用中的意义。
接下来是正文部分，正文部分分为两个小节。
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
华罗庚黄金分割率
华罗庚黄金分割率
华罗庚黄金分割率是指数学家华罗庚提出的一种比例关系，与黄金分割比例有关。
黄金分割比例是指一条线段分成两段的比例，使得整条线段与较短线段之比等于较短线段与较长线段之比。
黄金分割比例约为1.6180339887。
华罗庚进一步提出了一个黄金分割率的概念，即将黄金分割比例应用于几何和数学问题中。
他认为黄金分割率具有美学和和谐的特性，因此可以用于设计、艺术和建筑等领域。
华罗庚黄金分割率在几何学中的应用非常广泛，例如在矩形、正五边形、正六边形等形状中，可以通过黄金分割率来构造具有美学和谐感的比例关系。
此外，黄金分割率还与斐波那契数列（Fibonacci sequence）有关，斐波那契数列的每一项都是前两项之和，近似接近黄金分割比例。
需要注意的是，华罗庚黄金分割率是一种理论概念，其应用范围在艺术、设计和数学等领域。
在实际应用中，具体的比例关系可能会因具体问题和需求而有所变化。
黄金分割比乐乐课堂
黄金分割比乐乐课堂公式比值最早是在公元前五世纪古希腊的毕达哥斯拉学派研究正五边形和正十变形时发现。
更重要的是在黄金比例是中国古代数学家独立创造的，后来传到了印度，由传到了欧洲，但是有最早的准确记载是在欧洲。
黄金分割的比值是：（√5-1）/2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
虽然黄金分割比是数学中发现的，但是在后期研究时发现很多有名的雕塑、绘画、设计它们中间都存在这0.618这个黄金比例。
黄金分割构图法科学系统地融入在绘画作品中,使画面精彩绝伦,让观者唏嘘不已。
音乐上的应用在弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
绘画上的应用再后来画家发现人类的身材按照0.618：1来设计腿长与身高的比例来绘制人物是最美的，但是不幸的是我们现代人类的比例只有0.58:1，所以我们所熟知的古希腊雕塑都是雕塑家主观创作。
建筑上的应用不仅在绘画领域里，在建筑领域里也经常出现1:0.618比例，我们所熟知的金字塔、巴黎圣母院和埃菲尔铁塔都有这个黄金比例。
在植物上的应用很多叶子两片夹角也是黄金比例，在这个角度中通风效果和日晒效果是最优质的，自然界也隐藏着0.618的比例。
作息制度上的应用我们现在的作息制度是一周两天休息，但是根据黄金比例的计算一周最佳工作时间是四天半，这一作息时间联合国已经使用，在全国政协委员张晓梅2009年全国两会期间在其博客里挂出拟提交的提案——采取每周四天半制度。
医学上的应用黄金比例可以解释人为什么在在环境22至24℃时感觉最舒适。
因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。
同时科学家也发现当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。
人在吃饭时吃六七成饱是最健康的生活方式。
在股市上的应用如果上面的内容让你很吃惊接下来这条会让你更加吃惊0.382和0.618是反映了股市变化的重要转折点，当股价上升时，可按黄金率算出上升的空间价位。
黄金分割率
中外历代雕塑更能说明问题。古希腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长,到后期又确定为8个头长。同时,几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。如希腊雕塑的典范作品《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例关系的探索和应用。
一、黄金分割法的由来
据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有关。后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“结构锁定“0.618”
成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。经过研究发现，蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在他的五排制阵型中，重骑兵和轻骑兵为2∶ 3，人盔马甲的重骑兵为2，快捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。
中国数学 黄金比例
中国数学黄金比例中国数学黄金比例是指黄金分割比例在中国数学中的应用。
黄金比例是指将一条线段分为两部分，使整条线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，即(a+b)/a=a/b=φ（φ≈1.618）。
黄金比例在数学、美学和自然界中都有广泛的应用。
黄金比例最早的应用是在古希腊的建筑和艺术中，被认为是最具美学感的比例之一。
在中国，黄金比例同样在建筑、绘画和设计中得到了广泛的应用。
例如，在古代建筑中，建筑师会运用黄金比例来确定建筑物的比例和布局，使建筑物更加和谐和美观。
