1.1 样本空间与随机事件0825+
样本空间、随机事件ppt课件
2. 几点说明
（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在间为 : S 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
S { HHH ,HHT ,HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S { 0 , 1 , 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
S { H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件.通常以 大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A ,B ,A ( k k
A
B
S
2. A等于B
若事件 A 包含事件 B， 而且事件
B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
样本空间与随机事件
第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。
1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。
如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。
向上抛一石子，必然下落。
同性电荷相互排斥。
石蕊投入酸性溶液中呈现红色。
这类现象，条件给定后结果明确可知。
2 随机现象给定条件结果不能确定。
如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。
同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。
一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。
这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。
有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。
此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。
某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。
3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。
如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。
这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。
概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。
因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。
为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。
二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。
在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。
下面举一些试验的例子。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
1.1随机事件和样本空间
2．随机事件
1 2 6
5
9 8 3 7 4 0
在随机试验中，有时关心的是带有某 些特征的基本事件是否发生，如在例2中， A={球的标号=5}， B={球的标号是偶数}， C={球的标号<5}． 其中A是基本事件，而B和C是由多个 基本事件所组成的，相对于基本事件，称 为复杂事件． 无论是基本事件还是复杂事件，它们 在试验中发生与否，都带有随机性，所以 都叫做随机事件或简称为事件，习惯上用 A、B、C，…来表示．
共有10个样本点． 现在改变它的试验条件：从中依次不放回地任取2件， 即每次取1件，取后不放回，一共取两次，这时，样本点不 仅与取出的产品有关，而且与抽取产品的先后次序有 关．如 a , a 与 a , a
1 2 2 1
是不同的样本点，不难看出，这一试验共有20个样本点．
例8
向某一目标射击一发子弹，观察弹着点的位置，其结果 可以用某一平面区域内的点（x，y）来表示，其样本空 间为 x, y x , y
则
ABC
C B AB
事件运算有如下的基本性质： （1）否定律 A A, （2）幂等律 AA A, A A A
（3）交换律 AB BA, A B B A
（4）结合律 ABC ABC, A B C A B C （5）分配律 A B C AB AC , A BC A B A C （6）德· 摩根（De Morgan）公式（对偶原则或反演律）
二、教学重点与难点
重点:
各种类型概率的计算
难点:
有关事件概率的计算
§1.1 随机事件和样本空间 一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
教案1-随机事件及样本空间
教案1-随机事件及样本空间?1.1 随机事件与样本空间概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。
为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其他数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。
本章重点介绍概率论的两个基本概念:随机事件和概率。
概率论研究对象:随机现象的统计规律性。
一、随机现象客观世界中现象大致分为: 三类现象,必然现象:指在一定条件下必然发生的现象。
eg:水在100沸腾C;,不可能现象:指在一定条件下,肯定不会发生的现象。
eg:掷一枚骰子不可能出现8点;,,随机现象:指在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象(也称不确定现象)。
