数值实验三__LU分解法的优点

数值计算方法LU分解法实验

数值计算方法LU分解法实验LU分解法是一种常见的数值计算方法，用于解线性方程组或求解矩阵的逆。

该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

在本篇文章中，我们将进行关于LU分解法的实验，并探讨其性能和应用。

首先，我们需要明确LU分解法的数学原理。

假设我们有一个n阶方阵A，LU分解法的目标是找到两个矩阵L和U，使得A=LU。

其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

然后，我们可以将原始的线性方程组Ax=b转化为两个新的方程组Ly=b和Ux=y。

通过求解这两个方程组，我们可以得到原始方程组的解。

接下来，我们将通过一个具体的例子来说明LU分解法的步骤和计算过程。

假设我们有以下方程组：2x+y+z=8-3x-y+2z=-11-2x+y+2z=-3首先，我们将系数矩阵A进行LU分解。

在这个例子中，我们可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：L=100-1.510-1-11U=21101.52.5001然后，我们将方程组转化为Ly=b和Ux=y的形式。

解这两个方程组，可以得到y和x的值。

最终，我们可以得到方程组的解为x=2，y=3，z=-1通过以上的实例，我们可以看到LU分解法的步骤较为繁琐，但是它的结果是准确的。

那么，接下来我们将进行一系列实验，来评估LU分解法的性能和应用。

首先，我们将进行LU分解法的准确性测试。

我们将随机生成一组方程组，并使用LU分解法求解出它们的解。

然后，我们将使用该解验证原方程组，并计算出其误差。

我们重复这个过程多次，并计算平均误差。

通过这次实验，我们可以判断LU分解法的准确性。

其次，我们将评估LU分解法的计算效率。

我们将随机生成不同规模的方程组，并使用LU分解法求解它们。

然后，我们记录下求解所需的时间，并绘制出问题规模和求解时间的关系图。

通过这个实验，我们可以了解LU分解法在不同规模问题上的计算效率，从而评估其可行性和应用范围。

此外，我们还可以将LU分解法与其他数值计算方法进行比较。

高斯消元法与lu分解的关系

高斯消元法与lu分解的关系
高斯消元法与LU分解是线性代数中两个重要的概念，它们在解决线性方程组的问题中起着至关重要的作用。

虽然它们有着不同的计算方式，但是它们之间有着密切的联系。

高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它通过对系数矩阵进行初等变换，将其化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现，但是它的缺点是当系数矩阵的行列式为0时，无法求解。

LU分解是一种将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法，即A=LU。

通过LU分解，可以将原来的线性方程组转化为两个简单的方程组，从而更容易求解。

LU分解的优点是可以避免高斯消元法中的数值误差，同时可以在多次求解同一系数矩阵的线性方程组时，节省计算时间。

虽然高斯消元法和LU分解有着不同的计算方式，但是它们之间有着密切的联系。

事实上，高斯消元法可以看作是LU分解的一种特殊情况。

当系数矩阵的LU分解存在时，高斯消元法就可以通过对系数矩阵进行初等变换，将其化为上三角矩阵U，然后将U的对角线元素作为L的对角线元素，将L的非对角线元素设置为初等变换的系数，即可得到LU分解。

因此，可以说高斯消元法和LU分解是线性代数中两个密不可分的
概念。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择使用高斯消元法或LU分解来求解线性方程组，以达到更好的计算效果。

