数学分析中的典型问题与方法
北京大学2008数学分析试题及解答
9.
∫设1函数
f (x)
在区间
[0,
1∫]
上有一阶连续导函数,
1
且
f (0)
=
f (1),
g(x)
是周期为
1
的连续函数,
并且满足
g(x) dx = 0. 记 an = f (x)g(nx) dx, 证明 lim nan = 0.
0
0
n→∞
10. 若 f (x∑ )n在∫区b间i [0, 1] 上 Riemann∫可1积, 并且对 [0, 1] 中任意有限个两两不相交的闭区间 [ai, bi], 1 ⩽ i ⩽ n,
∃ξ ∈ (ξ2, ξ1), 使得 f ′′(ξ) > 0. 因此若 f ′′(x) 在 R 上不变号, 则 f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R.
若 ∃y0 ∈ R, 使得 f ′(y0) > 1, 则 f (x) > f ′(y0)(x − y0)f (y0), 这将与 lim (f (x) − x) = 0 矛盾. 从而 x→+∞
9.
∫1
∫1
∫ nx
n f (x)g(nx) dx = f (x) dx g(t) dt
0
(0
∫ nx 0
) 1 ∫ 1 (∫ nx
)
= f (x) g(t) dt −
g(t) dt f ′(x) dx
∫ 1 (∫0 nx
)0
0
0
=−
g(t) dt f ′(x) dx.
∫x 令 G(x) = g(t) dt, 则
∫ 1 (∫ nx
)
lim nan = lim −
n→∞
n→∞
0
数学分析参考书
数学分析参考书1.《微积分学教程》菲赫金哥尔茨人民教育出版社推荐理由：经典的数学分析的百科全书, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的学生是一本较好的参考书。
2.《数学分析》华东师大数学系高等教育出版社推荐理由：本书是教育部推荐的优秀教材，内容安排自然合理，读者容易接受，选学内容加了“*”适合多层次的需求；读者可以通过附录1和附录2了解微积分的发展线索记实数理论。
3.《数学分析》北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等高等教育出版社推荐理由：本书阐述细致，引进概念注意讲清实际背景，定理证明、公式推演作了必要的分析，并提出一些值得思考的问题；通过大量不同类型例题，介绍解题基本方法和特殊技巧。
全书还配有习题集一册，其中有不少难度较大的题目。
适合要求进一步提高数学分析素养的同学。
4. 《数学分析》李成章黄玉民科学出版社推荐理由：总体内容与华东师大教材相仿. 书中有大量的习题可作为补充练习题.5. 《数学分析》陈纪修等高等教育出版社推荐理由：书中对三角级数阐述的较为详细,可供参考.6. 《数学分析习题精解》吴良森等高等教育出版社推荐理由：书中题型丰富,可供较为优秀的学生选7. 《数学分析习题课讲义》谢惠民等高等教育出版社推荐理由：李大潜院士是这样评价此书的“它的着眼点，不像现在充斥市面的各种各样的习题解答那样，消极地为读者提供一些习题的解答，而是引导学生理解课程内容，启发学生深入思考，扩大学生知识视野，力求使学生达到举一反三，由小见大，由表及里的境界，较快的高等数学的思想方法，迈进高等数学的广阔天地。
对于学生，这是一本富有启发性且颇有新意的辅导读物。
”8. 《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文高等教育出版社推荐理由：本书收录了大量的研究生数学分析入学试题，前苏联高校竞赛题。
选题具有很强的典型性，灵活性，启发性，趣味性和综合性，对培养学生的能力极为有益。
8. 《Ｃａｌｃｕｌｕｓ（微积分）》Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis郭镜明改编高等教育出版社推荐理由：本书为高等教育出版社“世界优秀教材中国版”系列教材之一。
数学分析(证明-个人总结)
极限是数学分析的主线，数列极限(ε−N)语言，函数极限(ε−δ)语言，导数（研究变化率），微分中值定理（导数的应用），积分（近似，分割，求和，取极限），反常积分（通过极限定义），数项级数（无穷项求和），函数项级数（无穷项求和），傅里叶级数（三角函数逼近一般的函数，极限的思想蕴含其中），隐函数（可微，偏导，方向导数，多元泰勒展开），二重积分，三重积分（极限），曲线积分，曲面积分（积分线段，积分区域）等等。
证明板块：数列极限中，主要是判断数列是否收敛，收敛的时候并求其值。
一般的方法有：单调有界或者压缩映射（柯西收敛准则的应用）。
判断单调的方法有：（1）归纳，根号套根号（2）相减，多项加和（3）相除，乘积或者单个根号（4）不等式法，平均值不等式（5）反证法，次幂加和（6）递推法，分子分母都含有数列的通项。
压缩映射主要用于迭代的情形中。
函数极限中，主要是函数的连续性与一致连续性。
连续性主要是极限值等于函数值，可以与间断放一起比较。
同时闭区间上的连续函数还有很多好的性质，比如最大最小值存在，有界性等。
判断一致连续的方法有：（1）定义（2）一致连续与数列的关系（多用于证明不一致连续）（3）康托定理（4）端点法（开区间证闭区间时）（5）利普西茨条件与导数有界等价（6）区间合并（7）一致连续函数的增长性不超过一次函数（8）连续函数逼近一致连续函数时，该函数也一致连续（9）周期函数的一致连续性（10）复合函数的一致连续（内外都一致连续）。
导数与微分中，注意函数可导的判断，导数的极限定理（导函数不存在第一类间断点）与介值定理是两大定理（证明用到左右导数）。
1.导数证明恒等式，不等式（构造函数，判断单调情况，进而去证明，遇到复杂的，可以先化简）2.中值定理，牢记四大定理的条件，一般罗尔定理证明某点的导数值为0，或者反推函数的零点存在情况。
拉格朗日中值定理用于证明微分中值等式，二1阶导数在某点的正负情况。
柯西中值定理，多个点的中值问题，其主要作用是证明泰勒定理。
北大考研数学参考书
数学学院（参考书，仅作参考，感谢分享！）
数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 50元 配套习题集 20元
数学分析 (上，下册) 陈纪修;於崇华,金路， 高教出版社 49元
高等代数(第二版)上册、下册 丘维声, ，高等教育出版社，2002年, 2003年 32.7元
丘维声 , 高等代数学习指导书（上册）， 清华大学出版社，2005年7月 39元
高等代数(第二版), 北京大学数学系几何代数教研室代数小组, 1988年 19.8元
解析几何（第二版），丘维声，北京大学出版社，（其中第七章不考）15元
解析几何简明教程，吴光磊，田畴，高等教育出版社，2003 9元
实变函数论，周民强，北京大学出版社，2001年 16元
复变函数教程，方企勤，北京大学出版社 13.5元
泛函分析讲义（上册），张恭庆，林源渠，北京大学出版社 11元
常微分方程教程，丁同仁，李承治，高等教育出版社 12元
常微分方程（第二版），王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，高等教育出版社 15元
概率论引论，汪仁官, 北京大学出版社 12元
数理统计学讲义，陈家鼎、孙山泽、李东风编，高等教育出版社，1993 9.4元
数值计算方法，关治，陈景良， 清华大学出版社 17.0元
数值逼近，蒋尔熊等， 复旦大学出版社 12元
数值逼近 王仁宏，高教出版社 23.6元
数值线性代数，徐树方，高立，张平文，北京大学出版社，2000 13元
《算法与数据结构——C语言描述》张乃孝主编 高等教育出版社 2002 23元
《数据结构—C++与面向对象程序设计》张乃孝 裘宗燕 高教出版社 1998
高等教育数学分析高等代数参考书书单
数学分析高等代数参考书书单1.前言由于目前网络上数学分析与高等代数的参考书籍鱼龙混杂,特别制作一份书单,帮助学习数学分析与高等代数的学友清除认知障碍.事先声明,由于精力有限,笔者未能将书单中所有书籍细读过,只对笔者精读过的或者主流书籍做详细评价,其中部分评价是来源于网络与网友,若有不同的见解或者认为笔者的理解有误,恳请指出或补充。
2.数学分析板块以下分四个梯队介绍国内主流的数学分析读物(包含教材和习题集),最后还整理了一份硬核书单,建议读者量力而行。
梯队顺序是结合难度、应试、流畅性、流行度等等综合考虑的,并不是排在后面的一定质量不行。
同一梯队中一般不以质量设先后排名。
2.1第一梯队1.谢惠民.恽自求.易法槐.钱定边《数学分析习题课讲义》真正的数学分析习题集,数学分析的巅峰，打穿数学分析的必经之路。
正文介绍了许多在其他书中看不到的内容（如Dirichlet判别法的充要性,Gibbs现象），作者搜集了许多美国数学月刊上的问题。
思考题一针见血，正中靶心，完美诠释了初学者对一些问题的疑问;练习题多为中档题（考研难度，大量题目是考研真题），但也有些难题参杂其中;参考题整体难度偏高,许多题材来自于美国数学月刊,第二组参考题会涉及后续课程（实变泛函拓扑组合概率等等）的内容。
北大历年大一习题课教材，如果能全部独立做完足以和清北大佬谈笑风生。
唯一感觉不足的是小部分习题的选取煞风景，例如多元部分摘取了大量吉米多维奇上的繁琐计算题，又有些参考题难度的习题放在练习题，练习题难度的习题放在参考题。
当然，都是少数，瑕不掩瑜。
谢惠民也有一份讲稿,但不成气候,不作推荐。
2.徐森林.薛春华《数学分析》《数学分析精选习题全解》难度不逊于谢惠民,曾经的CMC数学类题库。
多元部分较为精彩（有较多篇幅介绍流形）,高度与深度齐备，内容齐全厚实，许多题目给了多种解法。
题材上与谢惠民史济怀有大量重复，尤其是史济怀的问题基本上可以在徐森林上找到，谢惠民的一些参考难题也可以找到。
典型相关分析及其应用实例