,(必然现象是事前可以预知结果，既在一定条件下某一确定现象必然会发生。
) 先看几个例子:确定现象(必然现象):? 抛一石块，观察结局;(一定下落)? 观察每天太阳升起的方向;(一定从东方升起)? 异性电荷放置一起,观察其关系。
(一定相互吸引)……不确定现象(随机现象):? 掷一枚硬币,观察出现“正面向上”的情况;(结果可能出现，也可能不)2(某人射击一次,考察命中环数;(结果可能命中，也可能不命中)3(从一批产品中抽取一件，考察其情况。
(结果可能合格，也可能不合格) 合格品4(下一个交易日观察股市的指数上升情况。
(结果不能事先预测)……虽然上述随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。
在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果;射击也只会有“命中”与“不命中”这两种可能结果;产品抽样也同样只有“合格”与“不合格”两种可能结果。
而而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。
1由此可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。
随机现象有没有规律可言,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性。
偶然性一面:少量实验下体现的不确定性;, ,必然性一面:大量重复实验下呈现出固有的规律性(即:统计规律性)。
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
§1.1样本空间与随机事件(上)
§1.1 样本空间与随机事件 §1.2 频率与概率 §1.3 古典概型 §1.4 几何概型 §1.5 条件概率与乘法公式 §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 §1.7 事件的独立性 §1.8 伯努利概型
【导言】概率这个名词对大多数人来说并不陌生。常听 人们说买一注体育彩票中头奖的概率很小；A球队和 B球队相遇，B球队胜的概率更大等。但要给概率一个 准确的定义，却不是几句话就能解释清楚的。 本章就来解决这个问题，并讨论有关概率论的基础知 识。 首先，在人类社会的生产实践和科学实验中，我们可 以观察到的客观现象形形色色。但仔细观察，这些客 观现象可分为两类：
比如朝上掷一枚硬币，由于地心引力的作用，这枚硬 币必然会下落。这种一定条件下必定会出现唯一客观 结果的现象叫确定性现象。 又如朝上掷一枚硬币，考察落地后哪面朝上，这时有 两个可能结果，但不知哪一个结果会出现，待硬币落 地后，哪面朝上才能清楚。 再如一射手向一靶面射击，其成绩可能是1~10环中的 某一环，也可能脱靶，这时有11种可能的客观结果出 现。但射击之前不知道其成绩，射击之后成绩即确定。
例如 E1：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。 E2：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。 E3：记录某网站晚9:00-10:00的来访人数。 E4：记录某水文站每天早7:00河流的水位。 E5：在单位圆内任取一点，记录其坐标。 上述E1~E5都是随机试验。
【评】我们正是通过随机试验来研究随机现象的。
={(a, b, பைடு நூலகம்), (b, a, 0), (a, 0, b), (b, 0, a), (0, a, b), (0, b, a), (ab, 0, 0), (0, ab, 0), (0, 0, ab)}。
1.1随机事件与样本空间
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A 出现偶数 出现偶数, 事件B 出现奇数 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数 解：用 ω i 表示掷骰子出现的点数, ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 }
A ∪ B = A ∩ B, 可 推 广 ∪ Ak =
k =1
AB = A ∪ B
∩A
k =1
k
,
∩A
k =1
k
=
∪A
k =1
k
.
丙三人各向目标射击一发子弹， 例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 分别表示甲、 丙命中目标，试用A B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件： 运算关系表示下列事件：
5.互斥的事件：AB＝ φ 互斥的事件： ＝
6. 互逆的事件 ⇔ A∪B＝ Ω, 且AB＝ φ 互逆的事件 ∪ ＝ ＝
记作B = A ，称为A的对立事件 易见A − B = AB ;
五、事件的运算
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： 2、结合律 、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律 、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)， (AB)∪C＝(A∪C)(B∪C) ∪ ∪ ∪ 4、对偶 、对偶(De Morgan)律： 律
随机试验、 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样 本空间的子集就是随机事件. 本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 子集 随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件
实例2 “用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况” 发 , 观察弹落点的情况”. 结果: 弹落点会各不相同” 结果 “弹落点会各不相同”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
样本空间和随机事件.ppt
Ω的子集A，B，...