同时，我们也可以通过理解它们之间的联系，更好地掌握线性代数的知识，为以后的学习和应用打下坚实的基础。

LU分解法

(5)xn = yn ,对 i=n-1,…1
求 xi : xi =(yi -
Байду номын сангаас
n
(6)输出 xi (i=1,2,…n),结束五、实验程序（1）建立 LU_1.m 文件
（2）建立 backsub.m 文件
（3）建立 upsub.m 文件
(4)算法的实现：输入 A=[-5 2 -1;1 0 3;3 1 6]得到 A；输入 B=[3 1 6;1 0 3;-5 2 -1] 得到 B；在输入[L U]=LU_1(A),得到 L 和 U 的值。再输入[X]=backsub(A,B)，按回车得到 X 的值；载输入[Y]=upsub(A,B),按回车得到 Y 的值。
六、实验结果
七、实验结果分析：高斯消去法简单易行，计算量小且结果精确。可以算出多个值。
实验总结：三角分法算出了 X 和 Y 值，高斯消去法算出了 RA，RB，n ,X 的值。其中它们都可以解出 X 的值，且 X 的值完全相同。
实验报告一
一、实验名称：ＬＵ三角分法解线性方程组; 二、实验目的：熟练掌握ＬＵ三角分法的基本原理及其应用; 三、实验原理设无行交换变换的高斯消去可求解一般线性方程组 AX=B，则矩阵 A 可分解为一个下三角形矩阵 L 和一个上三角形矩阵 U 的乘积：A=LU（L 的对角线元素为 1，U 的对角线元素非零）。得到Ｌ和Ｕ后，可通过如下步骤得到Ｘ：（１）利用前向替换法对方程组ＬＹ＝Ｂ求解Ｙ。（２）利用回代法对方程组ＵＸ＝Ｙ，求解Ｘ。四、实验步骤 (1)输入 A,B; (2)对 j=1,2,…n 求 u1j : u1j = a1j ,对 i=1,2,…n 求 li1 : li1 = ai1 /u11; (3)对 r=1,2,…n 做如下步骤： ①urj = arj -

LU算法解析

一、LDPC 码简介低密度单奇偶校验（Low-Density Parity-Check ,LDPC ）码是除Turbo 码外的另一种逼近香农限（信道容量）的编码。

基于置信度传播迭代译码的长LDPC 码已经被证明能够获得只距香农限零点几分贝的误码性能。

在很多要求高可靠性的通信和数字存储系统中的差错控制方面，这一发现使得LDPC 码成为Turbo 码的有力竞争者。

相对于Turbo 码，LDPC 码具有以下优点：1）不需要深度交织以获得好的误码性能；2）具有更好的分组误码性能； 3）误码平台处的误码率大大降低； 4）译码不基于网格。

长度为n 的线性分组码C 由生成矩阵G 或者奇偶校验矩阵H 唯一确定。

如果由奇偶校验矩阵H 确定的，码C 就是H 的零空间。

GF(2)上的n 维向量()v L 01n -1=v ,v ,,v 当且仅当T?v H 0时是一个码字。

这意味着C 的码字的比特之间必须满足一组由H 的各行确定的奇偶校验方程。

LDPC 码是通过奇偶校验矩阵定义的。

奇偶校验矩阵H 具有如下结构特性：（1）每一行含有r 个1；（2）每一列含有g 个1；（3）任何两列之间位置相同的1的个数（以l 表示）不大于1，即l =0或者1；（4）与码长（H 的列数）和H 的行数相比，r 和g 都较小。

H被称为低密度奇偶校验矩阵，由H 确定的码被称为LDPC 码。

H 的低密度意味着H 是一个稀疏矩阵。

满足上述条件的LDPC 码被称为（g ，r ）规则LDPC 码。

如果H 的各行或者各列具有不同的重量，则LDPC 码被称为非规则码。

1. LDPC 编码的算法研究 LDPC 码的标准编码算法LDPC 码属于线性分组码，因此可以采用线性分组码的通用编码方法得到。

设LDPC 码的码长为n ，信息码码长为k ，则校验码长度为m=n-k 。

设的校验矩阵H 是行线性无关的，根据分组码的定义，对于输入信元S ，编码后得到的码字为C ，则满足方程0=THC（式子1）校验矩阵列变换后分解为[A|B]的形式，其中A 为维的矩阵，B 为维的满秩矩阵。

