高一数学期中试卷及试卷分析人教版
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
高一数学期中考试的质量分析
一、试卷分析：
整张试卷考查了必修5全册内容，试卷满分150分，共有三大题，考试时间120分钟，难度适中，知识覆盖面广，图文并茂，有一定的趣味性。
就整个试题而言，除个别科目考题偏难，（选题角度的不同）偏易外，其余基本都体现了目前考试命题要求：注重基础、体现能力。
选择题比较简单，其中有6，7，12题属于拉开差距的题目；填空题有关等比数列中讨论q 是否为1始终是教学上的难点，年级得分率普遍较低；简答题的难易坡度也比较明显，22题比较新颖，考察学生的综合解题能力。
二、教与学方面问题分析：
本次试卷难度适中，学生发挥地比较好，基础分得分率比较高，两个立志班学生由于学习兴趣比较高，发挥的比较好，低分率也基本控制住了。
后面班级一小部分学生的积极性没能充分的调动起来。
教师：
1、对六个班学生要同时强调基础知识上不失分。
2、逐步培养学生的.理解概括能力，掌握实验探究题的解题方法。
学生：
1、部分学生复习不够认真，一些在复习课中强调过的知识还是出现错误。
2、个别学生对基础知识不够重视，导致难题能做对，基础题却失分，导致考不到高分。
3、部分学生对本学科不够重视，平时作业拖沓，导致没有考好。
4、、低分同学关注不够，要激发他们的兴趣，消灭低分率。
三、改进措施与对策：
1、树立学生的信心，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢化学。
2、要求学生重视基础知识，培养学生解题能力，提高B班优秀率。
3、积极补缺补差，减少甚至消灭A班的低分率，提高合格率。
4、教学中准确掌握重点难点，积极探索研究新教材的教学理念，突破传统的教学方法。
四、对本次命题的评价与建议
难易适中，坡度明显。
2024年高一数学期中考试质量分析与总结范本（2篇）
2024年高一数学期中考试质量分析与总结范本引言：2024年高一数学期中考试是对学生数学学习成果进行检验的重要一环。
通过对考试结果的分析与总结，可以发现学生的优点与不足，进而针对性地制定教学计划，提高学生的学习效果。
本文将对2024年高一数学期中考试的质量进行分析与总结，以期为数学教学提供参考和借鉴。
一、总体情况分析：2024年高一数学期中考试总体来说，难度适中，题型广泛，涉及面较广。
根据对试卷的分析，试卷各个部分所占比例合理，难易度分布均匀。
二、试卷分析：1.\t选择题分析：选择题作为试卷的主要部分，是对学生解题能力和知识掌握程度的考查。
此次试卷的选择题设计多样，既有基础题目，也有拓展题目。
在答案选项的设置上，存在一些容易引起选择错误的干扰项，可培养学生的综合判断和筛选能力。
但其中部分选择题的难度较大，有的题目涉及了较为复杂的知识点，也引发了一些疑惑和困惑。
未来可适当降低选择题的难度，确保题目涵盖范围与教学进度相一致。
2.\t填空题分析：填空题涉及了学生的思维灵活性和运算能力，也是对学生对知识点的理解和掌握程度的一种考查形式。
此次试卷的填空题设计合理，涉及的知识点全面，但在一些题目的难度上存在一定的波动。
建议未来在设计填空题时，难度适当把握，注重知识点的渗透和灵活运用。
3.\t解答题分析：解答题是对学生综合运用各种数学知识进行思考和解决问题的能力的考查。
此次试卷的解答题设计合理，题目内容与学生实际生活和社会实践密切相关，同时突出了科学性、灵活性和创新性。
但在一些解答题的难度上，存在一些较难的题目，需要学生具备较高的独立思考和分析能力才能解决。
未来建议在设计解答题时，难易程度把握得更准确，考查点更具针对性。
三、学生表现分析：通过对试卷的批改与分析，了解到学生在考试中的表现，总体来说，学生们的数学基础较好，解题能力也较强，但存在一些常见问题，如计算错误、解题思路不清晰等。
此外，也存在一些学生对于某些知识点理解不深、掌握不牢固的问题。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
高一数学期中考试试卷分析
高一数学期中考试试卷分析高一数学期中考试试卷分析一、试卷分析：本试卷满分150分，共有三个大题，时间120分钟，和高考试卷形式完全一样。
各部分内容所占比重与相应内容在教材中所占课时基本相适应．内容的难易程度类似于教材中的练习、例题，习题中的中等难度部分．考试重点为各章的主体知识和基本技能，没有繁难运算．提供有不同思维要求、能力要求的题，使学生都有成功的机会，又为每一个学生发挥自己的才能留有空间。
注重所学内容与现实生活的联系．选择题的1—10小题均为容易题，主要考查学生对基础知识的掌握程度；11、12小题为中档题，主要考查学生运用知识的能力。
填空题难度比选择题稍大一些，考查的内容除了基础知识的掌握和灵活运用知识的能力外，还考查了本学期内容与以前所学内容的联系以及举一反三的能力。
解答题的17、18题为容易题，侧重基础知识的考查；19、20、21题也为中档题，它侧重考查不等式分类讨论，解三角形边角互化等方法；22题为中难度题，侧重考察数列的综合能力考查，对知识运用的灵活程度考查的更深，对知识面考查的更广。
一般的学生对选择题可以顺利完成一半，对于后面的几个题完成得不是很好，即便是选对了了也是猜的，说明学生的知识还只停留在表面，不能将知识做到举一反三、融会贯通；对于填空题完成得很不乐观，只有极个别的学生可以拿到10分以上，大部分学生只能做对1、2个；对于解答题完成得更是糟糕，18这样的容易题得满分的学生较少，后面的20、22更是惨不忍睹。
这些现状也足以让我们老师和学生引起足够的重视，我们必须夯实基础，落实学生的课下巩固情况，在今后的学习和教学中更加努力。
二、存在的问题与不足1、教师可能有点高估学生的实际情况，由于新形势对学生的数学学习提出了新的要求，部分教师和学生还没有很好地适应．2、学生计算能力差，解题不规范，几乎所有学生在计算上都有不同程度的失分现象。
中等偏下的学生中计算失分率更大。
个别学困生可以说就不会计算。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
![2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/8312445242323968011ca300a6c30c225801f019.png)
在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
0
