多元函数微积分学解读
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
《数学分析》多元函数微分学
《数学分析》多元函数微分学数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。
在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数在其中一点的微分性质。
本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，以及一些相关的应用。
一、多元函数的定义在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。
通常情况下，多元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。
多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一二、偏导数的定义在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。
偏导数表示函数在其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。
偏导数的定义如下：对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,ai, ..., an)] / h其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小改变来计算函数f的变化量。
三、偏导数的性质偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。
对于一个具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏导数进行求导得到。
混合偏导数的性质如下：∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这为我们在实际应用中提供了便利。
四、多元函数的微分多元函数的微分是多元函数微分学中的一个重要内容。
对于一个具有多个自变量的函数f，其在其中一点处的微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xn dxn其中dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
高数微积分第六章多元函数微积分
就称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的线性化. 近似式
f(x y) L (x, y) 称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的标准线性近似
例 求函数
在点(3,2)处的线性化.
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 例如,
以上公式中的导数 称为全导数.
2.复合函数的中间变量为多元函数情形
定理2
链式法则如图示
设zf(u v) u(t) v(t) 则 设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
设 zx3y2-3xy3-xy1
求 2z 、 3z x2 x3
、
2z yx
和
2z xy
解
定理 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例 证
例 证
提示
例 证
§6.4 全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
应用
估计误差
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VdV VrrVhh 2rhrr2h 220100005202(-1)
-200 (cm3) 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3
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zdzfx(x y)xfy(x y)y f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y
例5 计算(104)202的近似值 解 设函数 f(x y)x y 显然 要计算的值就是函数在 x104 y202时的函数值f(104 202) 取x1 y2 x004 y002 因为
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是微积分学中的一个重要分支，它研究的是多个变量之间的关系。
与一元函数的微积分不同，多元函数的微积分需要考虑多个自变量对因变量的影响，因此在计算过程中需要运用到一系列的技巧和方法。
在多元函数的微积分中，我们首先要了解的是偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中，对于其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以得到函数在某个点上关于某个自变量的变化率。
在计算偏导数时，我们可以通过使用极限的概念，将多元函数转化为一元函数进行求导。
除了偏导数，多元函数的微积分还涉及到多元函数的极值问题。
在一元函数的微积分中，我们可以通过求导来判断函数在某个点上的极值，而在多元函数中，我们需要使用偏导数来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数的偏导数，并令其等于零，来求解函数的临界点。
通过判断二阶偏导数的正负，我们可以得到函数在临界点上的极值情况。
多元函数的微积分还涉及到多元积分的计算。
多元积分是对多元函数在一个区域上的求和或求平均的操作。
与一元函数的定积分类似，多元积分需要将函数分割成无穷小的小块，并对每个小块进行求和。
在多元积分中，我们可以使用重积分或累次积分的方法进行计算。
除了上述基本概念和技巧外，多元函数的微积分还涉及到一些高级的内容，如隐函数求导、参数方程求导、向量微积分等。
这些内容在工程、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
总结起来，多元函数的微积分是研究多个变量之间的关系的数学工具，它包括了偏导数、极值问题和多元积分等内容。
通过学习多元函数的微积分，我们可以更深入地理解多元函数的性质，并应用于实际问题的求解中。
多元函数的微积分在现代科学和工程领域中具有重要的地位，它为我们研究和解决复杂的问题提供了强有力的工具。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
多元微积分知识点总结
一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量*与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以*一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量*与y的二元函数。