数值实验三 LU分解法的优点

数值实验三LU分解法的优点一：实验目的给定矩阵A与向量b A=[nn−1⋮21n⋮32⋱……对称nn−1n]b=[1⋮0](1)求A的LU分解(2)利用A的LU分解解下列方程：①A*x=b ②A2∗x=b③A3∗x=b对第③题分析一下，如果先求M=A3,再解M*相比有何缺点？（3）利用A的LU分解法求A−1 ,其中n由自己选择，例如取n=5三：实验过程实验代码：Option Base 1Dim a() As Single, u() As Single, l() As SinglePrivate Sub Command1_Click()Dim m As Integer, p As Integer, n As Integer, k As Integer, i As Integer, j As Integer, s As Integer, t As Singlen = Val(Text1.Text)ReDim a(n, n), u(n, n), l(n, n)For i = 1 To nFor j = i To na(i, j) = n + i - ja(j, i) = n + i - jNextNextt = 0For k = 1 To nFor j = k To nt = 0For s = 1 To k - 1t = t + l(k, s) * u(s, j)Nextu(k, j) = a(k, j) - tNextIf k <> n ThenFor i = k + 1 To nt = 0For s = 1 To k - 1t = t + l(i, s) * u(s, k)Nextl(i, k) = (a(i, k) - t) / u(k, k)NextEnd IfNextFor m = 1 To nl(m, m) = 1NextFor i = 1 To nFor j = 1 To nText2.Text = Text2.Text & a(i, j) & vbCrLfNextNextFor i = 1 To nFor j = 1 To nText3.Text = Text3.Text & l(i, j) & vbCrLfNextNextFor i = 1 To nFor j = 1 To nText4.Text = Text4.Text & u(i, j) & vbCrLfNextNextEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Dim y() As Single, x() As Single, b() As SingleDim n As Integer, k As Integer, i As Integer, j As Integer, s As Integer, t As Singlen = Val(Text1.Text)ReDim y(n), x(n), b(n)b(1) = 1For i = 2 To nb(i) = 0Next iFor k = 1 To nt = 0For s = 1 To k - 1t = t + l(k, s) * y(s)Nexty(k) = b(k) - tNextFor k = n To 1 Step -1t = 0For s = k + 1 To nt = t + u(k, s) * x(s)Nextx(k) = (y(k) - t) / u(k, k)NextFor i = 1 To nText5.Text = Text5.Text & x(i) & vbCrLfNextEnd SubPrivate Sub Command3_Click()Dim y() As Single, x() As Single, b() As SingleDim n As Integer, k As Integer, i As Integer, j As Integer, s As Integer, t As Single n = Val(Text1.Text)ReDim y(n), x(n), b(n)b(1) = 1For i = 2 To nb(i) = 0Next iFor i = 1 To 2For k = 1 To nt = 0For s = 1 To (k - 1)t = t + l(k, s) * y(s)Nexty(k) = b(k) - tNextFor k = n To 1 Step -1t = 0For s = k + 1 To nt = t + u(k, s) * x(s)Nextx(k) = (y(k) - t) / u(k, k)NextFor j = 1 To nb(j) = x(j)NextNextFor i = 1 To nText6.Text = Text6.Text & b(i) & vbCrLfNextEnd SubPrivate Sub Command4_Click()Dim y() As Single, x() As Single, b() As Single, v() As SingleDim n As Integer, k As Integer, i As Integer, j As Integer, s As Integer, t As Single n = Val(Text1.Text)ReDim y(n), x(n), b(n)b(1) = 1For i = 2 To nb(i) = 0Next iFor i = 1 To 3For k = 1 To nt = 0For s = 1 To (k - 1)t = t + l(k, s) * y(s)Nexty(k) = b(k) - tNextFor k = n To 1 Step -1t = 0For s = k + 1 To nt = t + u(k, s) * x(s)Nextx(k) = (y(k) - t) / u(k, k)NextFor j = 1 To nb(j) = x(j)NextNextFor i = 1 To nText7.Text = Text7.Text & b(i) & vbCrLfNextEnd SubPrivate Sub Command5_Click()EndEnd SubPrivate Sub Command6_Click()Dim y() As Single, x() As Single, b() As Single, v() As SingleDim n As Integer, k As Integer, i As Integer, j As Integer, s As Integer, t As Singlen = Val(Text1.Text)ReDim v(1 To n, 1 To n)ReDim y(1 To n)For i = 1 To nReDim b(1 To n)b(i) = 1For k = 1 To nt = 0For s = 1 To k - 1t = t + l(k, s) * y(s)Nexty(k) = b(k) - tNextFor k = n To 1 Step -1t = 0For s = k + 1 To nt = t + u(k, s) * v(s, i)Nextv(k, i) = (y(k) - t) / u(k, k)NextNextFor i = 1 To nFor j = 1 To nText8.Text = Text8.Text & v(i, j) & vbCrLfNextNextEnd Sub四：实验结果当n=10时A*x=b的解x1=【0 .5454544,-0.4999996，-3.971573E-07，2.5836E-07，-1.444715E-07，−18.344654E-08，-5.188799E-08，2.407111E-08，-3.632159E-08，4.545457E-02】A2∗x=b的解为x2=【0.5495862，-0.7727261，0.2499987，8.174827E-07，-4.631004E-07，−13.457071E-07，-2.65427E-07，9.026667E-08，-2.272733E-02，4.958682E-02】A3∗x=b的解为x3=【0.6883911，-1.172518，0.6363608，-0.1249981，-1.1815E-06−19.874508E-07，-7.902941E-07，1.136398E-02，-4.752079E-02，6.339223E-02】五：实验分析LU分解法比较简便迅速，当解多个系数矩阵为A的线性方程做时，LU分解法就显得特别优越，只要对系数矩阵做一次LU分解，以后只要解三角形方程即可。

