9.3.1空间两条直线所成的角
空间中直线与直线所成的角
B' D
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
解： (1) BB ' CC ' A B A ' BB '即异面直线A ' B和CC ' 所成的角或其补角 A ' BB ' 45异面直线A ' B和CC '的夹角为45. (2)与直线AA ' 垂直的直线有AB, BC, CD, DA,
B' D B
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
C
A 想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？
0或90
再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？
45或90
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
(3)直线A ' B和B ' C的夹角是多少？
想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相 平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 不成立 再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, 那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？成立（定理）
若ab，a c，则b c.
典型例题
(1)直线A ' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
注2：规定两条平行直线的夹角为0°，则异面直线所成角 的取值范围是：0 90 ， 如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条异面 直线互相垂直，记作：a b .
高二数学两条直线所成的角
两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式；两直线的夹角公式；能熟练运用公式解题．(二)能力训练点通过课题的引入；训练学生由特殊到一般；定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导；培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般；定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直；本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到；教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2；难点：公式的记忆与应用．3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况；对于两条相交直线；怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角；它们是两对对顶角．为了区别这些角；我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；叫做l1到l2的角．图1-27中；直线l1到l2的角是θ1；l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角；设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0；那么θ=90°；下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的；所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)；甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x 轴围成的三角形的外角．tgα1=k1； tgα2=k2．∵θ=α2-α1(图1-32)；或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)；∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eq \x( )上面的关系记忆时；可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角；可能不大于直角；也可能大于直角；但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角；简称夹角)就可以了；这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2；k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)；l1到l2的角是θ；求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2；则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0；底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3；l1到l2的角是θ1；l2到l3的角是θ2；则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形；所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得 k3=2．