摘要典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用.本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性.【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用ABSTRACTThe Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis.This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life.【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications目录前言 (1)第1章典型相关分析的数学描述 (2)第2章典型变量与典型相关系数 (3)2.1 总体典型相关 (3)2.2 样本典型相关 (4)2.2.1 第一对典型相关变量的解法 (4)2.2.2 典型相关变量的一般解法 (8)2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关 (9)第3章典型相关变量的性质 (11)第4章典型相关系数的显著性检验 (15)第5章典型相关分析的计算步骤及应用实例 (18)5.1 典型相关分析的计算步骤 (18)5.2 实例分析 (19)结语 (26)致谢 (27)参考文献 (28)附录 (29)前言典型相关分析(Canonical Correlation Analysis ,CCA)作为多元统计学的一个重要部分，是相关分析研究的一个主要内容.典型相关分析不仅其方法本身具有重要的理论意义，而且它还可以作为其他分析方法，如多重回归、判别分析和相应分析的工具，因此在多元分析方法中占有特殊的地位.典型相关的概念是在两个变量相关的基础上发展起来的.我们知道，两个随机变量的相关关系可以用它们的简单相关系数来衡量；一个随机变量与一组随机变量之间的相关关系可以用复相关系数来衡量.但考虑一组随机变量与另一组随机变量的关系时，如果运用两个变量的相关关系，分别考虑第一组每个变量和第二组中每个变量的相关，或者运用复相关关系，考虑一组变量中的每个变量和另一组变量的相关，这样做比较繁琐，抓不住要领.因此，为了用比较少的变量来反映两组变量之间的相关关系，一种考虑的思路就是类似主成分分析，考虑两组变量的线性组合，从这两个线性组合中找出最相关的综合变量，通过少数几个综合变量来反映两组变量的相关性质，这样便引出了典型相关分析.典型相关分析的基本思想是首先在每组变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性，然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与第一对线性组合不相关，而第二对本身具有最大的相关性，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止.有了这样线性组合的最大相关，则讨论两组变量之间的相关，就转化为只研究这些线性组合的最大相关，从而减少研究变量的个数.典型相关分析是由Hotelling于1936年提出的.就目前而言，它的理论己经比较完善，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中计算方面的困难，成为普遍应用的进行两组变量之间相关性分析技术.如在生态环境方面，用典型相关理论对预报场与因子场进行分析，实现了短期气象预测；借助典型相关，分析了植被与环境的关系；在社会生活领域，应用典型相关分析了物价指标和影响物价因素的相关关系等等.第1章 典型相关分析的数学描述一般地，假设有一组变量p X X X ,,,21 与另一组变量q Y Y Y ,,,21 ，我们要研究这两组变量之间的相关关系，如何给两组变量之间的相关性以数量的描述.当q p 1时，就是我们常见的研究两个变量X 与Y 之间的简单相关关系，其相关系数是最常见的度量，定义为：)()(),(Y Var X Var Y X Cov xy当1 p ,1 q （或1,1 p q ）时，p 维随机向量'21),(p X X X X ，设),(~1p N Y X ， 22211211，其中，11 是第一组变量的协方差阵，12 是第一组与第二组变量的协方差阵，22 是第二组变量的协方差阵.则称221211121R 为Y 与p X X X ,,,21 的全相关系数，全相关系数用于度量一个随机变量Y 与另一组随机变量p X X X ,,,21 的相关系数.当1, q p 时，利用主成分分析的思想，可以把多个变量与多个变量之间的相关化为两个新的综合变量之间的相关.也就是做两组变量的线性组合即X X X X U p p '2211 Y Y Y Y V q q '2211其中，'21),,,(p 和'21),,,(q 为任意非零向量，于是我们把研究两组变量之间的问题化为研究两个变量V U 与之间的相关问题，希望寻求 ，使U ，V 之间最大可能的相关，我们称这种相关为典型相关，基于这种原则的分析方法就是典型相关分析.第2章 典型变量与典型相关系数2.1 总体典型相关设有两组随机变量'21),,,(p X X X X ,'21),,,(q Y Y Y Y ,分别为维维和q p 随机向量，根据典型相关分析的思想，我们用X 和Y 的线性组合X ' 和Y ' 之间的相关性来研究两组随机变量X 和Y 之间的相关性.我们希望找到 和，使得）（‘Y X ', 最大.由相关系数的定义)()(),(),(''''''Y Var X Var Y X Cov Y X易得出对任意常数d c f e ,,,，均有),(])(,)([''''Y X d Y c f X e这说明使得相关系数最大的Y X '', 并不唯一.因此，为避免不必要的结果重复，我们在求综合变量时常常限定1)(' X Var ， 1)(' Y Var于是，我们就有了下面的定义：设有两组随机变量'21),,(p X X X X ，'21),,(q Y Y Y Y ，q p 维随机向量Y X 的均值向量为零，协方差阵0 （不妨设q p ）.如果存在'1111),,(p 和'1111),,(q ，使得在约束条件1)(' X Var ，1)(' Y Var 下，),(m ax ),('''1'1Y X Y X则称Y X '1'1, 是Y X ,的典型相关变量，它们之间的相关系数称为典型相关系数；其他典型相关变量定义如下：定义了前1 k 对典型相关变量之后，第k 对典型相关变量定义为：如果存在'1),,(pk k k 和'1),,(qk k k ，使得 ⑴ Y X k k '', 和前面的1 k 对典型相关变量都不相关；⑵ 1)(' X Var k ，1)(' Y Var k ； ⑶ Y X k k '' 和的相关系数最大，则称Y X k k '' 和是Y X ,的第k 对（组）典型相关变量，它们之间的相关系数称为第k 个典型相关系数（p k ,,2 ）.2.2 样本典型相关以上是根据总体情况已知的情形进行，而实际研究中，总体均值向量 和协方差阵 通常是未知的，因而无法求得总体的典型相关变量和典型相关系数，首先需要根据观测到的样本数据阵对 进行估计. 2.2.1 第一对典型相关变量的解法设总体'11),,,,,(q p Y Y X X Z ，已知总体的n 次观测数据为：1)()()()(q p t t t Y X Z （n t ,,2,1 ）， 于是样本数据阵为)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x若假定),,(~ q p N Z 则由参考文献【2】中定理2.5.1知协方差阵 的最大似然估计为'1)()()()(1nt t t Z Z Z Z n其中Z = nt t Z n 1)(1，样本协方差矩阵S 为：22211211S S S SS 式中nj j j X X X X n S 1'11)()(1'112)()(1 Y Y X X n S j nj j 21S nj j j X X Y Y n 1')()(1 '122)()(1 Y Y Y Y n S j nj jn j j X n X 11， nj j Y n Y 11令j j X U ' ，j j Y V ' ，则样本的相关系数为nj jnj jj nj j j j V VU UV V U U V U r 1212'1)()()()(),(又因为：X X n X n U n U n j j n j j n j j '1'1'1111Y Y n Y n V n V n j j n j j n j j '1'1'111112''''1'''1)()(1)()(1S Y Y X X n V V U U n S j n j j j n j j V U jj 11''''1'''1)()(1)()(1S X X X X n U U U U n S j n j j j n j j U U jj 22''''1'''1)()(1)()(1S Y Y Y Y n V V V V n S j n j j j n j j V V jj 所以22'11'12'),(S S S V U r j j由于j U ，j V 乘以任意常数并不改变他们之间的相关系数，即不妨限定取标准化的j U 与j V ，即限定j U 及j V 的样本方差为1，故有：1 j j j j V V U U S S （2.2.1） 则 12'),(S V U r j j （2.2.2） 于是我们要求的问题就是在（2.2.1）的约束条件下，求p R ，q R ，使得式（2.2.2）达到最大.这是条件极值的问题，由拉格朗日乘子法，此问题等价于求 ， ，使)1(2)1(2),(22'11'12'S S S（2.2.3） 达到最大.式中，，为拉格朗日乘数因子.对上式分别关于 ， 求偏导并令其为0，得方程组：0022211112S S S S （2.2.4）分别用' ，' 左乘方程（2.2.4）得22'21'11'12'S S S S 又 '12')( S 21'S 所以'12'21')(S S也就是说，正好等于线性组合U 与V 之间的相关系数，于是（2.2.4）式可写为：0022211112 S S S S 或 022211211S S S S（2.2.5） 而式（2.2.5）有非零解的充要条件是：022211211S S S S （2.2.6）该方程左端是的q p 次多项式，因此有q p 个根.求解的高次方程（2.2.6），把求得的最大的代回方程组（2.2.5），再求得 和 ，从而得出第一对典型相关变量.具体计算时，因的高次方程（2.2.6）不易解，将其代入方程组（2.2.5）后还需求解q p 阶方程组.