2020-8-15
x
各种集合间的关系
12
一、子事件 (事件的包含）Contain
事件A发生必然导致事件B发生，则称A蕴含了
B或者B包含了A，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生}
AB
事件A是事件B的子事件
A B 事件A的样本点都是事件B的样本点
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
20 Tossing a coin
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况
1. 试验的样本点和基本事件：“正面向上”、“反面向上”
2. 样本空间: Ω = {H，T}
H
T
3. 随机试验：
掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
实例 ➢上抛一枚均匀的硬币 ➢上抛一枚均匀的骰子 ➢在一条生产线上，检测产品的合格情况、等级情况 ➢向一目标射击
2020-8-15
x
3
三、随机事件 Random Events
1. 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
例如：抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现偶数点} B={出现2，4或6点} A B
2020-8-15
x
14
三、和事件(并事件) Union
若事件A发生或事件B发生，则称为事件A与B的
和事件发生，记为 A B
例如： “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
2020-8-15
《样本空间与随机事》课件
利用样本空间和随机事件的概念，设计有效的市场调研方案。
结论和要点
样本空间
是随机试验中所有可能结果的集合。
随机事件
是可能发生的某个结果或一组结果。
计算方法
可以使用排列组合和概率的方法来计算样本空间和随机事件。
2 概念
每个可能的结果都被称为一个样本点。
3 计算方法
可以使用排列组合的方法来计算样本空间。
什么是随机事件？
1 定义
随机事件是指在随机试验 中可能发生的某个结果或 一组结果。
2 概念
随机事件可以是单个样本 点，也可以是随机事件的发生几率。
样本空间与随机事件之间的关系
使用概率的方法计算随机事件发生的几率。
2 示例
对于一个抛掷一枚硬币的随机试验，事件A可 以是出现正面的结果，事件B可以是出现反面 的结果。
样本空间和随机事件的应用举例
1
生日悖论
通过样本空间和随机事件的概念，解释生日悖论的原理。
2
赌博游戏
使用样本空间和随机事件的计算方法，分析赌博游戏的胜率。
3
市场调研
样本空间
包含了随机试验的所有可能结 果。
随机事件
是样本空间的一个子集，表示 某些结果的集合。
关系
每个随机事件都是样本空间的 一部分。
如何计算样本空间？
1 方法
使用排列组合的方法计算可能的结果。
2 示例
对于一个抛掷一枚硬币的随机试验，样本空间包含两个可能的结果：正面和反面。
如何计算随机事件？
1 方法
《样本空间与随机事件》 PPT课件
欢迎来到《样本空间与随机事件》PPT课件！在这份课件中，我们将研究样本 空间的定义和概念，随机事件的定义和概念，以及它们之间的关系。我们还 将介绍计算样本空间和随机事件的方法，并给出一些应用举例。准备好了吗？ 让我们开始吧！
样本空间和随机事件.ppt
感谢你的观看
19
八、完备事件组
一组事件满足以下关系： (1) A1, A2 ,L , An互不相容； (2) A1 A2 L An 则称其为完备事件组。
2019年8月28
A1 A3
A2 A4
感谢你的观看
20
概率论与集合论之间的关系
概率论
集合论
样本空间
全集
必然事件
全集
感谢你的观看
22
德·摩根简介
德·摩根在分析学、代数学、数学史及 逻辑学等方面的重要贡献于19 世纪具
有相当影响力。代数学方面: “代数学 实际上是一系列运算，这种运算能在
任何符号(不一定是数字) 的集合上， 根据一定的公式来进行”. 他曾为牛顿 及哈雷作传, 并撰写教材 《微积分学》 及《形式逻辑》. 逻辑学方面: 发展了 一套适合推理的符号, 并首创关系逻辑 的研究. 现代计算学的贡献是两条定律：
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点} B={出现奇数点} A B
2019年8月28
感谢你的观看
13
二、相等事件 Equal
若事件A、B互相蕴含，即A B与B A同时 成立，则称A与B相等，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生，
事件B发生也必然导致事件A发生}
2019年8月28
感谢你的观看
i 1 16
五、互斥事件(互不相容事件) Exclusive
事件A、B不能在一次试验中同时发生，则称为事
件A与事件B互斥或互不相容，记为 A B
={事件A与事件B不可能同时发生}
A
事件A与B不能同时发生
B
A B 事件A与事件B没有公共样本点
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个基本概念，它们对于理解概率和计算概率具有重要意义。
本文将介绍随机事件与样本空间的定义、性质以及与概率相关的概念。
1. 随机事件的定义及性质在概率论中，随机事件是指可以观察或发生的事情。
形式上，随机事件可以用集合表示。
假设我们在某次实验中观察到了一个事件A，它可以是一个点，也可以是多个点的集合。
这个事件A的发生与否由实验的结果决定。
随机事件可以满足以下几个性质：- 任意事件A发生的概率介于0和1之间：0 <= P(A) <= 1。
- 必然事件的概率为1：P(样本空间) = 1。
- 不可能事件的概率为0：P(空集) = 0。
- 若事件A与事件B互斥（不能同时发生），则它们的概率为零：P(A∩B) = 0。
2. 样本空间的定义及性质样本空间是指一个实验中所有可能结果的集合，常用Ω表示。
样本空间中的每个元素都代表了一个可能的结果。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
样本空间具有以下性质：- 样本空间是事件的基本组成单元，所有的事件都是由样本空间中的元素构成的。
- 样本空间的元素个数有限且不为0。
- 不同实验的样本空间可以不同。
3. 随机事件的关系与运算在概率论中，我们常常需要对事件之间的关系和事件的运算进行讨论和计算。
常见的事件关系和运算包括：包含关系、互斥关系、并、交、差等。
- 包含关系：事件A包含事件B，表示为A⊇B，当且仅当A发生蕴含B发生。
若A⊇B且B⊇A，则称A与B相等。
- 互斥关系：事件A与事件B互斥，表示为A∩B=∅，即A与B不能同时发生。
- 并：事件A和事件B的并事件，表示为A∪B，包含了A和B中任意一个事件发生的情况。
- 交：事件A和事件B的交事件，表示为A∩B，包含了A和B同时发生的情况。
- 差：事件A减去事件B，表示为A-B，包含了A发生而B不发生的情况。
4. 随机事件的概率计算概率是描述随机事件发生可能性的数值。
样本空间、随机事件ppt课件
在具体问题的研究中 , 描 述随机现象的第一步就是建立样 本空间.
21
一、样本空间的求法
例1 写出下列试验的样本空间： (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
解 该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的 结果； 解 该试验，所有可能的结果如图所示，