记作：z=f(*,y). 其中*与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量*与y的变域D称为函数的定义域。
关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的局部平面.这样的局部在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在的区域称为闭域，不包括边界在的区域称为开域。
如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过*一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。
常见的区域有矩形域和圆形域。
如以以下图所示：例题：求的定义域.解答：该函数的定义域为：*≥,y≥0.二元函数的几何表示把自变量*、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在*Oy平面作出函数z=f(*,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(*,y)作垂直于*Oy平面的有向线段MP,使其值为与(*,y)对应的函数值z；当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(*,y)的几何图形.它通常是一曲面，其定义域D就是此曲面在*Oy平面上的投影。
二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。
对于二元函数z=f(*,y)我们同样可以学习当自变量*与y 趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。
在平面*Oy上，(*,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
如果当点(*,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(*,y)总是趋向于一个确定的常数A，那末就称A是二元函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(ξ,η)的*一去心邻域的一个二元函数f(*,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，但凡满足的一切(*,y)都使不等式成立，那末常数A称为函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的二重极限。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言，导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。
多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。
可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。
求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。
全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。
5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。
方向导数的计算可以通过梯度来进行。
6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。
7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。
与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。
8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。
9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。
曲面积分可以
对向量场和标量场进行。
10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。
11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。
多元微积分学
多元微积分学
（最新版）
目录
1.多元微积分学的概念
2.多元微积分学的基本原理
3.多元微积分学的应用
正文
一、多元微积分学的概念
多元微积分学，是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的微分和积分。
在数学、物理、化学、工程等科学领域中具有广泛的应用。
多元微积分学主要包括多元函数的微分、偏导数、梯度、多元积分、重积分、曲线积分和曲面积分等内容。
二、多元微积分学的基本原理
1.多元函数的微分
多元函数的微分是指函数在某一点的变化率。
多元函数的微分包括偏导数和全微分。
偏导数表示函数在某一变量变化的情况下，其他变量不变时的变化率。
全微分则表示函数在所有变量变化的情况下的变化率。
2.多元函数的积分
多元函数的积分是指函数在某一区间上的累积效果。
多元函数的积分包括重积分、曲线积分和曲面积分。
重积分是指函数在空间中的累积效果，曲线积分是指函数在曲线上的累积效果，曲面积分是指函数在曲面上的累积效果。
三、多元微积分学的应用
多元微积分学在实际应用中具有广泛的应用，例如在物理学中的力学、
热力学、电磁学等方面，以及在工程学中的流体力学、结构力学、电路理论等方面。
此外，多元微积分学还在经济学、生物学等领域发挥着重要作用。
总之，多元微积分学作为微积分学的一个重要分支，具有广泛的应用和深远的影响。
对多元函数微分学的认识
对多元函数微分学的认识多元函数微分学是微积分的一个重要分支，主要研究多元函数的微分、偏导数、全微分、偏导数的连续性、可微性以及它们之间的关系。
在一元函数微积分中，我们研究的是只涉及一个自变量的函数。
而在多元函数微分学中，我们考虑的是涉及多个自变量的函数。
一个多元函数可以写为f(x1, x2, ..., xn)的形式，其中x1, x2, ...,xn是自变量，而f是一个依赖于这些自变量的函数。
在多元函数微分学中，我们首先需要定义偏导数。
偏导数衡量了一个多元函数在某一点沿着某个特定的方向的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量xi的偏导数记作∂f/∂xi。
然后，我们可以推广一元函数的微分的概念到多元函数上，得到多元函数的全微分。
全微分表示了一个多元函数在某一点附近的线性近似。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分可以表示为df = ∂f/∂x1dx1 + ∂f/∂x2dx2 + ... + ∂f/∂nxdxn。
多元函数的可微性与偏导数的连续性紧密相关。
如果多元函数在某一点可微，则其所有偏导数必须存在且连续。
可微性的定义还包括了全微分在该点附近的线性近似误差与自变量的增量之间的关系。
多元函数微分学的应用非常广泛，特别是在物理、经济、工程等领域中的数学模型建立和求解中扮演着重要的角色。
它不仅是微积分理论的重要组成部分，也是解决实际问题的数学工具之一。