为了计算上的方便，我们做如下变换：用12212 S S 左乘方程组（2.2.5）的第二式，则有12212 SS 21S -02212212S S S 即 12212 S S 21S = 12S又由（2.2.5）的第一式，得 1112S S代入上式： 12212 SS 21S 0112S(0)1122112212 S S S S （2.2.7）再用111 S 左乘式（2.2.7），得(111S12212 SS 0)221p I S （2.2.8）因此，对2有p 个解，设为22221p r r r ，对 也有p 个解.类似地，用11121 S S 左乘式（2.2.5）中的第一式，则有011111211211121S S S S S S （2.2.9）又由（2.2.5）中的第二式，得2221S S代入到（2.2.8）式，有 11121( SS 12S 0)222S再以122 S 左乘上式，得0)(21211121122q I S S S S （2.2.10）因此对2有q 个解，对 也有q 个解，因此2为111S 12212 S S 21S 的特征根， 是对应于2的特征向量.同时2也是1211121122S S S S 的特征根， 为相应特征向量.而式（2.2.8）和（2.2.10）有非零解的充分必要条件为：002121112112222112212111q p I S S S S I S S S S （2.2.11）对于（2.2.11）式的第一式，由于011 S ，022 S ，所以0111S ，0122 S ，故有：2112212111S S S S 2121221221221112111S S S S S S 而2121221221221112111S S S S S S 与2111211222122122111 S S S S S S 有相同的特征根.如果记T 12212111 S S S则 2111211222122122111S S S SS S='T T类似的对式（2.2.11）的第二式，可得T T S S SSS S'21221221112111212122而'T T 与T T '有相同的非零特征根，从而推出（2.2.8）和（2.2.10）的非零特征根是相同的.设已求得'T T 的p 个特征根依次为： 022221p则T T '的q 个特征根中，除了上面的p 个外，其余的p q 个都为零.故p 个特征根排列是021 p ，, 1210 p p ，因此，只要取最大的1 ，代入方程组（2.2.5）即可求得相应的1 ，1 .令U =X '1 与Y V '1 为第一对典型相关变量，而1'112'1),( S V U r 为第一典型相关系数.可见求典型相关系数及典型相关变量的问题，就等价于求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量. 2.2.2 典型相关变量的一般解法从样本典型相关变量的解法中，我们知道求典型相关变量和典型相关系数的问题，就是求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量.不仅如此，求解第k 对典型相关变量和典型相关系数，类似的也是求'T T 的第k 大的特征值和相应的特征向量.下面引用参考文献【2】中定理10.1.1 来得出样本典型相关的一般求法.设总体的n 次观测数据为：1)()()()( q p t t t Y X Z （n t ,,2,1 ） 不妨设q p ，样本均值为0，协方差矩阵S 为：22211211S S S SS 0 记2122122111S S ST ，并设p 阶方阵'T T 的特征值依次为022221p （p i i ,,1,0 ）；而p l l l ,,,21 为相应的单位正交特征向量.令 kk l S2111，k k k S S 211221则X U k k '，Y V kk '为Y X ,第k 对典型相关变量，'k为第k 典型相关系数. 由上述分析不难看出，典型相关系数i 越大说明相应的典型变量之间的关系越密切，因此一般在实际中忽略典型相关系数很小的那些典型变量，按i 的大小只取前n 个典型变量及典型相关系数进行分析. 2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关以上我们从样本协方差阵S 出发，导出了样本典型相关变量和样本典型相关系数.下面我们从样本相关阵R 出发来求解样本典型相关变量和样本典型相关系数.设样本相关阵为)(ij r R ，其中jj ii ij ij s s s r / ，ij s 为样本协方差阵S 的i 行j 列元素.把R 相应剖分为22211211R R R R R 有时，Y X 和的各分量的单位不全相同，我们希望在对各分量作标准化变换之后再做典型相关.记)(1X E ，)(2Y Epp s s D 00111q p q p p p s s D ,1,1200则 111111D R D S ，222222D R D S 212112D R D S ，121221D R D S , 对Y X 和的各分量作标准化变换，即令)(111* X D X ，)(212* Y D Y现在来求*X 和*Y 的典型相关变量*'*X i ，*'*Y i ，m i ,,2,1 . **11111111X X S D S D R**11222222Y Y S D S D R **11112212X Y S D S D R **11221121Y X S D S D R于是1121122121111112112112221212121111111112112212111)()( D S S S S D D S D D S D D S D D S D R R R R因为 2112212111S S S S i i i r 2 1121122121111 D S S S S D )()(121i i i D r D 所以 2112212111R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ，有111'1111'*11'* i i i i i i S D R D R同理： 1211121122R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ，有122'2222'*22'* i i i i i i S D R D R ，由此可见*i ，*i 为**,Y X 的第i 对典型系数，其第i 个典型相关系数为i r ，在标准化变换下具有不变性.第3章 典型相关变量的性质根据典型相关分析的统计思想及推导，我们归纳总结了典型相关变量的一些重要性质并对总体与样本分别给出证明.性质1 同一组的典型变量互不相关 ⅰ总体典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ，Y V i i ' ，m i ,,2,1则有 0),( j i U U 0),( j i V V m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ，Y V i i ' ，m i ,,2,1因为 '111i i U U i i S S ，'221i iVV i i S S ，m i ,,2,1 '11(,)0i j i j U U i j r U U S S ，m j i 1'22(,)0i ji j VV i j r V V S S ，m j i 1 表明由X 组成的第一组典型变量m U U U ,,,21 互不相关，且均有相同的方差1；同样，由Y 组成的第二组典型变量m V V V ,,,21 也互不相关，且也有相同的方差1.性质2 不同组的典型变量之间的相关性ⅰ总体典型相关i i i V U ),( m i ,,2,10),( j i V U m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关i i i i i r V U r S ),(12' ， m i ,,2,1'1211''22111222(,)0,1i j i j U V i ji j j i j r U V S S S S S r i j m表明不同组的任意两个典型变量，当j i 时，相关系数为i r ；当j i 时是彼此不相关的.记'21),,,(m U U U U ，'21),,,(m V V V V ，则上述性质可用矩阵表示为 ,UU m VV m S I S IUV S或 mm IU S I V其中12(,,...,)m diag r r r性质3 原始变量与典型变量之间的关系 求出典型变量后，进一步计算原始变量与典型变量之间的相关系数矩阵，也称为典型结构.下面我们分别对总体与样本进行讨论.ⅰ总体典型相关的原始变量与典型变量的相关性详见参考文献【2】. ⅱ样本典型相关 记m p ij m A )(),,,(21 m q ij m B )(),,,(21S22211211S S S S =q p q p p q p pq p q p q p p p p p p p q p p p p pp p q p p p s s s s s s s s s s s s s s s s ,1,,1,,11,1,11,1,1,1,11,1111则A S X A X A X X n S n i i XU11'''1)()(1 B S X B X B X X n S n i i XV12'''1)()(1 A S X A X A Y Y n S n i i YU21'''1)()(1 B S Y B Y B Y Y n S n i i YV22'''1)()(1所以利用协方差进一步可以计算原始变量与典型变量之间的相关关系.若假定原始变量均为标准化变量，则通过以上计算所得到的原始变量与典型变量的协方差阵就是相关系数矩阵.1(,)pi j ik k r X U s,1(,)qi j i p k k r X V sp i ,,2,1 ， m j ,,2,1,1(,)pi j i p k kjk r Y U s,1(,)qi j i p p k kjk r Y V s q i ,,2,1 ， m j ,,2,1性质4 设Y X 和分别为维维和q p 随机向量，令d X C X '*，h Y G Y '*，其中C 为p p 阶非退化矩阵，d 为p 维常数向量，G 为q q 阶非退化矩阵，q h 为维常数向量.