实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
确定性现象 随机现象
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
8
实例2 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色 的情况. 解 如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)， (1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)， (2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)， (3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
HTT , TTH , THT , TTT}. 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1, 2, 3}. 19
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模 型. 因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相 同的实际问题.
概率与统计中的样本空间与随机事件
概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。
在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。
举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。
样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。
样本空间可以用数学符号Ω表示。
样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。
2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。
3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。
4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。
二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。
随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。
举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。
随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。
2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。
3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。
4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。
三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。
通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。
1.1 样本空间和随机事件
确定性现象：在一定条件下必然发生（出现）某一结果的现象.如：在地球上，太阳从东方升起；上抛物体一定下落.特点：在相同条件下，重复进行试验或观察，它的结果总是确定不变的.在一定的条件下，重复进行试验或观察，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而试验或观察前，不能预知究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.即在相同的条件下，重复进行试验或观察，它的结果未必是相同的.----------随机现象在我们所生活的世界上，充满了随机现象!随机现象是不是没有规律可言?否在一定条件下对随机现象进行大量观察会发现某种规律性.例：抛掷硬币的试验.多次抛掷同一枚硬币，观察到正面朝上的次数大致占一半.再如：火炮在一定条件下的射击试验.个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.随机现象就一次试验而言偶然性，随机性，不可预测性就大量试验而言一定规律性这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的规律性称之为统计规律性.正是由于随机现象在大量试验下呈现出统计规律性，由此确定了概率论研究随机现象独特的方法.它不是企图追索出现每一结果的一切物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报出在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量试验，揭示其统计规律性.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.一、随机试验（Random Experiment ）对随机现象进行一次观察或试验，统称为随机试验，简称试验，用E 表示.随机试验是由试验条件和观测目的所决定的.E 1: 掷一枚硬币，观测正面H 、反面T 出现的情况；E 2: 将一枚硬币抛掷三次，观测正面H 、反面T 出现的情况；E 3: 将一枚硬币抛掷三次，观测出现正面的次数；例如特点1.试验可以在相同的条件下重复进行；2.每次试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能够明确知道所有可能的结果；3.每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但在进行某次试验前，不能确定哪个结果会出现.可重复性可预知性随机性二、样本空间与随机事件1. 样本空间（Sample Space）随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间，用S表示，记为S={ω| ω为E的可能结果}样本空间的元素ω称为样本点..S样本点ω注意样本点ω的完备性和互斥性特点E1：掷一枚硬币，观测正面H、反面T出现的情况；S1={H, T}E2：将一枚硬币抛掷三次，观测正面H 、反面T出现的情况；S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}E3：将一枚硬币抛掷三次，观测出现正面的次数；S3={0, 1, 2, 3}E4：掷一枚骰子，观测出现的点数；S4={1, 2, 3, 4, 5, 6}E5：记录电话交换台在一分钟内接到的呼叫次数；S5={0, 1, 2, 3, ….}E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命；S6={t| t≥0 }E7：在一批炮弹中任意抽取一枚射击，观测其弹着点的位置.S7={(x, y)|(x, y)∈G⊂R2}在进行随机试验时，人们常关心的是试验全部可能结果中的某一确定部分，也即满足某种条件的那些样本点所组成的集合.