通过多元函数微分学的研究，我们能够更深入地理解多变量函数的行为和性质，从而为问题的分析和求解提供有力的数学支持。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、向量值函数向量值函数是指函数的取值为向量的函数，常用符号表示为r(t)或F(t)。
向量值函数的微分即为向量的微分。
二、多元函数的连续性与可微性多元函数在点(x0,y0)连续的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)连续；多元函数在点(x0,y0)可微的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)可微。
三、多元函数的偏导数多元函数f(x,y)对x的偏导数记为∂f/∂x，对y的偏导数记为∂f/∂y。
偏导数可以通过限制一个变量，将多元函数转化为一元函数进行求导。
四、多元函数的微分与高阶导数对于多元函数f(x, y)，其微分为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
高阶偏导数的计算可以通过多次对一个变量进行偏导来得到。
五、多元函数的极值与最值多元函数的极值包括极大值与极小值，可以通过偏导数的方法求得。
为了确定是极大值或极小值，还需要进行二阶偏导数的判别。
六、多元函数的不定积分多元函数的不定积分即求解原函数，其中一个变量看作常数即可。
不定积分具有可加性，也可以用变量代换等方法来简化计算。
七、多元函数的定积分多元函数的定积分是指对多元函数在一个区域上的积分。
定积分的计算需要根据具体的区域进行定积分化简。
八、偏导数的几何意义与方向导数偏导数的几何意义是函数在其中一点上沿各个坐标轴方向的切线的斜率。
方向导数是函数在其中一点沿其中一方向的变化率。
九、梯度与梯度的性质多元函数的梯度是一个向量，表示的是函数在其中一点上沿着变化最快的方向。
梯度具有线性和方向导数的性质。
十、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的极值问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将问题转化为无约束条件的极值问题。
综上所述，多元函数微积分是研究多变量函数的微积分学科，其知识点包括向量值函数、多元函数的连续性与可微性、多元函数的偏导数、多元函数的微分与高阶导数、多元函数的极值与最值、多元函数的不定积分、多元函数的定积分等。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分的一个重要分支，它主要研究含有多个变量的函数的微分、积分和相关性质。
相比于一元函数微积分，多元函数微积分具有更高的复杂性和更丰富的应用领域。
以下是多元函数微积分的一些重要的知识点：1.多元函数的极限：多元函数的极限定义与一元函数相似，但需要考虑多个变量同时趋于一些点或正负无穷的情况。
可以使用极限运算定理、夹逼定理等方法求解多元函数的极限。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，也可以使用极限的性质证明多元函数的连续性。
此外，也有类似于一元函数的极限运算定理和连续函数的性质定理适用于多元函数。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数描述了函数在一些变量方向上的变化率。
对于二元函数，可以求出两个变量的偏导数；对于三元函数及以上的函数，可以求出每个变量的偏导数。
求偏导数时，将其他变量当作常数对待。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分也称为多元函数的导数。
通过偏导数可求得多元函数在特定点的各个方向的变化率，进而求得多元函数在特定点的全微分。
5.多元函数的方向导数：多元函数的方向导数描述了函数在一些给定方向上的变化率。
通过求解偏导数和方向向量的点积，可以求得多元函数在一些方向上的方向导数。
6.多元函数的梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数在特定点变化最快的方向，大小表示这个变化的速率。
梯度的方向与等高线垂直。
7.多元函数的二阶偏导数：对于多元函数，可以求出其各个变量的一阶偏导数，进一步可以求出相应的二阶偏导数。
二阶偏导数刻画了多元函数在一些变量方向上的变化率的变化率，即函数的曲率。
8.多元函数的泰勒展开：多元函数的泰勒展开是将一个多元函数近似表示为以一些点为中心的多项式的形式。
泰勒展开可以用于函数求值的近似计算和函数性质的分析。
9.多元函数的极值与最值：类似于一元函数，多元函数也有极值和最值的概念。
可以通过求解偏导数和二阶偏导数来判断函数的极值和最值，并应用拉格朗日乘数法等方法求解约束条件下的最值问题。
高等数学 第九章 多元函数微积分
增量 x 时，相应的函数有增量 f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 ) ，如果
lim f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x ，y) 在点 (x0 ，y0 ) 处对 x 的偏导数，记作
z x
x x0 y y0
， f x
x x0 y y0
， zx
x x0 y y0
或 fx (x0 ，y0 ) ．
函数 z
f (x ，y) 在点 (x0 ，y0 ) 处对
y
的偏导数定义为 lim y 0
f (x0
，y0
y) y
f (x0 ，y0 )
，
记作
z y
x x0 y y0
，
f y
x x0 y y0
， zy
x x0 y y0
{(x ，y ，z) | z f (x ，y) ，(x ，y) D} ， 这个点集称为二元函数 z=f(x,y)的图形,如图 4 所示。
图9-4
二、多元函数的极限
定义 2 设函数 z f (x ，y) 在 P0 (x0 ，y0 ) 的某去心邻域内有定义，点 P(x ，y) 是该邻域内异于点
P0 (x0 ，y0 ) 的任意一点，如果当点 P(x ，y) 以任意方式无限地趋于点 P0 (x0 ，y0 ) 时，函数 f (x ，y) 总
lim
( x ，y)(0 ，0)
f
(
x
，y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
k 1 k2
．
y kx
三、多元函数的连续性
定义 3 设函数 z f (x ，y) 在点 P0 (x0 ，y0 ) 的某邻域内有定义，如果
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2z 2z 2z 2z 求 2, , , x yx xy y 2
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z 2 3 6 xy , 2 x 18 xy; 2 2 x y 2 2 z z 2 2 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x y 9 y 1. xy yx
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
三、二元函数的连续性
定义 . 设二元函数 f ( P ) 定义在 D 上, P0 ( x0 , y0 ) D, 如果存在
0 0
例1 解
求 z x 3 xy y 在点 (1, 2) 处的偏导数.
