数值分析版试题及答案

例1、已知函数表

求()

f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。

解：

（1）由题可知

插值基函数分别为

故所求二次拉格朗日插值多项式为

（2）一阶均差、二阶均差分别为

均差表为

故所求Newton 二次插值多项式为

例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的

最佳平方逼近多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为

011231261192

34a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，经过消元得012311

62110123a a ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，011

6

a =

故，所求最佳平方逼近多项式为*

111

()46

S x x =

+

例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平

方逼近多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为

解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为

例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。 解：

（1）用4n =的复合梯形公式

由于

2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式

由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1

2

220,1,2,3k x

k k +=+=，所以，有

例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元

再回代，得到33x =，22x =，11x =

所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设

则由A LU =的对应元素相等，有

1114u =

，1215u =，131

6

u =， 2111211433l u l =⇒=，3111311

22l u l =⇒=，

2112222211460l u u u +=

⇒=-，2113232311

545

l u u u +=⇒=-， 3112322232136l u l u l +=⇒=-，31133223333313

215

l u l u u u ++=⇒=

因此，

解Ly b =，即12310

094

108382361y y y ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣

⎦，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即1

231

1

14569110

460451541300

15x x x ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =- 所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-

１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯

一成立。 （ ）

２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

3、形如

)

()(1

i n

i i b

a x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的

次数为12+n 。 （ ）

４、矩阵⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ）

5、设⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。（用∞⋅）

（ ）

6、设n n R A ⨯∈，n

n R

Q ⨯∈，且有I Q Q T

=（单位阵），则有22QA A =。（ ）

7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）

一、 判断题（10×1′）

1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。

( × )

2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

( ? )

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( × )

4、样条插值一种分段插值。

( ? )

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

( ? )

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误

差及舍入误差。

( ? )

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

( × )

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一

步迭代计算的舍入误差。

( × )