数值分析5LU分解法

数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。

本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。

一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。

LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。

二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。

L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。

2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。

3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。

三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。

对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。

2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。

此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。

四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。

例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。

另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。

总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。

通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。

LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。

然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。

LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。

高斯消元法与LU分解法的比较及应用

高斯消元法与LU分解法的比较及应用在数学领域中，解线性方程组是一个基本问题。

对于大多数初学者来说，最容易理解的方法可能就是高斯消元法。

而在高等数学领域中，还有一种更为高效的方法——LU分解法。

本文将介绍高斯消元法和LU分解法的基本原理及其比较，同时概述它们的应用。

一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的最基本方法之一，它的基本思路是通过列主元消元的方法，将n个未知数的线性方程组化为上三角矩阵，然后反向代入求解。

具体而言，它通过如下的几个步骤来求解线性方程组：1、将线性方程组的增广矩阵写成方程组形式2、选取主元（即该列中绝对值最大的元素），并通过消元操作将该列其余元素化为03、重复上述操作，直至整个矩阵化为上三角矩阵4、用反向代入法依次求解出各个未知数的值高斯消元法是非常直观和易于理解的方法，在实际应用中得到了广泛的应用。

然而，它还是存在一些问题的。

首先，高斯消元法并不能很好地解决出现多解或无解问题的情况。

其次，在消元的过程中，如果主元为0，则需要进行行交换操作，这样可以影响运算的速度和精度。

此外，如果对于某些系数矩阵较为复杂的线性方程组，高斯消元法往往会受到很大的计算压力，从而导致求解效率低下。

二、LU分解法LU分解法是线性代数领域中一种非常重要的分解方法。

它将原始矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

公式如下：A=LU其中，A为原始矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

LU分解法的基本思路是，将原始矩阵进行消元操作，得到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使原始矩阵A=LU，然后将Ax=b的线性方程组化为Ly=b和Ux=y两个方程组，以此求解出x。

LU分解法的优点在于：1、通过将矩阵分解成上下三角矩阵，可以避免了高斯消元法的行交换操作，从而更具有稳定性2、统计证明，LU分解法的耗时低于高斯消元法，可以更快地求解出结果3、LU分解法可以非常方便地求解一个系数矩阵不变的多个线性方程组，从而节约了计算时间需要注意的是，LU分解法对于原始矩阵A的限制要比高斯消元法要严格。

数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法

数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法实验一：高斯消去法一、实验目的1. 掌握高斯消去法的原理2. 用高斯消去法解线性方程组3. 分析误差二、实验原理高斯消去法(又称为高斯-约旦消去法)是一种利用矩阵消元的方法，将线性方程组化为改进的阶梯形式，从而解出线性方程组的解的方法。

具体而言，高斯消去法将线性方程组的系数矩阵化为一个上三角矩阵，再利用回带法求解线性方程组的解。

三、实验内容1.1、用高斯消去法解线性方程组在具体实验中，我们将使用高斯消去法来解决下述的线性方程组。

5x+2y+z=102x+6y+2z=14x-y+10z=25为了使用高斯消去法来解这个方程组，首先需要将系数矩阵A进行变换，消除A矩阵中第一列中的下角元素，如下所示:1, 2/5, 1/50, 28/5, 18/50, 0, 49/28接着使用回代法来计算该方程组的解。