中，若规定某种灯泡的寿命(小时)小于8000为次品，我们常例如:在E6关心灯泡的寿命是否为t≥8000.满足这一条件的样本点组成S的一个子集A={t| t≥8000}这样的子集称为随机事件2.随机事件（Random Event）定义随机试验E的样本空间的某些子集称为随机事件，简称为事件.它常用大写字母A，B，C等表示.2.随机事件（Random Event）注意(1)任意随机事件都是样本空间的某一个子集.反之，不一定成立.(2)当S中包含的样本点的个数为有限个或无穷可数个时，S的所有子集都是事件；当S中的样本点的个数为无穷不可数时，有些S的子集必须排除在外，但这种情况在实际中几乎不会遇到.事件的发生：在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点发生或出现.事件A发生也称为事件A出现.：掷一枚骰子，观测出现的点数.例如E4={1, 2, 3, 4, 5, 6}则样本空间为：S4定义事件A表示掷出偶数点，用S的子集可表示为：A={2, 4, 6}若在一次试验中，掷出的点数为2，4，6中的一个，则表示此次试验，事件A发生；若掷出的点数为1，3，5中的一个，则表示此次试验，事件A不发生.特殊的事件必然事件S:在每次试验中必出现S中一个样本点，即在每次试验中S必发生，因此称S为必然事件；不可能事件φ:在每次试验中，所出现的样本点都不在φ中，即在每次试验中φ都不发生，因此称φ为不可能事件；基本事件——由一个样本点组成的单点集，称为基本事件{ω}.。
概率论中的随机事件和样本空间
概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。
在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。
它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。
本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。
一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。
例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。
而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。
以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。
其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。
二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。
例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。
2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。
例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。
3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。
4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。
三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。
下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。
在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。
因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。
在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。
例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。
样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。
而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。
事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。
概率论与数理统计：1.1 随机事件与样本空间
A B 发生
事件 A与事件B 至
少有一个发生
n
A1, A2 ,, An 的和事件 —— Ai
i1
A1, A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i1
事件A 与事件B 互斥(互不相容)
AB
A、 B不可能同时
发生
A B
A1, A2 ,, An 两两互不相容 Ai Aj ,i j,i, j 1,2,, n
结合律 ( A B) C A (B C)
( AB)C A(BC)
分配律 ( A B) C ( A C) (B C)
A (BC) (A B)(A C)
反演律 A B A B AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
B A
C A (BC) (A B)(A C)
有可能的结果 试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果
组成的集合称为样本空间，记为
例1 E1 : 投一枚硬币，观察正面反面出现的情况 1 {H,T}
E2 : 投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 情况
2 {HHH, HHT, HTH, THH,
HTT, THT, TTH, TTT} E3 : 投一枚硬币3次，观察正面反面出现的
组成 A 的样本点也 是组成 B 的样本点 AB
事件 A 发生必导致 事件 B 发生
AB AB 且 B A
A B 或 AB——事件A 与事件B 的积事件
由同时属于 A 与B 的样本点所组成的 事件
A B 发生
A B
AB
事件 A与事件B 同时
发生
1.1样本空间与随机事件
在这一讲中， 在这一讲中，我们简要介绍了 随机试验 样本空间 随机事件及其概率
给出了事件的集合表示 事件在一次试验中是否发生具有随机性， 事件在一次试验中是否发生具有随机性 ， 它发生的可能性大小是其本身所固有的 性质， 性质 ， 概率是度量某事件发生可能性大 小的一种数量指标.它介于0与1之间. 小的一种数量指标.它介于 与 之间. 之间
4.对偶原则: 对偶原则
_________
A B = AIB U
__ __
__
__
_________
A B = AUB I
例1 考虑某教育局全体干部的集合，令A为女干部， B为已婚干部，C为具有硕士学历的干部。（1） __ 用文字说明 ， C (AUB)C 以及 AB (AB U AB) 的含义。 （2）用A,B,C的运算表示“硕士学历的单身女 干部”，“不是已婚硕士的干部”。
一.随机现象
在同一条件下,所观察的现象可能发生 在同一条件下 所观察的现象可能发生, 所观察的现象可能发生 也可能不发生. 也可能不发生 带有随机性、偶然性的现象 带有随机性、偶然性的现象.