在绘画和设计中，黄金比例也被用来确定图像的构图和比例，使作品更具艺术感。
除了美学领域，黄金比例在数学中也有重要的地位。
它是一个无理数，可以用一个连分数无限连续分数表示。
黄金比例还有一个重要的性质，即它的平方减去自身等于1，即φ^2-φ=1。
这个性质被广泛应用在数学证明和推导中。
黄金比例还在自然界中得到了广泛的应用。
许多自然界中的事物都呈现出黄金比例的特征。
例如，植物的生长方式和分支结构往往符合黄金比例。
许多花朵的花瓣数目和排列方式也符合黄金比例。
动物的身体比例和体型也常常呈现黄金比例的特征。
这些现象表明，黄金比例不仅仅是数学上的概念，也是自然界中普遍存在的规律。
黄金比例的应用不仅仅局限于数学、美学和自然界，它还有许多实际的应用价值。
在金融学中，黄金比例被用来分析股票价格的波动和趋势，以便做出投资决策。
在计算机图形学中，黄金比例被用来设计用户界面和网页布局，使其更加美观和易于使用。
在市场营销中，黄金比例被用来设计广告和产品包装，吸引消费者的注意力。
在体育竞技中，黄金比例被用来优化运动员的训练计划和技术指导，提高其竞技水平。
中国数学黄金比例是一个在数学、美学和自然界中广泛应用的概念。
它不仅仅是一个数学比例，更是一种美学和自然界的规律。
黄金比例的应用不仅仅局限于理论领域，它还有许多实际的应用价值。
通过运用黄金比例，我们可以创造出更加美观、和谐和优雅的作品，也可以优化我们的生活和工作。
黄金比的历史知识
黄金比的历史知识黄金比，又称黄金分割，是一种被广泛运用于美学和艺术领域的比例关系。
它由一个数学常数表示，约等于 1.618。
这个数被称为黄金比数，也被称为费波那契数。
黄金比的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的作品中。
在他的著作《几何原本》中，他详细介绍了黄金比的性质和应用。
黄金比被广泛运用于建筑、绘画、音乐和设计等领域，被认为是一种具有美感和和谐的比例关系。
在建筑中，黄金比经常被用来决定建筑物的尺寸和比例。
许多古代建筑物，如古希腊的巴特农神庙和埃及的金字塔，都使用了黄金比来创建视觉上的和谐。
黄金比的比例被认为是最令人愉悦和美观的比例，能够给人一种舒适和平衡的感觉。
在绘画和摄影领域，黄金比也被广泛运用。
艺术家经常使用黄金比来决定画布的布局和物体的位置。
通过将关键元素放置在黄金比的位置，可以创造出令人愉悦和吸引人的画面。
许多著名的艺术品，如达·芬奇的《蒙娜丽莎》和毕加索的《基督的受难》，都使用了黄金比来构图。
音乐中也有黄金比的应用。
许多作曲家使用黄金比来决定乐曲的结构和节奏。
黄金比的比例被认为是一种能够引起人们情感共鸣的音乐形式。
著名的作曲家巴赫和贝多芬等人都曾在他们的作品中使用黄金比。
黄金比的应用还可以在设计和广告中看到。
很多设计师使用黄金比来布局网页、海报和广告等。
通过使用黄金比，可以创造出令人愉悦和吸引人的设计作品。
黄金比在美学和艺术领域中起着重要的作用。
它被广泛运用于建筑、绘画、音乐和设计等领域，创造出令人愉悦和和谐的作品。
黄金比的比例关系被认为是一种具有美感和吸引力的比例，能够给人一种舒适和平衡的感觉。
无论是古代还是现代，黄金比都是一个深受人们喜爱和追求的数学概念。
黄金分割的历史
2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分 割。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对 于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的 方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比 2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过 阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪 欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算 法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方 法。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它 是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例 算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊 传入的。