因为l3经过点(-2；0)；斜率为2；写出点斜式为y=2[x-(-2)]；即 2x-y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时；一定要说明：无须作图；任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等；要为锐角都为锐角；要为钝角都为钝角．(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中；一腰所在直线到底面所在直线的角；等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．(教材第32页；1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32页；1．8练习第2题)求下列直线的夹角：∵k1·k2=-1；∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1； k2=0．两直线的夹角为45°．∴l1与l2的夹角是90°．3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2；1)；且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o；求直线l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0；底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题；解法与例3相同；所求方程为：x-2y-2=0．六、板书设计。
两条直线的所成角
例3.ABC的顶点A(2,8), AB边上中线CD所在直线方程为 4 x 7 y 24 0，ABC平分线BE所在的直线方程为x 2 y 4 0 求B, C坐标
xB 2 y B 8 解法1.设B( xB , yB )则AB的中点D坐标（ , ） 2 2
又B, D分别在直线x 2 y 4 0和直线4x 7 y 24 0上
例2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线 的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
解法2.设B（x1，y1）由题意可得： x1 3 y1 1 6 2 10 2 59 0 x1 10 B(10,5) 得： x1 4 y1 10 0 y1 5 由x-4y+10=0为∠B的平分线知， A(3，-1)关于直线x-4y+10=0的对称点A’（1，7） 在BC边所在的直线上，
例题
两直线的夹角
4、已知 B( 0,2) , C ( 0,6)，A 为 x 轴 负半轴上的一点，问 A 在何处 时，BAC 有最大值？
3 1、 求 直 线l 1 : y 2 x 3 与 l 2 : y x 的 夹 角 2
5、l1 , l 2 的 斜 率 是 方 程 3x 4x 3 0 的 两 个 根 ，
2、已知 A( 2,3) 和 l1 : x y 3 0，求经过 A 且满足下列条件的直线 l 的方程： (1) l 到 l1 的角是60 ( 2) l1 到 l 的角是45
变式1、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的正切值 变式2、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的余弦值
,,空间中直线与直线所成的角(夹角)
D
C
Q AA'C '中，EFAC '
A
B
FED '即异面直线AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为a，则EF 1 AC ' 3 a, ED ' 2 a,
FD ' 5 a
2
2
2
EF 2 ED '2 FD '2 FED' 90
2
直线AC '和B ' D '的夹角是90
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
b bˊ
a
aˊ
o
四.异面直线所成的角
定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成 的角(或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
C' B'
Q A' B ' DC,A' B ' DC
D
C
四边形A' B 'CD是平行四边形
A
B
A' DB 'C,A' D B 'C
BA' D即异面直线A' B和B 'C所成的角或其补角
Q A' D DB A' B BA' D 60,即异面直线A' B和B 'C的夹角为60.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (3)直线A' B和B 'C的夹角是多少？ A'
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面之间的关系是几何学中的基本内容，对于空间的直线与平面所成角的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将探讨空间中直线与平面所成角的范围，并通过实例分析其应用。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内一条直线所成的锐角或直角来表示。
2.性质（1）直线与平面垂直时，所成角为90度。
（2）直线与平面斜交时，所成角大于90度。
（3）直线与平面平行时，所成角为0度。
三、空间中直线与平面所成角范围的推导1.直线与平面垂直的情况当直线与平面垂直时，根据性质1，所成角为90度。
2.直线与平面斜交的情况当直线与平面斜交时，所成角大于90度。