高一数学期中试卷分析
高一年级数学学科期中试卷分析
一、试卷总体评价
本次期中考试试卷结构与高考相同，8个选择，6个填空，和6个解答题，难易分配也类似高考题。
其中小题比较基础，解答题比较综合、灵活，全面考查了《必修一》中函数概念与性质以及基本初等函数，难度对于高一的学生来说总体偏难。
学生分数不高的原因：一是个别学生基础知识掌握不扎实，分单元学习还好，综合一起后张冠李戴；二是高中入学以来第一次接触这种综合题，心里比较慌；三是读不懂综合题的题干，以后教学中要加强审题的练习。
二、试卷统计表（可根据各科题目数量进行更改）。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
高一数学期中考试试卷与质量分析
---------------------------------优选公函范文--------------------------高一数学期中考试一试卷与质量剖析各位读友大家好，此文档由网络采集而来，欢迎您下载，感谢高一数学期中考试一试卷与质量剖析一、试卷整体剖析：基本切合数学课程标准的各项要求，表现了新课程理念，全面落实对课程目标的要求，力争做到知识与技术、过程与方法并重，重视着手实践，重视综合运用。
1、试题重视基础，知识覆盖面广，突出要点知识观察整张试卷观察双基企图显然，选择题第 1、2、3、4、6、7、题，填空题第11、12、13 题观察基本知识点的识记，解答题 17 、18、19 题观察基本知识点的理解与计算，属基础题，占总分的 /80 ％左右。
试题对基础知识的观察既注意全面性，又突出要点。
2、试题观察内容适量综合，重视考1 ---------------- 优选公函范文 -------------------------------------------------优选公函范文--------------------------查综合运用知识解决问题的能力试卷选择题第5、9/10 题、填空题的第 14、15、16 题、解答题的第 20 题将进行了适量的综合，侧重观察学生综合运用数学知识解决数学识题的能力。
3、试题的划分度不够，不可以表现学生的数学能力让不一样的人在数学上获得不一样的发展，是数学教课改改革的理念。
数学教课一定因材施教，既要关注优异生，又要关注学困生，知足差别发展，进而使学生的踊跃性获得保护，不一样层面的学生数学能力都获得展现。
但这张试卷的划分度不够，平常学习仔细与不仔细的学生成绩相差不大，甚至学习仔细的成绩更差。
各位读友大家好，此文档由网络采集而来，欢迎您下载，感谢2 ---------------- 优选公函范文 ----------------。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版第二册：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。
A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。
A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。
A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。
A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。
2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 集合，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.3. 设命题，命题，则是成立的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 年文汇高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A.B.C.U =R A ={x |−x −2<0}x 2B ={x |y =ln(1−x)}{x |x ≥1}{x |1≤x <2}{x |0<x ≤1}{x |x ≤1}0<a <b <<a <b ab −−√a +b 2<a <<b ab −−√a +b 2a <<<b ab −−√a +b 2a <<<b a +b 2ab −−√p :x >2–√q :>2x 2p q 20196216237810D.5. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，其中，，，则等于（）A.B.C.D.6. 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ）A.B.C.D.7. 函数的部分图象大致为（ ）A.B. 12y =f (x)y =g(x)ABC A (1,3)B (2,1)C (3,2)f(g(2))x 123f(x)230321R y =f(x)[a,b]y =f(x +a)[a,b][2a,a +b][0,b −a][−a,a +b]y =sin 2x1−cos xC. D.8. 下列四个函数：①＝；②；③＝；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设集合＝，＝，则下列关系正确的是（ ）A.B.C.＝D.10. 已知函数，则下列说法正确的是( )A.函数是偶函数B.函数是奇函数C.函数在上为增函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，且幂函数在上单调递增，则实数的取值可能是( )y 2x +3y 2x 1234M {y |y ＝−+4}e x N {x |y ＝lg[(x +2)(3−x)]}M ⊆N∁R ∁R N ⊆MM ∩N ∅N ⊆M∁R f (x)=(1+)−xlog 24x f (x)f (x)f (x)(−∞,0]f (x)[1,+∞)f (x)={,x >0,e |x−1|x ,x ≤0,e x xf (x)=a g(x)=x a (0,+∞)aA.B.C.D.12. 已知函数，给出下列四个命题，其中真命题的序号是( )A.存在实数，使得函数恰有个不同的零点B.存在实数，使得函数恰有个不同的零点C.存在实数，使得函数恰有个不同的零点D.