则：ⅰ对于总体典型相关有：⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ，其中i i a C a 1* ，i i b G b 1* （p i ,,2,1 ）；而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a Y b X a i i i i ，即线性变换不改变相关性. 证明详见参考文献【2】.ⅱ对于样本典型相关有：⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ，其中i i a C a 1* ，i i b G b 1* （p i ,,2,1 ）；而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a r Y b X a r i i i i ，即线性变换不改变相关性. 证明：⑴ 设**Y X 和的典型相关变量分别为*'*)(X a U i ，*'*)(Y b V i由于 i i a C a 1* ，i i b G b 1*d X C X '*，h Y G Y '*所以 d C a X a d X C C a d X C a C U i i i i '1''''1'''1)()()()()(h G b Y b h Y G G b h Y G b G V i i i i '1''''1'''1)()()()()(即有i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数. ⑵ 由⑴的证明可知*'*)(X a U i d C a X a i i '1'')( *'1'''*)()(h G b Y b Y b V i i i由于d C a i '1')( 与h G b i '1')( 都是常数，所以],[])(,)([])(,)[('''1'''1''*'**'*Y b X a r h G b Y b d C a X a r Y b X a r i i i i i i i i 即有线性变换不改变相关性.性质5 简单相关、复相关和典型相关之间的关系当1 q p ， Y X 与之间的（惟一）典型相关就是它们之间的简单相关；当Y X q p 与时或,11 之间的（惟一）典型相关就是它们的复相关.复相关是典型相关的一个特例，而简单相关又是复相关的一个特例.从第一个典型相关的定义可以看出，第一个典型相关系数至少同)(Y X 或的任一分量与)(X Y 或的复相关系数一样大，即使所有这些复相关系数都很小，第一个典型相关系数仍可能很大；同样，从复相关的定义也可以看出，当1 p （或1 q ）时，)()(X Y Y X 或与或之间的复相关系数也不会小于)()(X Y Y X 或与或的任一分量之间的相关系数，即使所有这些相关系数都很小，复相关系数仍可能很大.第4章 典型相关系数的显著性检验设总体Z 的两组变量'21),,,(p X X X X ，'21),,,(q Y Y Y Y ，且'),(Y X Z ),(~ q p N ，在做两组变量X ，Y 的典型相关分析之前，首先应该检验两组变量是否相关，如果不相关，则讨论两组变量的典型相关就毫无意义. 1．考虑假设检验问题：0H ：021 m1H ：m ,,,21 至少有一个不为零其中 q p m ,m in .若检验接受0H ，则认为讨论两组变量之间的相关性没有意义；若检验拒绝0H ，则认为第一对典型变量是显著的.上式实际上等价于假设检验问题0H ：0),(12 Y X Cov ， 1H ：012用似然比方法可导出检验0H 的似然比统计量||||||2211S S S其中q p 阶样本离差阵S 是 的最大似然估计，且S =22211211S S S S ，11S ，22S 分别是11 ，22 的最大似然估计.该似然比统计量 的精确分布已由霍特林（1936），Girshik （1939）和Anderson （1958）给出，但表达方式很复杂，又不易找到该分布的临界值表，下面我们采用 的近似分布.利用矩阵行列式及其分块行列式的关系，可得出：||·||||21122121122S S S S S S =|S S S S |·|S |·||21-12212-1111122 p S所以)1(001001||212212112212111ipi p p S S S S其中 2i是'TT 的特征值（2122122111S S S T ），按大小次序排列为 2122 02 p，当1 n 时，在0H 成立下 ln 0m Q 近似服从2f 分布，这里pq f ，)1(211 q p n m ，因此在给定检验水平 之下，若由样本算出的20 Q 临界值，则否定0H ，也就是说第一对典型变量1 U ，1V 具有相关性，其相关系数为1 ，即至少可以认为第一个典型相关系数1为显著的.将它除去之后，再检验其余1 p 个典型相关系数的显著性，这时用Bartlett 提出的大样本2 检验计算统计量：pi ip22223221)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q近似地服从（1 p ）（1 q ）个自由度的2分布，如果21 Q ，则认为2显著，即第二对典型变量2U ，2V 相关，以下逐个进行检验，直到某一个相关系数k检验为不显著时截止.这时我们就找出了反映两组变量相互关系的1 k 对典型变量.2．检验)(0k H ： ),,2(0p k k当否定0H 时，表明Y X ,相关，进而可以得出至少第一个典型相关系数01 ，相应的第一对典型相关变量11,V U 可能已经提取了两组变量相关关系的绝大部分信息.两组变量余下的部分可认为不相关，这时0 k ),,2(p k ，故在否定0H 后，有必要再检验)(0k H ),,2(p k ，即第k 个及以后的所有典型相关系数均为0),,3,2(p k .为了减少计算量，下面我们采用二分法来减少检验次数，取检验统计量为p ki i k q p k n Q )1ln()]1(21[2它近似服从)1)(1( k q k p 个自由度的2 分布.在检验水平 下，若)]1)(1[(2k q k p Q k ，则拒绝0H ，即认为第k 对典型相关系数在显著性水平 下是显著的，否则不显著.从第2个典型相关系数到第p 个典型相关系数，共1 p 个数，所以根据二分法的原理，将它们分为一个区间 p ,2，然后先检验第 21p 个典型相关系数即中位数，当021p 时，即认为第 21p 个典型相关系数不相关，否定原假设，接着检验21,2p ；若当021p 时，则检验p p ,21.如此划分区间依次检验下去，由数学分析上的区间套定理，一定存在第k 个数),,3,2(p k ，使得01 k ，而0 k .以上的一系列检验实际上是一个序贯检验，检验直到对某个k 值0H 未被拒绝为止.事实上，检验的总显著性水平已不是 了，且难以确定.还有，检验的结果易受样本容量大小的影响.因此，检验的结果只宜作为确定典型变量个数的重要参考依据，而不宜作为惟一的依据.第5章 典型相关分析的计算步骤及应用实例5.1 典型相关分析的计算步骤设)()1(,,n X X 为取自正态总体的样本（实际上，相当广泛的情况下也对），每个样品测量两组指标，分别记为'1),,(p X X X ，'1),,(q Y Y Y ，原始资料矩阵为：)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x第一步 计算相关矩阵R ，并将R 剖分为22211211R R R R R 其中11R ，22R 分别为第一组变量和第二组变量之间的相关系数矩阵，'2112R R 为第一组与第二组变量之间的相关系数.第二步 求典型相关系数及典型变量首先求2112212111R R R R A的特征根 2i，特征向量)(1i D；1211121122R R R R B的特征根2i，特征向量)(2i D.)()(111)(i i D D，)()(212)(i i D D写出样本的典型变量为 X U ’)1(1，Y V ’)1(1X U ’)2(2，Y V ’)2(2X U p p ’)(，Y V p p ’)(第三步 典型相关系数的显著性检验 首先，检验第一对典型变量的相关系数，即0H ：0^1 ，1H ：0^1它的似然比统计量为pi i p1^2^2^22^211)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q给定显著性水平 ，查表得2，若21 Q ，则否定0H ，认为第一对典型变量相关，否则不相关.如果相关则依次逐个检验其余典型相关系数，直到某一个相关系数^k ),,2(p k 检验为不显著时截止.5.2 实例分析例1：某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标：体重)(1x 、腰围（2x ）、脉搏（3x ）和三个训练指标：引体向上（1y ）、起坐次数（2y ）、跳跃次数（3y ）.数据如附录1：解：记'321),,(x x x X ，'321),,(y y y Y ，其中样本容量20 n .附录1中的数据用SPSS 统计软件计算得六个变量之间的相关矩阵如下：n Sig.(2-tailed) .113 .127. .526 .340 .884 N 20 20 20 202020 Y1Pearson Correlatio n -.390 -.552(*) .1511 .696(**).496(*)Sig.(2-tailed) .089 .012.526 . .001 .026 N 20 20 20202020Y2PearsonCorrelatio n -.493(*)-.646(**).225 .696(**) 1 .669(**)Sig.(2-tailed) .027 .002.340 .001 . .001 N 20 20 20 202020 Y3Pearson Correlatio n -.226 -.191 .035.496(*) .669(**)1Sig.(2-tailed) .337 .419.884 .026 .001 . N 20 2020202020** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).