2016-2017年高三理科数学第三次月考试卷及答案
高三第三次月考(理科)数学试卷
省示范中学高三第三次月考（理科）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{})1ln(|x y x M -== ，集合{}R x e y y N x ∈==,|（e 为自然对数的底数），则=⋂N MA. {}1>x xB. {}10<<x xC. {}1<x x D. Φ 2.函数 )132(log 221+-=x x y 的递减区间为A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，43B. ) ⎝⎛∞+,21C. )(∞+,1D. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-43,3.若 [](]⎩⎨⎧∈-∈+=2,121,1,sin )(3x x x x x f ，，，⎰=21-)(dx x fA.3B.2C.1D.04.已知 k x p ≥:，113:<+x q ，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 A. )(∞+,2 B. [)+∞,2 C. )(1,-∞- D. [)+∞,15.下列函数中，对于任意R x ∈，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是 A. x x f sin )(= B. x x f cos )(= C. x x x f cos sin )(= D. x x x f 22sin cos )(-=6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，则=B A cos cos A.41 B. 21 C. 43 D. 327. 当4π=x 时，函数)0)(sin()(>+=A x A x f ϕ取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 A.奇函数且图象关于点)0,2(π对称 B.偶函数且图象关于点)0,(π对称C.奇函数且图象关于直线2π=x 对称 D.偶函数且图象关于点)0,2(π对称8.已知A 、B 、C 为平面上不共线的三点，O 为平面上一点，若32=++，则=∆∆∆BOC AOC AOB S S S ::A. 3:2:1B. 4:3:2C. 2:3:5D. 1:2:39.设函数[)⎩⎨⎧-∞∈++∞∈+-=)0,(43,0,66)(2x x x x x x f ， ，若互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则321x x x ++的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎝⎛326,320 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,311 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,311 D. ⎪⎭⎫⎝⎛326,32010.已知 c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出下列结论：①0)1()0(>⋅f f ，②0)1()0(<⋅f f ，③0)3()0(>⋅f f ，④0)3()0(<⋅f f ，则其中正确命题的序号是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11.已知[)⎪⎩⎪⎨⎧-∈+∞∈=)0,2(sin ,0,)(21πx x x x x f ， ，若21)(=a f ，则=a . 12.已知角α终边上一点)3,4(-P ，则=+⋅---⋅+)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ. 13.已知 0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是.14.=--10cos 2110sin 32 15. 给出下列五个命题：①函数)6(cos 22π+=x y 的图象可由曲线x y 2cos =+1图象向左平移3π个单位得到；②函数)4sin()4cos(ππ+++=x x y 是偶函数；③直线8π=x 是曲线)452sin(π+=x y 的一条对称轴；④函数)3(sin 22π+=x y 的最小正周期是π2；⑤与是两不共线向量，若=+μλ，则022=+μλ.其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知135sin =B ，且a 、b 、c 成等比数列. ⑴求CA tan 1tan 1+的值； ⑵若12cos =⋅⋅B c a ，求c a +的值.17．（本题满分13分）已知函数x x x x x f cos sin 22)4cos()4cos(22)(+-+=ππ⑴求)(x f 的最小正周期和最大值；⑵画出函数)(x f y =在[]π,0上的图象.并说明)(x f y =的图象是由x y 2sin =的图象怎样变换得到的.18.（本题满分12分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(. ⑴若c b a >>，且0)1(=f ，求证)(x f 必有两个零点； ⑵若对R x x ∈21，且21x x <，)()(21x f x f ≠，求证方程)]()([21)(21x f x f x f +=必有一实根属于)(21x x ，19．（本题满分13分）已知函数x x x f 2sin )4cos(2)(++=π⑴求)(x f 的值域； ⑵求)(x f 的单调区间.20．（本题满分12分）设21)(axe xf x+=,其中a 为正实数. ⑴当34=a 时，求)(x f 的极值点； ⑵若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.21.（本题满分13分）已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=. ⑴若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值与函数)(x f 的单调区间； ⑵设x e x x x g )2()(2-=，若对任意(]2,01∈x ，均存在(]2,02∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围.理科数学参考答案11.41或6π- 12. 43- 13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 14. 2 15.②③⑤ 三、解答题16.解：⑴a 、b 、c 成等比数列⇒ac b =2 ⇒C A B sin sin sin 2=。
2016年高考新课标全国卷理科数学模拟试卷压轴题汇编
2016年高考新课标全国卷理科数学模拟试卷压轴题汇编邯郸市第一中学2016届高三第十次研究性考试21.已知函数．（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明：21．解：（１）因为，所以，此时，，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为．．．．．．．．．．4分（2），所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，当时，，令，得，所以当时，，当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；当时，函数的递增区间是，递减区间是．．．．．．．．．．．．8分（3）当，．由，即，从而．令，则由得，．可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因为，因此成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理）（五）21．已知函数．（1）当时，证明：；（2）当，且时，不等式成立，求实数的值．21．证明：（1）令．，则在上是增函数．故，即命题结论成立………………5分（2）当时，，;当时，，所以，原不等式可化为．令．令当时，有．令，则，故在上是减函数，即．因此在上是减函数，从而，所以，当时，对于，有当时，有．令，则，故在上是增函数，即．因此，在上是减函数，从而，．所以，当时，对于有综上，当时，在，且时，不等式成立．……12分江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理）21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若存在，使得（e是自然对数的底数），求实数的取值范围．21．解：（Ⅰ）． ……… 1分因为当时，，在上是增函数，因为当时，，在上也是增函数，所以当或，总有在上是增函数， ………2分又，所以的解集为，的解集为，……… 3分故函数的单调增区间为，单调减区间为． ……… 4分（Ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，，所以只要即可． ……… 5分又因为，，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．………7分因为，令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即． ……… 9分所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得； ………10分当时，，即，函数在上是减函数，解得． ………11分综上可知，所求的取值范围为． ………12分江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考（理）21. （本小题满分12分）已知函数 (R)．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．21. 解：（1）当时，，则，……………………………………1分令，得或；令，得，∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ………4分（2）由题意，（i）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……………6分（ii）当时，令，有，，①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……………7分②当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. ……………………………9分③当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得，①令，因为恒成立，故恒有，所以时，①式恒成立，综上，实数的取值范围是. …………………………………12分益阳市2016届高三4月调研考试21．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；（Ⅱ）对任意的，，恒有，求k的取值范围。
2016年全国高考理科数学及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）．A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）．A ．1BC D ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）．A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）． A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）．A ．(1,3)-B -1（C ．0,3（）D ．0（ 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）． A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2||-=2x y x e 在[]-2,2的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．若1a b >>，01c <<，则（ ）． A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9.执行右面的程序图，如果输入的0x =，1y =,1n =则输出x ，y 的值满足（ ）．A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知AB =，DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI平面11ABA B n =，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）．A B C D ．1312．已知函数()sin()(0f x x+ωϕω=>，)2πϕ≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）． A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．设向量)=(1a m ，，=2(1)b ，，且222=a b a b++，则m =__________．14．5(2x +的展开式中，3x 的系数是__________．（用数字填写答案） 15．设等比数列满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋯的最大值为__________．16．某高科技企业生产产品A 和产品B ,需要甲、乙两种新型材料。
山东省博兴二中高 三第3次月考理科数学试卷-其它版本(山东新课标)
博 兴 二 中 高 三 第 三 次 月 考理 科 数 学 试 卷 2006,10本试卷分第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第7页 满分150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．填空题的答案填在第Ⅱ卷的填空题答题栏中，不能答在试题上.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的(1) 若集合()()1,,,2,A B =+∞=-∞全集,U R =则()U A B ð是A ．(,1)(2,)-∞+∞B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1](2,)-∞+∞(2) 已知x x f 2cos )(cos =，则f(︒15sin )的值等于A.21 B.21- C.23 D.23- (3) 我们知道，函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos 2y x =的图象，则这种变换可以是A ．沿x 轴向右平移4π个单位 B ．沿x 轴向左平移4π个单位 C ．沿x 轴向左平移2π个单位D ．沿x 轴向右平移2π个单位(4) 若奇函数()()f x x R ∈满足()()()()22,22f f x f x f =+=+，则()5f 的值是A ．0B ．1C ．52D ．5(5) 已知向量||||a bp a b =+，其中a 、b 均为非零向量，则||p 的取值范围是A 、B 、[0,1]C 、(0,2]D 、[0,2](6) 在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 (7) 若函数)(x f y =的图象如右图所示， 则函数)1(x f y -=的图象大致为（ ）A B C D(8) 定义在R 上的偶函数0)(log ,0)21(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合为 A ．),2()21,(+∞⋃-∞ B ．)2,1()1,21(⋃ C ．),2()1,21(+∞⋃ D ．),2()21,0(+∞⋃ (9) 设函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有（ ）A 、分别位于区间（1，2）、（2，3）、（3，4）内的三个根B 、四个根)4,3,2,1(=i x iC 、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）、（3，4）内的四个根D 、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）内的三个根 (10) 函数)3sin()2cos(x x y -++=ππ具有性质（ ）A. 最大值为3，图象关于直线6π=x 对称 B. 最大值为1，图象关于直线6π=x 对称C. 最大值为3，图象关于)0,6(π对称 D. 最大值为1，图象关于)0,6(π对称 (11) CD 是△ABC 的边AB 上的高，且22221CD CD AC BC +=，则( ) A ．2A B π+=B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=（12）已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的A 内心B 垂心C 重心D AB 边的中点二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分,把答案填在Ⅱ卷相应位置（13）已知向量a ＝(－1，3)，向量b ＝(3，－1)，则a 与b 的夹角等于 ．（14）观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：_____________ ___.(15) 已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为_____________。