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黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金 分割具有严格的比例性,艺术性,和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的 肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分 割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618„；有些植茎上，两张相 邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618„的两条半 径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618„特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是 巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618„ 有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题， 大多在画面的0.618„处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 0.618„处，能使琴声更加柔和甜美。
黄金分割比的历史和数学解释
黄金分割比的历史与数学解释一、历史背景黄金分割比是一个古老的数学概念，可以追溯到古希腊时期。
当时，哲学家和数学家毕达哥拉斯学派发现，当一个矩形的长宽比为1:1.618时，这个矩形看起来非常和谐和平衡。
这一比例被认为是美学和艺术的理想比例，被广泛应用于建筑、艺术和设计等领域。
二、定义与公式黄金分割比的定义是，较长的线段与较短线段之比等于较短线段与整体线段之比。
用数学公式表示为：较长的线段/较短的线段= 较短的线段/整体线段。
简化后得到公式：(√5 - 1)/2，近似值为1:1.618。
三、数学性质黄金分割比具有一些特殊的数学性质。
首先，它是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。
其次，它具有递归性质，可以用来构造几何图形和斐波那契数列等复杂的数学结构。
此外，黄金分割比还是一种自相似性结构，可以无限细分下去，从而产生更加复杂和丰富的图案和模式。
四、应用领域黄金分割比在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计领域，许多著名的建筑都采用了黄金分割比来设计，如帕台农神庙、法国的凡尔赛宫等。
在艺术领域，黄金分割比被广泛应用于绘画、雕塑和摄影等艺术形式中，被认为是美学和艺术的理想比例。
在音乐领域，黄金分割比也被用于作曲和音乐理论中，被认为是音乐和谐的比例。
五、文化影响黄金分割比作为一种美学和艺术的理想比例，对人类文化和艺术产生了深远的影响。
它被认为是自然界中普遍存在的比例，如蝴蝶的翅膀、向日葵的花瓣等都呈现出黄金分割比的特点。
在人类文化和艺术中，黄金分割比也常常被用来表现和谐、平衡和美感，成为了许多经典作品的重要组成部分。
总结起来，黄金分割比是一种古老而神奇的数学概念，具有丰富的历史背景和数学性质。
它在各个领域都有广泛的应用，被认为是美学和艺术的理想比例。
同时，黄金分割比也对人类文化和艺术产生了深远的影响，成为了许多经典作品的重要组成部分。
古代数学试题及答案
古代数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 古代中国数学家祖冲之对圆周率的计算精度达到了多少位小数？A. 3位B. 5位C. 7位D. 9位2. 以下哪个不是古代数学家？A. 阿基米德B. 欧几里得C. 毕达哥拉斯D. 牛顿3. 古代数学中，勾股定理最早由哪位数学家提出？A. 欧几里得B. 毕达哥拉斯C. 祖冲之D. 阿基米德4. 以下哪个是古代数学中常用的计算工具？A. 算盘B. 计算器C. 计算机D. 算筹5. 古代数学中，以下哪个是解决实际问题的重要数学分支？A. 代数学B. 几何学C. 统计学D. 概率论二、填空题（每题2分，共10分）6. 古代数学家_________发明了“割圆术”，对圆周率的计算做出了巨大贡献。
7. 古代数学中，_________是研究平面图形的数学分支。
8. 古代数学家_________提出了“黄金分割”的概念。
9. 古代数学中，_________是研究数的运算和关系的数学分支。
10. 古代数学家_________的《几何原本》对后世影响深远。
三、简答题（每题5分，共10分）11. 请简述古代数学家阿基米德的主要贡献。
12. 请简述古代中国数学家刘徽的《九章算术》的主要特点。
四、计算题（每题5分，共10分）13. 假设有一个直角三角形，其直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
14. 假设有一个正方形，其边长为5，求其对角线的长度。
五、论述题（每题10分，共20分）15. 论述古代数学在现代数学发展中的影响。
16. 论述古代数学与现代数学在解决问题方法上的异同。
答案：一、选择题1. D2. D3. B4. A5. B二、填空题6. 祖冲之7. 几何学8. 毕达哥拉斯9. 代数学 10. 欧几里得三、简答题11. 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家和工程师，他的主要贡献包括浮力原理、杠杆原理、圆周率的精确计算方法等。
12. 刘徽的《九章算术》是中国最早的数学专著之一，主要特点包括系统性地介绍了古代数学的计算方法和理论，如勾股定理、方程求解等。
数学中的美——黄金分割
数学中的美——黄金分割黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。