即样本相关矩阵为：11R =1353.0366.01870.0122R =1669.0496.01696.01'2112R R =035.0225.0151.0192.0646.0552.0226.0493.0390.0于是特征方程 022112212111 R R R R用Matlab 求得矩阵2112212111R R R R 的特征值分别为0.6630、0.0402和0.0053，于是 797.01 ，201.02 ，073.03下面我们进行典型相关系数的显著性检验，先检验第一对典型变量的相关系数，欲检验：0H ：01 ， 1H ：01 它的似然比统计量为)1)(1)(1(2322211 =3504.0)0053.01)(0402.01)(6330.01( 255.163504.0ln 5.15ln )]333(2120[11 Q查2 分布表得，919.16)9(205.0 ，因此在05.0 的显著性水平下，)9(205.01 Q ，所以拒绝原假设0H ，也即认为第一对典型相关变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数，即进一步检验：0H ：02 ， 1H ：02它的似然比统计量为9547.0)0053.01)(0402.01()1)(1(23222 )4(488.9745.09547.0ln 08.16ln ])333(21120[205.02212 Q 所以无法否定原假设0H ，故接受0H ：02 ，即认为第二对典型相关变量不是显著相关的.由以上检验可知只需求第一对典型变量即可. 于是求797.01 的特征向量 *1，而*1*12112211R R ，解得059.0579.1775.0*1，716.0054.1350.0*1 ， 因此，第一对样本典型变量为*3*2*1*1059.0579.1775.0x x x u *3*2*1*1716.0054.1350.0y y y vY X 与第一对典型变量的相关系数为797.01 ，可见两者的相关性较为密切，即可认为生理指标与训练指标之间存在显著相关性.例2：为了研究某企业不同部门人员工作时间的关系，随机选取25个企业进行入户调查，达到25个被访企业业务部门和技术部门经理每月工作时间和员工每月工作时间（单位为小时），具体数据如附表2分析：设业务部门经理和员工每月工作时间为（21,X X ），技术部门经理和员工每月工作时间为（21,Y Y ），利用典型相关分析研究企业业务部门和技术部门人员工作时间的关系.解：样本容量为25 n ，2 p ，2 q 分别为随机变量Y X 与的维数.⑴ 标准化随机变量'21),(X X X 与'21),(Y Y Y .根据样本均值i x与标准差ii S ，依照公式iiiki ki S x x x*，对数据标准化.⑵ 求解Y X 的相关矩阵R ，并将其分块yy yxxy xx R RR R R . 将数据输入SPSS 软件求得相关系数矩阵如下：Correlations** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).所以样本相关矩阵1834.0705.0705.01693.0711.01735.01R 分块后2222 yy yx xy xx R RR R R ⑶ 求解534949.0538840.0538840.0544309.011111yx yy xy xx R R R R M 的两个非零特征根，解得两个非零特征根为6218.021 ，0029.022 .⑷ 进行相关系数的显著性检验，取r m 个显著性检验不为0的特征根.Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ，Y X 与第二对典型变量的相关系数为0537.02 .先检验第一对典型变量的相关系数，假设01H ：01 （即第一对典型变量不相关），由典型相关系数的值可得3771.0)1)(1(22211计算统计量97.203771.0ln )5.224(ln )]1(21)1[(11 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0488.9)4()1)(1(97.20205.021 m q m p Q所以否定零假设.01H ：01 ，即第一对典型变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数，假设02H ：02 （即第二对典型变量不相关），由典型相关系数的值可得9971.0)1(222 计算统计量05945.09971.0ln )5.224(ln )]1(21)2[(22 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0841.3)1()1)(1(05945.0205.022 m q m p Q所以无法否定假设.02H ：02 ，即第二对典型变量不是显著相关的.由以上检验可知，只需求第一对典型变量即可.⑸ 求1 m 个显著性检验不为0的特征根21 的特征向量1l ，而11111l R R m yx yy，解得'1)521548.0,55216.0( l ，'1)538134.0,504018.0( m .⑹ 求出r 对典型相关变量X l u j j ' ，Y m v j j ' ，.,,2,1m j 根据上面求得的特征向量11m l 和，得第一对典型相关变量为21'1121'11538134.0504018.0521548.055216.0Y Y Y m v X X X l u Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ，可见其相关性较为密切.⑺ 由于21'11521548.055216.0X X X l u ，与业务部门经理和员工每月工作时间都成正比，而且系数差不多，所以u可以解释为业务部门人员工作时间.同1理v可以解释为技术部门人员的工作时间.可见一个企业技术部门和业务部门人1员月工作时间存在显著的相关性.典型相关分析是一种采用类似主成分分析的做法，在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标（变量的线性组合），通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系.在实际中，只须着重研究相关关系较大的那几对典型相关变量.本文首先根据典型相关分析的统计理论，初步探讨了总体典型相关变量和典型相关系数，然后重点讨论了样本典型相关分析，以及它们的一系列性质与显著性检验，并做了相应的实例分析.通过实例分析，我们进一步明确了典型相关分析是研究两组变量之间相关性的一种降维技术的统计分析方法.而复相关是典型相关的一个特例，简单相关是复相关的一个特例.第一对典型相关包含有最多的有关两组变量间相关的信息，第二对其次，其他对依次递减.各对典型相关变量所含的信息互不重复.并且经标准化的两组变量之间的典型相关系数与原始的两组变量间的相应典型相关系数是相同的.本文是在我的指导老师吴可法教授的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学习生涯和论文工作中无不倾注着老师的辛勤汗水和殷切关怀.吴老师宽厚的人格、敏捷的思维、严谨的治学态度、渊博的知识、积极向上的人生态度、平易近人的师长风范和两年来的谆谆教导，使我深受启迪，并永远铭记在心.从吴老师身上，我不仅学到了扎实的专业知识和技能，更学到了做人的道理，这些教诲必将成为惠及一生的宝贵财富.在此谨向吴老师致以最衷心的感谢和美好的祝愿!论文期间，我得到了许多老师和同学的帮助，本人在这里对他们致以衷心的感谢.我还要感谢我的家人，是他们的理解、支持和鼓励，使我的学习能够顺利进行.最后衷心感谢在百忙之中评审论文和参加答辩的各位专家、教授!。
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
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数学分析中应用极限定义证题法
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数学分析中应用极限定义证题法
关忠义
（秦安县兴国中学， 甘肃秦安７４１ ６００）
摘 要：要掌握极限的概念和方法，首先，必须掌握极限的“８一旷．“８—６”定义以及要了解数列极限和函数极限的不同之处，在 数学中，我们把用极限的定义验证或进行有关证明的方法称为“８—６（Ｍ”证题法。文中详细概述了极限的定义以及用极限概念证明题目的 步骤及要注意的地方．最后列举出了证题的方法，其中包括直接证法和间接证法。而间接证法又包括了简单法、限制法、二项公式法、分 段放大法、以及递推公式法五种。本文所要研究的问题就是以上这些，即通过“８一＾ｒ’。 “８—６”定义来证明极限，通过典型例题，介
可以任意选取（只要大于零），这是￡的本质特征：二是它的相对 固定性，虽然可以任意选取给定，但一经给出就相对固定了下来， 作为一个固定的数对待．这就是常说的￡的二重性。
￡的二重性给我们指出：一个数列逼近它的极限过程，是一个 无限变化的过程，且这个过程又要一步一步地来实现，而这一步的 变化是有限的，因此说，极限是建立在无限观念上的一个数学概念。 ８的二重性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证关系， 极限也是人们从近似认识精确的一个数学方法。
（４）数列极限的定义没有指出如何求数列的极限，但给出了判 断一个常数ａ是否是数列极限的方法，即如果对于任意给定的ｓ＞０，
由ｌ口。一口Ｉ＜８能求出Ⅳ，使它在ｎ＞＾ｒ时成立，则常数口就是｛口．｝的极限， 反之对于任意给定的８＞Ｏ，通过Ｊ口．一口ｌ＜ｅ，找不到Ⅳ，使得疗＞Ⅳ时， 则常数口就不是数列｛４。｝的极限。
极限概念是数学分析中最为重要的概念，这不仅仅是因为数学 分析中的许多重要概念（连续、导数、积分等）都是用极限定义的， 而且，由极限概念出发形成的极限理论是数学分析乃至整个分析数 学的基础。从极限概念出发产生的极限思想，是掌握极限方法在数 学分析学习中的关键，同时对于整个后继课程的学习也具有决定性 的意义。
数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法（定稿）（1）..
