四川大学计算机学院 离散数学(第14讲)
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传递闭包和自反传递闭包，常用于形式语言与 程序设计中，在计算机文献中，常把关系R的传递 闭包t(R)记作R+，而自反传递闭包rt(R)记作R*。 显然有(R+)+=R+。
2013-7-5 计算机学院 5
§5.1
等价关系
我们知道，一个事物常常可以有很多种表 现形式，如1/2可以写成2/4，3/6，5/10等等， 一个命题公式也可以表示成很多不同然而等价 的形式。当我们以某种尺度来看待这些表面不 同而实质上具有相同特征的事物时，归类分析 的想法就产生了，这就是等价关系的核心思想。 定义5.1设R是定义在集合A上的关系，如果R是自 反的、对称的、传递的，则称此关系R为A上的 等价关系。
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例5.1-11）在全体中国人所组成的集合上定义 的“同姓”关系，就是具备自反的、对称的、 传递的性质，因此，就是一个等价关系； 2) 对任何集合A,考虑R＝A×A,则R是A上的等价关 系； 3) 三角形的“相似关系”、“全等关系”等都是 等价关系； 4) 幂集上定义的“”，整数集上定义的“≤” 都不是等价关系，因为它们不是对称的。
冯伟森
Email：fws365@scu.edu.cn 2013年7月5日星期五
主要内容
1、闭包运算的性质
2、等价关系 3、等价类及其性质
2013-7-5
计算机学院
2
闭包运算的性质
定理4.7 设R1，R2是集合A上的关系， 且R1R2，则：
1)r(R1)r(R2)
2)s(R1)s(R2) 3)t(R1)t(R2) 定理4.8 设R是集合A上的关系，则： 1) 若R是自反的，则s(R),t(R)也是自反的 2) 若R是对称的，则r(R),t(R)也是对称的 3) 若R是传递的，则r(R)也是传递的
8
13
等价类的性质
定理5.1 设R是非空集合A上的等价关系，有 下面结论成立： 1) 对任意xA，[x]R≠Φ；
x R
2)
xA
＝A；
3) 对 任 意 x,y∈A ， 或 者 [x]R=[y]R ， 或 者
[x]R∩[y]R＝Φ。
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证明：1）对任意x∈A，因为R是等价关系，所以R 是自反的，因此<x,x>∈R，即x∈[x]R，[x]R≠Φ。
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例4-4.3
设A＝{1,2},R＝{<1,2>},则：
st(R)＝s(t(R))＝s({<1,2>}) ＝{<1,2>,<2,1>} ts(R)＝t(s(R))＝t({<1,2>,<2,1>}) ＝{<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>} 即：st(R)ts(R)
<x,y>∈R，由R的传递性有：<x,z>∈R。所以，
z∈[x]R，即：[y]R[x]R。所以，[x]R＝[y]R。
(2) 若y[x]R，设[x]R∩[y]R≠Φ，则存在
z∈[x]R∩[y]R。即z∈[x]R，z∈[y]R，则有：
<x,z>∈R，<y,z>∈R，由R的对称性，<z,y>∈R。
由R的传递性有：<x,y>∈R，所以y∈[x]R，矛盾。
2013-7-5
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7
例5.1-2
设m为正整数，考虑整数集合Z上的关系如下： R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(m|(x-y))} 证明R是一个等价关系。
证明 (1) 对任意xZ，有m|(x-x)，所以<x,x>R，即R 是自反的。 (2) 对任意x,yZ，若<x,y>R，即m|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。 (3) 对任意x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有m|(x-y) 且m|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z)得m|(x-z)， 所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 ■
所以[x]R∩[y]R＝Φ。■
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集合的划分
定义5.3设A是一个集合，A1,A2,A3...Am是A的任 何m个子集，如果A1,A2,A3...Am满足：
1) 对 一 切 的 i≠j(i,j ＝ 1,2,3,....,m) ， 都 有
Ai∩Aj＝Φ。
2)
i 1
Ai A
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习题五
1、3、4、5、6
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(1)若y∈[x]R，则<x,y>∈R。
（要证明[x]R＝[y]R ）
(a)对任意z∈[x]R，则有：<x,z>∈R，又
<x,y>∈R，由R的对称性有：<y,x>∈R，由R的 传递性有：<y,z>∈R。 所以z∈[y]R，即：[x]R[y]R。
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(b) 对任意z∈[y]R，则有：<y,z>∈R，又
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例5.1-3
我们常见的时钟上的时针重复关系即为 m=12，A={0,1,2,3,…,23}，此等价关系R的关系