让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。
一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。
古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图，将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：AB ≈0.618（精确值为215-），P 为AB 的黄金分割点。
数学家把这个的数（0.618）叫做“黄金数”。
黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。
古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于0.618时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是0.618；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。
保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。
文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。
达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。
神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是0.618。
黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。
着名的巴黎圣母院就是杰出的代表。
它整个结构是按着黄金分割来建造的。
17世纪欧洲着名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。
”二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊喜不已。
1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接近黄金比。
因此，阴影部分的扇形就是黄金扇形，如果以135°为圆心角做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。
黄金分割比
黄金分割比1比0.618，科学家把它称作为“黄金分割比”。
凡用这个比例构筑的几何图形横看竖看都是最美的，例如意大利著名画家达•芬奇笔下的《蒙娜丽莎》越看越美，原来她的脸型符合黄金矩形，他的画作《威鲁特人》同样也包含着0.618的身影……人们后来才知道，这种美感的产生，是因为“黄金分割比”与大脑中的α波产生了共振。
（图片1-2）1-达•芬奇的作品《蒙娜丽莎》包含着黄金分割 2-达·芬奇的作品《威鲁特人》包含着黄金分割1.618是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前（公元前432年）发现的，古往今来一直被奉为科学和美学的金科玉律。
美国数学家基弗于1953年首先提出“黄金分割律”，然后，上世纪70年代，中国数学家华罗庚在中国进行了推广。
0.618是一个美丽而神秘的数字，它始终与艺术、建筑、军事、自然界、社会生活等有着不解之缘。
（图片3-4）3-古希腊的帕特农神庙包含着黄金分割 4-故宫建筑包含着黄金分割例如：古希腊的帕特农神庙和中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间的关系完全符合“黄金分割比”；埃及金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线的0.618；东方明珠塔的塔身高达462.85米，设计师有意把球体选在295米之间的位置（符合0.618的数值），使塔身显得非常协调、美观；世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则设计建造的……又如，步枪改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例；枫叶的叶脉和叶子宽度的比例，蝴蝶身长和翅宽的比例也都符合“黄金分割比”；向日葵花有89个花瓣，55个朝一方，34个朝另一方，是绝对自然的0.618艺术……“黄金分割比”具有严格的科学性、比例性、艺术性与和谐性，所以蕴藏着丰富的美学价值。
不仅如此，它还具有应用性，应用时取1.618或0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样。
例如，在日常生活中，人们最舒适的环境气温为22C—24C，此时体温36C—37C与0.618的乘积恰好是22.4C—22.8C，所以，夏季的空调室温最好在23C左右，这既能使人体感到舒服又能节电。
黄金分割