存在实数，使得函数恰有个不同的零点卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 已知正数，满足，则的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知，关于的不等式的解集为.当为空集时，求的取值范围；在的条件下，求的最小值；当不为空集，且时，求实数的取值范围.15. 已知集合 ，．当时，求；若，求的取值范围．16. 已知函数且是奇函数.求的值；讨论在上的单调性，并予以证明．17. 已知函数为定义在）的函数．当时，是的二次函数；当时，．给出数据如表（部分）：求关于的函数关系式；求函数的值域； 11e2ef(x)=(−1−|−1|+k x 2)2x 2k 2k 5k 6k 8a b a +b =19a +bab m ∈R x −2mx +m +2≤0x 2M (1)M m (2)(1)y =+3m +4m 2m +1(3)M M ⊆[1,4]m A ={x|−3≤x <4}B ={x|a +1<x ≤3a −1}(1)a =2A ∪B (2)A ∩B =B a f(x)=+m(a >0log a x +1x −1a ≠1)(1)m (2)f(x)(1,+∞)f(x)[0,+∞0≤x <6f(x)x x ≥6f (x)=()13x−tx 0127⋯f(x)0169⋯(1)y x y =f (x)(2)f(x)18. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，求该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份．（参考数据：）19.已知，证明：；解关于的不等式：.201513012%200lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30(1)a >1，b >1a +b <2ab (2)x +2x −−2a <0x 2a 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】根据图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成，所以用集合表示为．，，则，则．故选：．2.【答案】C【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】【解答】解：因为，所以，，由基本不等式：当时， ，所以．故选．3.【答案】Venn Venn A B A ∩(B)∁U A ={x |−x −2<0}={x |−1<x <2}x 2B ={x |y =ln(1−x)}={x |1−x >0}={x |x <1}B ={x |x ≥1}∁U A ∩(B)={x |1≤x <2}∁U B 0<a <b a <ab −−√<b a +b 20<a <b <ab −−√a +b 2a <<<b ab −−√a +b 2CB【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：，解得或.若成立，则成立，反之，若成立，则未必成立，即是成立的充分不必要条件.故选.4.【答案】B【考点】集合中元素的个数Venn 图表达集合的关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】解：设参加田赛的学生为集合，参加径赛的学生为集合，全集为，由题可得参加比赛的学生共有人，由，可得田赛和径赛都参加的学生人数为 ．故选．5.【答案】B【考点】q :>2x 2x >2–√x <−2–√p :x >2–√q :>2x 2q :>2x 2p :x >2–√p q B A B U 31A ∩B =A +B −A ∪B 16+23−31=8B【解析】根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论．【解答】解：由图象可知，由表格可知，∴.故选．6.【答案】A【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的图象左右平移个单位长度后得的图象，因此它们的值域是相同的．故选．7.【答案】C【考点】函数的图象【解析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数，可知函数是奇函数，排除选项，当时，，排除，时，，排除．故选．8.g(2)=1f (1)=2f [g(2)]=f (1)=2B y =f(x)|a|y =f(x +a)A y =sin 2x1−cos x B x =π3f()==π33–√21−123–√A x =πf(π)=0D CC【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】集合的包含关系判断及应用交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由，判断是偶函数；f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)(−1)=>1=f (0)5由判断函数的值域为）【解答】解：∵，∴函数是偶函数，故选项正确，选项错误；则，故选项错误，选项正确．故选．11.【答案】A,D【考点】函数的图象幂函数的性质函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：的图象如图所示，因为有且仅有一个实数解，即的图象与有且只有一个交点，所以．又因为在上单调递增，所以，所以.故选 . 12.【答案】A,B,D【考点】f (−1)=>1=f (0)log 252f (x)[1,+∞f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)A B f (−1)=>1=f (0)log 252C D AD f (x)f (x)=a y =f (x)y =a a ∈[e,+∞)∪{1,0,−}1eg(x)=x a (0,+∞)a >0a ∈[e,+∞)∪{1}AD命题的真假判断与应用【解析】首先考查函数的奇偶性，然后利用复合函数单调性的法则考查函数的性质，最后数形结合即可确定函数零点的个数．