图如下图所示，A被分成了12个子集{0,12}、
{1,13}、{2,14}、…、{11,23}。
0
12
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… 15
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多重闭包
1）集合A上的关系的自反对称闭包定义为rs(R) ＝r(s(R)) 2）集合A上的关系的自反传递闭包定义为rt(R) ＝r(t(R)) 3）集合A上的关系的对称传递闭包定义为st(R) ＝s(t(R)) 同上，我们还可定义sr(R),tr(R),ts(R),… 定理4.9 设R是集合A上的关系，则： 1)rs(R)＝sr(R) 2)rt(R)＝tr(R) 3)st(R)ts(R)
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以m为模的同余关系
上述R称为Z上以m为模的同余关系，一般记xRy为 x＝y(mod m),称为同余式。 如用resm(x)表示x除以m的余数， 即 x=km+ resm(x) 则 x＝y(mod m) resm(x)＝resm(y)。 注意：x、y关于m1同余，但x、y关于m2不同余。 此时，R将Z分成了如下m个子集： {…,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,…} {…,-3m+1,-2m+1,-m+1,1,m+1,2m+1,3m+1,…} {…, -3m+2,-2m+2,-m+2,2,m+2,2m+2,3m+2,…} … {…,-2m-1,-m-1,-1,m-1,2m-1,3m-1,4m-1,…}
11
等价类
定义5.2 称集合 [x]R＝{y|(y∈A)∧(<x,y>∈R)} 为x关于R的等价类,或称为由x生成的一个R 等价类。其中x称为[x]R的生成元(或叫代表元，或 典型元)。 在不会引起混淆时，简记为[x]。
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设R是集合A上的等价关系,对任意x∈A,
例5.1-4
I0
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计算机学院
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2) 对任何的子集A1U，A2U,｛I0,I1,I2,I3}构成 了集合U的一个划分，其中，I0＝∩2 ， A1 A I1＝∩A2， A1 I2＝A1∩2 ，I3＝A1∩A2。 A
U A1 I2 I3 I1 I0
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A2
定理5.2
的一个划分块Ai ，故<y,x>∈R，所以R是对称
的。
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3) 对任意x,y,z∈A，若<x,y>∈R，<y,z>∈R， 则x和y同属于П(A)的一个划分块Ai，y和z同 属于П(A)的一个划分块Aj，因此y∈Ai∩Aj， 由于不同的划分块的交为空，所以Ai=Aj ，因 此 x 和 z 同 属 于 П(A) 的 一 个 划 分 块 Ai ， 即 <x,z>∈R，所以R是传递的。 综上，由1)、2)、3)知，R是A上的等价关系。
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证明
1）对任意x∈A，因为П(A)是A的一个划
分，所以存在一个划分块Ai∈П(A)，使得x∈Ai，
即x和x同属于П(A)的一个划分块Ai，故
<x,x>∈R，所以R是自反的。
2) 对任意x,y∈A，若<x,y>∈R，则x和y同属于
ห้องสมุดไป่ตู้
П(A)的一个划分块Ai，因此y和x同属于П(A)
m
则称集合П(A)＝{A1,A2,A3,....,Am｝为集合A的
一个划分,而A1,A2,A3,...Am称为这个划分的块。
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例5.1-5
设对于全集U,考虑：
1) 对任何的子集AU,{I0,I1}构成了集合U的一个
划分，其中，I0＝ A 1＝A。 ,I
U A
I1
xA
2）因为对任意x∈A，[x]R A，所以 xR A。 对任意x∈A，因R是自反的，所以<x,x>∈R，即 x∈[x] 。所以x∈ xR ，即A xR 。 故 xR =A。
xA
R
xA
xA
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15
3) 对任意x,y∈A，分y∈[x]R和y[x]R进行讨论
设П(A)＝{A1,A2,A3,....,Am}是非空集合A
的一个划分，则A上的关系
RП＝{<a,b>|(a,b∈A)∧(a,b同属П(A)的一个划分块)｝
=（a，b∈A）[（a，b）∈R （i）[1≤i≤m∧ a∈Ai ∧ b∈Ai]]
是A上的等价关系，称之为由П(A)所导出的等价关 系。 反之，每个A上的等价关系都能决定A的一个划分。
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这m个Z的子集具有的特点：在同一个子集中 的元素之间都有关系R，而不同子集的元素之间 无关系R。也就是说，通过等价关系，将集合分 成若干子集，使这些子集构成的集合就是Z的一 个划分。 事实上，对任意正整数m，Z的任意非空子集A ，关系R={<x,y>|(x,y∈A)∧(m|(x-y))}都是A上 的等价关系。
设A＝{1,2,3,4,5,8}，考虑R是A上的以3为模 的同余关系，求其等价类。 解：从例5-1.2易知，该R是一个等价关系，为 此可求[x]R(x∈A)。 [1]R＝{1,4}＝[4]R； [2]R＝{2,5,8}＝[5]R＝[8]R； [3]R＝{3}。
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§5.1
等价关系
我们知道，一个事物常常可以有很多种表 现形式，如1/2可以写成2/4，3/6，5/10等等， 一个命题公式也可以表示成很多不同然而等价 的形式。当我们以某种尺度来看待这些表面不 同而实质上具有相同特征的事物时，归类分析 的想法就产生了，这就是等价关系的核心思想。 定义5.1设R是定义在集合A上的关系，如果R是自 反的、对称的、传递的，则称此关系R为A上的 等价关系。
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例5.1-11）在全体中国人所组成的集合上定义 的“同姓”关系，就是具备自反的、对称的、 传递的性质，因此，就是一个等价关系； 2) 对任何集合A,考虑R＝A×A,则R是A上的等价关 系； 3) 三角形的“相似关系”、“全等关系”等都是 等价关系； 4) 幂集上定义的“”，整数集上定义的“≤” 都不是等价关系，因为它们不是对称的。
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1、闭包运算的性质
2、等价关系 3、等价类及其性质
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闭包运算的性质
定理4.7 设R1，R2是集合A上的关系， 且R1R2，则：
1)r(R1)r(R2)
2)s(R1)s(R2) 3)t(R1)t(R2) 定理4.8 设R是集合A上的关系，则： 1) 若R是自反的，则s(R),t(R)也是自反的 2) 若R是对称的，则r(R),t(R)也是对称的 3) 若R是传递的，则r(R)也是传递的
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等价类的性质
定理5.1 设R是非空集合A上的等价关系，有 下面结论成立： 1) 对任意xA，[x]R≠Φ；
x R
2)
xA
＝A；
3) 对 任 意 x,y∈A ， 或 者 [x]R=[y]R ， 或 者
[x]R∩[y]R＝Φ。
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证明：1）对任意x∈A，因为R是等价关系，所以R 是自反的，因此<x,x>∈R，即x∈[x]R，[x]R≠Φ。
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例4-4.3
设A＝{1,2},R＝{<1,2>},则：
st(R)＝s(t(R))＝s({<1,2>}) ＝{<1,2>,<2,1>} ts(R)＝t(s(R))＝t({<1,2>,<2,1>}) ＝{<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>} 即：st(R)ts(R)
<x,y>∈R，由R的传递性有：<x,z>∈R。所以，
z∈[x]R，即：[y]R[x]R。所以，[x]R＝[y]R。
(2) 若y[x]R，设[x]R∩[y]R≠Φ，则存在
z∈[x]R∩[y]R。即z∈[x]R，z∈[y]R，则有：
<x,z>∈R，<y,z>∈R，由R的对称性，<z,y>∈R。
由R的传递性有：<x,y>∈R，所以y∈[x]R，矛盾。
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例5.1-2
设m为正整数，考虑整数集合Z上的关系如下： R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(m|(x-y))} 证明R是一个等价关系。
证明 (1) 对任意xZ，有m|(x-x)，所以<x,x>R，即R 是自反的。 (2) 对任意x,yZ，若<x,y>R，即m|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。 (3) 对任意x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有m|(x-y) 且m|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z)得m|(x-z)， 所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 ■
所以[x]R∩[y]R＝Φ。■
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集合的划分
定义5.3设A是一个集合，A1,A2,A3...Am是A的任 何m个子集，如果A1,A2,A3...Am满足：
1) 对 一 切 的 i≠j(i,j ＝ 1,2,3,....,m) ， 都 有
Ai∩Aj＝Φ。
2)
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Ai A
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1、3、4、5、6
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(1)若y∈[x]R，则<x,y>∈R。
（要证明[x]R＝[y]R ）
(a)对任意z∈[x]R，则有：<x,z>∈R，又
<x,y>∈R，由R的对称性有：<y,x>∈R，由R的 传递性有：<y,z>∈R。 所以z∈[y]R，即：[x]R[y]R。
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我们常见的时钟上的时针重复关系即为 m=12，A={0,1,2,3,…,23}，此等价关系R的关系
图如下图所示，A被分成了12个子集{0,12}、
{1,13}、{2,14}、…、{11,23}。