黄金分割律黄金分割律是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，即0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列（特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
）1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。
气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
"0.618"还始终与军事发展有不解之缘，而且常常与战争不期而遇。
无论是古希腊帕特农神庙的美轮，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间的关系竟然完全符合1∶0.618的比例。
成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。
黄金分割率
一、黄金分割率的由来：黄金分割率 0.618033988..., 是一个充满无穷魔力的的无理数. 它不但在数学中扮演着神奇的角色,而且在建筑, 美学, 艺术、军事, 音乐, 甚至在投机领域都可以找到这个神奇数字的存在.四千年前,古埃及人把黄金分割用在大金字塔的建造上. 两千三百年前, 古希腊数学家欧几理德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算. 米开朗基罗、达.芬奇把黄金分割融会于他们的绘画与雕塑，在贝多芬, 莫扎特, 巴赫的音乐里流动着黄金分割的完美和谐。
早在古希腊人们就注意到一个“神秘”数字。
假定有一个数x ，它有如下有趣的数学关系：002=-+x x x 即：012=-+x x解这个方程，有两个解：87...1.61803398 2)15(-≈+-=x或 87...0.61803398 215≈-=x注意：这两个数的小数部分是完全相同的。
正数解被称为黄金数或黄金分割率，通常用φ表示。
这是一个无理数(小数无限不循环，没法用分数来表示)，而且是最无理的无理数。
二、黄金分割率的理论基础：在差不多二千年前希腊的数学家考虑了一个几何问题，这问题可以这样说：给出任何一个线段AB ，我们要在这上面找出一点，这一点把这线段分成长短二部份。
要求的是全线段的长和较长部份的比值是等于较长部分和较短部份的长的比值。
如果我们假设较长的部份是AC ，较短的部份是CB ，由于AB=AC+CB ，而且CB AB AC 2∙=，现在我们得到了一个代数方程，我们把这个方程化简它变成了012=-+x x （CACB =x ），解得：87...0.61803398 215≈-=x 即黄金数或黄金分割率。
三：黄金分割率的传统应用1．黄金分割率在投资中的运用：在股价预测中，根据该两组黄金比有两种黄金分割分析方法。
第一种方法：以股价近期走势中重要的峰位或底位，即重要的高点或低点为计算测量未来走势的基础，当股价上涨时，以底位股价为基数，跌幅在达到某一黄金比时较可能受到支撑。
简论中国古代数学中的“黄金分割率”
简论中国古代数学中的“黄金分割率”黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德等都曾深入研究过黄金分割问题。
中世纪时,这一数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而获得许多新的性质。
在西方数学传入中国之前,中国人不曾直接论述黄金分割问题。
但是,中国古代数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达方式有所不同。
中国古代数学中的黄金分割率不像欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。
我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中国是“古已有之”。
例如,清代数学家梅文鼎(公元1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。
信古九章之义包举无方。
”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比。
他还说:“《几何原本》理分中末线,但求作之法而莫知所用。
今依法求得十二等面体及二十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。
”〔1〕按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。
应当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价值。
黄金分割
黄金分割E-mail：jiabaoyu198@ QQ:396102940 昵称：向阳花木黄金分割最早见于古希腊和古埃及。
黄金分割又称黄金率、中外比，即把一根线段分为长短不等的a、b两段，使其中长线段的比（即a+b）等于短线段b对长线段a的比，列式即为a：（a+b）=b：a，其比值为0.6180339……这种比例在造型上比较悦目，因此，0.618又被称为黄金分割率。
黄金分割长方形的本身是由一个正方形和一个黄金分割的长方形组成，你可以将这两个基本形状进行无限的分割。