这是因为，根据性质2，直线与平面斜交的角度大于直线与平面垂直的角度。
3.直线与平面平行的情况当直线与平面平行时，根据性质3，所成角为0度。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于解决复杂的空间几何问题。
例如，在求解空间直线与平面之间的位置关系时，可以通过计算所成角的大小来判断直线与平面是否垂直、斜交或平行。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用十分广泛。
例如，在建筑、机械等领域，掌握空间中直线与平面所成角的范围有助于设计和施工过程中的精确度，保证工程质量。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了探讨，通过对定义和性质的分析，推导出所成角的大小，并介绍了在几何问题和工程实践中的应用。
对于空间中直线与平面所成角的研究还有许多拓展空间，如更深入地探讨空间中直线与平面所成角与几何形状之间的关系，以及在更多实际应用领域中的应用。
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系是指两条直线在平面或空间中相交时，它们所形成的交角的大小和方向。
1．角度大小：两条直线相交形成的角度大小取决于它们的方向。
如果两条直线相互垂直，那么它们所形成的角度是90度或者270度。
如果两条直线相互平行，那么它们所形成的角度是0度或者360度。
2．角度方向：两条直线相交形成的角度方向取决于它们的相对位置。
如果两条直线从同一方向出发，那么它们所形成的角度方向是从大到小的。
如果两条直线从相反方向出发，那么它们所形成的角度方向是从小到大的。
3．角度变化：两条直线相交形成的角度大小和方向会随着它们的位置变化而变化。
例如，如果两条直线相互靠近，那么它们所形成的角度就会减小。
如果两条直线相互远离，那么它们所形成的角度就会增大。
总的来说，两条直线相交角的位置关系是由它们的方向、相对位置和位置变化决定的。
直线与直线所成角公式范围
直线与直线所成角公式范围
直线与直线所成角公式是几何学中的一个重要概念。
在欧几里得几何中，两条直线所成的角被定义为它们的夹角，表示为∠ABC，其中A、B、C分别是两条直线的交点和两条直线上的两个点。
直线与直线所成的角的范围是0°到180°之间。
直线与直线所成角的大小取决于两条直线的相对方向。
当两条直线平行时，它们不会相交，因此它们所成的角为0°。
当两条直线相交时，它们所成的角的大小可以通过直线的斜率来计算。
然而，当两条直线互相垂直时，它们所成的角的大小需要通过直线的斜率来计算。
对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率分别为m1和m2，那么它们所成的角的大小可以通过以下公式计算：
tan(∠L1L2) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|
这个公式适用于所有直线的情况，包括水平和垂直的直线。
值得注意的是，在计算过程中需要注意斜率不存在的情况。
除了直线与直线所成角的计算公式，几何学中还有其他与角度相关的概念，比如线段之间的夹角、直线与平面之间的夹角等。
这些概念在实际应用中具有广泛的应用，例如建筑设计、导航系统以及机器人控
制等领域。
因此，熟练掌握直线与直线所成角的计算方法对于解决实际问题非常重要。
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面所成角的研究是几何学中的重要内容，涉及到许多实际问题的求解。
本文将对空间中直线与平面所成角的范围进行详细探讨，以期提高大家对几何知识的理解和应用能力。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内任意一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内直线之间的夹角来表示。
2.性质（1）直线与平面平行时，所成角为0°。
（2）直线与平面垂直时，所成角为90°。
（3）直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
三、空间中直线与平面所成角的变化范围1.直线与平面平行时，所成角为0°。
2.直线与平面垂直时，所成角为90°。
3.直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于快速判断线面关系，进而解决问题。
例如，在解决立体图形的表面积和体积问题时，可以通过计算直线与平面所成角来确定几何体的形状。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用也十分广泛。
例如，建筑设计师在设计建筑物的空间结构时，需要了解直线与平面所成角的大小，以确保建筑物的稳定性。
此外，机械工程师在设计机械零件时，也需要考虑直线与平面所成角的影响，以保证零件的装配精度。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了详细探讨，从定义、性质、变化范围等方面进行了分析。
通过对这一知识点的掌握，大家可以在几何问题求解和工程实践中发挥重要作用。
此外，对于空间几何中的其他知识点，如直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线之间的角度问题，也可以采用类似的方法进行研究和探讨。
两条直线所成的角PPT教学课件
初三语文组
基本目标
• 感受诗词经典，追溯文化渊源; • 提高审美品位，积蓄典雅语言。
要点与方法：
• 节律是特征，朗读以凸显之。 • 意象是风景，想像以再现之。 • 情感是灵魂，体验以沟通之。 • 语言是珍品，玩味以珍藏之。
五个环节