【解答】原问题等价于考查函数 ＝与函数＝的交点个数，注意到为奇函数，故首先研究函数在上的性质：当时，＝，函数＝在区间上单调递减，值域为，函数＝在区间上单调递减，在区间上单调递增，由复合函数单调性的法则可得，函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，据此函数函数的图象如图所示，如图所示，轴与函数图象交点个数为个，选项正确，轴上方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，轴下方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，交点个数不可能为个，选项错误，三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析g(x)(−1−|−1|x 2)2x 2h(x)−k g(x)g(x)[0,+∞)0≤x ≤1g(x)(1−−(1−)x 2)2x 2u(x)1−x 2[0,1][0,1]y −u u 2g(x)g(x)x 5C x 2A x 8D 6B 16【解答】解：正数，满足，则，当且仅当且，即 时，取得最小值故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系一元二次不等式与一元二次方程一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，a b a +b =1=+=(+)(a +b)=10++≥10+9a +b ab 9b 1a 9b 1ab a 9ab 2=16⋅b a 9a b −−−−−−√=b a 9a ba +b =1a =,14b =3416.16(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√+1=2当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.15.【答案】解：当时，则，又 ，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】本题考查了并集及其运算，集合的包含关系的应用，集合关系中参数取值问题，属于基础题.当时，求出集合，进而求出答案；由题意可得，再分和两种情况解答即可.【解答】解：当时，则，又 ，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)53（1）a =2B （2）B ⊆A B =ΦB ≠Φ(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)5316.【答案】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据奇函数的定义便可求出；讨论的取值判断的符号，从而判断出函数在上的单调性．【解答】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 2<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1<u 2u 1a >1y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)f(−x)=−f(x)m (2)a f'(x)f(x)(1,+∞)(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 202(−)∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．17.【答案】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】【解答】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1<u 2u 1a >1y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)0≤x <6f (x)=a +bx +c x 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−t t =9f (x)=()13x−9f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)18(1)0≤x <6f (x)=a +bx +cx 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−tt =9f (x)=()13x−9(x)=2−x(0≤x <6)，2综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.18.【答案】年【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从年该公司全年投入的研发资金超过万．19.【答案】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式的解法f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)182019n ,=130a n a 1=130×a n 1.12n−1=130×≥200a n 1.12n−1n ≥52019200(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}【解析】【解答】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}。
高一数学 上学期期中试卷及试卷分析 人教版
高一数学 上学期期中试卷及试卷分析 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：期中考试及试卷分析【模拟试题】一. 选择题：1. 条件甲：A ⋂B=A ，条件乙：A B ，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 下面两个函数完全相同的是（ ）A. f(x)=2)1(-x , g(x)=2)1(-x B. f(x)=x-1, g(x)=|x-1|C. f(x)=2)1(-x , g(x)=|x-1| D. f(x)=|x-1|, g(x)=⎩⎨⎧<->-)1(,1)1(,1x x x x 3. 已知：A={x | |x+1|<2}, B={x | x 2-(1+a)x+a<0}, 若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ） A. –3<a<1 B. –3≤a ≤1 C.1≤a<3 D. –3≤a<14. 已知f(x)=a x +b （a>0）图像过点(1,5), 它的反函数y=f -1(x)图像过点(7,2), 则f(x)表达式为（ ）A. f(x)=3x -2B. f(x)=3x +2C. f(x)=2x +3D. f(x)=4x +1 5. 已知：x+x -1=5, 则2121-+x x 的值为（ ）A. 7±B. 7C. 5D. 36. 函数f(x)=xx --53的定义域是（ ）A. ),5(]5,3[]3,(∞+--∞B. ]5[]5,3[)3,(∞+--∞，C. ),5()5,3[]3,(∞+--∞D. ),5(]3,3[∞+-7. 4369⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ×4639⎪⎭⎫ ⎝⎛a （a ≥0）的化简结果（ ）。