由于它自身的比例能对人的视觉产生适度的刺激，他的长短比例正好符合人的视觉习惯，因此，使人感到悦目。
黄金分割被广泛地应用于建筑、设计、绘画等各方面。
在摄影技术的发展过程中，曾不同程度地借鉴并融汇了其他艺术门类的精华，黄金分割也因此成为摄影构图中最神圣的观念。
应用在摄影上最简单的方法就是按照黄金分割率0.618排列出数列2、3、5、8、13、21……并由此可得出2：3、3：5、5：8、8：13、13：21等无数组数的比，这些数的比值均为0.618的近似值，这些比值主要适用于：画面长宽比的确定（如135相机的底片幅面24mmX36mm就是由黄金比得来的）、地平线位置的选择、光影色调的分配、画面空间的分割以及画面视觉中心的确立。
摄影构图通常运用的三分法（又称井字形分割法）就是黄金分割的演变，把上方形画面的长、宽各分成三等分，整个画面承井字形分割，井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心）的最佳位置，是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点。
摄影构图的许多基本规律是在黄金分割基础上演变而来的。
但值得提醒的是，每幅照片无需也不可能完全按照黄金分割去构图。
千篇一律会使人感到单调和乏味。
关于黄金分割，重要的是掌握它的规律后加以灵活运用。
简论中国古代数学中的“黄金分割率”
简论中国古代数学中的“黄金分割率”黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德等都曾深入研究过黄金分割问题。
中世纪时,这一数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而获得许多新的性质。
在西方数学传入中国之前,中国人不曾直接论述黄金分割问题。
但是,中国古代数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达方式有所不同。
中国古代数学中的黄金分割率不像欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。
我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中国是“古已有之”。
例如,清代数学家梅文鼎(公元1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。
信古九章之义包举无方。
”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比。
他还说:“《几何原本》理分中末线,但求作之法而莫知所用。
今依法求得十二等面体及二十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。
”〔1〕按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。
应当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价值。
华罗庚与黄金分割
知识链接：华罗庚先生和优选法
优化问题是人们经常要遇到的问题，例如，我们出门旅行就要考虑选择怎样的 路线和交通工具，才能使旅行所需费用最少或者所花的时间最短；又如著名的邮 递员送信最短路线问题。在经济建设、工农业生产、交通运输、军事国防等各行 各业都会面临优化的问题。 华罗庚爷爷是我国著名的数学家，他就是在研究泡茶、烙饼等问题中，最早在 我国提出了数学中的“优选法”理论——宣传推广“合理安排”的思想和方法， 为人们节约资源，提高效率作出了巨大贡献。，现在这些思想已经形成了数学中 一门应用性很强的分支──运筹学。 华罗庚爷爷是我国著名的数学家，他先后被选为美国科学院外籍院士，第三世 界科学院士，法国南锡大学、美国伊利诺大学、香港中文大学荣誉博士，联邦德 国巴伐利亚科学院院士。他的名字已载入国际著名科学家的史册。华罗庚同志是 我国最早把数学理论研究和生产实践紧密结合作出巨大贡献的科学家。1960年华 罗庚的《运筹学》论文发表，他把数学方法创造性地应用于国民经济领域，筛选 出以改进生产工艺和提高质量为内容的“优选法”和处理生产组织与管理问题为 内容的“统筹法”〈简称“双法”〉。
华罗庚爷爷是我国著名的数学家他就是在研究泡茶烙饼等问题中最早在我国提出了数学中的优选法理论宣传推广合理安排的思想和方法为人们节约资源提高效率作出了巨大贡献
知识链接：黄金分割
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较 小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引 起美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割最早记录在公元前6世纪，关于黄金分割比例的起源大多认 为来自毕达哥拉斯学派。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系 统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年左右欧几里得吸收了 欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，其《几何