阜阳师范学院信息工程学院u F uy n y a ng g S h f i fa a n X u X ue u e y ua a n n X i nx x i G o G on n g h c he n e ng g X u X ue u e y uan an 本科毕业论文题 目目: : 数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法学学 生生: : 方方 常常 学学 号：号：号： 201002010312 201002010312 学学 院：院：院： 阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院专 业：业：业： 数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学 入学时间入学时间: 2010 : 2010 : 2010 年年 09 09 月月 13 13 日日 指导教师：指导教师： 王海坤王海坤王海坤 职称职称职称: : : 教授教授教授完成日期：完成日期：完成日期： 2014 2014 2014 年年 4 4 月月 20 20 日日诚信承诺书我谨在此承诺::本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种我谨在此承诺常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。
如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。
承诺人（签名）年月日目录摘要、关键字摘要、关键字 ...............................................................（...............................................................（11） 1 1 引言引言引言 .....................................................................（.....................................................................（.....................................................................（11） 2 2 极限的求法极限的求法极限的求法 ............................................................（............................................................（ (11)2.1 2.1 利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（利用两个准则求极限..........................................（11） 2.2 2.2 利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（利用导数的定义求极限.......................................（22） 2.3 2.3 利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（利用两个重要极限公式求极限..............................（33） 2.4 2.4 利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（利用函数的连续性求极限....................................（33） 2.5 2.5 利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（利用等价无穷小量代换求极限..............................（44） 2.6 2.6 利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（利用泰勒展开式求极限.......................................（44） 2.7 2.7 利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（利用洛必达法则求极限.......................................（55） 2.8 2.8 利用定积分求极限利用定积分求极限利用定积分求极限 ..........................................（..........................................（..........................................（66） 3 3 结束语结束语结束语 ..................................................................（..................................................................（..................................................................（66） 参考文献参考文献 .....................................................................（ (77)数学分析中求极限的几种常用方法姓名：方常方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤王海坤摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
数学分析考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程性质和目的《数学分析》是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及有关的《泛函分析》、《微分几何》等限选课程及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。
通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。
整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。
二、课程内容充分条件，必要条件，充要条件，绝对值，不等式，函数，单调函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，初等函数，数列极限，数列极限的性质，单调有界数列，子数列，函数极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，两个重要极限，无穷小量与无穷大量，闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则，连续，左连续，右连续，间断点，函数在一点连续的性质，中间值定理，有界性定理，最大值与最小值定理，反函数的连续性定理，一致连续性定理，初等函数的连续性，导数，求导法则，微分，微分与导数的关系，高阶导数，高阶微分，参数方程求高阶导数，费尔马定理，洛尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必达法则，泰勒公式，单调性判别法，极值，凹凸性，拐点，曲线的渐近线，函数作图，不定积分，换元法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分，无理函数的积分，平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长，曲线的曲率，上极限，下极限，数项级数，正项级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛，无穷乘积，无穷积分，瑕积分，反常积分的收敛与发散，反常积分的计算，柯西主值，函数列，函数项级数，一致收敛，非一致收敛，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛域，幂级数的性质，幂级数的展开，富里埃级数，富里埃级数的展开，平面点集，多元函数的极限，多元函数的连续性，偏导数，全微分，方向导数，复合函数的偏导数，一阶全微分形式的不变性，高阶偏导数，高阶全微分，泰勒公式，多元函数的极值，隐函数存在定理，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值，含参变量的定积分，含参变量反常积分的一致收敛，含参变量反常积分的分析性质，欧拉积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第一型曲面积分，第二型曲面积分，奥高公式，斯托克斯公式。
数学分析(下册)(华东师大第三版)
!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"	时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+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4个数字组成乘积最大或最小的题目
题目：4个数字组成乘积最大或最小的探讨随着现代科学技术的不断发展，数学作为一门严谨的科学学科，不断给我们带来新的思考和挑战。
其中，有一个经典的问题是关于如何从一组数字中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
这个问题涉及到组合数学、数学分析以及最优化理论等诸多领域，具有一定的研究价值。
本文将从理论和实践两个方面探讨这一问题。
一、理论探讨1. 形式化问题我们需要形式化地描述这个问题。
