1.5定积分的概念教学设计教案

教学准备
1. 教学目标
（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质
（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.
2. 教学重点/难点
【教学重点】：
理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质
【教学难点】：
对定积分概念形成过程的理解
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
1.5.3定积分的概念
教学过程
课堂小结
定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积分的性质。

定积分的概念教案

1.5.3定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b aS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

1.5定积分的概念教案

二、定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分的几何意义.
【即时训练1】定积分的值是.
阅读教材完成右框内容
三、定积分的性质
（1） .（2） .
（3） .
【即时训练2】已知，，，，求下列各式的值.
课堂小结
三、巩固诊断
1.已知为偶函数且，则等于（）
A．0B．4C．8D．16
2．若是奇函数，则（）
A．0B． C． D．1
3．如图,阴影部分面积分别为，则定积分 _____.
4．说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其几何意义求出定积分的值.
闯关题：求定积分：
.
1.5定积分的概念
一、学习目标：1.理解定积分的概念.
2.理解定积分的几何意义.
3.掌握定积分的基本性质
学习重点：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质
学习难点：对定积分概念形成过程的理检测及课堂展示
阅读教材完成右框内容
一、定积分的概念
一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成小区间，在每个小区间上任取一点，作和式 .当时，上述和式无限接近某个，这个叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里，分别叫做与，区间叫做，函数叫做，叫做，叫做.

教学：1.5定积分的概念第3课时

§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。

学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解练习与测试：（基础题） 1.函数()f x 在[],a b上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和； 4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分(1). 21lim(12)n n n →∞+++L解：12211111lim (12)lim lim nnn n n i i i n i xdx n nn n →∞→∞→∞==+++===∑∑⎰L (2). 21lim()ni i i fx λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=L解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -L ,典型小区间为1[,]i iq q -，（1,2,,i n =L ）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =L ）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑()i g ξi x ∆i ξ1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==Q1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

高中数学专题1.5.3 定积分的概念教案新人教A版选修2

定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?(2)定积分就是和的极限limn→∞∑ni＝1(ξi)·Δx，而ʃb a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3d x的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n n －2＝2＋n －12n. (3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃba f (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃba f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃbc n f (x )d x (其中n ∈N *)．思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. ☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑ni ＝1i 3n 3·1n； ②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i －13n 3·1n；③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (i ＝1,2，…，n )上的值可以用 ( )近似代替 A.inB ．1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1n【答案】C【解析】f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替，故选C. 3．下列等式不成立的是( ) A. ()()ba mf x ng x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝m ()b a f x dx ⎰＋n ()ba g x dx ⎰ B. ()1ba f x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝()ba f x dx ⎰＋b －aC. ()()baf xg x dx ⎰＝()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰D.2π2πsin xdx -⎰＝02π2πsin sin xdx xdx -+⎰⎰【答案】C【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立．例如112xdx =⎰，12013x dx =⎰，13014x dx =⎰，11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C.4．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 【答案】 B【解析】偶函数图象关于y 轴对称，故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 5．已知1e e 1xdx =-⎰，221e e e xdx =-⎰，2283x dx =⎰，2122ln 2dx x =⎰.求：(1)20e xdx ⎰；(2)()220e 3xx dx +⎰；(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 【解析】(1)2122201e e e e 1e e e 1x x x dx dx dx =+=-+-=-⎰⎰⎰.(2)()22e3xx dx +⎰＝2e xdx ⎰＋()223x dx ⎰＝2e xdx ⎰＋2203x dx ⎰＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝21e xdx ⎰＋21122dx x ⎰＝e 2－e ＋ln2. 6．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3[2n 2n ＋14n ＋16－n n ＋12n ＋16]＋2n2·n n ＋1＋2n2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23，2 3的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．ʃ21(－x2＋2x)d x＝。

定积分的概念的教学设计

《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。

我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。

1．2教学内容分析1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。

这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。

1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。

主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。

通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。

2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。

作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。

我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。

3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点：2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式nS 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2

§1.5.3定积分的概念教案一、教学目标⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学过程：二、预习导学1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．三、问题引领，知识探究1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

定积分地概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1教学目标及重点、难点 1.1 教学目标知识目标：1. 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2. 借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分.3. 理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想• 情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力 •1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2教学过程简录2.1实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法, 解决步骤是什么？”学生：分割4以直代曲q 求和二取极限（逼近）教师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究.2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）n h 1 il IN1V 710.10斥7 0397这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1:以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。