• 一、朗读全诗，力求读准——感知作品 • 二、弄懂字词，理顺语句——疏通作品 • 三、揣摩意象，领略意境——领会作品 • 四、自我感受，独特体验——感悟作品 • 五、赏析技巧，品味语言——鉴赏作品
—骆宾王
触景生情：
昔人已乘黄鹤去， 此地空余黄鹤楼。 黄鹤一去不复返， 白云千载空悠悠。 晴川历历汉阳树， 芳草凄凄鹦鹉洲。 日暮乡关何处是？ 烟波江上使人愁。 —崔颢《黄鹤楼》
绘景言志：
东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中， 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 —曹操《观沧海》
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？
直线的斜率 或 以方程的特点观察
２、区分以下两组直线的相交程度用什
么量刻画？
２
１
４３
两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
乙
l3
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
• 第二、“画意”揣摩。即探寻画面所蕴含 的意义及作者所要表达的思想感情，这是由画 面向画意的转化；越是客观本然，越是符合作 者本意就越好。
• 第三、“画源”追溯。一种情况是意象成 因的分析，如周振甫先生就曾对杜甫<春夜喜 雨>的意象形成，作过具体阐释。另一种情况 是对作者心路历程的追寻，即要知道作者是在 怎样的生活背景和心理情绪下写出这一作品的 。
直线与直线所成角的取值范围
直线与直线所成角的取值范围哎呀，你问我直线与直线之间能成多少度角？这个问题可不简单，让我慢慢跟你解释。
我们来了解一下直线。
直线嘛，就是一条没有弯曲的线，就像我们的尺子一样，两端都无限延伸。
直线之间的夹角，我们就称之为“角”。
那么，两条直线之间能成多少度角呢？这个问题就有点复杂了。
咱们先来谈谈平行线吧。
平行线是指两条直线永远不会相交，它们之间的关系就像是两个好朋友，永远保持着一定的距离，但又不会疏远。
平行线之间的夹角，我们称之为“平行角”。
平行角的大小是0度，因为它们永远都是一模一样的。
那么，如果两条直线不是平行的呢？它们之间能成多少度角呢？这就要看它们的“夹角”了。
夹角是指两条直线之间的夹紧程度，也就是它们之间的“亲密程度”。
夹角越大，说明两条直线越“亲密”，反之亦然。
夹角的范围是从0度到180度，其中0度和180度分别表示两条直线完全重合，90度表示它们互相垂直。
说到垂直，我们再来说说什么是垂直吧。
垂直是指两条直线之间的夹角为90度，也就是说它们互相垂直。
垂直的直线在我们生活中可是很重要的哦，比如墙角、门框等等，都是垂直的。
如果你想画一个垂直的线段，只需要让尺子的一边与另一边重合，然后沿着尺子画就可以了。
那么，如果两条直线不是垂直的呢？它们之间能成多少度角呢？这就要看它们的“斜率”了。
斜率是指两条直线之间的倾斜程度，也就是它们之间的“亲近程度”。
斜率越大，说明两条直线越“亲近”，反之亦然。
斜率的范围是从负无穷大到正无穷大，其中正无穷大表示一条直线永远向上倾斜，负无穷大表示一条直线永远向下倾斜。
现在你知道了吗？直线与直线之间的夹角是由它们的“夹紧程度”和“倾斜程度”决定的。
所以，要想知道两条直线之间能成多少度角，我们就需要知道它们的“夹紧程度”和“倾斜程度”。
当然啦，这些都是数学上的概念，我们在生活中也可以通过观察和感觉来判断两条直线之间的夹角大小。
直线与直线之间的夹角是一个很有趣的问题。
它涉及到很多数学知识，但同时也是我们生活中不可或缺的一部分。
【中职】9.3.1 空间两直线所成的角
C、与a、b中至少有一条相交 D、与a、b中至少有一条相交
10、在长方体AC 中，对角线BD 与各面的对角线可以组成异面直线的对数是（ ）
1
1
A、6 Ｂ、4 Ｃ、２ Ｄ、８
11、已知空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，
若DB 2，AC 6，则EG2 HF2 （ ）
就是异面直线m、n所成的角．
n
n'
m'
m
O
观察动画09-02 n
（2）为了简便，经常取一条直线与过另一条 直线的平面的交点作为点O．如图
mO
观察动画09-03
归纳：做平行线使之产生交点
3、异面直线所成角的范围（0°,90°]
如果两条异面直线所成的角是直角， 我们就说两条异面直线互相垂直．
两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a b ．
Ａ、相交 B、平行 C、异面 Ｄ、相交或异面
3、下列推理中正确的是（ ）
Ａ、a ∥b,b a ∥ Ｂ、 l, a ,a ∥l a ∥ C、a ∥，a ∥b b∥ D、a ∥，b a ∥b 4、直线m, n都与平面平行，则m，n( )
Ａ、相交或平行或异面 B、平行 C、平行或异面 Ｄ、相交或异面
解：(1) 由异面直线的判定方法可知， D
与直线 BA 成异面直线的有
A
直线 BC，AD， CC，
DC，DC，DD；
D
C B
C
A
B
例2 如图所示的是正方体 ABCD－ABCD，
(2) 求直线BA 与 CC 所成的角的度数；
(3) 哪些棱所在的直线与直线 AA 垂直．
解： (2) 因为 BB // CC，
直线与直线所成角的取值范围
直线与直线所成角的取值范围1. 角度的基本概念大家好，今天咱们聊聊“直线与直线所成的角”的话题。
这可不是一个枯燥的数学公式问题，而是一个你在生活中可能会常常遇到的实际问题。
你有没有注意到，当你用两根直尺交叉时，形成的角度其实就是直线之间的夹角。
是不是觉得这个话题有点意思？直线与直线之间的角度，说到底，跟我们的生活息息相关，特别是那些喜欢DIY的朋友们，或者做一些设计工作的人们。
今天我们就来掰扯掰扯，这些角度究竟是个什么样的鬼东西。
2. 角度的基本取值范围首先，要搞清楚角度的取值范围。
