多元函数微积分学解读

类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当 n 2 时，
练 习 二
1.求下列函数的定义域 y (1) z arcsin x
(3) z ln( xy )
(2) z 1 x y
2
(
1 (4) z ln( x y )
x2 y2 , 则 f (2,3) _______. 2. 设 f ( x , y ) 2 xy
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
z
u
t
v
t
dz 例 7 设 z uv ，而 u e ， v cos t ，求全导数 . dt
t
解
dz z du z dv dt u dt v dt
ve u sin t
t
z
e t cos t e t sin t
解
z z u z v x u x v x
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
u
2.
z z x 已知 z u ln v , 而 u , v 2 x 3 y , 求 和 . x y y
2
3.
f ( x , y ) f ( x , y ) 设 f ( x y, x y ) x y , 求 . x y
2 2 2 2
f ( x , y ) f ( x , y ) , 4．设 f ( xy, x y) x y xy, 求 x y
2
2
例4. 求函数 z e 解:
x2 y
的二阶偏导数.
z x2 y e x
z x2 y e 2 x
2
z x2 y 2e y
z x2 y 2e x y
2
z x2 y 2 e y x
2
z x2 y 4e 2 y
2
二、全微分概念 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z f x ( x, y) x f y ( x, y) y o( ) ，
纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ). xy y x xy x y yx
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
例3
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1
球面方程
(x x 0 ) 标准式：
2
(y y0 ) (z z 0 ) R
2 2
2
一般式：x2 y2 z2 Ax By Cz D 0
练习一
z 轴的截距依次 例1：已知平面与x 轴、y 轴、
为3，4，5，则平面方程为————。 例2: 球心为（3，4，5）半径为6的球面方 程为————。
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
z
u v
x
y x
y
例8
设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
三、二元函数的连续性
定义 . 设二元函数 f ( P ) 定义在 D 上, P0 ( x0 , y0 ) D, 如果存在
二、二元函数的极限
定义 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y0 ) D ， z f ( x , y ) 无限地趋近于一 当点 P 无限趋近于点 P0 时，
个确定的常数 A ，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限，记为 （或 f ( x, y) A ( P P0 ) ）.
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 y 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
u
t
v
t
e t (cos t sin t ).
定理 2
如果 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点
( x , y )具有对 x和 y 的偏导数，且函数 z f ( u, v )
在对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y )的两个偏
dz f x ( x, y) dx f y ( x, y) dy .（重点）
例5. 计算函数
解: z y e x y , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xy x e y
z 2 e2 y (2,1)
z e2 , x (2,1)
例6. 计算函数
的全微分.
P P0
lim f ( P ) f ( P0 )
则称 二元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间ຫໍສະໝຸດ Baidu点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
连续.
8.3
偏导数与全微分
一、 偏导数 二、 全微分
一、偏导数（重点）
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 1、 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量
第八章 8.1 8.2 8.3
多元函数微积分学
预备知识 多元函数的概念 偏导数与全微分
8.4 8.5 8.6
复合函数与隐函数微分法 多元函数的极值与最值 二重积分
8.1
区域
预备知识
（1）邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )， f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数，记为
dz 例9. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt
t
解:
d z z du d t u d t
z t
v et
t
cos t
z
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
练 习 四
1.
dz 设 z e , 而 u sin x, v cos x, 求 . dx
3、 设 z arctan ,
x
y
z z , . 求 x x y
2
思考：多元函数连续、可导、可 微三者之间的关系？
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
8.4 复合函数与隐函数微分法
一、 链锁法则 二、 隐函数求导法则
一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）
练习四答案
dz e sin x cos x (cos 2 x sin 2 x ); 1、 dx
z 1 u2 x 2x2 2u ln v 2 2 2 ln(2 x 3 y ) 2 , x y v y y (2 x 3 y ) z x u2 2x2 3x2 2u ln v ( 2 ) ( 3) 3 ln(2 x 3 y ) 2 y y v y y (2 x 3 y )
0 0
例1 解
求 z x 3 xy y 在点 (1, 2) 处的偏导数.
2 2
z 2x 3 y ; x
x 1 y 2
z 3x 2 y . y
x 1 y 2
z x
z 2 1 3 2 8 , y
y
3 1 2 2 7 .
2z 2z 2z 2z 求 2, , , x yx xy y 2
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z 2 3 6 xy , 2 x 18 xy; 2 2 x y 2 2 z z 2 2 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x y 9 y 1. xy yx
8.2
多元函数的概念
一、 多元函数的定义
二、 二元函数的极限 三、二元函数的连续性
一、多元函数的定义
定义 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个 点 P ( x . y ) D ，变量 z 按照一定的法则总有唯一 确定的值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函 数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
其中 ( x ) ( y ) ，则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y )可微分。称 f x ( x, y) x f y ( x, y) y
2 2
为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分，记为 dz，即 dz f x ( x, y) x f y ( x, y) y ， 或
定理 1 如果函数及 u ( t ), v ( t ) 都在点 t 可 导，函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在点 t 也可导， 且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
d x 解: d u 1
1 y yz yz ( cos z e )d y y e d z 2 2
练 习 三
xy z e , 求 1、设
2 z z z z z , , yx , , 2 2 x y x y
2
2
z z z ln( x 3 y ) 求 , dz (1,1) . , 2、已知 x y
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .


P0
（2）区域
连通的开集称为区域或开区域．
平面方程 一般式：
Ax By Cz D 0
x y z 1 a b c
截距式：
例2 求函数 z x ( x 0, x 1) 的偏导数. 解
z y 1 yx , x
z x y ln x. y
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y