随 机 现 象 的 特 点
当人们在一定的条件下对它加 以观察或进行试验时， 以观察或进行试验时，观察或试验 的结果是多个可能结果中的某一个. 的结果是多个可能结果中的某一个 而且在每次试验或观察前都无法确 知其结果，即呈现出偶然性. 知其结果，即呈现出偶然性 或者 出现哪个结果“凭机会而定” 说，出现哪个结果“凭机会而定”.
四.样本点和样本空间 样本点和样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作e 样本点，记作 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间用S或 表示. 样本空间 样本空间用 或 表示 S
高一数学必修课件随机事件和样本空间
质量控制
在工业生产中，通过计算产品的数学 期望和方差来控制产品质量，确保产 品符合标准。
感谢您的观看
THANKS
的平方。
01
02
方差定义：方差是衡量源 数据和期望值相差的度量 值，即随机变量与其均值 之差的平方的期望值。
03
常数的方差为0。
04
05
独立随机变量和的方差等 于各随机变量方差的和。
常见离散型和连续型分布数学期望和方差
离散型分布 连续型分布
01
二项分布：数学期望为np，方
差为np(1-p)。
02
泊松分布：数学期望和方差均 为λ。
的后验概率。
典型例题解析
解析
例题1
一袋中有5只乒乓球，分别标 记为1, 2, 3, 4, 5。现随机从袋 中取出3只球，求取出的3只球 中最大号码为4的概率。
例题2
解析
首先确定基本事件总数为从5 只球中取3只的组合数 $C_{5}^{3}$。然后计算最大 号码为4的基本事件数，即先 取出4号球，再从剩下的1, 2, 3 号球中取2只的组合数 $C_{3}^{2}$。最后根据古典 概型计算概率$P = frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{3}}$。
高一数学必修课件随机事 件和样本空间
汇报人：XX 2024-01-20
目录
• 随机事件与概率初步 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 全概率公式与贝叶斯公式 • 随机变量及其分布 • 数学期望与方差
01
随机事件与概率初步
随机现象与随机试验
随机现象
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。
某地区一种疾病的患病率与年 龄有关，年龄越大患病概率越 高。现有一种试剂可以检验被 检者是否患病，准确率为99% 。即在被检验者患病的条件下 用该试剂检测，有99%的可能 呈现阳性；在被检验者未患病 的条件下用该试剂检测，有 99%的可能呈现阴性。现随机 抽取该地区的一个被检验者， 用该试剂来检验，结果呈现阳 性。问该被检验者确实患病的 概率是多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
今后为讨论问题方便，将必然事件、不可能事件 视为随机事件的两个极端情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时抛掷两枚硬币,观察正反面出现情况,事件A 表示掷出同一面,事件B表示其中一枚掷出正面。 习题2：将一枚骰子连续抛掷两次,记录骰子点数出现 情况,事件A表示点数之和等于7,事件B表示两枚骰子 点数之差等于1。 习题3：从一批产品中抽取2件零件,观察正次品情况, 事件A1表示第一个零件是正品,A2表示第二个零件 是正品。
(5)从一批灯泡中任意抽取一只, 测试其使用寿命.