说到角度，你一定知道，角度的单位是度数（°）。
而两条直线之间的夹角，简单来说，最多就是180度。
这里的“最多”可是有讲究的，我们得把事情搞明白。
直线和直线在交汇的时候，它们之间的角度，最大不会超过180度。
这就好比你在厨房里做菜，锅里煮水，水最多也不会煮到180度——当然，水不可能煮到180度，这是另外的事儿。
回到正题，180度其实是两条直线完全相反方向的情况。
简而言之，它们可以形成0度到180度之间的任意角度。
2.1 0到90度的夹角说到这个角度范围，我们先来聊聊0到90度的情况。
这是直线之间最常见的角度，比如你打开一本书，它的两页就是呈现一个90度的角度，像“L”字一样。
如果直线之间的角度是0度，那这两条直线就完全重合在一起了，这种情况一般只有在数学题里见到。
0到90度的角度，通常叫做锐角，锐角的名字听起来就很有力量感，对吧？你可以把它想象成你在教室里和朋友们聊天时的那种小角度，很锐利，很直接。
2.2 90到180度的夹角接下来就是90到180度的情况，这个范围的角度叫做钝角。
比如说，你用直尺摆成一个大角度，像一个开张的书，角度有点像你向朋友炫耀时的夸张手势。
这个范围的角度，视觉上感觉宽阔而放松。
大多数情况下，这种角度在建筑和设计中非常重要，比如房间的角落，或者桌子的边缘。
它们都可以是钝角的，也就是大于90度但小于180度。
直线与直线所成角的取值范围
直线与直线所成角的取值范围1. 引言哎呀，数学的世界真是奇妙又有趣，尤其是当我们聊到直线与直线之间的角度问题时。
你有没有想过，直线之间形成的角度究竟有多少种可能呢？是不是觉得这个问题有点复杂，但其实仔细琢磨一下就会发现它并没有那么难。
就像生活中的事物一样，直线的角度范围也是多姿多彩的。
让我们一起深入了解，看看这些角度的取值范围有多么神奇吧！2. 角度的基本知识首先，我们要搞清楚什么是角度。
简单来说，角度就是两个直线交汇形成的“夹角”。
你可以把它想象成两只手张开的样子，手臂之间的“夹角”就是我们要讨论的内容。
直线与直线之间的角度，究竟能有多大呢？我们可以把它分成几个范围来讨论。
2.1 最小角度和最大角度首先，最小的角度是0度。
0度的意思就是两条直线完全重合，这时候它们根本没有形成任何夹角。
接着，我们来聊聊90度。
90度是一个非常特别的角度，它意味着两条直线完全垂直，就像一个直角三角形中的直角一样。
再往大了说，角度可以增长到180度。
180度的时候，两条直线会形成一个完全平的角度，看起来就像是一条直线。
这时候，它们之间的夹角也是0度，只不过方向相反罢了。
2.2 角度范围的特殊情况但其实，这些直线之间的角度并不总是我们想象中的那么简单。
如果我们想要更加准确地描述它们的角度，就得知道它们是怎么排列的。
角度可以从0度到180度变化，但我们在实际应用中，角度往往是0度到90度的范围，因为超过90度的角度可以用其补角来表示，也就是说，一个角度和它的补角加起来总是180度。
所以，任何角度超出90度，就可以用其余角来表示。
3. 实际应用与举例3.1 生活中的角度在日常生活中，我们经常会遇到直线与直线形成的角度。
例如，你家里的桌子腿与桌面之间的角度就是90度，这保证了桌子稳定，不会倒。
如果你去玩迷宫游戏，迷宫的墙壁之间的角度也可能会是各种各样的。
通过这些例子，你可以看到角度的范围是如何影响我们的生活的。
3.2 数学中的角度在数学课堂上，我们学习角度的范围是为了更好地理解几何图形。
9.2两条直线所成的角名师课件
的斜率是否存在； 再看两直线是否
垂直；最后用夹
m 2 5m 6 0 . 解得 m角公式1 , 6
例2 三角形三边所在直线方程为 AB：x-y+3=0，
BC：y=1，CA：x+( 2 - 3 )y -3=0,求三角形
ABC的三个内角.
1.过原点且与直线 3 x-y+1=0成30°角的
例1 已知直线l1:mx-2y +3=0与 l2:3x-my -5=0的 夹角是45°,求实数m的值.
解:如果m=0,
l1:y源自3 2,l2
:
x
5 3
l1⊥ l2,不满足题意, m
∴m≠0
k1 2 ,
m 3
3 k2 m
先考虑直线
tg45 2 m 1 1 m 3 2m
要求θ，可先求什么？
求tg θ，先要想到什么？
θ是90°，会出现什么情况？
2 1或1.斜率2存在(时使1用) ； (2 1)
如果l1⊥l2，那2么.两k1直k2线=－不1，垂θ直=时90使°用；；
如果l1不垂直于3.l角2，的那有么向性，数的有序性 tg tg(2 1)或tg tg[ (2 1)] tg(2 1)
3.求直线x 2 0与3x 3 y 5的夹角。
4.求直线x 2 y 6 0到直线x 3y 8 0的角。
5.求直线x 5 y 1与直线5x y 4 0的夹角。
两条直线1.斜所率成存在的时角使用；
2.两直线不垂直时使用；
1.为了区别这些角，3我.角们的把有直向线性l1，依数逆的时有针序方性
向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角
空间中直线与直线所成的角(夹角)
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
高一数学最新课件-两条直线所成的角 精品
角，简称夹角）
解题时首先要分清求
公式
tg
k2
1
k的 另1kk是 一12 夹 条范角 直围还 线是 所一成条的直角0线，9到0
作业
《教学与测试（苏大）》P112/练习题B
特殊情况特殊对待
从一条直线到另一条直线所成的角，可 能大于直角，也可能不大于直角，但我们常 常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直 线所成的角，简称夹角）
tg k2 k1
1 k1k2
范围 0，90
解题时首先要分清求的是夹角还是一 条直线到另一条直线所成的角
例1 已知直线l1:mx-2y +3=0与 l2:3x-my -5=0的 夹角是45°,求实数m的值.