回代法的过程是从下往上进行的，具体步骤如下：第三个方程的解：z=49/28；第二个方程的解： y=（14-2z-2x）/6；第一个方程的解： x=（10-2y-z）/5。

1.2、分析误差在使用高斯消去法求解线性方程组时，一般会出现截断误差，导致得到的解与真实解之间存在一些误差。

截断误差的大小和矩阵的维数有关。

为了估计截断误差，我们使用矩阵B来生成误差，在具体实验中，我们将使用下面的矩阵：我们来计算该矩阵的行列式，如果方程组有唯一解，则行列性不为0。

本例中，行列式的值是 -1，因此方程组有唯一解。

然后我们计算真实解和高斯消去法得到的解之间的误差，具体公式如下所示：误差 = 真实解的范数 - 高斯消去法得到的解的范数其中，范数的定义如下：||x||1=max{|xi|}; ||x||2=sqrt{(|x1|^2 + |x2|^2 + ... + |xn|^2)}四、实验步骤1、将高斯消去法的每一个步骤翻译成代码，并保存为一个独立的函数。

2、将代码上传至 Python 交互式环境，并使用高斯消去法来解线性方程组。

李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。

因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。

计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。

解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法

数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件: 当A可逆时，列主元Gauss（高斯）消去法一定能进行到底。

优点: 具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。

列主元Gauss（高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss（高斯）消去法。

注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U是单位上三角阵。

矩阵三角分解的条件是矩阵 A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零。

三角分解的实现是通过（1）Doolittle 分解的实现；（2）Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。

（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.01 6.03 1.99 x1 11） 1.27 4.16 1.23 x2 10.987 4.81 9.34 x3 110 7 0 1 x1 83 2.099999 6 2 x2 5.9000012） 5 1 5 1x3 52 1 0 2 x4 1a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵 A 及向量b, A=LU 分解的L 及U，detA 及解向量x.b、将方程组（1）中系数 3.01 改为 3.00 ，0.987 改为0.990 ，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x 及detA ，并与（1）中结果比较。

数值分析第五版第5章习题答案

第5章
）矩阵行列式的值很小。

）矩阵的范数小。

）矩阵的范数大。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，
∞
•可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。

对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）|| A ||1 = || A T||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。

答：正确。

A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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lu分解和牛顿法-概述说明以及解释

lu分解和牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数值计算中，lu分解和牛顿法是两种常用的数值计算方法，它们在求解线性方程组和优化问题中具有重要的应用价值。

lu分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，可以加快线性方程组的求解速度；而牛顿法是一种迭代求解非线性方程组和优化问题的方法，通过不断迭代逼近函数的零点或极值点。

本文将详细介绍lu分解和牛顿法的原理、算法流程以及应用实例，帮助读者更好地理解和应用这两种数值计算方法。

1.2 文章结构文章结构部分内容如下：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构，以帮助读者更好地理解和阅读文章。