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
一、样本空间
定义1：E的所有可能基本结果组成的集合 称为E的样本空间，记作S。
定义2：样本空间中每一个可能的基本结果 称为样本点(Sampling point) ，记作e。
S3 {ABC, ABD, ACD, BCD}.
讨论题：袋中装有6个球4白(a,b,c,d),2红(x,y)， 试确定试验中样本空间含的样本点个数。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
将四件产品标记为:A,B,C,D, 可能结果为: “ABC,ABD,ACD,BCD”
S3 {ABC, ABD, ACD, BCD}.
(4)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
可能结果为: “0,1,2,„” S4 {0,1, 2,...}.
E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。
{(i1 , i2 )
E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。
{(i j ) 1 i j 6}
定义3：随机试验E的样本空间S的子集称为试验E的 随机事件，简称事件，通常用A,B,..,Ak,…表示。
引例2：将一枚硬币抛掷两次，事件A表示“第一次出 现正面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示 “至少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。
练习：同时抛掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
1.1 样本空间与随机事件
一、样本空间 二、随机事件※
引例1. 试写出下列试验的样本空间
(1)抛掷一枚硬币,观察正反面出现的情况.
可能结果为：“正面，反面”.
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
注 1.试验不同, 对应的样本空间一般不同. e.g．S={Ｈ,Ｔ} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间，
或是开关闭合试验的样本空间，或是射击问题中击中与 否的样本空间。
※2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空 间
也不同.
eg 将一枚硬币连续抛掷两次 Case1:若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
S {HH , HT , TH , TT }.
Case2:若观察出现正面的总次数 , 则样本空间为
S { 0, 1, 2}.
试用列举法写出下列试验的样本空间
练习1：某商场五层共有60间餐饮店铺，编号分别为 5001,5002,…,5060，从中任选一间，观察店铺号码。 练习2：用大炮连续5次射击同一目标，观察击中的总 次数。
练习3：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
练习4：手工生产一批陶瓷制品，希望能得到10件正品， 记录需要生产的陶瓷总件数。
二、随机事件(Random Events)
eg
抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子可能出现“1点”,…,“6点”,
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等均为随机事件.
2.关于随机事件的几点说明
(1)随机事件表示: 语言描述，集合的列举法表示，Venn图，随机变量等
eg 在掷一枚骰子试验中 事件A 表示“点数不大于3”,
事件B 表示“点数为奇数” A = {1,2,3}, B = {1,3,5}
A2 4 1,3 5 B S
6
(2)随机事件与样本空间、样本点之间的关系。 例3：在投掷一颗骰子试验中，试验结果为出现3个点， A表示“点数不大于3”, B表示“点数为奇数”.问A,B发 生？
本节小结：
• 样本空间：E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。 • 随机事件：E的某些基本结果组成的集合，记作A,B 等，随机事件是样本空间S的子集。
同一试验中，样本空间与随机事件的关系？
同一个试验中，根据观察的内容都有唯一确定的样 本空间, 任何随机事件都是样本空间的子集。
课前提问：写出下列随机试验的样本空间
(3)事件A发生
定义4：事件A发生是指试验结果中A的某个样本点出现。
试验中，事件A可能发生也可能不发生。
(4)几个特殊的事件
基本事件：含一个样本点的单点集。 复合事件：含两个或两个以上样本点的集合。
不可能事件不含任何样本点的集合，记为 必然事件含有所有样本点的集合，记为S
eg. 掷骰子试验中 “点数大于6” 就是不可能事件， “点数不大于6” 就是必然事件。
习题1：将一枚硬币连续抛三次，观察正反面出现情况。
习题2：某投篮运动员投篮时，连续5次都命中，观察 其投篮次数。
习题3：甲乙二人各自对目标射出一发子弹，观察命中 目标情况，
习题4：记录一段时间内，某城市110报警的次数。
习题5：从装有3个白球2个黑球的袋中任取两球，观察 两个球温和最低气温（假 设最低气温不低于T1，最高气温不高于T2）