学生2:还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念 .2.2.1定积分的概念设函数f(x)在区间［a,b ］上有定义，任意用分点a =x ° ：为：X 2 ：： X n =b将［a,b ］分成n 个小区间，用- X i -表示第i 个小区间的长度，在以亠人］上任取一点i ，作乘积f( ip X i ，i =1,2，…；n .再作和「之刚 F|藝冠口 I 抽週曲至ftE 9U.MI flW ：NE■□Ml H80.00^\o-■<J J.SWW ?dHflh-1J■fJ*1+nP.W?JjJJ riMi ；'•M JJ丨・■ M.-tjJjP几何®• iStfFJj - 1J» HffiKi M ：LI S.T1P9 ItJiQ 曲祈 q EfcAlMI S3S>NI 世團呵 *JiWl Httii .ruras- issi 対 7■龙轉” WL'<丘说吗MXI 3山 ±jfcM> ESN 罡SJ4 童二闻 ■團•■PHLrl-llTrl*ll.l<ll.li 上鼻丄鼻rLIJLd可L*丄 L* ;r.tTNitl »94 ；JZGt B ： uinrr im-ia» = SMI Of)n = 8000.00mlzxzzHEzJ p Ji J- Jn' f( i )厶X i .i 4若当，二max{.%} > 0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间［a,b ］上可积，并称此1丈切 ™ 极限值为f(x)在［a,b ］上的定积分，记作bf(x)dx.即■ abnf (x)d^ljm^Z f (©)A x i .其中f (x)称为被积函数，f (x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，［a,b ］称为积许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为 v(t)，则在时间区间［a,b ］上，物体经过的路程为bs 「a v(t)dt.⑵同理，图5-1所示的曲边梯形面积可表为bA 二 f (x)dx(3)ab变力做功W 二F(r)dr (4)I • f (x)在［a,b ］可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点［Xy,X i ］上如何选取，只要•》0 ,极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理在闭区间［a,b ］上连续的函数必在［a,b ］上可积；在区间［a,b ］上有界且只有有限个间断点的函数也必在［a,b ］上可积.II •定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关, 即(1)a, b 分别称为积分下限和上限.i在小区间x图5-1bb baf (x)dx f (u)du f (t)dt.Ill .定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当b < a 时,b aaf(x)dx 二- b f(x)dx .af (x)dx 二 0 .a222定积分的几何意义bI .若f(x) _0,则积分a f(x)dx 表示如图所示的曲边梯形的面积，即bf (x)dx = A .ab特别地，当a=b 时，有［f (x)dx=O 。

定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点 1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？”” 师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2 演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.” （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示. 教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。

学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任意用分点b x x x x a n =<⋅⋅⋅<<<=210 将],[b a 分成n 个小区间，用1--=∆i i i x x x 表示第i 个小区间的长度，在],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆⋅)(ξ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=. 再作和∑=∆ni iixf 1)(ξ.若当0}{max 1→∆=≤≤i ni x λ时，上式的极限存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(. 即图5－1∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ. (1)其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为)(t v ，则在时间区间],[b a 上，物体经过的路程为⎰=ba dt t v s )(. (2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为⎰=ba dx x f A )( (3)()baW F r dr =⎰变力做功 (4)I ．)(x f 在],[b a 可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i ξ在小区间],[1i i x x -上如何选取，只要0→λ，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理在闭区间],[b a 上连续的函数必在],[b a 上可积；在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[b a 上可积.II ．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即⎰⎰⎰==bab abadt t f du u f dx x f )()()(．III ．定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当a b ≤时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(．0)(=⎰a adx x f ．2.2.2 定积分的几何意义I ．若0)(≥x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即A dx x f ba=⎰)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积. (两名学生上黑板板书)学生1：⎰102xdx 学生2：⎰430sin πxdx:) 学生3：（略）学生4：练习：学生5：（略）学生6：（略）II ．若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即b学生图，则积分⎰ba x =方的图形面321)(A A A dx x f ba+-=⎰．2.2.3 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d x f x d x ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）性质4()()()(b c baacf x d x f x d x f x d x a c b=+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）[2,2]x ∈-被积函数半径为2说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分表示为？学生8： 2、计算定积分：学生9：（2）式表示半圆 2.3 发散思考，深入探索不计算积分，比较下列各组积分的大小:(1) xdx⎰10, dxx 210⎰; (2) xdx ⎰21, dxx 221⎰;(3) xdx⎰10,dxx )1ln(1+⎰;(4)xdxsin 02⎰-π,xdxsin 2⎰π.（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。

高中数学 1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2-2

§1.5.3定积分的概念教案一、教学目标⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学过程：二、预习导学1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．三、问题引领，知识探究1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

定积分学案1.5,1.6,1.7

11.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积一、学习目标1.通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲2.了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；二、学习过程问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？（一）连续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x =为在区间I 上的连续函数．问题2：如图，类似于一个梯形，但有一边是曲边()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为____________________ 如何计算这个曲边梯形的面积？要计算上述图形的面积，可将区间[a,b]分成许多小区间，进而把________拆分为一些小____________，对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面积近似代替____________的面积，得到每个__________面积的近似值，对这些近似值求和，就得到____________面积的近似值.如图可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好. 问题3：画出由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲第一步分割在由2y x =与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得每个小区间的长度x ∆=（）A ．1n B ．2n C ．3n D ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．第二步近似代替问题5：在区间1[,]i in n-上，函数2()f x x =的值()f x ≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．第三步求和问题6：求图1.5－4中阴影部分面积n S （写出过程）．n n i x n i f S S ni ni n i i n 1111211∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∆=∑∑∑==== = = = 从而得到S 的近似值n S S ≈= 问题7：2222123n ++++= __________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++= ___________．（2）2222135(21)n ++++-= ____________．第四步取极限——逼近的思想问题8：从图中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________．问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？a(y f x = b ()y f x = a b ()y f x =2问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i i i n n n -= 上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()if n，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意1[,]i i in n ξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情况又怎么样？（三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积．解：例2.在等分区间的情况下，写出21(),[0,1]1f x x x x=∈+及轴所围成的曲边梯形的面积的和式的极限形式解：例3.0,1,0(1)x x y y x x ====-求由直线和围成的图形面积提示：12+22+32+…+n 2=16n(n+1)(2n+1). 解：课后练习与提高1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n21 2、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )A.],1[n i n i - B. )](),(1[a b n ia b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b ni a a b n i a -+--+3、在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（） A.只能是左端点的函数值)(i x f B.只能是右端点的函数值)(1+i x f C.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ） D.以上答案均正确3§1.5.2汽车行驶的路程一、学习目标1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

教学设计6：1.5.3定积分的概念

1.5.3 定积分的概念教学目标1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.知识梳理知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限.2.求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.思考(1)如何计算下列两图形的面积？(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答案(1)①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.(2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小. 知识点二定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi ).其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. 思考 (1)如何理解定积分？(2)用定义求定积分⎠⎛ab f (x )d x 的一般步骤是什么？答案 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛ab f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的值与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.(2)①分割：将区间[a ，b ]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛ab f (x )d x ≈∑i ＝1nf (ξi )Δx ；③取极限：⎠⎛ab f (x )d x ＝lim Δx →0∑i ＝1n f (ξi )Δx . 知识点三定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S .(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝－S .(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积).2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).思考设v ＝v (t )在时间区间[t 1，t 2]上连续且恒有v (t )≥0，定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 的意义是什么？答案定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1，t 2]内经过的路程，这就是定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 的物理意义.题型探究题型一求图形的面积问题例1 用定积分的定义求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积. 解 ①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . ②近似代替：对区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝⎛⎭⎫i －1n ＝⎝⎛⎭⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i －1n 3＋11n .③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i －1n 3＋11n ＝1n 4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1 ＝1n 4·(n －1)2·n 24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. ④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54，即S ＝lim n →∞S n ＝54. 所以曲边梯形的面积是54.反思与感悟对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用. 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积. 解 (1)分割：将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ，简写作⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . 过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积. 在小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上任取一点x i (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便取x i 为小区间的左端点，以点x i 的函数值f (x i )＝⎝⎛⎭⎫i －1n ⎝⎛⎭⎫i －1n －1为一边，以小区间长度Δx ＝1n 为邻边的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈f (x i )·Δx ＝⎝⎛⎭⎫i －1n ·⎝⎛⎭⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n ). (3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S 的近似值.即 S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf (x i )Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n ⎝⎛⎭⎫i －1n －1·1n＝1n 3∑i ＝1n (i －1)2－1n 2∑i ＝1n(i －1) ＝16(n －1)(2n －1)n n 3－12n (n －1)n 2 ＝1－n 26n 2＝－16＋16n 2.① (4)取极限：当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S ，因此，当n →∞，即Δx →0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积.当Δx →0时，S →－16(负号表示图象在x 轴下方).所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成图形的面积是16.题型二求汽车行驶的路程例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(v 的单位：km/h ，t 的单位：h)，那么它在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解将区间[1,2]等分成n 个小区间，即第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n ).所以Δs ＝f ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n ，s n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]⎭⎬⎫＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间内行驶的路程s 是133km.反思与感悟利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.跟踪训练2 一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g ＝9.8 m/s 2)解自由落体的下落速度为v (t )＝gt .将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎡⎦⎤3＋3(i －1)n ，3＋3in (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度.所以s n ＝∑i ＝1nv ⎣⎡⎦⎤3＋3(i －1)n 3n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3g ＋3g n (i －1)·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3g n [1＋2＋…＋(n －1)]·3n ＝9g ＋9g n 2·n (n －1)2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎫1－1n . 所以s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m). 故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m. 题型三由定积分的几何意义求定积分例3 利用定积分的几何意义，求： (1) ⎠⎛－339－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示.其面积为S ＝12πr 2＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2d x ＝92π.(2)在坐标平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)所示. 其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.反思与感悟利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取.跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算. (1) ⎠⎛－11x d x ；(2) ⎠⎛－RRR 2－x 2d x .解 (1)如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A 减去B . ∵S A ＝S B ＝12，∴⎠⎛－11x d x ＝12－12＝0.(2)如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，而阴影部分面积为π2R 2，∴⎠⎛－RRR 2－x 2d x ＝π2R 2.例4 如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC.－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD.－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x错解错选A 或B 或C.错因分析错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.正解若f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；若f (x )≤0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ；若在[a ，c ]上，f (x )≤0，在[c ，b ]上，f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x ，故选D.防范措施定积分的几何意义是在x 轴上半部计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值. 当堂检测1.把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( )A.1nB.2nC.3nD.12n【答案】B【解析】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2.定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A.与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B.与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C.与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D.与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【答案】A3.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 【答案】1.02【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2 d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .【答案】①> ②<。

高中数学教案 1.5定积分的概念第1课时

§1.5.1 曲边梯形的面积【学情分析】：本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。

学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.【教学目标】：（1）知识与技能：定积分概念的引入（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。

【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。

【教学过程设计】：一、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。

那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。

本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）二、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．y y y把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。

《定积分的概念》教学教案

《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。

二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。

三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。

四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。

五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。

2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。

2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。

3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。

2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。

3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。

2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。

3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。

4.练习：让学生完成相应的练习题。

Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。

2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。

3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。

4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。

2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。

2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。

1.5定积分的概念第1课时优秀教学设计

引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”两大类；并指出扇形和环形的面积都可以利用圆形的面积来计算
（1）类比计算圆的面积的方法，能否将引导学生思考、讨论，得出结论：直接对
求曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边图形” 整个曲边梯形进行“以直代曲”误差太大。
的面积问题？
为了减少近似代替的误差，需要先分割再
六、小结
求曲边梯形的面积的思想方法是什么？具体
帮助学生归纳知识要点及这节课所要
步骤是什么？最终形式是什么？
学习的数学思想方法。
因此
f i 作为近似值，是否也可以求出曲边梯形
的面积？
n 1 f
i1 n
xi1
n i 1
1 n
f
i
n i 1
1 n
f
xi
lim 所以
S
n ba f n n i1
i
五、练
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围
习成的曲边梯形的面积。
学以致用，巩固所学知识点
形面积的步骤。【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。【课前准备】：powerponit 【教学过程设计】：
教学环节
一、复习
教学活动
设计意图
1.请梳理一下，你已经会求哪些平面图形的面积？这些平面图形的主要特点是什么？
2.圆的面积是如何计算的？（总结出“以直代曲”、“逼近”的思想方法）
学生类比前面用不足近似值求曲边梯形面积的过程，进行思考、讨论和演算，用过剩近似值得到曲边梯形的面积。
种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也
是 1 吗？
四、
3

教学：1.5定积分的概念第1课时

§1.5.1 曲边梯形的面积【学情分析】：本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。

学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.【教学目标】：（1）知识与技能：定积分概念的引入（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。

【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。

【教学过程设计】：一、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。

那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。

本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）二、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．[]x x x 1 1 y y y取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。

定积分的概念教案

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L 于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L()ba f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x轴下方的面积）2．定积分的性质性质1 a b dx ba-=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()bbbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

1.5定积分的概念 教学设计 教案