解:如果m=0,
l1
:
y
3 2
,
l2
:
x
5 3
l1⊥ l2,不满足题意, m
∴m≠0
k1 2 ,
m 3
3 k2 m
先考虑直线
tg45 2 m 1 1 m 3 2m
的斜率是否存在； 再看两直线是否
垂直；最后用夹
m 2 5m 6 0 . 解得 m角公式1 , 6
例2 三角形三边所在直线方程为 AB：x-y+3=0，
2 1 2 ( 1)
要求θ，可先求什么？
求tg θ，先要想到什么？
θ是90°，会出现什么情况？
2 1或1.斜率2存在(时使1用) ； (2 1)
如果l1⊥l2，那2么.两k1直k2线=－不1，垂θ直=时90使°用；；
如果l1不垂直于3.l角2，的那有么向性，数的有序性 tg tg(2 1)或tg tg[ (2 1)] tg(2 1)
2.两直线不垂直时使用；
第3讲 空间中两直线所成的角(解析版)
第3讲 空间中两直线所成的角一．选择题（共8小题）1．空间四边形ABCD 的两对边3AB CD ==，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且EF ，则AB 与CD 所成角大小为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：过E 点作AB 的平行线EN ，交BD 于N ，连结NF ，3AB CD ==，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且EF ，，//NF CD ∴， 223EN AB ∴==，113NF CD ==， //EN AB ，//NF CD ，ENF ∴∠是AB 与CD 所成角或所成角的补角，由余弦定理得2224171cos 22212EN NF EF ENF EN NF +-+-∠===-⨯⨯，，异面直线AB 和CD 所成的角为60︒． 故选：C ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则1A E 与CF 所成角的余弦值为( )A ．12B ．CD ．25【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 是AB 、1BB 的中点，设4AB = 取11A B 的中点H ，1HB 的中点G ，连结GF ，GC ，GF 、GC 所成的角即为1A E 与CF 所成的角．利用勾股定理得：GF = CF = GC 在CFG ∆中，利用余弦定理2222cos 25GF CF GC GFC GF CF +-∠==故选：D ．3．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【解答】解：如图，11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，1A B ∴⊥平面11AB C ，则11A B AC ⊥，同理11A D AC ⊥，则1AC ⊥平面1A BD ，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直， 平面//α平面1A BD ，平面1A BD ⋂平面111ABB A A B =，平面1A BD ⋂平面111ADD A A D =， 直线l 与直线m 所成角即为1A B 与1A D 所成角． △1A BD 为等边三角形，直线l 与直线m 所成角的大小为3π． 故选：C ．4．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．B ．C ．D ．0【解答】解：设AD 的中点为F ，连接EF ，CE ，则//EF BD ， 异面直线CE 与EF 所成的夹角就是CE 与BD 所成的夹角，由题意：设正四面体ABCD 的棱长为2a ，则EF a =，CE CF ==，由余弦定理可得222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠==⨯⨯故选：A ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AA ==，，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成角的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设12AB BC AA ===， 则(1E ，0，0)，(0F ，0，1)，(0B ，0，0)，1(0C ，2，2)，(1EF =-，0，1)，1(0BC =，2，2)， 设直线EF 和1BC 所成角为θ， 则，60θ∴=︒．直线EF 和1BC 所成角为60︒． 故选：C ．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC =1AA =1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒【解答】解：如图： 连结1AD ，11B D ，则异面直线1AB 与1BC 所成角为11B AD ∠， 在△11B AD 中，1AB =13AD =；11B D则11cos B AD ∠== 1145B AD ∴∠=︒，故选：B ．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AA ==，，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1AC 所成角的余弦值是( )A ．B ．C ．D 【解答】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，则(1E ，0，0)，(0F ，0，1)，(2A ，0，0)，1(0C ，2，2)，(1EF =-，0，1)，1(2AC =-，2，2)， 设直线EF 和1AC 所成角为θ， 则11||46cos 3||||212EF AC EF AC θ=== 故直线EF 和1AC 所成角的余弦值是． 故选：C ．8．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AA ==，，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，当二面角11C AA B --为45︒时，直线EF 与1BC 的夹角为( ) A ．60︒B ．45︒C ．90︒D ．120︒【解答】解：由题意可得45CAB ∠=︒为二面角11C AA B --的平面角，ABC ∆为等腰直角三角形， 连1AC ，取1AC 得中点O ，E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，OE ∴平行且等于112BC ，OEF θ∠=或其补角，即为直线EF 与1BC 的夹角．由于112OE BC =，OF = 由余弦定理可得，90θ∴=︒，故选：C ．二．填空题（共6小题）9．平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，//a 平面11BB DD ，a ⋂平面ABCD m =，则直线m 与直线1B C所成角的正弦值为 ．【解答】解：由题意，在正方体1111ABCD A B C D -的一边在补形一个正方体，平面a 过棱1AA ，的屏幕为1A AEM ，且//平面11BB DD ，a ⋂平面ABCD m =，如图，可知m 为对角线， 通过平移，11//m B D ，直线m 与直线1B C 所成角为11CB D ∠， 11B D ，1CB ，1D C 都是正方体的对角线，△11CB D 为等边三角形，因此11sin sin 60CB D ∠=︒= 故答案为：．10．图，E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP ，BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为 60︒ ．【解答】解：取AC 的中点G ，连接EG ，GF由中位线定理可得：//GE PC ，//GF AB 且152EG PC ==，132GF AB ==EGF ∴∠是异面直线PC ，AB 所成的角（或所成角的补角），在GBF ∆中由余弦定理可得：222259491cos 22532EG FG EF EGF EG FG +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯，，异面直线AB 与PC 所成的角为：18012060︒-︒=︒． 故答案为：60︒．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --， ①AB 与平面BCD 所成角的大小为60︒； ②ACD ∆是等边三角形； ③AB 与CD 所成的角为60︒； ④AC BD ⊥；⑤二面角B AC D --为120︒． 则上面结论正确的为 ②③④ ．【解答】解：将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，设对角线的交点为O ． 则OA BD ⊥，AO ∴⊥平面BCD ，AO OC ∴⊥．又CO OD ⊥．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取1OC =．则(0O ，0，0)，(1C ，0，0)，(0B ，1-，0)，(0D ，1，0)，(0A ，0，1)，(0O ，0，0)，(0O ，0，0)，(0O ，0，0)，(0O ，0，0)，①AB 与平面BCD 所成角为ABO ∠，大小为45︒，因此不正确． ②，可得ACD ∆是等边三角形，正确． ③(0BA =，1，1)，(1CD =-，1，0)，，12CD =，AB ∴与CD 所成的角为60︒，因此正确． ④由已知可得：BD ⊥平面OAC ，AC BD ∴⊥，因此正确．⑤，0，1)，设平面ABC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则，则，取(1m =，1-，1)．设平面ACD 的法向量为n ，则，取(1n =，1，1)．则cos m <，，可得二面角B AC D --为钝角1arccos 3π-．因此不正确．综上可得：只有②③④正确． 故答案为：②③④．12．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，P ，Q 分别是线段1C D 与AC 上的动点，则异面直线CD 与AC 所成角的余弦值为 ，线段PQ 的长度的最小值为 ．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 这y 轴，1DD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，1，2)，(0D ，0，0)， ，1-，0)，(1AC =-，1，0)， 设异面直线CD 与AC 所成角为θ， ，异面直线CD 与AC 所成角的余弦值为． 设点P 的坐标为(0，λ，2)λ，[0λ∈，1]， 点Q 的坐标为(1μ-，μ，0)，[0μ∈，1]，PQ ∴=当且仅当19λ=，59μ=时，线段PQ 的长度取得最小值23．故答案为：，23．13．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角的余弦值是 0 ．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 12AA AB ==，1AD =，点E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点， 1(1A ∴，0，2)，(0E ，0，1)，(0G ，2，1)，(1F ，1，0)，1(1A E =-，0，1)-，，1-，1)-， 11010A E GF =-++=，1A E GF ∴⊥，异面直线1A E 与GF 所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角为 90︒ ．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 建立空间直角坐标系， 1(1A ，0，2)，(0E ，0，1)， (0G ，2，1)，(1F ，1，0)，1(1A E =-，0，1)-，，1-，1)-， 设异面直线1A E 与GF 所成角为θ， 111||cos |cos ,|0||||A E GF A E GF A E GF θ=<>==，异面直线1A E 与GF 所成角为90︒． 故答案为：90︒．三．解答题（共4小题）15．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC ⊥，且4AD =，6BC =，求异面直线EF 与BC 所成角的大小．【解答】解：取BD 中点O ，连结OE 、OF ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC ⊥，且4AD =，6BC =，//OE AD ∴，且122OE AD ==， //OF BC ，且132OF BC ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与BC 所成角， AD BC ⊥，，2tan 3OE EFO OF ∴∠==， 2arctan 3EFO ∴∠=．异面直线EF 与BC 所成角的大小为2arctan 3．16．四面体A BCD -的棱长均为a ，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，求异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值．【解答】解：由题意可得四面体A BCD -为正四面体，如图，连接BE ，取BE 的中点K ，连接FK ，则//FK CE ， 故AFK ∠即为所求的异面直线角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在AKF ∆中，AF CE =，12KF CE ==，12KE BE ==，AK ∴=AKF ∆中，由余弦定理可得2223732cos 23AF FK AK AFK AF FK +-+-∠===．17．长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB a =，BC b =，1AA c =，且a b >，求： （1）下列异面直线之间的距离：AB 与1CC ；AB 与11AC ；AB 与1B C ．（2）异面直线1D B 与AC 所成角的余弦值．【解答】（1）解：BC 为异面直线AB 与1CC 的公垂线段，故AB 与1CC 的距离为b ． 1AA 为异面直线AB 与11AC 的公垂线段，故AB 与11AC 的距离为c ．过B 作1BE B C ⊥，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与1B C的公垂线，11BB BC BE B C ⋅==，即AB 与1B C．（2）解法一：连接BD 交AC 于点O ，取1DD 的中点F ，连接OF 、AF ，则， 就是异面直线1D B 与AC 所成的角．a AO =112OF BD ==AF = 在AOF ∆中，．解法二：如图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连接BG 、1D G ，则//AC BG ，1D BG ∴∠（或其补角）为1D B 与AC所成的角．1BD，BG =1D G =在△1D BG 中，222221111cos 2D B BG D G D BG D B BG +-∠==⋅，故所求的余弦值为22．18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，求异面直线EF 和1BC 所成的角的余弦值．【解答】解：在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，以A 为原点，过点A 作CB 的平行线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设12AB BC AA ===，则E ，，0)，F ，1)，B ，0)，1(0C ，2)， 2(2EF =，，1)，1(BC =-， 设异面直线EF 和1BC 所成的角为θ． 则，异面直线EF 和1BC 所成的角的余弦值为12．。
9.3.1空间两条直线所成的角
【课题】9.3 空间两条直线所成的角【教学目标】知识目标：学习异面直线所成角的概念.能力目标：注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力.情感目标：通过对概念的学习研究，培养学生主动探究，勇于发现的求知精神. 【教学重点】异面直线所成角的概念.【教学难点】等求简单的异面直线所成的角的大小.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(40分钟)【教学过程】一复习旧知引入新课先回顾之前所学的内容，两条直线的位置关系有几种？分别是什么？两条直线所成的角怎么样测量呢？不在同一个平面的两条直线怎样测量呢？所成的角度为多少度？二设疑激探自主学习1.什么是两条相交直线的夹角？2.什么是两条异面直线所成的角？3.两条异面直线所成角的范围是多少？1.两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．2.经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角，就是两条异面直线所成的角.3.两条异面直线所成角的范围(0°，90°]如图所示，∥、∥，则与的夹角就是异面直线与所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点当两条异面直线所成的角为直角时称为这两条异面直线垂直.直线m与直线n垂直，记为m ┴ n三合作讨论共同探究例1 如图9−32所示的长方体中，，求下列异面直线所成的角的度数：(1) 与； (2) 与 .解（1）因为∥，所以为异面直线与所成的角．即所求角为.（2）因为∥，所以为异面直线与所成的角．在直角△中，，所以，即所求的角为.图9－32四学生展示教师点评在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）与；（2）与．五巩固提高强化练习如图正方体中，直线AD与B1C是直线，直线AD与B1C所成的角为；直线B1 B与D1D是直线，直线B1 B与D1D所成的角为；六归纳总结作业布置1.两条异面所成的角的概念？2.两条异面直线垂直？1.读书部分：阅读教材相关章节2.书面作业：指导与练习60-61页3.实践调查：寻找生活中的两条异面所成的角七情感升华在生活的空间中，目标给了我们生活的目的和意义，看似两个不同的含义，都会在目标面前相交，这两条线所形成的角度，会释放出灿烂的火花，所以当我们发现有些事情没有在一个平面中共同发展的时候，不要惊慌，不要迷茫，用心去平移，用心去描绘，让我们换个角度看待我们的生活，你会发现不一样的收获。
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n
n′
m
m′O来自m
m′
o
(0, 异面直线所成角的范围是什么？ m与 n所成角的大小与点 O的位置有关吗？ 两条直线垂直，它们一定相交吗？
2
]
二、例题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1=30° 求下列异面直线所成角的度数。 D C （1）AB1与CD B A （2）AB1与CC1
选做题： 有兴趣的 同学完成：
9.3.1空间两条直线所成的角
空间两条直线的位置关系：
位置关系
图形
所成的角
平行
0
0
0
相交
0 90
0
异面
？
2、异面直线的画法：平面衬托法
A
B
空间中两条异面直线所成的角
点o常取在两条异面直线中的一条 bˊ 上
b
o
.
θ
aˊ
o
α
a
一、定义
经过空间任意一点分别作与两条异面直线 平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条 异面直线所成的角。
90° 45° 60°
四、总结
1.空间两条直线所成的角。 本节课老师讲了什么：
你学到了什么 ： 2. 两条异面直线所成的角。 3. 在立体图形中，求异面直线所 你学会了什么： 成角的方法。平移→说明→解答
五、作业
必做题： 《练与考》63页 教材96页 习题9.3 A组题中1题（2）、2题 教材97页B组题
1 1
1
1
D A B 1.平移
C
解(1) ∵DC∥AB, ∴∠BAB1为异面 直线AB1与CD所 成的角， 即所求角为30°。
2.说明
3.解答
例 如图：正方体 ： ABCD A1B1C1D1 求异面直线BA1和CC1所成的角。
D1 A1 C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
例 如图：正方体 ： ABCD A1B1C1D1 求异面直线BA1和CC1所成的角。
D1 A1 C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
三、练习
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各对异面直线所成的角的度数。
D1 A1 D A B B1 C C1
（1）DD1与BC （2）AA1与 BC1 （3）AC与 BC1