假设给定一组数字a、b、c、d……n，我们的目标是从中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
这个问题可以形式化地表示为寻找a、b、c、d使得max(a*b*c*d)或者min(a*b*c*d)。
2. 解决方案为了解决这个问题，我们可以采用穷举法、贪婪算法、动态规划、遗传算法等不同的方法。
穷举法是一种简单直接的方法，但在数据量较大时效率较低；贪婪算法则是一种寻找局部最优解的方法，可能不能保证全局最优解；动态规划是一种适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题的方法，可以得到最优解；遗传算法则是一种模拟生物进化过程的方法，通过种群的选择、交叉和变异逐步优化得到最优解。
3. 时间复杂度和空间复杂度针对不同的解决方案，我们需要分析它们的时间复杂度和空间复杂度。
在实际应用中，我们需要综合考虑算法的效率和可行性，选择合适的解决方案。
二、实践探讨1. 问题示例我们以具体的例子来说明这个问题。
假设给定一组数字{1, 2, 3, 4, 5}，我们的目标是从中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
在这个例子中，我们可以通过穷举法、贪婪算法、动态规划或者遗传算法来解决这个问题。
2. 结果分析我们可以分别使用不同的方法，得到不同的结果。
通过穷举法我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为2；通过贪婪算法我们可以得到最大乘积为60，最小乘积为2；通过动态规划我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为2；通过遗传算法我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为8。
九年级数学最大值、最小值问题
通过代入原题、反证法等方式 检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件， 导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除 运算错误、开方运算错 误等。
03
理解错误，如对题意理 解不准确、对概念理解 模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳 跃、缺少必要的说明和 推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数 所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。 例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计 师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们 做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直 线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等 式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号 成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等 式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问 题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符 合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型， 明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。
“数学分析”精品书籍推荐
书里面有一些提高性的内容，可以看看。
4《数学分析》(第3版) 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋著
普通高等教育“十一五”国家级规划教材。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，据说是用物理的观点写的，而且有的地方确实如果不听老师讲，你不知道它在说什么。虽然如此，许多大学都还是把它作为教材或研究生入学考试的指定用书。可以说，它是一本优点与缺点一样突出的老教科书。
其中前三卷（册）属于数学分析的所有内容，第四卷（册）主要介绍代数矩阵论的基本理论及其应用。
国外经典教材有：
9《微积分学教程》(共三卷)，《数学分析原理》(共两卷) 菲赫金哥尔茨著
不用多说，几乎每个对数学稍微了解一些的人都知道它的大名。书中很少涉及现在流行的集合论的观点，但对初学者而言毫无影响，甚至使一些概念更清晰了。书的内容也相当的翔实，每本书很厚(因此也很贵，记得好像每本五十多RMB)，字号又不大。由于我们从小是学习欧美符号系统的，不习惯苏联的一套符号系统，看这本书还是很麻烦，并且还很贵，个人建议作为参考书来使用。其实连作者本人(莫斯科大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了适合做教材的后一套书,这是一个精简的版本(有所补充的是在书的最后给出了一个后续课程的简介)。
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上传时间 2010-12-12 作者：杜爽杰 阅读次数：578
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“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。这里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期(各个院校应该一样吧)，学的时间也够长的~
数学分析中的典型问题和方法第二章课后练习题答案裴礼文
裴礼文第二章习题解答2.1.1 研究函数2.1.2 设试研究2.1.3 设2.1.4 设函数在上连续且恒大于零,按:在2.1.5 设则对任意一个实数,必有实数,使(上海交通大学)2.1.6 函数在内连续,证明:在内存在点,使(华中理工大学,长春理工大学)2.1.7 设在上连续,证明:存在,使得(北京大学)2.1.8 设上连续,若,且在处达最小值,若,证明:至少在两点达到最小值. (哈尔滨工业大学)2.1.9 若函数在上连续,,则对任何,存在,使得(湖北大学)2.1.10 设证明:1)方程在上有唯一的实根;2)数列2.1.11 讨论函数的连续性与可微性. (内蒙古大学)2.1.12 用语言证明:如果,连续,且2.1.13 设,(湖南大学)2.1.14 证明:若函数处处连续且为一一映射,则在上必为严格单调.2.1.15 如果上连续,且(为有限数),则在上有界. (复旦大学)2.1.16 设函数试证:在上有最大值. (西北大学)2.1.17 若函数在上有界,令证明:1)当时的极限存在;2)函数在处连续的充要条件是2.1.18 设函数在区间上有界,试证函数在上左连续,并举例说明它们可以不右连续.2.1.19 已知其中求函数在时的具体表达式,并指出在各点处的左右连续性.(北京航空航天大学)2.1.20 设在上定义,并且有界,为二常数,时,有试证在处右连续.2.1.21 设试证为.2.1.22 函数在2.1.23 使得2.1.24 试证:至少存在组不同的解使得2.1.25用确界存在原理(非空有上(下)界数集必有上(下)确界)证明:若(西北大学)2.1.26 设在至少存在一点2.1.27 用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理:若上连续.2.1.28 用闭区间套定理证明连续函数有界性定理,即若在闭区间上连续,则存在.(华中师范大学)2.2.1 设是区间2.2.2 今设计如下的实验:取一根内孔直径为的圆形直管,截取长度为的一段(),将直管中轴与轴平行放好.然后让的曲线平移从管内穿过.若不论曲线就能平移穿过此管,整个穿越过程,无需改变,那么就在上一致连续.否则就是非一致连续.问这种理解正确吗?2.2.3 函数定义证明:2.2.4 设在2.2.5 证明:2.2.6 用不等式叙述不一致连续.(内蒙古大学)2.2.7 证明:2.2.8 证明:函数内一致连续.但在非一致连续.(北京航空航天大学)2.2.9 证明:周期函数只要连续必定一致连续.2.2.10 证明:在区间一致连续.2.2.11 证明:有极限则2.2.12 设单调有界函数上连续,求证2.2.13 证明:在有限开区间上一致连续的二函数之和仍一致连续.问商的情况怎么样?无穷区间上关于积的结论是否还成立?证明之.2.2.14 求证:2.2.15 设实函数在上连续,在.证明:当且仅当为有限时,在上一致连续.(清华大学)2.2.16 函数2.2.17 若为什么？2.2.18 讨论下列函数在所给区间里的一致连续性.1).2).2.2.19试证2.2.20 设函数求证2.2.21 证明上一致连续.2.2.22 设函数具有下述性质:2.3一节习题从略.2.4.1 设函数2.4.2 试用推归法,重新证明例2.4.3与例2.4.4 2.4.3 证明:在的唯一单调函数是2.4.4 证明:,则如下三条件等价:2.4.5 证明:若则2.4.6 证明:当的唯一不恒等于0的连续函数是2.4.7 求在的一切连续函数,并证明不连续函数2.4.8 设函数及2.4.9 设试证2.4.10 证明:满足函数是2.4.11 设试证。
2014年南开大学数学专业(701数学分析+801高等代数)考研真题解析 资料经验
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数学分析中的典型问题与方法《勘误表》(1) 原书 第4页的例1.1.5有错, 2011年6月21日, 作者将此题更改写为: 例1.1.5 试证: 设 y = f(x) 是R 上的有界实函数. 且有 2f(x)2h)f(x h)f(x ++=+ (∀x R ∈). (1)(其中h 为某一正数). 则h 必是函数f 的周期. 证 根据式 (1), 有f (x + 2h ) – f (x + h ) = f (x + h ) – f (x ) (∀x R ∈). 令 F (x) = f (x + h ) – f (x ) . 上式即为 F (x + h ) = F (x ) (∀x R ∈).于是 f (x + n h ) = [ f (x + n h ) – f (x + (n - 1)h )] + [ f (x + (n – 1)h ) – f (x + (n - 2)h ) +…+ [f (x + h ) - f (x )] + f (x ) =∑=+1-n k ))(F 0kh x + f (x ) = n F (x ) + f (x ).若 F (x )≠0 , 当n +∞→时, nF (x ) 趋向无穷大, 与函数f 有界矛盾. 所以F (x )= 0. 即 f (x + h ) = f (x ). (∀x R ∈). 故h 是函数f 的周期.注意1. 对于任意给定的实数h , 若h 是函数f 的周期, 则条件 (1) 显然成立. 因此本例说明: 存在实数h 满足条件 (1), 是有界函数f 为周期函数的充分必要条件. 2. “有界”条件不可忽略, 例如f (x ) = x , 不是周期函数, 但是式 (1) 总成立.特别要道歉的是， 更正中又出现了重大遗漏将2f(x)2h)f(x h)f(x ++=+写成了 2f(x)2h)f(x f(x)++=， 虽然从证明里可以看出， 但是题目写错， 是有罪的。
原文 2f(x)2h)f(x f(x)++=(∀x R ∈). (1)应改正为 2f(x)2h)f(x h)f(x ++=+ (∀x R ∈). (1)(2) 第29页 第8行 前面去掉 “方法” 二字, 后面 加入 “(|q|<1)”原文是: 1.2.2. 用:N -方法证明ε 1) 1;n lim n n =∞→ 2)0q n lim n 3n =∞→; 3)0q n lim n 3n =∞→.改写为: 1.2.2. 用:N -证明ε 1) 1;n lim n n =∞→ 2)0q n lim n 3n =∞→ (|q|<1); 3)0q n lim n 3n =∞→.页行 误 正(3) 第29页 倒第1行即: 将k=1改为k=2∑=n1k∑=n2k(4) 第68页 倒第7行(最后的) 两处: k=2改为 k=1; 1-k P 改为1k P +∑=+1-n 2k n n 1-k k K P S )P -(P S∑=++1-n 1k n n 1k kk P S )P -(PS页 行 误 正(5) 第68页 倒第6行(中部的) 两处: k=2改为 k=1; 1-k P 改为1k P +n1-n 2k 1-k k k p )p -(p ∑=Sn1-n 1k 1k k k p )p -(p ∑=+S(6) 第94页 第2行 《3310859-211085921++》 《253+,或33322-24-6246++》(7) 第96页 第4行 (将希腊字母α改为英语斜体字母a , 共三个),0)(3x )3(x x 2n 2n n ≥++ααα 0)(3x )3(x x 2n2n n ≥++a a a(8) 第96页 第9行中部 从第二个≥到第三个≥, 有两处的x 0 改为20x≥3 x 02 - x 0 ⇨ 3a+x 0≥ ≥3 x 02 - x 02⇨ 3a+x 02≥(9) 同页同行(尾部) 分子的括号里的x 0 改为x 02 .12000x 3x )x (3x =++aa 120200x 3x )x (3x =++a a(10) 第129页 第10行加字原文 下面等式成立即可改写为 下面左、右等式分别在(a,b ]、[a,b)成立即可页 行 误 正(11) 第129页倒第5行(末尾加字)证毕. 证毕. (端点只管单侧,故自明).(12) 163页 倒第5行第一个式子分母的 “+” 改为 “-”*10) x=2t 13at + *10) x=2t -13at .(13) 第218页 倒第2行原文 1-11-11-1a b e ae b =(1-ξ)e 1-1ξ ()1-b 1a (2)改为 a b e a e b 1-1ηη1)e 1-(1=()1-b 1a (其中ξη=1) (2)(14) 第218页 倒第1行 原文 在b1,a 1为端点的区间上应用有限增量公式 改为 在 上]a1 ,b1[应用有限增量公式(15) 第256页 倒第3行最后 +)o(x x 5155+》 -)o(x x 15155+》(16) 第298页 倒第8行等号后添个 “-” 号F()π=21e -+π》 F()π=21e --+π》页 行 误 正(17) 第306页 第1行末尾 =3 =π)223(+同页第3行最后 加字. 原文是 求解.改写为 求解.(“博士数学论坛”各路高手, 对此题给出了四种漂亮解法.)(18) 第403页 倒第10行 与1-x 1α同阶 与α-1x 1同阶(19) 第407页 倒第7行 = [-31-22)]o(x x 3!1+ = [31-22)]o(x x 3!1+(20) 第538页 倒第4行靠后 =cos (2n n-∑∞= =cos (2n 2n-∑∞=(21) 第577页 第12行 R 2 . 则级数 R 2 ( ≠ R 1 ) . 则级数(22) 第615页 倒第7行靠前 [0, π] (0, π](23) 第616页 倒第7行居中 + D n (x) + D n -1(x)(24) 同页 倒第5行居中 3) ⎰>∀πδδ0,3) ⎰>∀πδπδn 10,(25) 第623页 倒第5行居中 与y = x 2 二路径 与x = y 2二路径(26) 第761页 第2行加注: 原文是 故 F(r )≡F(0)=2π. 加注,改写为故 F(r )≡F(0)=2π. [注: 会Green 公式的读者,可用Green 公式直接证明F ’(r) ≡0.](27) 第811页 倒第8行至倒第4行以及倒第1行[0, A]改为[,ε A]; A>0,改为A>ε>0. 有4个积分号⎰A都改为⎰Aε, 见下:第811页倒8行 中部原文关于y ∈[0. A] 一致收敛(A>0),改为关于y ∈[ε. A] 一致收敛(A>ε>0),同页 倒7行原文 t>1=⎰∑∞∞=dy y e1-t 01n ny -∞→A limdy y e1-t A 01n ny -⎰∑∞=改正为 ∀t>1 =⎰∑∞∞=dy y e1-t 01n ny -0A lim→∞→εdy y e1-t A 1n ny -⎰∑∞=ε同页 倒7行原文 = ∞→A limdy y e1-t 1n Any -∑⎰∞=.改正为 = 0A lim →∞→εdy y e1-t 1n Any -∑⎰∞=.同页 倒4行原文 |⎰A1-t ny -dy y e | ≤⎰∞1-t ny -dy y e改正为 |⎰A 1-t ny -dy y e ε| ≤⎰∞1-t ny -dy y e同页 倒1行 原文dy y e1-t 1n Any -∑⎰∞=对A>0一致收敛改正为 dy y e1-t 1n Any -∑⎰∞=ε对y A] ,[ε∈一致收敛页 行 误 正(28) 第819页 倒第1行 dx -x x sin 1⎰ααdx |-x |x sin 1⎰αα(29)第839页 第5行 《21-sin1 e 21-e 211-》 《sin1 e 21-e 211-》(30) 第855页 第4行（末尾） 《)247-3(32π》 《1925π》(31) 第855页（同页）第7行（末尾） 《)41-4π》 《8π》(32) 第866页 倒第6行222z y x ⎰⎰⎰Ωdxdydzz y x 22⎰⎰⎰Ωdxdydz(33) 第910页 第4行居中第一个积分的下限0改为1.+⎰⎰2x -80220dx f +⎰⎰2x -80222dx f(34) 第917页 倒第12行居中 = a xyz 所围 = a 3xyz 所围(35) 第935页 图7.3.4小椭圆方位不对图7.3.4 图7.3.4页 行 误 正(36) 第939页 第1行加字 如图7.3.5 情况之一如图7.3.5。
(37) 第975页 第5行中后部 M= (t))},' {f max 1t 1-≤≤ M= |},(t))' f | {max 1t 1-≤≤(38) 第1009页 第13行 ⎰⎰=S dS z)y,(x, f 0)dS 'f ' f ' (f Szyx⎰⎰=++⎰⎰=SdS z)y,(x, f 0(39) 第1009页 倒第5行到到倒1行末 原文从 ii)在(1)式中, …. 至本页末 改写为， 如下:ii) ∀M 0 = (x 0, y 0, z 0), 目标：证明△f(M 0) = 0. 为此, 先将原点移至M 0, 再以M 0为中心, R>0为半径作球面S (相应球体记为V). 式(1)可写为 f (t(x - x 0), t(y - y 0), t(z - z 0)) = t n f (x - x 0, y - y 0, z - z 0). 两端同时对t 求导, 然后令t = 1, 可得 (x - x 0) f x ’+ (y - y 0) f y ’+ (z - z 0) f z ’ = n f (x - x 0, y - y 0, z - z 0).这时, 对于球面S 上的任意一点M = (x, y, z), →M M 0的方向余弦为:(cos )Rz -z ,R y -y ,R x -x () cos , cos ,000=γβα.(40) 第1010页 第1行 改写为 如下:由式(2): 0 =⎰⎰=S000dS )z -z ,y -y ,x -(x f ⎰⎰++S'z 0'y 0'x 0dS )f Rz -z f R y -y f R x -x (nR (41) 第1010页 第7行最后加字原文 ⇨ (+''xx f ''zz ''y y f f +)|*M =0.改正为 ⇨ (+''xx f ''zz ''y y f f +)|*M = △f |*M = 0. 于是:(42) 同页第9～10行 最后的话, 文字有改动, 式子另起一行, 居中. 第9尾部原文 从而△f = 0时M 成立, (3)式获证.改正为 从而另起一行, 居中. △f|M = 0, 式(3)获证.。