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简论中国古代数学中的“黄金分割率”黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德等都曾深入研究过黄金分割问题。
中世纪时,这一数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而获得许多新的性质。
在西方数学传入中国之前,中国人不曾直接论述黄金分割问题。
但是,中国古代数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达方式有所不同。
中国古代数学中的黄金分割率不像欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。
我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中国是“古已有之”。
例如,清代数学家梅文鼎(公元1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。
信古九章之义包举无方。
”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比。
他还说:“《几何原本》理分中末线,但求作之法而莫知所用。
今依法求得十二等面体及二十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。
”〔1〕按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。
应当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价值。
欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的矩形的面积等于另一小线段上的正方形的面积。
”这里,欧氏几何学给黄金分割的证明结果上升到定理的高度。
关于这一点,梅文鼎本人也慨叹,中国古代数学家没有从勾股术中看出黄金分割率是非常可惜的。
2 “河图”、“洛书”与黄金分割率从数学上说,河图洛书是一种古老的数字组合方式,也是中国古代数学的源头。
其中也隐含着黄金分割率。
清代著名学者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）年) 在《河洛精蕴》中已经指出河图中的黄金分割率(他称之为“神分线”) 。
他将河图中宫十数为股,五数为勾,然后各自自乘,再开方得弦,即:52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦较)10 (股) - 6. 18 (勾弦较) = 3. 819这样,以16. 18 (勾弦和) 为长,则,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618其中,16. 18 (勾弦长) ×6. 18 (勾弦较) = 99. 9910 (股) ×10 (股) = 100若,以10 (股) 为长,则3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19如是,江永说:“八线表半径用全数如十,则勾弦较六一八O 三三九,即十边三十六度之通弦。
其列率即《洛书》三率连比例之理。
其所得十边通弦之数,实生于五与十,而五十即《河图》之中宫,至平中有至奇焉。
西人秘惜其法,谓此线为神分线,岂知神奇即在目前哉”〔2〕?这里,我们看到,从河图演算出的黄金分割率是与数“五”与“十”密切相关的。
在河图中,“五”与“十”两数具有特殊的意义。
河图由一、二、三、四、五、六、七、八、九、十共十个数字组成,其中一、二、三、四、五称为生数,六、七、八、九、十称为成数。
十个数相加为55 ,被古人称为“天地之数”。
《周易·系辞传》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。
天数五,地数五,五位相得,而各有合,天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有五,此所以成变化而行鬼神也。
”其实,“五十”之为“天地之数”,并非它能行鬼神之变化,这当中反映出上古先民所创造的十进制的计数方法,而十以内的任何数字都可以运用四则运算法加以计算。
也就是说,任何一个数的平方都可以用这种简单的加法求出来,利用它的逆运算,任何一个数的开方也可以用简单的减法求出来。
《周易·系辞传》曰:“大衍之数五十,其用四十有九。
”《周髀算经》解释说:“禹治洪水,始广用勾股弦,故称其为大衍数。
”可见,运用勾股定理对“天地之数”或“大衍之数”“五”与“十”进行简单的运算即可求出其中蕴含的黄金分割率。
这说明,黄金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表现在线段和图形之比例关系当中,也可以表现在非常简单的数字关系中。
至于洛书,它与黄金分割率也有联系。
由洛书演化的“九宫图”,如果将其与斐波那契数列相联系,亦可找到其中的内在联系。
有趣的是,生活在与贾宪年代相差不远的哲学家程颐在其《易程传》中,对64 卦按所含阳爻数目的多少进行分类。
其结果正好是杨辉记录的贾宪三角形的最后一层的数据。
后人将《易程传》原文对64 卦按阳爻的数目进行组合分类的排列进行统计的时候,又发现,这个分布图与贾宪三角形十分相像。
从64 卦的分布可以直接导出一个贾宪三角形〔5〕! 这恐怕不是巧合。
联系到八卦与河图、洛书,河图、洛书与黄金分割和斐波那契数列的内在联系,我们有理由得出64 卦也与黄金分割、斐波那契数列有内在联系的结论,由此还可看出,黄金分割率决不只是单纯的几何学问题,它也广泛地蕴含于以数值化为特征的中国古代数学中。
4 “五运六气”学说与黄金分割率我们知道,正五角星形各线段之比为黄金分割值,而中国传统医学的“五运六气”学说中实际上已经蕴含了正五角星形,因此也蕴涵了黄金分割率。
“五运六气”学说与五行思想有密切关系。
《国语·郑语》曰:“先王以土与金木水火杂,以成百物。
” 《尚书·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四曰金,五曰土。
”后来“五行”与“五方”联系起来,即中、东、南、西、北五方。
在这种观念中“, 土”居中,起支配作用“, 五方”并不构成五个角。
到了战国时期,五行思想有了进一步的发展,形成了以邹衍为代表的阴阳五行学说。
其相生相克的原理突破了殷人以土居中的“五方”观念,用正五边形和五角星形来形象地表示这一学说是再恰当不过的了。
5 黄赤交角与黄金分割率我国是世界上天文学发达最早的国家之一。
在天文观测实践中,古代数学获得了长足进步。
特别是投影几何学、三角函数学等测量数学在当时世界上取得领先成绩。
这其中,黄道面与赤道面交角数值的确定以及与之相关的36°角、72°角的形成皆与黄金分割率有明显的联系。
关于黄赤交角。
据史料记载,世界上最古老的星表之一———我国的《石氏星经》已经确定了赤道座标体系,而且已经知道了黄道倾角。
成书于公元前一世纪的《周髀算经》有用圭表测影并用勾股定理进行天文计算的记录。
当时用垂直于地面的高八尺表,在中午测日影长,用日影长度来定义每年二十四节气,这是治历各家的重要参数。
关于两至影长的具体数字,东汉的贾逵在注释《周髀算经》时说:“冬至日距极为百一十五度,夏至日距极六十七度。
”(《后汉书》卷十二) 以二除两者之差,得整数二十四度(折合现在的23°39’18 〃) 。
东汉另一位天文学家张衡(公元78 - 139 年) 在《浑仪》一书的残篇中有如下记载:“赤道横带浑天之腹,去极九十一度十九分之五。
黄道斜带其腹,出赤道表里各二十四度。
故夏至去极六十七度而强,冬至去极百一十五度亦强也。
”张衡再次给出了黄赤交角的具体数值。
隋唐以降,黄赤交角的数值计算得越来越精确。
徐昂的宣明历(公元822 年) 所用的黄赤交角值为23°34′55″,仅比理论值小37″。
元代数学家郭守敬等人于《授时历》中多次应用了沈括的“会圆术”,并配合使用相似三角形各线段间的比例关系,从而在推算“赤道积度”、“赤道内外度”方面创立了新的方法。
从数学意义上来讲,新的方法相当于开辟了通往球面三角法的途径。
由于采用了新的方法“, 中国的一整套观测值(以郭守敬极精确的数值为最高峰) ,曾为18 世纪天文学家关于所谓黄道倾角易变性的讨论提供了证据”6 结语以上通过对中国古代数学中蕴涵的“黄金分割率”的分析和论证,我们至少可以得到两点启发:第一,黄金分割率普遍地蕴含于数学的许多分支学科中,中国古代数学作为世界数学发展的一种类型,同样与黄金分割率有着内在的联系。
如前所述,有关黄金分割的数学问题非常广泛,而尤以斐波那契数列所蕴涵的数学问题最为丰富。
例如,在欧几里德算法的计算过程中,为了求出两个给定正整数的最大公因数,数学家G. 拉梅(Lame , 1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:为了求出两个正整数的最大公因数,所需进行的除法的次数决不大于较少整数的位数的五倍。
而这个定理的证明首先要用到斐波那契数列的某些性质〔9〕。
我们知道,欧几里德关于求取两个正整数的最大公因子的算法同我国古代《九章算术》中的“更相减损术”是相同的。
这也就是说,“更相减损术”与斐波那契数列的某些性质也是有联系的。
相关的问题,我们甚至还可以在数论的重要分支丢番图逼近(Diophan2 tine Approximation) 中找到。
我国著名数学家华罗庚在其数论研究中涉及到的丢番图逼近方程与斐波那契数列有关〔10〕。
上个世纪数学界的领军人物大卫·希尔伯特在1900 年巴黎国际数学家代表大会上的演讲中曾提到的第十个问题是丢番图方程可解性的判别。
1970 年,前苏联科学家马蒂雅舍维奇在前人研究的基础上,引入了斐波那契数列,从而解决了希尔伯特第十个问题〔11〕。
这表明,黄金分割率不只是在初等数学有,而且在高等数学甚至数学的前沿学科中也广泛蕴涵着;不只在西方数学体系中广为存在,而且在东方诸国的数学体系中也时隐时现。
因此,在西方以外的数学体系中“发掘”出黄金分割率并不是值得大惊小怪的事情。
第二,黄金分割问题的解决有赖于东西方数学思想和方法的互补。
古代希腊数学家们热衷于对纯粹几何图形的演绎证明,这使他们作出了包括黄金分割线段在内的许多几何证明,但他们往往与无理数概念及离散、无穷、极限等思想失之交臂〔12〕。