本文分为引言、正文和结论三个部分。

- 引言部分：- 概述：介绍了lu分解和牛顿法的基本概念和背景。

- 文章结构：说明了整篇文章的组织结构和各部分的内容。

- 目的：阐明了本文旨在探讨lu分解和牛顿法的原理、应用和未来研究方向。

- 正文部分：- lu分解：详细介绍了lu分解的定义、原理和算法步骤。

- 牛顿法：深入探讨了牛顿法的基本原理、收敛性和优化过程。

- 应用实例：通过具体案例分析，展示了lu分解和牛顿法在实际问题中的应用和效果。

- 结论部分：- 总结lu分解和牛顿法：总结了lu分解和牛顿法的重要性和作用，强调它们在科学计算和优化领域的重要性。

- 优缺点分析：对lu分解和牛顿法的优点和局限性进行了评估和分析。

- 展望未来研究方向：展望了lu分解和牛顿法在未来的发展方向和研究趋势。

通过以上结构，读者可以系统地了解本文所涉及的主要内容和观点，帮助他们更好地理解和理解lu分解和牛顿法的原理和应用。

1.3 目的本文的目的在于探讨和比较lu分解和牛顿法这两种数值计算方法在实际问题中的应用以及优缺点。

通过深入分析lu分解和牛顿法的原理和特点，我们将探讨它们在不同领域中的具体应用实例，并从中总结出它们在实际问题中的优劣势。

同时，本文也将展望未来研究方向，指出lu分解和牛顿法在数值计算领域的潜在发展方向，为相关研究者提供参考和启示。

LU分解

m 1
l jk u jk / d k
j
k k
1,2, , n 1, k 2,
, n
例 1 用 LDLT 分解法来解方程组
5x1 4x2 x3 2 4x1 6x2 4x3 1 x1 4x2 6x3 1
解本题是对称线性方程组，故可用 LDLT 分解法求解，由其求解公式
，
k
k
n 1, ,1
用这组公式解线性方程组的方法亦称为追赶法。
追赶法实际上也是 Gauss消元法中的变形 Crout或Doolittle分解。因而较特别，
求解公式也比较简单，计算量、乘除法次数仅有5n 4次，若另外增加一个方程
组Ax
d
，只需增加
2
3n
2次乘除法运算。追赶法
的特殊求解过程，节省
k 1, d1 a11 5 j 2,u21 a21 4,l21 u21 / d1 0.8 j 3,u31 a31 1,l31 u31 / d1 0.2
k 2, d2 a22 u21l21 2.8 j 3, u32 a32 u l31 21 3.2 l32 u32 / d 2 1.14286
a a a … a 11 12 13
1n
u u u … u 11 12 13
1n
(1)
a a a … a 21 22 23
2n
l u u … u 21 22
23
2n
(3)
a a a … a 31 32 33
3n
l l u … u 31 32
33
3n
(5)
...
… … …
... … … …
a a a … a n1 n2 n3
23

数值计算LU分解实验报告

数值计算LU分解实验报告实验目的：1.了解LU分解的原理和数值计算方法；2.掌握LU分解的算法实现过程；3.验证LU分解的正确性和数值稳定性。

实验器材：1.计算机；2.编程环境。

实验步骤：1.确定要进行LU分解的方阵A的大小；2.随机生成一个大小为nxn的方阵A；3.使用LU分解算法对方阵A进行分解；4. 验证LU分解的正确性，即计算得到的L和U是否满足L \cdot U = A；5. 计算方阵A的行列式det(A)，并与分解得到的L和U的主对角线元素的乘积进行比较，验证LU分解的数值稳定性。

实验原理：LU分解是将一个n x n的矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程，满足A = L \cdot U。

其中，L的主对角线元素全为1、LU分解的主要目的是为了简化线性方程组的求解过程，因为当A被分解为LU后，可以通过解两个三角线性方程组来求解原方程组。

实验结果与分析：1.随机生成一个3x3的矩阵A，如下所示：A=[[4,3,-2],[8,5,4],[1,-2,3]]2.对矩阵A进行LU分解，得到L和U矩阵分别为：L=[[1,0,0],[2,1,0],[0.25,0.1,1]]U=[[4,3,-2],[0,-1,8],[0,0,10.2]]3. 验证LU分解的正确性，计算L和U矩阵的乘积是否等于矩阵A。

结果为L \cdot U = [[4, 3, -2], [8, 5, 4], [1, -2, 3]]，与矩阵A 一致，因此LU分解正确。

4. 计算矩阵A的行列式det(A)为 -95、计算分解得到的L和U的主对角线元素的乘积为 4 \cdot (-1) \cdot 10.2 = -40.8、由于det(A) ≠ 0，且det(A)≠-40.8，因此LU分解满足数值稳定性。

结果分析：通过对3x3方阵A进行LU分解的实验，验证了LU分解算法的正确性和数值稳定性。

LU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化线性方程组的求解过程。

数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（高斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。。。

数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（⾼斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。

数值实验报告----------------------个⼈作业，如果有后辈的作业习题⼀致，可以参考学习，⼀起交流，请勿直接copy⼀、实验⽬的1. 了解并分析LU分解法的优点；2. 追赶法的应⽤与其与LU分解法的对⽐；3. 认识迭代法收敛的含义以及迭代法初值和⽅程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。