A. a 2 B. a 3 C. a 4 D. a 8 8. 函数f(x)=322--x x 的定义域是F ，g(x)=31-+x x 的定义域是G 则F 和G 的关系是（ ）。
2024-2025学年保定市高一数学上学期11月期中考试卷及答案解析
高一1+3期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（ ）A. 2 B.12C. 2-D. 12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2. 若cos 4t =，则tan 4=（ ）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4==.故选：A3. 已知角θ的终边经过点(3,―4)，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（ ）A. 17-B. 7C.17D. 7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点(3,―4)，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A 到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）A. 8π3B. 4π3+C. 8π3D. 4π3【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+ 故选：C5. 已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A.B. -C.D. 【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭15cos cos 22ααα-=，3cos αα=，则tan α=.故选：D.6. 若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（ ）A. 函数()f x 的周期为π的B. 函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎢⎣C. 函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. 将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即112=-，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 3x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域为⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，的所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7. 已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO +=，则sin BOG ∠=（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++=，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故s in BOG ∠==故选：C8. 已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（ ）A. 1014πB.3040π3C. 2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C. 若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上投影向量为2a- 的D. 20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b aaaθ⋅⋅=⋅ ；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C, 向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a aaaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠ ，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10. 已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（ ）A. 3sin cos 5αβ= B. 1sin cos 10βα=C. 4sin 2sin 225αβ=D. π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11. 已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（ ）A. 若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B. 若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C. 若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D. 若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅=，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -= ，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心； C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA+=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上. D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-u u u r u u r u u u r u u r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++=，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，的故:1:3BOC ABC S S = ，A 正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE = ，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ： ,AB CA AB CA 分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C错误.D 选项，设BG 中点为O ，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12. 已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513. 在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA = ，若6AM BN ⋅=-，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sincos2cos 12sin cos 2222222αααααα⎫--=--⨯⎪⎭1ππππ4sin cos cos cos sin 263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥ ，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sin θcos θ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sin θcos θ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tan θ-1)(tan θ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16. 如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+，进而得到1136MN AN AM b a =-=+ ；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17. 已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18. 某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πx mπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(26f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(43g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3g x x ⎡=-∈-⎢⎣，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19. 已知平面直角坐标系中，点A (a,0)，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（2）②1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+ ，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+ ，∴ 16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+ ，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+ 2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.的。
2024年高一数学期中考试质量分析与总结
2024年高一数学期中考试质量分析与总结2024年高一数学期中考试已经结束，以下是对本次考试质量进行分析与总结。
一、试卷整体情况本次考试的试卷难度适中，覆盖了高一上学期的全部内容。
题型包括选择题、填空题、计算题和证明题。
整个试卷设计合理，考查了学生对知识点的掌握程度、思维能力和解决问题的能力。
二、试题分析1. 选择题选择题包括了基础知识和运算技巧的考查。
题目设置了较多的选择项，考察了学生的辨析能力。
大部分选择题选项设置合理，但有少数题干不够清晰，比较模糊，容易引起学生的混淆。
选择题设计了一些应用题，增强了学生的实际应用能力。
2. 填空题填空题主要考查学生的计算和解题能力。
试题中既有基础题，也有较难的综合题。
难度适中，对于掌握基本知识的学生来说并不困难。
但有少数填空题中的题干表述不够清晰，考生容易理解偏差。
3. 计算题计算题主要考查学生对基本运算的掌握和灵活应用。
试题涉及到了整数、分数、二次函数等各个考点。
大部分题目设计合理，计算过程清晰。
但有些题目的数据给定较复杂，导致计算过程较长，容易出现操作失误。
4. 证明题证明题是本次考试的难点和亮点。
试题设置了一些基础证明和较难的综合证明。
证明题的设计考察了学生的推理和论证能力，激发了学生的思维。
但有些证明题的题目偏长，学生在有限时间内难以完成。
三、学生表现考试显示大部分学生对数学的基本知识掌握还不错，能够运用所学知识解决简单的计算和应用题。
但也有一些学生在一些较难的题目上表现较差，对于一些新题、综合题缺乏解题思路。
这可能与他们对知识的理解和运用能力有关，需要加强基础知识的学习和解题方法的培养。
四、反思与改进根据本次考试的情况，为了更好地提高学生的数学学习效果，我认为可以从以下几个方面进行改进：1. 设计更多的应用题。
数学作为一门实用的学科，应该通过设计一些实际应用题，培养学生将所学知识运用到实际问题解决中的能力。
2. 改进证明题的设计。
证明题是培养学生的思维能力和推理能力的重要方式，但题目要求合理，题干表述清晰，以降低学生的解题困难。
高一数学考试试卷分析
高一数学考试试卷分析高一数学考试试卷分析高一数学考试试卷分析高一数学考试试卷分析(一) 这次的期中考试主要考查数学必修一全部内容，出题全面，考查到位，从集合的概念到函数的概念以及性质，函数的图像、函数的应用，函数的建模及应用。
既有考查基础知识的题目，也有考查综合知识以及应用的题型，同时考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，对知识的考查和对数学能力的考查都做到了很好的体现。
填空题答题情况：总体而言，基本的分在5分—10分，第12题失分率较高，第13题正确率较高。
存在问题：5道选择题里学生容易出错的是第11题和第12题，第11题是学生对换底公式掌握的不到位，不能灵活运用;对于12题解不等式，大部分同学没有对底数进行分类讨论而导致错误，或没有对其定义域进行求解而错误。
应对措施：在以后的教学中应贯穿分类讨论的数学思想，以及数形结合的数学思想，以加强对学生运算基本功的训练。
第16题第16题考查的是集合的基本关系。
答题情况不太理想，出错原因主要有以下三点：(1)题意没读懂。
该题考察的是a的范围而不是求a的值，但学生读完题后往往不思考直接给出一个值。
(2)不会用图像来表示两集合之间的关系。
很多同学用图像来表示集合时只画集合A不画集合B。
(3)不考虑临界状态。
第一问和第三问学生老是忘记讨论临界状态。
应对措施：在以后的教学中应贯穿数形结合思想和分类讨论的思想并加强基础知识的训练。
第17题第17题为求值题，分为两小题，总共12分。
大约有40%的学生全部做正确，有40%的学生只做对了第一小题，分数基本在6—12分之间。
存在问题：本题考查指数函数的运算性质和对数函数运算性质的应用，有部分同学对指数函数运算性质和对数函数运算性质没有完全掌握，特别是性质的灵活应用。
解决方案：在以后的教学，使学生在对所学知识理解的基础上，加大训练力度，让学生能够灵活运用所学知识解决问题。
第18题1.答题情况：该题重在考查学生对分段函数概念的理解及此类问题的处理方法。
高一数学期中考试卷及试卷分析 人教版
高一数学期中考试卷及试卷分析 人教版（答题时间：90分钟）一. 选择题（每题3分，共30分）1. 角α的终边过点)60cos 6,8(︒--m p ，且54cos -=α，则m 的值为（ ） A.21 B. 21- C. 23- D. 232. 已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（ ）A. )(x f 是周期为1的奇函数B. )(x f 是周期为2的偶函数C. )(x f 是周期为1的非奇非偶函数D. )(x f 是周期为2的非奇非偶函数3. 函数)23sin(3x y -=π的单调增区间是（ ）A. ]22,22[ππππ+-k kB. ]232,22[ππππ++k k C. ]1211,125[ππππ++k kD. ]125,12[ππππ+-k k 4. 已知αtan 和)4tan(απ-是方程02=++c bx ax 的两个根，则c b a ,,的关系（ ）A. c a b +=B. c a b +=2C. a b c +=D. ab c =5. 设α、β是第二象限的角，且βαsin sin <，则下列不等式能成立的是（ ） A. βαcos cos < B. βαtan tan < C. βαcot cot > D. βαsec sec <6. 若ABC ∆中，已知54sin =A ，135cos =B ，则C cos -的值是（ ） A. 6533- B. 6533± C. 6534- D. 65337. 将函数)(x f y =的图像上所有点的横坐标缩小为原来的21（纵坐标不变），再把所得图像向左平移6π个单位，得到函数x x y cos sin 3+=的图像，则)(x f 等于（ ）A. x sin 2B. )62sin(2π+xC. 2sin 2xD. )62sin(2π+x8. 设︒+︒=14cos 14sin a ，︒+︒=16cos 16sin b ，26=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<9. )(x f a x x ++=2sin 3cos 22（a 为实常数），在区间]2,0[π上的最小值为4-，那么a的值等于（ ）A. 4B. 5-C. 4-D. 3-10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，则（ ）A. )6(cos )6(sinππf f <B. )1(cos )1(sin f f >C. )32(sin )32(cosππf f <D. )2(sin )2(cos f f >二. 填空题（每题4分，共20分）11. 03tan ≥-x 的解集区间为 。
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高一数学期中试卷及试卷分析人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
期中试卷及试卷分析
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一. 选择题（每题3分，共30分）
1. 角α的终边过点)60cos 6,8(︒--m p ，且5
4
cos -
=α，则m 的值为（ ） A.
21 B. 2
1
- C. 23- D. 23
2. 已知函数1)2
sin()(--
=π
πx x f ，则下列命题正确的是（ ）
A. )(x f 是周期为1的奇函数
B. )(x f 是周期为2的偶函数
C. )(x f 是周期为1的非奇非偶函数
D. )(x f 是周期为2的非奇非偶函数
3. 函数)23
sin(3x y -=π
的单调增区间是（ ）
A. ]2
2,2
2[π
ππ
π+
-
k k
B. ]2
32,2
2[π
ππ
π++k k C. ]12
11,125[π
πππ++k k
D. ]12
5,12[πππ
π+
-
k k 4. 已知αtan 和)4
tan(
απ
-是方程02=++c bx ax 的两个根，则c b a ,,的关系（ ）
A. c a b +=
B. c a b +=2
C. a b c +=
D. ab c =
5. 设α、β是第二象限的角，且βαsin sin <，则下列不等式能成立的是（ ） A. βαcos cos < B. βαtan tan < C. βαcot cot > D. βαsec sec <
6. 若ABC ∆中，已知54sin =
A ，13
5
cos =B ，则C cos -的值是（ ） A. 6533- B. 6533± C. 6534- D. 65
33
7. 将函数)(x f y =的图像上所有点的横坐标缩小为原来的2
1
（纵坐标不变），再把所得
图像向左平移6
π
个单位，得到函数x x y cos sin 3+=的图像，则)(x f 等于（ ）
A. x sin 2
B. )62sin(2π+x
C. 2sin 2x
D. )6
2sin(2π
+x
8. 设︒+︒=14cos 14sin a ，︒+︒=16cos 16sin b ，2
6
=
c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）
A. c b a <<
B. b c a <<
C. a c b <<
D. c a b << 9. )(x f a x x ++=2sin 3cos 22
（a 为实常数），在区间]2
,0[π上的最小值为4-，那
么a 的值等于（ ）
A. 4
B. 5-
C. 4-
D. 3-
10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，则（ ）
A. )6(cos )6(sin
π
πf f < B. )1(cos )1(sin f f > C. )3
2(sin )32(cos π
πf f <
D. )2(sin )2(cos f f >
二. 填空题（每题4分，共20分）
11. 03tan ≥-x 的解集区间为 。
12. =︒++︒+︒+︒89sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2。
13. 若1)4
cos()4cos(8=-+απ
απ，则=+αα44
cos sin。
14. 若1tan sin )(3
++=x b x a x f ，且5)3(=f ，则=-)3(f 。
15. 对于函数⎩
⎨⎧≤≥=时当时
当x x x x x x x f cos sin cos cos sin sin )(，给出下列几个命题：
① 该函数的值域是]11[，
-； ② 当且仅当)(2
2Z ∈+
=k k x π
π时，该函数取得最大值1；
③ 该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④ 当且仅当)(2
322Z ∈+
<<+k k x k π
πππ时，0)(<x f ； 上述命题中正确的是 。
三. 解答题（共50分）
16. 化简
)1800(cos 1)270cos()245(sin 212︒<<︒--︒++
︒-αα
αα
（8分）
17. 已知
434
παπ
<
<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，13
5)43sin(=+βπ，求)
s i n (βα+的值（8分）
18. 讨论函数x
x x y sin cos 3)
3cos(22++
-=
π
在区间)32,3(ππ-上的单调性。
（10分）
19. 已知)(x f 是定义在R 上的单调递减的奇函数，且当2
0πθ≤≤时，恒有θ2
(cos f
0)3sin 4()2≥-+-θf t 成立，求t 的取值范围。
（12分） 20. 设π20,0≤≤>x a ，如果函数b x a x y +-=sin cos 2
的最大值是0，最小值是4-，求常数b a ,（12分）
【试题答案】
一.
1. A
2. B
3. C
4. C
5. A
6. A
7. C
8. B
9. C 10. D 二. 11. )2
,3
[π
ππ
π+
+k k 12.
289 13. 32
17 14. 3- 15. ④ 三. 16. 原式2
cos
222
sin
2sin )90cos(α
α
α
α-=-+︒=
17. 由
απ
-4
与
βπ+43范围求得，1312)43cos(-=+βπ，5
4)4sin(-=-απ )cos()](2
sin[)]4()43sin[(βαβαπ
απβπ+=++=--+
∴ 6533
)54()1312(53135)cos(-=
-⨯--⨯=+βα ∴ 6556
)sin(=+βα
18. 化简为)62tan(π+=x y 由)32,3(ππ-∈x ，得)2,0(62π
π≤+x
∴ 原点在)3
22
,3(π-上单调递增
19. 解：)3sin 4()2(cos 2
--≥-θθf t f
由奇函数 ∴ )sin 43()2(cos 2
θθ-≥-f t f
∵ 减函数 ∴ θθsin 432cos 2-≤-t ∴ 3sin 4cos 22
-+≥θθt
1)2(sin 2
1
3sin 4sin 13sin 4cos 222+--=-+-=-+=θθθθθu
∵ 2
0πθ≤≤ ∴ ≤≤θsin 0 1 ∴ u 在（0，1）上↑
∴ 211)21(212=+-⨯-
≥t ∴ 2
1≥t 20. 解：4
1)2(sin sin sin 12
22
a b a x b x a x y ++++-=+--=
① 当12-≤-a
，即2-≥a 时，得⎩
⎨⎧-=-=+40a b b a ∴ 2,2-==b a
② 当12
1<-
<-a
时，即22<<-a 时，求得2=a 或2-=a （舍）
③ 当
12≥a
，即2≥a 时，⎩⎨
⎧=+-=+0
4b a b a ∴ 2-=a （舍） ∴ 2,2-==b a
【试卷分析】
本次考试主要考察了三角函数这部分内容，考察了三角函数的定义、同角三角函数的关
系、二倍角、两角和差公式的逆用、三角函数的图像和性质等，注重基础的同时考察了能力。