2 2
z 2x 3 y ; x
x 1 y 2
z 3x 2 y . y
x 1 y 2
z x
z 2 1 3 2 8 , y
y
3 1 2 2 7 .
x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )， f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数，记为
u
t
v
t
e t (cos t sin t ).
定理 2
如果 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点
( x , y )具有对 x和 y 的偏导数，且函数 z f ( u, v )
在对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y )的两个偏
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
P0
（2）区域
连通的开集称为区域或开区域．
平面方程 一般式：
Ax By Cz D 0
x y z 1 a b c
截距式：
解
z z u z v x u x v x
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
其中 ( x ) ( y ) ，则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y )可微分。称 f x ( x, y) x f y ( x, y) y
2 2
为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分，记为 dz，即 dz f x ( x, y) x f y ( x, y) y ， 或
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
z
u
t
v
t
dz 例 7 设 z uv ，而 u e ， v cos t ，求全导数 . dt
t
解
dz z du z dv dt u dt v dt
ve u sin t
t
z
e t cos t e t sin t
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当 n 2 时，
练 习 二
1.求下列函数的定义域 y (1) z arcsin x
(3) z ln( xy )
(2) z 1 x y
2
(
1 (4) z ln( x y )
x2 y2 , 则 f (2,3) _______. 2. 设 f ( x , y ) 2 xy
dz f x ( x, y) dx f y ( x, y) dy .（重点）
例5. 计算函数
解: z y e x y , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xy x e y
z 2 e2 y (2,1)
z e2 , x (2,1)
例6. 计算函数
的全微分.
u
2.
z z x 已知 z u ln v , 而 u , v 2 x 3 y , 求 和 . x y y
2
3.
f ( x , y ) f ( x , y ) 设 f ( x y, x y ) x y , 求 . x y
2 2 2 2
f ( x , y ) f ( x , y ) , 4．设 f ( xy, x y) x y xy, 求 x y
2
2
例4. 求函数 z e 解:
x2 y
的二阶偏导数.
z x2 y e x
z x2 y e 2 x
2
z x2 y 2e y
z x2 y 2e x y
2
z x2 y 2 e y x
2
z x2 y 4e 2 y
2
二、全微分概念 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z f x ( x, y) x f y ( x, y) y o( ) ，
d x 解: d u 1
1 y yz yz ( cos z e )d y y e d z 2 2
练 习 三
xy z e , 求 1、设
2 z z z z z , , yx , , 2 2 x y x y
2
2
z z z ln( x 3 y ) 求 , dz (1,1) . , 2、已知 x y
第八章 8.1 8.2 8.3
多元函数微积分学
预备知识 多元函数的概念 偏导数与全微分
8.4 8.5 8.6
复合函数与隐函数微分法 多元函数的极值与最值 二重积分
8.1
区域
预备知识
（1）邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
二、二元函数的极限
定义 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y0 ) D ， z f ( x , y ) 无限地趋近于一 当点 P 无限趋近于点 P0 时，
个确定的常数 A ，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限，记为 （或 f ( x, y) A ( P P0 ) ）.
球面方程
(x x 0 ) 标准式：
2
(y y0 ) (z z 0 ) R
2 2
2
一般式：x2 y2 z2 Ax By Cz D 0
练习一
z 轴的截距依次 例1：已知平面与x 轴、y 轴、
为3，4，5，则平面方程为————。 例2: 球心为（3，4，5）半径为6的球面方 程为————。
dz 例9. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt
t
解:
d z z du d t u d t
z t
v et
t
cos t
z
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
练 习 四
1.
dz 设 z e , 而 u sin x, v cos x, 求 . dx
练习四答案
dz e sin x cos x (cos 2 x sin 2 x ); 1、 dx
z 1 u2 x 2x2 2u ln v 2 2 2 ln(2 x 3 y ) 2 , x y v y y (2 x 3 y ) z x u2 2x2 3x2 2u ln v ( 2 ) ( 3) 3 ln(2 x 3 y ) 2 y y v y y (2 x 3 y )
8.2
多元函数、二元函数的连续性
一、多元函数的定义
定义 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个 点 P ( x . y ) D ，变量 z 按照一定的法则总有唯一 确定的值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函 数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
例2 求函数 z x ( x 0, x 1) 的偏导数. 解
z y 1 yx , x
z x y ln x. y
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y
定理 1 如果函数及 u ( t ), v ( t ) 都在点 t 可 导，函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在点 t 也可导， 且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt