集合论与图论

《集合论与图论》课程示范性教学设计
1 本课程教学方法
（一）教学方法
在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。

以下仅是一些指导思想：
（1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。

要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。

（2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。

要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。

（3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。

其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。

这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。

（4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。

这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。

（5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。

不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。

（5 ）适当地提出一些未解决的问题。

尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。

事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。

（6 ）注意每个学科（内部）的美。

如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。

科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。

（二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考
素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。

在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。

其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。

以下只扼要地总结一下。

1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
系，如何使用明确的概念等至关重要，在任何一个学科中这些工作都是至关重要。

•教会学生理解基本概念、基本原理，强调真正理解，只教会他们使用公式、工具会限制学生的未来，甚至使思维蜕化。

•重在理解信息，从中获取知识。

重点是主动地理解，而不是被动地使用，以提高学习能力，增强适应性，创造我们的生活。

•我鼓励学生多提些问题，要有“刨根问底”的精神，不要轻信书本和老师讲的东西，只有理解了的知识才是你学到了的。

•只要可能应介绍其中的美，简单蕴含着美。

复杂的理论和概念可能是我们尚未抓住事物的本质，自然界应该是美的。

•结合教学内容，站在哲学的高度，利用辩证法的思想作适当评述是绝对必要的。

2 各部分重点及难点
本课程的内容分为两部分，即集合论、图论。

集合论是整个数学基础之一，在这里讲的是朴素集合论，而不是公理化集合。

图论虽是一个独立的分支，在本课中可视为集合论的一个应用，它研究在一个有限集合上定义了一个二元关系所组成的系统。

研究任一离散系统，要为它建立数学模型，就要描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事务的运动规律。

集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推力理论，而具有一个二元关系的有限系统用图作为模型是十分自然而有用。

•集合及其运算
集合、子集、集合的相等关系、幂集；集合并、交、差、对称差、补集、迪卡尔乘积运算，各运算的性质及相互联系；有穷集合的基数、基本计数法则、容斥原理及应用。

本章中证明两个集合相等的方法是学生必须掌握的重点，也是各门课都用的地方。

告诉学生必考！
•映射
基本定义、鸽巢原理、映射的一般性质、映射的合成、逆映射、置换、二元运算、应用。

重点：映射的性质、合成运算和应用。

讲授时强调映射是描述事物之间联系的工具。

从计算的角度看微积分*
•关系
二（n ）元关系、几个特殊二元关系、二元关系的表示、关系的合成运算、传递闭包、等价关系与集合的划分、偏序关系。

重点：合成运算、传递闭包、等价关系。

讲授时要做到：
1 ）利用等价关系为线性代数穿一条主线* ；
2 ）介绍合成运算、传递闭包在专业课中是怎样应用的；
3 ）（偏序）关系是数学三大结构之一。

•无穷集合的基数
可数集及其性质、存在不可数集—对角线法，基数及其比较、连续统、罗素悖论与数学危机。

重点：可数集的性质、对角线法、基数的概念、存在不可数集。

本章特点：本课最难的部分，建立合理的“无穷观”涉及到认识论、逻辑、哲学。

建议教师读点数学史、方法论的书。

下面的书是值得读的：
1 ．M. 克莱因著，数学—确定性的丧失，李宏魁译，湖南科学基数出版社，1997 。

2 ．徐利治著，数学方法论选讲，华中工学院出版社，198
3 。

3 ．A.W.Moore, 无穷简史，科学，1996.?
•模糊集合论
由于学时限制，本章只介绍这一新兴分支是怎样由经典集合推广到模糊集合、介绍它的应用范围。

因此，只让学生了解这一分支，在应用中有能力自学或看懂有关文献。

•图
图、路、圈、连通图、偶图、补图、欧拉图、哈密顿图、图的邻接矩阵、最短路径问题。

重点：图、路、圈、欧拉图、哈密顿图
•树、割点和桥
树及其性质、生成树、割点和桥及其特征性质，最小生成树问题。

重点：树及其性质，为了避免与“数据结构与算法”课重复，最小生成树问题只讲基本思想。

•连通度和匹配
顶点连通度与边连通度及其关系、偶图的匹配、Hall 定理。

重点：基本概念、Hall 定理。

讲法：联系通信系统，交叉开关网络，任务安排讲解背景、意义及应用介绍。

•平面图和图的着色
平面图及其欧拉公式、图的着色、五色定理，介绍计算机证明四色猜想。

重点：平面图和图的着色概念，欧拉公式。

讲法：借此机会介绍Turing 奖、NP- 完全问题等“常识”知识。

•有向图
强连通、有根树、有序树、二元树。

3 参考教材
[1] 王义和，离散数学引论（修订版），哈尔滨工业大学出版社，2000 年3 月，第1-10 章。

[2] C.L.Liu ，Elements of Discrete Mathematics ，Second Edition ，McGraw-Hill Book Company ，1990 。

[3] J.A. 邦迪，U.S.R. 默蒂，图论及其应用，吴望名等译，科学出版社，1987 。

[4] 朱一清，离散数学，电子工业出版社，1997 。

4 作业安排
我们的教材每节后均有习题。

习题分两类，一类是只要理解了基本概念、理论和方法就能容易做出。

另一类习题是需要灵活应用学过的知识才能解答出来。

本课的特点是习题几乎都是证明题，很少有计算题。

从批改作业情况看，学生缺乏证明中的
逻辑推理训练。

由于没有公式可套，全靠语言表达，这又暴露出很多学生的语言表达能力差。

答疑不仅是回答学生提出的问题，也是了解学生的思想、基础、心状的机会，指导他们如何学习，也是向学生学习的机会。

5 考题设计
本课笔试，考卷中考核概念是否理解；是否掌握基本理论和基本方法；考核学生能否灵活应用基本概念、基本理论、基本方法；较难题。

6 成绩评定
基本概念占30% ，基本理论和基本方法占40% ，灵活应用基本概念、基本理论、基本方法占20% ，较难题占10% 。

合计100% 。