三角函数的定义

解：点(1， 3 )在第一象限，且x=1，y= 3
所以r=2，sinα= 3 ，cosα=
2
1 2
所以满足条件的角α=2kπ+
3
例5. 已知角α的终边上一点P(－ 3，y)(其中
y≠0)，且sinα= 2 ，y 求cosα和tanα.
4
解：sinα=
y r
y 3 y2
2y 4
解得y2=5，y= 5
例3.若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
例4.若α是第三象限角，则下列各式中不成 立的是（ B ）
A. sin+cos<0 B. tansin<0 C. coscot<0 D. cotcsc<0
A 2ห้องสมุดไป่ตู้
是(D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
6. sin(－ 2 6 3 π)+cos
1
3
7π·tan4π
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec 1 cos
r x
角α的余割：
csc
1
sin
r y
角α的余切：
cot 1 x tan y
两点说明：
(1) 终边相同的角，三角函数值分别相等。 (2) 终边在y轴时，正切函数不存在。 从而三角函数的定义域是
y=sinx, x∈R y=cos x, x∈R y=tan x , x≠kπ+ （2 k∈Z）
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。
解：因为x=2，y=－3，所以 r 13
sinα=
y 3 13
r
13
tanα=
y 3 x2
secα=
r x
13 2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
cscα=
r y
13 3
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
3
)
解： （1）250º在第三象限，所以cos250º<0.
(2)
－
4
在第四象限，所以sin(－ 4
)<0.
(3) －672º在第一象限，所以tan(－672º)>0.
(4) 1 1
3
在第四象限，所以tan( 1
1 3
)<0.
例2.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的 角。
解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限 的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角， 综上所述，θ是第三象限的角。
_O _
_
y
+
x
_O +
_
y
+
x
O
+
_
sinα与cscα的符号 cosα与secα的符号 tanα与cotα的符号
口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦
口诀中提到三角函数为当前正项的函数
例1. 确定下列三角函数值的符号:
（1）cos250º;
（2）sin(
4
)
（3）tan(－672º)；（4）
tan(11
1.2.1三角函数定义
锐角三角函数的定义:
在直角三角形ABC中，角C是直角，角 A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜 边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
sin A BC AB
cos A AC AB
B
tan A BC AC
cot A AC BC
A
C
当角度不是锐角时，它的 三角函数又如何定义呢？
当y=
5 时，cosα=
6 4
,tanα=
15 3
当y=－
5
时，cosα=
6
4 ,tanα=
15 3
三角函数在各象限内的符号
角α是“任意角”， 由三角函数定义可知， 由于P(x, y)点的坐标x, y的正负是随角α所在的 象限的变化而不同，所以三角函数的符号应 由角α所在的象限确定.
y
++ x
y
P
r
y
x
O
x
M
sinα=
y r
，cosα=
x r
，tanα=
。y
x
cot x y
任意角的三角函数 :
y
记作rsin叫α做，角即αs的inα正=弦，ry；
x 叫做角α的余弦，
r 记作cosα ,即cosα=
x；
r
y
P
r
yA
m
x
y x
叫做角α的正切，
记作tanα，即 tanα=
y x
xl O
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
例5.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1
sin
2
1，所以sin2 >0,
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+
2
所以是第一或第三象限角.
练习
1.函数y=
| sin sin
x| x
+|
co co
s s
x x
|
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(C
)
(A) {－1，1}
－cos
13
π=3
.0
7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= － ,求co5s5θ的值. 解：∵P(－2, y)是角θ终边上一点, r= 4 y 2
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
(A) 2
5
(C) 2 或 － 2
5
5
(B) － 2 5
(D) 不确定
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
2
例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A ）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b 2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
例4. 在直角坐标系中，终边过点(1，3 )的所
有角的集合是 {α|α=2kπ+ ，3 k∈Z} .