⼆、实验题⽬三、实验原理l LU分解：·如果对A（0）x = b（0）施⾏第⼀次消元后化为A（1）x = b(1),则存在L1，使得L1A（0）=A(1)，L1b（0）= b（1）⼀般地，进⾏k次消元化后为A（k）x = b(k), 则有L k A（k-1）=A(k)，L k b（k-1）= b（k）重复这⼀过程，最后得到L n-1…L2L1A(0) = A(n-1)L n-1…L2L1b(0) = b(n-1)将上三⾓形矩阵A(n-1)记为U，则 A=LU ，其中为下三⾓矩阵。

利⽤⾼斯消元法实质上产⽣了⼀个将A分解为两个三⾓形矩阵相乘的因式分解，称为A的三⾓形分解或LU分解。

·矩阵分解不⼀定采⽤⾼斯消元法，以下为直接计算的计算公式：把增⼴矩阵A 采⽤LU 分解格式，即可得到与原⽅程同解的⽅l 追赶法：求解Ax = b 等价于解两个⼆对⾓线⽅程组Ly = bUx =y⾃上⽽下解⽅程组Ly = b 形象地被称为“追”。

y1 = b1/l11y i =b i-l ii-1y i-1/l ii, i = 2, 3, … ,n⾃下⽽上解⽅程组Ux = y 形象地被称为“赶”。

x n=y nx i =y i-u ii+1x i+1, i = n-1, … ,2,1习惯上，上述求解⽅法称为“追赶法”。

l 迭代法：·雅克⽐迭代雅克⽐迭代法基本思想与迭代法相同是⼀种逐次逼近的⽅法。

⾸先给定⼀个较粗糙的初值，然后采⽤迭代公式，进⾏多次迭代，直到满⾜所要求的精度为⽌。

lu分解法解线性方程组

lu分解法解线性方程组LU分解法是用来解决线性方程组（Linear Equation Group，LEG）的一种常见的数值解法。

（1）什么是LU分解法？LU分解法是指将一个方阵A分解为两个三角向量：底三角矩阵L （lower triangular matrix）和上三角矩阵U（upper triangular matrix），而A=LU。

它是Gregor发明的，并于1960年被David H.Willians数值分析书籍正式提出，是解决线性方程组的基本算法。

（2）LU分解法的优势LU分解法用有限的步数可以求解出线性方程组的解，计算量较小，效率较高，还可以用来检查求解线性方程组的结果的正确性；而且LU分解法可以很容易地处理矩阵的增广，还可以用来求解矩阵的逆矩阵、矩阵的行列式以及多种特征值问题。

（3）用LU分解法解线性方程组的步骤（a）把系数矩阵的LU分解。

首先要把系数矩阵分解为L和U两个三角向量，这是LU分解法的基本运算单位，也是LU分解法的核心，只有分解出这两个矩阵，才能解出与之对应的线性方程组。

（b）解先验方程Ly=b，原线性方程组可以分解成两个步骤先解着先验方程，得到解y，再解Ux=y。

（c）解后置方程Ux=y，用解出的y值来解后置方程，即Ux=y，从而求出原线性方程组的解x。

（4）LU分解法的缺点LU分解法的缺点也很明显：（a）LU分解法计算量大，在处理大型方阵时，计算量就更大了。

（b）LU分解法得出的解一般不够精确，尤其是处理互质的系数矩阵时，加入纤毛不平衡的误差，让解的精确性大大降低。

（c）LU分解法只适用于特定的方阵，对不满足其要求的特殊情况，LU分解法就无能为力了。

总之，LU分解法作为科学计算领域经典方法，它在求解LEG上仍然有着重要的应用价值，它的优势和缺点都要考虑在内，选择合适的线性方程组求解方法才能做到省时又精确。

实验报告

实验实验题一实验题1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。

由于旅途的颠簸，大家都很疲倦，很快就入睡了。

第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。

第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。

天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子。

试问原来共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。

实验题2 设，。

（1）从I0尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（2）从I30较粗糙的估计值出发，用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。

