浙江理工大学高等数学 期末考试试题
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浙江理工大学
2010-2011学年第一学期高等数学A 期终考试试题
一、选择题（每小题4分，共24分）
1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+=0,
,sin 1sin )(x k x x
x x x x f 在点0=x 处连续，则k 等于 [ ] A. 1 B. 0 C. 2 D. 1- 2. 函数x
x y 4+
=的单调减少区间是 [ ]
A. (2,-∞-)),2(+∞⋃
B.0≠x
C. 不存在
D.)2,0()0,2(⋃-
3.在下列广义积分中，收敛的是 [ ]
A.
⎰
+∞
1
x
dx B.
dx x ⎰
+∞1
C.
dx x
⎰
+∞
-
1
3
4 D.
⎰
+∞
1
1dx x
4. 设du u
x f x
x
⎰+=
2
2
11
)(，则)(x f '为 [ ]
A ．2
4
1111x
x
+-
+ B. 0 C.
4
12x
x + D.
2
4
1112x
x
x +-
+
5. 设,0)0(,sin )(cos 2
2=='f x x f 且则)(x f 为 [ ]
A ．x x 2
cos
21cos +
B. 2
2
1x x -
C.22
1x x +
D. x x 4
2
cos
2
1cos
-
6. 函数)1ln(+=x y 在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理的ξ为 [ ] A. 2ln B.
2
ln 1 C.
12
ln 1- D.
2
1
二、填空题（每小题4分，共24分） 1. =-→x
x x 2sin )31ln(lim
.
2. 设)7,6,1(),5,2,2(,221--+-=→
→
→
→P P k j i a ，则=⋅→
−→−a P P 21 .
3．
⎰-
=2
2
2
cos sin
π
π
xdx x .
4．设函数)(x y y =由方程y x e xy
+=，则0
=x dy
= .
5．
⎰+∞
=-+2
2
)
7(x x dx .
6．设c e dx x xf x +=-⎰)(，则⎰
dx x f )
(1= .
三、简答题（每小题5分，共25分）
1．计算2
cos 1
2
lim x
dt
e
x
t
x ⎰-→ 2． 计算⎰
-e
x x dx 1
2
)
(ln 1
3． 求曲线⎩⎨⎧==t
e y t e x t
t cos ,
2sin 过点)1,0(的法线方程（即0=t 处）。
4．计算⎰
-2
ln 0
1dx e x 5．计算⎰.sin
2
xdx x
四．底为8米、高为6米的等腰三角形闸门，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面
平行，而顶离水面3米，试求它每面所受的水压力（水的比重为9.8千牛/米3）。（7分）
五．在第一象限内求曲线12+-=x y 上的点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围
图形的面积最小。（8分）
六、求函数2
2
-=x x
y 的定义域、单调区间、极值、曲线的凹凸区间以及渐近线.（8分）
七、设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导，).()()(,0)()(2
x f a x x F b f a f ⋅-=== 证明：存
在),,(b a ∈ξ使0)(=''ξF 。（4分）