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1）集合A上的关系的自反对称闭包定义为rs(R) ＝r(s(R)) 2）集合A上的关系的自反传递闭包定义为rt(R) ＝r(t(R)) 3）集合A上的关系的对称传递闭包定义为st(R) ＝s(t(R)) 同上，我们还可定义sr(R),tr(R),ts(R),… 定理4.9 设R是集合A上的关系，则： 1)rs(R)＝sr(R) 2)rt(R)＝tr(R) 3)st(R)ts(R)
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以m为模的同余关系
上述R称为Z上以m为模的同余关系，一般记xRy为 x＝y(mod m),称为同余式。 如用resm(x)表示x除以m的余数， 即 x=km+ resm(x) 则 x＝y(mod m) resm(x)＝resm(y)。 注意：x、y关于m1同余，但x、y关于m2不同余。 此时，R将Z分成了如下m个子集： {…,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,…} {…,-3m+1,-2m+1,-m+1,1,m+1,2m+1,3m+1,…} {…, -3m+2,-2m+2,-m+2,2,m+2,2m+2,3m+2,…} … {…,-2m-1,-m-1,-1,m-1,2m-1,3m-1,4m-1,…}
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等价类
定义5.2 称集合 [x]R＝{y|(y∈A)∧(<x,y>∈R)} 为x关于R的等价类,或称为由x生成的一个R 等价类。其中x称为[x]R的生成元(或叫代表元，或 典型元)。 在不会引起混淆时，简记为[x]。
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设R是集合A上的等价关系,对任意x∈A,
例5.1-4
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2) 对任何的子集A1U，A2U,｛I0,I1,I2,I3}构成 了集合U的一个划分，其中，I0＝∩2 ， A1 A I1＝∩A2， A1 I2＝A1∩2 ，I3＝A1∩A2。 A
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的一个划分块Ai ，故<y,x>∈R，所以R是对称
的。
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3) 对任意x,y,z∈A，若<x,y>∈R，<y,z>∈R， 则x和y同属于П(A)的一个划分块Ai，y和z同 属于П(A)的一个划分块Aj，因此y∈Ai∩Aj， 由于不同的划分块的交为空，所以Ai=Aj ，因 此 x 和 z 同 属 于 П(A) 的 一 个 划 分 块 Ai ， 即 <x,z>∈R，所以R是传递的。 综上，由1)、2)、3)知，R是A上的等价关系。
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证明
1）对任意x∈A，因为П(A)是A的一个划
分，所以存在一个划分块Ai∈П(A)，使得x∈Ai，
即x和x同属于П(A)的一个划分块Ai，故
<x,x>∈R，所以R是自反的。
2) 对任意x,y∈A，若<x,y>∈R，则x和y同属于
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П(A)的一个划分块Ai，因此y和x同属于П(A)
m
则称集合П(A)＝{A1,A2,A3,....,Am｝为集合A的
一个划分,而A1,A2,A3,...Am称为这个划分的块。
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设对于全集U,考虑：
1) 对任何的子集AU,{I0,I1}构成了集合U的一个
划分，其中，I0＝ A 1＝A。 ,I
U A
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xA
2）因为对任意x∈A，[x]R A，所以 xR A。 对任意x∈A，因R是自反的，所以<x,x>∈R，即 x∈[x] 。所以x∈ xR ，即A xR 。 故 xR =A。
xA
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3) 对任意x,y∈A，分y∈[x]R和y[x]R进行讨论
设П(A)＝{A1,A2,A3,....,Am}是非空集合A
的一个划分，则A上的关系
RП＝{<a,b>|(a,b∈A)∧(a,b同属П(A)的一个划分块)｝
=（a，b∈A）[（a，b）∈R （i）[1≤i≤m∧ a∈Ai ∧ b∈Ai]]
是A上的等价关系，称之为由П(A)所导出的等价关 系。 反之，每个A上的等价关系都能决定A的一个划分。
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这m个Z的子集具有的特点：在同一个子集中 的元素之间都有关系R，而不同子集的元素之间 无关系R。也就是说，通过等价关系，将集合分 成若干子集，使这些子集构成的集合就是Z的一 个划分。 事实上，对任意正整数m，Z的任意非空子集A ，关系R={<x,y>|(x,y∈A)∧(m|(x-y))}都是A上 的等价关系。
设A＝{1,2,3,4,5,8}，考虑R是A上的以3为模 的同余关系，求其等价类。 解：从例5-1.2易知，该R是一个等价关系，为 此可求[x]R(x∈A)。 [1]R＝{1,4}＝[4]R； [2]R＝{2,5,8}＝[5]R＝[8]R； [3]R＝{3}。
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