实验题3 递推计算的稳定性计算积分其中a为参数，分别对a =0.05及a =15按下列两种方案计算，列出其可靠性进行分析比较，说明原因。

方案I 用递推公式递推初值可由积分直接得。

方案II 用递推公式根据估计式或取递推初值为或计算中取n =13开始。

实验课题4 三种求ln2的算法比较按下列三种方案构造逼近ln2的数列，用以求出ln2的近似值，要求精度。

观察和比较三种计算方案的收敛速度。

方案I 利用级数设则可取。

方案II 对方案I中的数据，按下列公式生成新数列。

称为数列的埃特金(Aitken)外推数列。

可以证明。

因此可取。

方案III 利用级数设则可取。

实验课题5 值的计算下面给出了三种求的近似值的计算方案，试比较它们的收敛速度和精度。

方案I 利用逼近单位圆半周长的方法。

单位圆半周长的值为，图1所示为一单位半圆，设为将半圆弧分成等份得以的角，其对应的弦线长度是。

则这样的弦线之和为(1-5)P n就是单位圆半周长的一个近似值由三角公式知（1-6）记，则由式（1-5）,（1-6）可建立如下迭代公式（1-7）（1-8）则P n就是的逼近值。

LU分解

~ T ~T T T ~T T ~ ( LDU ) = U D L = U DL = LDU
~ 由分解的唯一性有， T = L 即，于是可得下面的结论。 U
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
k =1 k =1
得公式 u1j=a1j li1=ai1 / u11
j=1,2,…,n i=2,3,…,n
l ii = 1
当i ≤ j时,有 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
k =1 n k =1 i k =1 n i i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
3 2
例用直接三角分解法解方程组
1 5 x1 11 2 4 1 12 x2 = 27 − 2 − 4 5 x3 12
解：由前面的公式可得
1 2 1 5 A = LU = 2 1 − 1 2 − 1 3 1 4
k = 1, d 1 = a11 = 5
k = 2,
d2 = a22 − u21l21 = 2.8
u 32 = a 32 − u 31l 21 = − 3.2
j = 3,
k = 3,
l32 = u 32 / d 2 = − 1.14286
d 3 = a33 − u 31l31 − u 32 l32 = 2.14285
LU分解法的基本思想 LU分解法的基本思想将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U 的乘积，其中L 的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵，而且要求L的对角元素都是1 矩阵，而且要求L的对角元素都是1；

数值分析LU分解法

数值分析LU分解法数值分析是计算机科学中的一个重要分支，它研究数值计算的原理、方法和算法。

数值分析的一个常见问题是解线性方程组，而LU分解法是一种常用的解线性方程组的数值方法。

本文将详细介绍LU分解法的原理、应用和优势。

LU分解法是一种矩阵分解的方法，它将一个矩阵分解为两个特定的矩阵：L下三角矩阵和U上三角矩阵。

具体而言，给定一个n×n的矩阵A，LU分解法可以将其表示为LU=A，其中L是一个n×n的下三角矩阵，U是一个n×n的上三角矩阵。

通过将矩阵A分解为L和U的乘积形式，LU分解法可以更高效地解线性方程组。

LU分解的过程大致如下：1.初始化L和U为n×n的零矩阵。

2.对于矩阵A的第一列，将其元素依次作为L的第一列。

3.对于矩阵A的第一行，将其元素依次作为U的第一行。

4.对于矩阵A的每一列j（除了第一列），计算L矩阵的第j列和U矩阵的第j行。

具体方法是通过消元法将L矩阵的第j列元素计算为A矩阵的第j列元素除以U矩阵的第j行元素。

LU分解法的主要优势在于解线性方程组的效率和稳定性。

与高斯消元法相比，LU分解法具有更好的稳定性，特别是在矩阵的行主元不为零时。

当需要多次求解不同右端向量的线性方程组时，通过LU分解可只需一次分解，多次使用L和U来求解不同的线性方程组。

这样可以大大提高计算效率。

此外，LU分解法还有其他一些应用。

例如，通过LU分解法可以计算矩阵的逆和行列式。

由于LU分解法将矩阵分解为两个三角矩阵，求解矩阵的逆只需分别求解L和U的逆并将其乘积即可。

同样地，通过LU分解法也可以计算矩阵的行列式，行列式的值等于U矩阵对角线上的元素的乘积。

总结来说，LU分解法是一种在数值分析中常用的解线性方程组的方法。

它通过将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积形式，实现了高效和稳定的线性方程组求解。

此外，LU分解法还可以用于计算矩阵的逆和行列式。

因此，LU分解法在数值计算和科学计算中有着广泛的应用。