2016-2017年江苏省南京市六合区程桥高中高一(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市六合区程桥高中高一（下）6月月考数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝．2．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．3．（5分）某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．5．（5分）4人站成一排，其中甲乙相邻则共有种不同的排法．6．（5分）袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．7．（5分）一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是．8．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的条件．9．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为．10．（5分）矩阵的特征值是．11．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0；q：＜0．若p∧q为真，则x的取值范围是．12．（5分）若X～B（15，），则使P（X＝k）取最大值的k的值为．13．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为14．（5分）2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（14分）在极坐标系中，已知直线l：ρsin（θ﹣）＝a被圆C：ρ＝4cosθ截得的弦长为2，求实数a的值．16．（14分）设a＞0，b＞0，若矩阵A＝把圆C：x2+y2＝1变换为椭圆E：＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．17．（14分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2＝0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（16分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．20．（16分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．2016-2017学年江苏省南京市六合区程桥高中高一（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．【解答】解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．3．（5分）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k＝1，S＝10﹣1＝9；k＝2，S＝9﹣2＝7；k＝3，S＝7﹣3＝4；k＝4，S＝4﹣4＝0；S≤0，输出k＝4+1＝5．故答案为：5．4．（5分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有75辆．【解答】解：由频率分布直方图，得速度在70km/h以下的汽车所点频率为（0.02+0.03）×10＝0.5，∴从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，则速度在70km/h以下的汽车有：150×0.5＝75（辆）．故答案为：75．5．（5分）4人站成一排，其中甲乙相邻则共有12种不同的排法．【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，故甲、乙二人相邻的不同排法共A22•A33＝12种．故答案为：12．6．（5分）袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．【解答】解：从五个球中取出2球，共有＝10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中取出的球颜色相同，共有+＝2种不同情况，∴取出的球颜色相同的概率为P＝＝，故答案为：7．（5分）一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是2．【解答】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10＝5×5，解得x＝3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]＝8，∴此组数据的标准差S＝＝2．故答案为：2．8．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的必要不充分条件．【解答】解：充分性，因为c＞d，所以﹣d＞﹣c，当a＞b时可得a﹣d＞b﹣c．不一定能得到a﹣c＞b﹣d，故充分性不成立；必要性，当a﹣c＞b﹣d成立时，两边都加上c得a＞b+（c﹣d）因为c＞d，得（c﹣d）＞0，所以b+（c﹣d）＞b由不等式的传递性，得a＞b成立，故必要性成立故答案为：必要不充分9．（5分）（x2﹣）5展开式中的常数项为40．【解答】解：（x2﹣）5展开式中的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r ••x10﹣5r，令10﹣5r＝0，r＝2，故展开式的常数项为4•＝40，故答案为40．10．（5分）矩阵的特征值是λ1＝﹣4，λ2＝8．【解答】解：矩阵的特征矩阵为：，其特征多项式为（λ+2）（λ﹣6）﹣20，求解特征方程：（λ+2）（λ﹣6）﹣20＝0 可得矩阵的特征值为：λ1＝﹣4，λ2＝8．故答案为：λ1＝﹣4，λ2＝8．11．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0；q：＜0．若p∧q为真，则x的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：p：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．q：＜0．解得x＜2．若p∧q为真，则p与q都为真命题．∴，解得﹣1＜x＜2．x的取值范围是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12．（5分）若X～B（15，），则使P（X＝k）取最大值的k的值为3或4．【解答】解：∵随机变量X～B（15，），∴P（X＝k）＝C15k（1﹣）15﹣k（）k＝315﹣k，∴＝＝•≤1，得k≥3．＝≤1，解得k≤4，从而k＝3或4时，P（X＝k）取得最大值，故答案为3或4．13．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n＝3n﹣1【解答】解：由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有3×3个三角形，第4个图形中有3×9个三角形，以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．故答案为：a n＝3n﹣114．（5分）2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种．【解答】解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33＝24；若小张、小赵都入选，则有选法A22A33＝12，根据分类计数原理知共有选法24+12＝36种故答案为：36二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（14分）在极坐标系中，已知直线l：ρsin（θ﹣）＝a被圆C：ρ＝4cosθ截得的弦长为2，求实数a的值．【解答】解：∵圆C：ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，即圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，∴圆心C（2，0），半径r＝2．∵直线l的参数方程展开得，∴，即直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离．因为圆C被直线l截得的弦长为，所以．即4﹣（1+a）2＝3，化为a2+2a＝0，解得a＝0，或a＝﹣2．故实数a的值为0或﹣2．16．（14分）设a＞0，b＞0，若矩阵A＝把圆C：x2+y2＝1变换为椭圆E：＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）则═，所以．…2分因为点P′（x′，y′）在椭圆E：上，所以，这个方程即为圆C方程．…6分因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝．…8分（2）由（1）得A＝，设A﹣1＝，得AA﹣1＝＝＝．．∴m＝，n＝p＝0，q＝，可得A﹣1＝…10分17．（14分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2＝0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）＝x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△＝4a2﹣4×2≥0，解得a≤﹣或a≥．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，．当命题p为假，命题q为真时，综上：a或﹣＜a≤118．（16分）如图，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴＝（，0，），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1）．∴•＝0，•＝0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0．因为＝（﹣1，2，0），＝（0，3，﹣1），所以．令x＝2，则y＝1，z＝3．所以＝（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．…8分因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞＝＝．根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…10分19．（16分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A1，“甲队以3：1胜利”为事件A2，“甲队以3：2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P（A1）＝（）3＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝．所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为．（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P（A4）＝＝．由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P（X＝0）＝P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）＝．又P（X＝1）＝P（A3）＝，P（X＝2）＝P（A4）＝，P（X＝3）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）＝，故X的分布列为所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．20．（16分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．【解答】解：由题意知：22n﹣2n＝992，解得n＝5．（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为＝（﹣1）10﹣r x10﹣2rr C10r2则，得即解得所以r＝3，故系数的绝对值最大的项是第4项即。
湖南师大附中高三第三次月考数学(理)试卷(含解析)
高三月考试卷（三）理科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿命题人：李莉 苏萍 周正安 审题人：贺忠良 邓仁辉时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ={y ∈R |y =lg x , x ＞1},B ={x |0＜|x |≤2, x ∈Z },则下列结论正确的是 （D ）A ．A ∩B ={-2，-1} B ．（C R A ）∪B =（-∞，0] C ．A ∪B =[0，+∞]D ．（C R A ）∩B ={-2，-1} 2．设a 是实数，且2i 1i 1+++a 是实数，则a = （B ） A ．21B ．1C ．23 D ．23．“ac =b 2”是“a ，b ，c 成等比数列”的 （B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．3)141(-+xx 展开式中的常数项为 （A ） A ．25- B ．25C ．-1D ．15．已知0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是 （C ） A ．ab ＜b 2＜1 B ．21log b ＜21log a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜16．若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (2)=1，f (x +2)=f (x )+f (2)，则f (5)= （C ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5 7．焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （B ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x8．在锐角三角形△ABC 中，tan A =t +1，tan B =t -1，则t 的取值范围是 （A ） A ．（2，+∞） B ．（1，+∞） C ．（1，2） D ．（-1，1）9．一个质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1、2、3、4、5、6，连续掷此骰子3次，正面朝上的点数之和为10的不同抛掷结果有 （A ）A ．27种B ．30种C ．33种D ．36种 10．已知无穷等比数列{a n }的前n 项的积为T n ，且a 1＞1，a 2008a 2009＞1，（a 2008-1）(a 2009-1) ＜0，则这个数列中使T n ＞1成立的最大正整数n 的值等于 （C ）A ．2008B ．2009C ．4016D ．4017选择题答题卡11．已知函数f (x )=log sin1(x 2-6x +5)在（a ，+ ∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [5，+∞） .12．四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、6、3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为 332π. 13．若动直线x =m 与函数f (x )=2cos(65π-x )、g (x )=4sin x 的图像分别交于点M 、N ，则|MN | 的最大值为 32 .14．已知A （x 1，y 1）是抛物线y 2=4x 上的一个动点，B （x 2，y 2）是椭圆13422=+y x 上的一个动点，N （1，0）是一定点.若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是 )4,310(. 15．在平面上，OC 是平行四边形OACB 的对角线，设=a , =b , BH ⊥OC 于点H . （1）若|a |=|b |=1，∠AOB =60°，则|OC |= 3 ；（2）若∠AOB ＜90°，请你用a ，b 表示OH = )(||)(2b a b a bb a ++∙+.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ). （1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分） 而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π； （6分） （2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ， （8分） 则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3， （10分） 当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为91、101、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望.解：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k =1，2，3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P （A 1）=91，P （A 2）=101，P （A 3）=111. （1）该单位一年内获赔的概率为 1-P (1A 2A 3A )=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-113111010998=⨯⨯. （5分） （2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分） P (ξ=0)=P (1A 2A 3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=118111010998=⨯⨯， （7分） P (ξ=9000)=P (A 12A 3A )+P (1A A 23A )+P (1A 2A A 3) =P (A 1)P (2A )P (3A )+P (1A )P (A 2)P (3A )+P (1A )P (2A )P (A 3) =451199024211110998111010198111010991==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （8分） P (ξ=18000)=P (A 1A 23A )+P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3) =P (A 1)P (A 2)P (3A )+P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3) =1103990271111019811110991111010191==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （9分） P (ξ=27000)=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=990111110191=⨯⨯. （10分） 综上知，ξ（11分）由ξ的分布列得 E ξ=18.27181129900990127000110318000451190001180≈=⨯+⨯+⨯+⨯(元). （12分）如图，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB =2，P A =6.（1）求证：P A ⊥B 1D 1；（2）求平面P AD 与平面BDD 1B 1所成的锐二面角θ的大小； （3）求B 1到平面P AD 的距离. 解：解法一：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，又∵AC ⊥BD ，∴P A ⊥BD ，∵BD ∥B 1D 1，∴P A ⊥B 1D 1. （4分） （2）∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ， ∴AO ⊥面PBD ，过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM ， 则AM ⊥PD ，∴∠AMO 就是二面角A —PD —O 的平面角， （6分） 又∵AB =2，P A =6， ∴OD =2，PO =226=-， OM =32622=⨯=∙PD OD PO ， ∴tan ∠AMO =26322==OM AO ， 即二面角的大小为arctan26. （8分）（3）分别取AD ，BC 中点E ，F ，作平面PEF ，交底面于两点S ，S 1，交B 1C 1于点B 2，过点B 2作B 2B 3⊥PS 于点B 3，则B 2B 3⊥面P AD ，又B 1C 1∥AD ，∴B 2B 3的长就是点B 1到平面P AD 的距离. （10分） ∵PO =AA 1=2，∴EF =221=SS ，tan ∠PSS 1=224=，sin ∠PSS 1=52， ∴B 2B 3=B 2S sin ∠PSS 1=556523=⨯. （12分 ） 解法二：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系， （1）设E 是BD 的中点，∵P —ABCD 是正四棱锥， ∴PE ⊥ABCD .又AB =2，P A =6，∴PE =2， ∴P （1，1，4），∴11D B =（-2，2，0），=（1，1，2） （2分）∴11D B ·AP =0，即P A ⊥B 1D 1。
鞍山一中2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷 含解析
2016—2017学年辽宁省鞍山一中高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0｝，B={x｜2x﹣3＞0},则A∩B=（) A．(﹣3，﹣) B．（﹣3,）C．（1，) D．（，3）2．函数f（x)=的定义域为（)A．（1,+∞） B．[1,+∞）C．［1，2）D．[1，2)∪（2，+∞）3．已知A（3，﹣2），B(﹣5，4)，则以AB为直径的圆的方程是（) A．(x﹣1）2+（y+1）2=25 B．(x+1）2+（y﹣1）2=25C．(x﹣1）2+（y+1）2=100 D．（x+1）2+（y﹣1）2=1004．已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是( ）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α,l∥β,则α⊥βC．若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β,则α⊥β5．若函数为奇函数,则a=（）A．B． C． D．16．不论m为何值，直线（m﹣2)x﹣y+3m+2=0恒过定点（）A．（3，8）B．（8，3) C．（﹣3，8）D．（﹣8，3）7．已知直线l1:（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或28．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．34 D．489．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．﹣＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2＜a＜10．过点P（2,3)且与圆x2+y2=4相切的直线方程是（)A．2x+3y=4 B．x=2C．5x﹣12y+26=0 D．5x﹣12y+26=0x=211．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+412．过点P（1，)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B，则弦长｜AB｜=（）A．B．2 C．D．413．已知函数f（x）=2x+x,g(x）=log2x+x，h（x）=x3+x的零点依次为a,b，c，则a,b，c由小到大的顺序是)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a14．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣15．已知函数f（x）=（a＞0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（)A．（0,] B．[，］C．[，]∪{} D．［，)∪{}二、填空题（每题5分，满分25分,将答案填在答题纸上)16．设全集U=R，集合A={x｜x＜﹣1或2≤x＜3｝，B={x|﹣2≤x ＜4}，则（∁U A）∪B= ．17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．18．已知两点M(2，﹣3），N（﹣3，﹣2），斜率为k的直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则k的取值范围是．19．已知函数f（x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0）上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是．20．已知函数f(x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．已知集合A={x|2＜x＜7},B=｛x|2＜x＜10}，C=｛x｜5﹣a＜x ＜a}．（Ⅰ）求A∪B,（∁R A）∩B；（Ⅱ)若C⊆B，求实数a的取值范围．22．已知函数是R上的偶函数．(1）求实数m的值;（2）判断并证明函数y=f（x）在(﹣∞,0]上单调性；(3）求函数y=f（x)在［﹣3，2］上的最大值与最小值．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,已知AB⊥AD，AD⊥DC．PA⊥底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．（1)求证：平面PAD⊥平面PDC;(2）求证：MN∥平面PAD；（3）求三棱锥C﹣PBD的体积．24．已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为O1（m，0)，⊙O与⊙O1交于点P（3，4），过点P且斜率为k(k≠0）的直线l分别交⊙O、⊙O1于点A，B．（1）若k=1且,求⊙O1的方程；（2）过点P作垂直于l的直线l1分别交⊙O、⊙O1于点C，D，当m为常数时，试判断|AB｜2+｜CD｜2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2016-2017学年辽宁省鞍山一中高一（下)3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题5分，共75分。
唐山市2017高三三模数学试卷(文)(word版含答案)
得sinC＝tanB．…6分
（Ⅱ）由a－b＝bcosC，且a＝1，b＝2，得cosC＝－，…8分
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×(－)＝7，
所以c＝．…中“读书迷”有x人，则＝，解得x＝210.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.…3分
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
点P是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点 为中心，将点P逆时针旋转得到点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
唐山市2016—2017学年高三年级第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则
A． B． C． D．
2、已知 为虚数单位， ，则复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3、某校有高级教师90人，一级教师120，二级教师75人，现按职称分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为
方程为
15、直角 的三个顶点都在球 的球面上， ，若求的表面积为 ，则球心 到平面 的距离等于
16、 是公差不为0的等差数列， 是公比为整数的等比数列， ，则数列 的前n项和等于
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在 中，角 所对应的边分别为 ．
（1）求证： ；
2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高一(上)第三次月考数学试卷
2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高一（上）第三次月考数学试卷一．选择题.（每题5分，共计60分）1．（5分）与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=2．（5分）直线l与平面α有公共点，则有（）A．l∥α B．l⊂αC．l与α相交D．l⊂α或l与α相交3．（5分）如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是（）A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB 4．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1}D．{﹣1，1}5．（5分）下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π7．（5分）函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PBC9．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．211．（5分）若MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A．垂直但不相交B．平行C．相交但不垂直D．异面12．（5分）若ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣4，0]二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（5分）函数y=的定义域为．14．（5分）已知f（x）=x7﹣ax5+bx3+cx+2，若f（﹣3）=﹣3，则f（3）=．15．（5分）已知一个球的表面积为36πcm2，则这个球的体积为cm3．16．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．三．解答题.（共计70分）17．（10分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．证明：（1）EF∥平面A1CD；（2）若AB=BC=AC=AA 1=1，求V．20．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）若正方体棱长为1，求点A1到面AB1D1的距离．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题.（每题5分，共计60分）1．（5分）（2015秋•日喀则市校级期末）与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：选项A中，x≥0，与函数y=x的定义域R不符；选项B中，，符合题意；选项C中，y≥0，与函数y=x的值域R不符；选项D中，x≠0，与函数y=x的定义域R不符；故选B．2．（5分）（2016秋•广平县校级月考）直线l与平面α有公共点，则有（）A．l∥α B．l⊂αC．l与α相交D．l⊂α或l与α相交【解答】解：当直线l∥平面α时，l与平面a无公共点；当直线l⊂平面α时，l与平面a有无数个公共点；当直线l与平面α相交时，l与平面a有一个公共点．∴若直线l与平面a有公共点，则l与平面a的位置关系是l⊂α或l与α相交．故选D．3．（5分）（2016秋•广平县校级月考）如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是（）A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB 【解答】解∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴AO=OC，又Q为PA的中点，∴QO∥PC．由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，故CD∥面PAB，故D正确．故选C．4．（5分）（2016•兴安盟一模）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1}D．{﹣1，1}【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，则A∩B={1}，故选：B．5．（5分）（2016秋•广平县校级月考）下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：在①中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故①不成立；在②中，一条直线和直线的一个点能确定无数个平面，故②不成立；在③中，和直线a都相交的两条直线能确定一个或三个平面，故③不成立；在④中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面，故④不成立．故选：A．6．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．7．（5分）（2016春•长春校级期末）函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数，即函数y=log2（x+1）的图象和函数y=x2（图中红色曲线）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=log2（x+1）的图象和函数y=x2的图象的交点个数为2，故选：C．8．（5分）（2016秋•广平县校级月考）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PBC【解答】解：由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．故选：C．9．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．10．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．11．（5分）（2016春•景县校级期中）若MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA 与BD的位置关系是（）A．垂直但不相交B．平行C．相交但不垂直D．异面【解答】解：如图所示：MA是面ABCD的斜线，故MA与BD的一定是异面直线，∵MC⊥菱形ABCD，BD⊂菱形ABCD∴MC⊥BD由菱形的对角线互相垂直，可得AC⊥BD又∵MC∩AC=C，MC，AC⊂平面MAC∴BD⊥平面MAC又∵MA⊂平面MAC∴MA与BD垂直故选A12．（5分）（2016秋•工农区校级期中）若ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣4，0]【解答】解：因为ax2+ax+a+3＞0对一切实数x恒成立，所以当a=0时，不等式为3＞0，满足题意；当a≠0，需满足，解得a＞0总之a≥0故a的取值范围为：[0，+∞）．故选：C．二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（5分）（2010•黄浦区一模）函数y=的定义域为（0，+∞）．【解答】解：∵函数y=，∴．解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞），故答案为（0，+∞）．14．（5分）（2016秋•广平县校级月考）已知f（x）=x7﹣ax5+bx3+cx+2，若f（﹣3）=﹣3，则f（3）=7．【解答】解：令g（x）=x7﹣ax5+bx3+cx，∴g（x）=f（x）﹣2，g（﹣3）=f（﹣3）﹣2=﹣5，由g（x）是奇函数得：g（3）=5，∴f（3）=g（3）+2=5+2=7，故答案为：7．15．（5分）（2015秋•湘西州校级期末）已知一个球的表面积为36πcm2，则这个球的体积为36πcm3．【解答】解：设球的半径为Rcm，则∵球的表面积为36πcm2，∴4πR2=36π∴R=3cm∴球的体积cm3．故答案为：36π16．（5分）（2010•新课标）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤三．解答题.（共计70分）17．（10分）（2016秋•广平县校级月考）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=，A={x|a﹣1＜x＜2a+1}={x|﹣＜x＜2}，B={x|0＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}；（2）若B⊆A，则，∴0≤a≤1．18．（12分）（2015•鹿城区校级模拟）二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）=f（2），∴对称轴为x=1．又∵f（x）最小值为1，∴可设f（x）=a（x﹣1）2+1，（a＞0）∵f（0）=3，∴a=2，∴f（x）=2（x﹣1）2+1，即f（x）=2x2﹣4x+3．（2）由条件知f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）∴2a＜1＜a+1，∴0＜a＜．19．（12分）（2016秋•广平县校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．证明：（1）EF∥平面A1CD；（2）若AB=BC=AC=AA 1=1，求V．【解答】（1）证明：取AB的中点D，连接DE，A1D，∵D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点，∴DE∥AC，DE=AC，A1F=A1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AC=A1C1，∴A1F∥DE，A1F=DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（2）连接CD，∵AB=BC=AC=1，∴S=，△ABC∴V==．20．（12分）（2016秋•广平县校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）若正方体棱长为1，求点A1到面AB1D1的距离．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BD∥B1D1，DC1∥AB1，BD∩DC1=D，D1B1∩AD1=D1，BD，DC1⊂平面BDC1，D1B1，AB1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD．解：（2）设点A1到面AB1D1的距离为h．∵正方体棱长为1，∴AB1=AD1=B1D1=，∴==，S==，∵=，∴=，∴h===．∴点A1到面AB1D1的距离为．21．（12分）（2013•泰安三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC 的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．﹣﹣﹣（1分）又EF⊄平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）AB⊂平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，∴PE⊥AC．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴PE⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又EF∩PE=E，∴BC⊥平面PEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴平面PEF⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣（14分）22．（12分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点．∴A1D⊥B1C1，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥BC，∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，∴A1O⊥AO，A1O⊥BC∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC∴A1D⊥平面A1BC解：（II）建立坐标系如图∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（﹣，，），A1（0，0）即=（0，，﹣），=（0，，0），=（，0，），设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），即得出得出=（，0，1），||=4，||=∵=，∴cos＜，＞==，可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为参与本试卷答题和审题的老师有：王老师；lcb001；caoqz；zlzhan；清风慕竹；qiss；sdpyqzh；豫汝王世崇；whgcn；sj2012；wfy814；zhczcb（排名不分先后）胡雯2017年4月12日。
2016-2017福建省高三上学期11月联考试题 数学理5
高三上学期11月联考试题 数学理考试总分：150分；考试时间：120分钟；一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置上．）1.已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x ≥2}，则A ∪B =（ ） A.B.C. （-∞，3]D. [-1，+∞）2.已知i 是虚数单位，复数z 满足z （3+4i ）=1+i ，则复平面内表示z 的共轭复数的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.若1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2151b -⎪⎭⎫ ⎝⎛=，1031log c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A. a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. c ＞b ＞a D. b ＞a ＞c4.用数学归纳法证明1+21+31+…+1n 21-＜n （n ∈N *，n ＞1），第一步应验证不等式（ ）A.2211<+ B. 331211<++ C.34131211<+++ D. 231211<++ 5．两曲线x y =，2x y =在x ∈[0，1]内围成的图形面积是（ ）A. 31B. 32C. 1D. 26若cos （8π-α）=61，则cos （43π+2α）的值为（ ）A. 1817 B. 1817-C.1918 D.1918-7．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，且a 1+a 5=-14，S 9=-27，则使得S n 取最小值时的n 为（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或78.已知函数f （x ）=ln x +2x -6的零点位于区间（m -1，m ）（m ∈Z ）内， 则m 3m1log 27+ =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49.已知命题P ：若△ABC 为钝角三角形，则sin A ＜cos B ；命题q ：∀x ，y ∈R ，若x +y ≠2，则x ≠-1或y ≠3，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∨（¬q ）B. （¬p ）∧qC. p ∧qD. （¬p ）∧（¬q ）10.已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，|AB |=2，OC-，若若M 是线段AB的中点，则 OM OC ∙的值为（ ）A. 3B. 23C. 2D. -311.下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）A. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B. 观察（x 2）′=2x ，（x 4）′=4x 3，（cos x ）′=-sin x ，可得偶函数的导函数为奇函数C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应12.定义在（0，+∞）的函数f （x ）的导函数)(/x f 满足08)(/3>+x f x ，且f （2）=2，则不等式的解集为（ ）A. （-∞，2）B. （-∞，ln2）C. （0，2）D. （0，ln2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）13．在等比数列{}n a 中，22=a ，且451131=+a a ，则31a a +的值为______． 14.曲线f （x ）=x ln x 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ______ ．15.已知O 为坐标原点，点A （5，-4），点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥+2y 12x y x 内的一个动点，则OM OA ∙的取值范围是 ______ ．16设向量OA =（1，-2），OB =（a ，-1），OC =（-b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为 ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省合肥168中学2016届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣68．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣39．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞810．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．412．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】此题是点集求交集的题，也就是求交点问题，所以此题可以联立方程组，求方程组有几组解就有几个交点，也可以画图求解．【解答】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．答案：A【点评】考查对数的定义域和单调性．3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．4．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），即﹣f（x+4）=f（x），则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，f（90）=f（88+2）=f（2），由﹣f（x+4）=f（x），得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），则f（2）=0，故f（89）+f（90）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e【考点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数F（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【解答】解：由积分运算法则，得=lnx=lne﹣ln1=1因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据= [4]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则=[4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．8．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a，2b=﹣3a，即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．9．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值10．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，求出不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g （x）＜0的解集是解决本题的关键．11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．【解答】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．12．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为6 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为6【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是[1，）∪（9，25] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】集合．【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5∉M进行求解．【解答】解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 1 ．【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．由此利用数形结合思想能求出函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期．【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为 6 ．【考点】数列的求和；导数的运算．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=a x，利用导数的性质求出=a x是增函数，利用+=推导出a=2．从而得到数列{}为{2n}．由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），∴=a x，又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴（）′=＞0，∴=a x是增函数，∴a＞1，∵+=．∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【解答】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）从而m=2．（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1≤a﹣2≤1∴1≤a≤3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到所求切线的方程；（2）构造函数y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证．【解答】（1）解：f（x）=ln的导数为f′（x）==﹣，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；（2）证明：由y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，导数为y′=﹣2（1+x2）=﹣2（1+x2）=，由0＜x＜1可得＞0，即导数y′＞0在（0，1）恒成立，则有函数y=ln﹣2（x+）在（0，1）递增，则有ln﹣2（x+）＞0，故有当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）由斜率计算公式可得f（x）=，再利用函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值时与参数的关系即可得出；（（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒．⇔函数F（x）=f（x）﹣在∈[e2，+∞）单调递减，再利用导数研究其单调性即可．【解答】解：（I）k=f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．故f（x）在x=1处取得极大值1．∵函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，∴，解得，∴实数a的取值范围是．（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒⇔函数F（x）=f（x）﹣在x∈[e2，+∞）单调递减．F（x）=，x∈[e2，+∞）．∴F′（x）=≤0在x∈[e2，+∞）恒成立，∴m≤lnx在x∈[e2，+∞）上恒成立，∴m≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．【考点】综合法与分析法(选修）；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，可得f（x）在（，1）内有唯一零点，利用反证法证明x n+1＜x n；（3）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，证明x n＜+，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1，∴f′（x）=nx n﹣1+（n﹣1）x n﹣2+…+2x+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且连续∵f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，∴f（x）在（，1）内有唯一零点，∴＜x n＜1，假设：x n+1≥x n，∴x n+1n+1+x n+1n+x n﹣2+…+x n+1﹣1＞x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1，∴f（x n+1）＞f（x n），即0＞0，矛盾，∴x n+1＜x n，∴＜x n+1＜x n＜1；（2）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，∵|f（x n）﹣f（）|=|x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1﹣）n﹣…﹣+1|＞x n﹣f（x n）=0，f（）=﹣，∴x n＜+，∴x2+…+x n＜+=+﹣＜∴＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）分别求出C1的直角坐标方程和C2的普通方程，联立方程组能求出C1与C2交点的坐标．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程，联立消元，由其判别式得到压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【解答】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，联立，解得x=﹣，y=．∴C2与C1只有一个公共点：（﹣，）．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程为：：x2+4y2=1，：y=，联立消元得，其判别式，∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．。
湖南省怀化市会同三中2016届高三下学期月考数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年湖南省怀化市会同三中高三(下）月考数学试卷(理科）（1)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求．1．设A={x|y=｝,B=｛y｜y=ln(1+x）}，则A∩B=（)A．（﹣1，+∞) B．（﹣∞,2］ C．（﹣1，2] D．∅2．在正项等比数列｛a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．函数f(x）=3sin(2x﹣+φ），φ∈(0,π）满足f(|x|)=f（x），则φ的值为（) A．B．C． D．4．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0)处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB（其中O为坐标原点)的面积为（)A．4+2B．2C．2 D．5+25．设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，命题乙：设函数f(x）=log a(x ﹣a+2)在区间（1,+∞）上恒为正值,那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈［0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心7．已知函数f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，））的导函数f′（x),若存在x0＜1使得f′（x0)=f（x0）成立，则实数α的取值范围为(）A．（，）B．（0,）C．(，）D．（0,)8．由y=f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则f（x）为(）A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin9．已知实数变量x，y满足,且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．4 B．C．2 D．11．已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数,F1，F2它们的公共焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（)A．B．C．D．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数,若∀x∈R,f′（x）＞﹣2，则不等式f(x﹣1)＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞) C．(，+∞）D．（，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线方程为．14．△ABC中，|｜cos∠ACB=||cos∠CAB=,且•=0，则AB长为．15．正实数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°,则此棱锥内切球体积为．三、解答题:本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣)bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2)若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1,且a2、a4、a8成等比数列，求{｝的前n项和S n．18．在△ABC中，已知tanAtanB=,（1）求tanC的取值范围；（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．19．如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2．(1)证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．20．如图,已知椭圆的离心率为,其左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2,0）．过点D（1,0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ)设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问:是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R,且a为常数）（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围;（2)在（1）的条件下，若方程f(x)+a+1=0在x∈（0，2］上有且只有一个实根，求a的取值范围．请考生在第22,23，24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4—1:几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB;（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．［选修4—4：坐标系与参数方程］23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数）,点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ)求曲线C2的普通方程；（Ⅱ)以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1,C2分别交于A,B两点，求|AB｜．[选修4-5:不等式选讲]24．设不等式﹣2＜｜x﹣1｜﹣｜x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，(1）证明：|a+b｜＜；（2）比较｜1﹣4ab｜与2|a﹣b|的大小,并说明理由．2015—2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（1)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设A={x|y=}，B=｛y|y=ln(1+x）}，则A∩B=(）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞,2]C．（﹣1，2］D．∅【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B的范围，求出A、B的交集即可．【解答】解：A=｛x｜y=｝=｛x｜x≤2｝,B={y｜y=ln（1+x）｝=R则A∩B=(﹣∞，2］,故选:B．2．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是(）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得a1•a4029==16，从而得到a2015=4，由此能求出log2a2015的值．【解答】解：∵在正项等比数列｛a n｝中，a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1•a4029==16，∵a n＞0，∴a2015=4，∴log2a2015=log24=2．故选:A．3．函数f（x）=3sin(2x﹣+φ），φ∈(0,π）满足f（｜x｜）=f（x），则φ的值为（）A．B．C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，由此求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π)满足f（|x|）=f（x)，∴f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z．当k=0时,φ=，故选:C．4．曲线y=（x＞0）在点P(x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A,B，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为()A．4+2B．2C．2 D．5+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数法确定切线方程y﹣=﹣（x﹣x0），从而解出点A,B的坐标,从而求面积．【解答】解：∵y=，∴y′=﹣,故y0=，y′｜=﹣，故直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣x0），令x=0得,y=2,令y=0得，x=2x0，故S=•2•2x0=2，故选C．5．设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，命题乙：设函数f（x）=log a （x﹣a+2）在区间（1,+∞)上恒为正值，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出关于甲、乙成立的a的范围，结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，则判别式△≤0，即4a2﹣4×4≤0，所以a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2．即甲：﹣2≤a≤2．函数f(x）=log a（x﹣a+2）在区间(1,+∞）上恒为正值,即，解得：1＜a≤2，即乙：1＜a≤2，∴甲是乙的必要不充分条件,故选：B．6．已知A，B，C三点不在同一条直线上,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+）,λ∈［0，+∞）,则直线AP一定过△ABC的()A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【考点】三角形五心．【分析】由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解．【解答】解：如图,取BC的中点P并连结AD，则+=，，∵﹣=λ（+）,λ∈［0，+∞)，∴=λ,即A、P、D三点共线，又∵AD为BC边上的中线,∴直线AP一定过△ABC的重心，故选:A．7．已知函数f(x）=lnx+2sinα（α∈（0，）)的导函数f′（x），若存在x0＜1使得f′(x0）=f （x0）成立，则实数α的取值范围为（）A．（,) B．（0，）C．（，）D．(0，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，根据f′（x0）=f(x0)，可得sin α=（﹣ln x0)，由0＜x0＜1，可得sin α的范围，即可得出．【解答】解:∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f(x0），∴=ln x0+2sinα，∴sinα=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1,∴可得（﹣ln x0）＞，即sin α＞，∴α∈（，）．故选:C．8．由y=f(x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则f（x)为（）A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位,即可得到f(x）的图象,再根据y=Asin（ωx+∅)的图象变换规律求得f(x）的解析式【解答】解：由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin（6x﹣）的图象．再把函数y=2sin(6x﹣）的图象向右平移个单位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣)﹣）］=2sin（6x﹣2π﹣)=2sin的图象,故选B．9．已知实数变量x,y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由选项知m＞0，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大为8，即3x+y=8由，解得，即A（2,2），同时A也在2mx﹣y﹣2=0上，∴4m﹣2﹣2=0，得m=1,故选:D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥,AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．11．已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1,F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为(）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆C1: +=1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣=1（m，n＞0)，由题意可得a2﹣b2=m2+n2=c2，运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式，结合条件,化简整理，可得a=3m，c=m，由离心率公式可得．【解答】解：设椭圆C1： +=1（a＞b＞0)，双曲线C2：﹣=1（m，n＞0），由题意可得a2﹣b2=m2+n2=c2,e1=,e2=，由e1e2=1，可得am=c2，设PF1=s,PF2=t,由余弦定理可得，4c2=s2+t2﹣2st•=s2+t2﹣st，由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得，s﹣t=2m，可得s=a+m,t=a﹣m,即有4c2=(a+m)2+（a﹣m)2﹣（a+m）（a﹣m），即为4am=a2+3m2,解得a=m（舍去）或a=3m,c=m，则e1==．故选：D．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，若∀x∈R，f′（x）＞﹣2，则不等式f（x﹣1)＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（）A．（0,1) B．（1，+∞）C．(,+∞) D．（，1）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x)，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=f（x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3（1﹣2x），则g′（x）=f′（x﹣1）+4xlnx﹣4x+6，设h（x）=4xlnx﹣4x+6，则h′（x）=4lnx，由h′（x）＞0得x＞1，由h′（x）＜0得0＜x＜1，即当x=1时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（1）=2，∵f′(x﹣1）＞﹣2,h（x）≥2，∴f′（x﹣1）+h（x）＞﹣2+2=0，即g′（x）=f′(x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3(1﹣2x）＞0,即g（x）在(0，+∞）上为增函数，则当x=1时,g(1）=f(1﹣1)﹣12（3﹣2ln1）﹣3(1﹣2）=0,则不等式f（x﹣1）＜x2(3﹣2lnx)+3（1﹣2x）等价为g(x)＜0,即g(x)＜g（1)，则x＜1,即不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3(1﹣2x）的解集是（0，1），故选:A．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线离心率为2,列出关于a、b的方程，解之得b=a，由双曲线渐近方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y=又∵离心率为e==2，可得c=2a∴c2=4a2，即a2+b2=4a2，可得b= a由此可得双曲线渐近线为y=故答案为：y=14．△ABC中，|｜cos∠ACB=｜|cos∠CAB=，且•=0，则AB长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由两向量数量积为0，根据数量积的定义得出∠ABC=90°，为了用上｜|cos∠ACB=｜｜cos∠CAB=,计算和，下面就要看经计算得到什么，以及能否用得出的结果求出AB的长．【解答】解:由得：∠ABC=90°；,=∴，即：,∴，如右图，A′是延长AB 所得,且AB=BA′，则CA=CA′，,所以；，所以∠ACA′=90°,∴∠CAB=45°,则；所以，即AB长为．15．正实数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足2x+y﹣3=0，可得y=3﹣2x＞0,解得．则==t，化为2tx2﹣(9+3t)x+18=0，令△≥0，解出并验证即可得出．【解答】解：正实数x，y满足2x+y﹣3=0，∴y=3﹣2x＞0，解得．则===t，化为2tx2﹣（9+3t)x+18=0，令△=（9+3t）2﹣8×18t≥0，化为t2﹣10t+9≥0,解得t≥9或t≤1,若=t≤1，化为（x﹣3）2≤0，舍去．∴t≥9，当t=9时，=9，化为（x﹣1）2=0,解得x=1，满足．∴则的最小值为9．另解：∵正实数x，y满足2x+y﹣3=0，∴4x+2y=6,则==3=(2x+y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=1时取等号．∴则的最小值为9．故答案为：9．16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征;球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC 都是正三角形，边长为2,三角形的高为:．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：•h==．棱锥的体积为：V=S底连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，=4×+2×2sin60°=6．∴S全∴=，r=．球的体积为:==．故答案为：三、解答题：本大题共5小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c)2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小;（2)若等差数列｛a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】余弦定理；数列的求和；正弦定理．【分析】(1）由a2﹣(b﹣c）2=（2﹣）bc，化简后利用余弦定理可求cosA，又0＜A＜π,解得A，由sinAsinB=cos2，可得sinB=1+cosC，又C为钝角，解得cos（C+）=﹣1，从而可求C,进而求得B的值．（2）设｛a n｝的公差为d，由已知得a1=2，且（a1+3d）2=(a1+d）（a1+7d）．解得d=2．a n=2n．由==．即可用裂项法求和．【解答】解：(1)由a2﹣(b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π,∴A=，由sinAsinB=cos2,可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0,则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC,∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…(2）设｛a n}的公差为d，由已知得a1=,且a24=a2a8．∴(a1+3d)2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0,∴d=2．∴a n=2n．…∴==．∴S n=(1﹣)+（）+…+（）=1﹣=．…18．在△ABC中，已知tanAtanB=，（1）求tanC的取值范围；（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．【考点】解三角形；两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】(1）利用两角和的正切函数以及基本不等式化简求解tanC的取值范围．（2）利用已知条件表示出三角形的面积，然后求解最小值．【解答】解：（1)在△ABC中,已知tanAtanB=,tanA＞0,tanB＞0tanC=﹣tan（A+B）=﹣=3（tanA+tanB）≥=4,当且仅当tanA=tanB=时，取等号．tanC的取值范围：[4）．（2)△ABC边AB上的高CD=2．可得三角锥的面积为:===≥=2．当且仅当tanA=tanB=时，取等号．三角形面积的最小值为：2．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1)证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以C为原点，CD为x轴,CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明:(1）∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC,CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系，B（0，2，0），D（2,0,0)，E（0，0，2），A（2，1,0），G（0，2,1)，设平面BDE的法向量为=（x，y，z）,=(0，2，﹣2），=(2，0，﹣2）,∴，取x=1，得=（1,1，1），∵=(﹣2,1，1），∴=0，∴⊥，∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．解：（2）设平面ADE的法向量=(a,b，c），=（0，1，0），=（﹣2，0,2)，则,取x=1，得=（1，0，1），由(1）得平面BDE的法向量为=(1，1，1），设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为．20．如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（﹣2，0）,A2（2，0）．过点D(1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ,使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得a,结合离心率得c,再由隐含条件求得b得答案；（Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2)，直线NA2的方程为y=k2（x﹣2)．分别联立直线方程和椭圆方程求得M，N的坐标,结合M，D，N三点共线可得k2=3k1．说明存在λ=3,使得结论成立．【解答】解：(Ⅰ)依题意可知a=2．∵，∴c=，得．∴椭圆C的方程为：；(Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2),直线NA2的方程为y=k2（x﹣2）．联立方程组，得．解得点M的坐标为（，），同理，可解得点N的坐标为(，）．由M，D，N三点共线,得=，化简有(4k1k2+1）(k2﹣3k1)=0．∵k1,k2同号，∴4k1k2+1＞0，则k2=3k1．故存在λ=3，使得结论成立．21．已知函数f（x)=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数）(1）若对于任意的x∈(1，+∞)，都有f（x)＞0成立，求a的取值范围;（2）在(1）的条件下，若方程f(x）+a+1=0在x∈(0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1)=（x﹣1）（2﹣）,且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；（2)化简f(x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解:(1）∵f(x）=(x﹣1）2+a(lnx﹣x+1)，∴f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1)=（x﹣1）（2﹣）;且f（1）=0+a（ln1﹣1+1)=0,①当a≤2时，f′（x）＞0在(1，+∞)上恒成立,故f(x）＞=f（1)=0；②当a＞2时，可知f（x）在（1，)上是减函数，在（,+∞）上是增函数；故f(）＜0；综上所述，a≤2;（2）f（x)+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，当a＜0时，f（x）+a+1在（0，1］上是减函数，在（1，2]上是增函数；且（（x﹣1)2+a（lnx﹣x+1)+a+1）=+∞，f（1）+a+1=a+1,f（2）+a+1=1+a（ln2﹣1)+a+1;故a+1=0或1+a(ln2﹣1)+a+1＜0；故a=﹣1或a＜﹣；当a=0时,f（x)+a+1=（x﹣1）2+1＞0，故不成立；当0＜a＜2时，f（x）+a+1在（0，］上是增函数，在（，1]上是减函数，在（1，2］上是增函数；且（（x﹣1)2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=﹣∞,f（1)+a+1=a+1＞0，故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根,当a=2时，f（x）+a+1=（x﹣1)2+2(lnx﹣x+1）+2+1=(x﹣1)2+2（lnx﹣x+1）+3，故f（x)在（0，2]上是增函数；且（（x﹣1）2+2(lnx﹣x+1)+3）=﹣∞,f（1）=3＞0；故方程f（x）+a+1=0在x∈(0,2］上有且只有一个实根，综上所述，a＜﹣或a=﹣1或0＜a≤2．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．［选修4—1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；(Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I)欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD,因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…(Ⅱ）因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE,因此2AD•CD=AC•BC．…［选修4-4：坐标系与参数方程］23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点,点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程;（Ⅱ）以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y)，M（x′，y′），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入,消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,分别利用极坐标方程表示两个曲线,求出A,B的极坐标，得到AB长度．【解答】解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．设P（x，y），M（x′，y′）,则x=2x′，y=2y′，并且，消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3，所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2)2+y2=12；(Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB｜=4﹣2=2．［选修4—5：不等式选讲］24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明:|a+b|＜；(2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小,并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：｜a+b｜＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较｜1﹣4ab|与2|a﹣b｜两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解:（1）记f(x）=|x﹣1|﹣｜x+2｜=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴,所以｜a+b｜≤｜a|+|b｜＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜,b2＜．因为｜1﹣4ab|2﹣4｜a﹣b｜2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4(a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以｜1﹣4ab｜2＞4|a﹣b｜2，故｜1﹣4ab|＞2｜a﹣b｜．…2016年10月27日。
江西师大附中2016-2017学年度高三上学期第三次月考试卷数学
江西师大附中高三年级数学（理）月考试卷命题人：曾 敏 审题人：李清荣 2016. 12 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．定义集合(){(){}2,log 22x A x f x B y y ====+，则RA B =（ ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ．[)0,1D ．[)0,22．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为( )A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．下列说法正确的是（ ）A ．R a ∈，“11<a”是“1>a ”的必要不充分条件 B ．“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”D ．命题p ：“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x ”，则p ⌝是真命题4．已知向量,a b 满足()2,3a a b a =⋅-=-，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．23-B ．23C ．12-D ．125．为了得到函数3cos2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点( ) A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位6．已知等差数列{}n a 满足357217,26,(),1n n a a a b n N a *=+==∈-数列{}n b 的前n 项 和为,n S 则100S 的值为（ ）A ．10125B ．3536C ．25101D ．3107．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（,,,*a b c d N ∈），则b d a c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为A ．227B ．6320C ．7825D ．109358．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为( )．A ．1B ．3C ．19D ．499．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ -的最小值为（ ）A ．55B ．23C ．22D ．110．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为AA 1的中点．M ，N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ，N 运动时，下列结论中不正确．．．的是( ) A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π11.已知关于x 的方程2||2x k k x -=在区间[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. 02k <≤B. 03k <≤C. 02k <≤D. 01k <≤ 12．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，底边BC 在平面α内,绕BC 旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是 （ ）A ．(0,6]B ．6(0,][6,3]2C ．6(0,]2D ． 36(0,6][3,]2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．在计算“1×2+2×3+．．．+n （n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k （k+1）=1[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k ++--+由此得1×21(123012)3=⨯⨯-⨯⨯．123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯．．．．．．．．．．．．．B 11M1(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n +=++--+.相加，得1×2+2×3+．．．+n （n+1）1(1)(2)3n n n =++类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+．．．．(1)(2)n n n +++”，其结果是__________． （结果写出关于n 的一次因式．．．．的积．．的形式） 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 ．15．若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为______16．已知函数2(0)()(0)x x x f x e x -->⎧=⎨-≤⎩，若关于x 的方程[()]0f f x m +=恰有两个不等实根1x 、2x ，则12x x +的最小值为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+- （Ⅰ）求角B （Ⅱ）若3,cos b A =求ABC ∆的面积。
2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|x2+2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．[0，4]B．[﹣2，6]C．[0，2]D．[﹣4，6]2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C．D．y=﹣log2x4．（5分）命题“∀x∈R，都有|sinx|＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有|sinx|＞1 B．∀x∈R，都有|sinx|≥1C．∃x∈R，使|sinx|＞1 D．∃x∈R，使|sinx|≥15．（5分）某年级有900名学生，随机编为001，002，…，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015被抽到了，则下列编也被抽到的是（）A．036 B．081 C．136 D．7386．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．7．（5分）设向量，满足=（1，2），=﹣5，在方向上的投影是（）A．B．C．﹣D．﹣8．（5分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（）A．方案①降低成本，票价不变，方案②提高票价而成本不变；B．方案①提高票价而成本不变，方案②降低成本，票价不变；C．方案①降低成本，票价提高，方案②提高票价而成本不变；D．方案①提高成本，票价不变，方案②降低票价且成本降低9．（5分）给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（）A．B．C．D．11．（5分）在某次物理实验中，得到一组不全相等的数据x1，x2，x3，…，x n，若a是这组数据的算术平均数，则a满足（）A．（x i﹣a）最小B．|x i﹣a|最小C．（x i﹣a）2最小D．|x i﹣a|最小12．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=2，若函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）=（）A．n B．2n C．3n D．4n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）二项式展开式中的常数项为．（用数字作答）14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．15．（5分）已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是．16．（5分）在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD 的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=4，求证：+..+＜．18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，点D是SC的中点，且平面ABD⊥平面SAC（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAC（Ⅱ）若SA=2AB=3AC，求二面角S﹣BD﹣A的余弦值．19．（12分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．20．（12分）如图，过椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|=+1．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数），f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（lna+x）＞f（lna﹣x）；（Ⅲ）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：．[选修4-4：坐系与参数方程]22．（10分）直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C解得的弦长为，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（I）若不等式f（x）≤a的解集为（﹣∞，]．求a的值；（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m，求m的取值范围．2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|x2+2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．[0，4]B．[﹣2，6]C．[0，2]D．[﹣4，6]【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）≤0，解得：﹣4≤x≤2，即B=[﹣4，2]，∵A=[0，6]，∴A∩B=[0，2]，故选：C．2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：由zi=﹣1+i，得，∴，故选：A．3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C．D．y=﹣log2x【解答】解：A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数；∴y=x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．（5分）命题“∀x∈R，都有|sinx|＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有|sinx|＞1 B．∀x∈R，都有|sinx|≥1C．∃x∈R，使|sinx|＞1 D．∃x∈R，使|sinx|≥1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，|sinx|＜1的否定是：∃x∈R，|sinx|≥1．故选：D5．（5分）某年级有900名学生，随机编为001，002，…，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015被抽到了，则下列编也被抽到的是（）A．036 B．081 C．136 D．738【解答】解：样本间隔为900÷150=6，因为015被抽到了，081=015+6×11，所以081也被抽到．故选：B．6．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．7．（5分）设向量，满足=（1，2），=﹣5，在方向上的投影是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵=（1，2），=﹣5，∴在方向上的投影＜＞=．故选：C．8．（5分）如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（）A．方案①降低成本，票价不变，方案②提高票价而成本不变；B．方案①提高票价而成本不变，方案②降低成本，票价不变；C．方案①降低成本，票价提高，方案②提高票价而成本不变；D．方案①提高成本，票价不变，方案②降低票价且成本降低【解答】解：根据题意和图知，方案①：两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图看出，方案②：当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故选：B．9．（5分）给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．10．（5分）已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+）（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，∴2kπ≤ωx+＜≤2kπ+π，求得﹣+≤x≤+（k∈Z）．∵f（x）在（﹣，）上单调递减，∴﹣≤﹣，且≥，求得0＜ω≤，故选：D．11．（5分）在某次物理实验中，得到一组不全相等的数据x1，x2，x3，…，x n，若a是这组数据的算术平均数，则a满足（）A．（x i﹣a）最小B．|x i﹣a|最小C．（x i﹣a）2最小D．|x i﹣a|最小【解答】解：根据题意，由加权平均数性质可知：加权平均数表示“平均水平”，即（x1+x2+x3+…+x n）×=．要使（x i﹣a）2最小，即a=x i，当x i等于加权平均数，即x i=x i时（x i﹣a）2的值最小．故选：C12．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=2，若函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）=（）A．n B．2n C．3n D．4n【解答】解：∵∀x∈R，有f（2﹣x）+f（x）=2，令x1+x2=2，可得x2=2﹣x1，可得f（x1）+f（x2）=2，函数的对称中心（1，1）．函数g（x）==1+，函数的对称中心（1，1），函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），交点的坐标关于（1，1）对称，则（x i+y i）==2n．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）二项式展开式中的常数项为﹣540．（用数字作答）【解答】解：∵由T r=•（3x）6﹣r•（﹣x﹣1）r=•36﹣r•（﹣1）r•x6﹣2r，+1∴当6﹣2r=0时得r=3，∴二项式展开式中的常数项为×33×（﹣1）=﹣540．故答案为：﹣540．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为8π+2．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故答案为8π+2．15．（5分）已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是﹣2．【解答】解：∵x2+y2﹣2x+4y+1=0，∴（x﹣1）2+（y+2）2=4，由题意作图如下，，结合图象可得，Q（2，0）当CPQ共线，如上图时，有最小值；|PQ|=|CQ|﹣|CP|=﹣2=﹣2，故答案为：﹣2．16．（5分）在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为2．【解答】解：连结BD，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA，在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC．∴5﹣4cosA=13﹣12cosC，∵A+C=180°，∴cosA=﹣cosC．∴cosA=﹣． ∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA +BC ×CD ×sinC=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4，求证：+..+＜．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=1， 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=，当n=1时，上式也成立， ∴a n ═，（Ⅱ）证明：b n =4=2n +1，∴=，∴+..+=++…+==（1﹣）＜．18．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，点D 是SC 的中点，且平面ABD ⊥平面SAC（Ⅰ）求证：AB ⊥平面SAC（Ⅱ）若SA=2AB=3AC ，求二面角S ﹣BD ﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在平面SAC中，过点S作SH⊥AD，垂足为H，∵平面ABD⊥平面SAC，平面ABD∩平面SAC=AD，∴SH⊥平面ABD，∴AB⊥SH．又SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA．∵SA∩SH=S，∴AB⊥平面SAC；（Ⅱ）解：不妨设AC=2，AB=3，AS=6，由（Ⅰ）知，AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，2，0），S（0，0，6），D（0，1，3）．设平面ABD的一个法向量，则，取z1=1，得．同理可得平面SBD的一个法向量．∴cos＜＞==．∴二面角S﹣BD﹣A的余弦值为﹣．19．（12分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，∴该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率：p==0.32．（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6，P（ξ=0）=0.5×0.5=0.25，P（ξ=2）==0.3，P（ξ=3）=，P（ξ=4）==0.09，P（ξ=5）==0.12，P（ξ=6）=0.2×0.2=0.04，∴ξ的分布列为：Eξ=0×0.25+2×0.3+3×0.2+4×0.09+5×0.12+6×0.04=2.4．20．（12分）如图，过椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|=+1．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），∴k OP=﹣，k AB=﹣．由AB∥OP，∴﹣=﹣，解得b=c，a=c，由|AF|=a+c=+1得b=c=1，a=，故椭圆E的方程为+y2=1．（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y=kx代入+y2=1，得x2=，则x1=，x2=﹣．由A（，0），B（0，1）得|AB|=，且AB：x+y﹣=0，d1=，d2=﹣，S=|AB|（d1+d2）=[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]=（1+k）（x1﹣x2）=，S2=2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2=1时取等，∴当k=时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数），f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（lna+x）＞f（lna﹣x）；（Ⅲ）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：．【解答】证明：（Ⅰ）∵f′（x）=e x﹣a．当a≤0时，则f′（x）=e x﹣a＞0，即f（x）在R上是增函数，当a＞0时，由f′（x）=e x﹣a=0，得x0=lna．当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，（Ⅱ）证明：设g（x）=f（lna+x）﹣f（lna﹣x）（x＞0）=[e lna+x﹣a（lna+x）]﹣[e lna﹣x ﹣a（lna﹣x）]=a（e x﹣e﹣x﹣2x），∴g′（x）=a（e x+e x﹣2）≥2a﹣2a=0，当且仅当x=0时等成立，但x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，所以g（x）＞g（0）=0∴不等式f（x0+x）＞f（x0﹣x）恒成立．（Ⅲ）由（I）知，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最小为f（lna），且f（lna）＜0．设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜lna＜x2．由（II）得f（2lna﹣x1）=f（lna+lna﹣x1）＞f（x1）=0．∵2lna﹣x1=lna+（lna﹣x1）＞lna，x2＞lna，且f（x）在（lna，+∞）上是增函数又f（2lna﹣x1）＞0=f（x2），∴2lna﹣x1＞x2．于是＜lna，∵f（x）在（﹣∞，lna）上减函数，∴．[选修4-4：坐系与参数方程]22．（10分）直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C解得的弦长为，求实数a的值．【解答】解：（1）把化为普通方程为x+2y+2﹣a=0，把ρ=2cos（θ+）化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，其的圆心C的坐标为（1，﹣1），半径为，∴圆心C到直线l的距离d===．（6分）（2）由已知（）2+（）2=（）2，∴a2﹣2a=0，即a=0或a=2．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（I）若不等式f（x）≤a的解集为（﹣∞，]．求a的值；（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，其图象如下：…（3分）当x=时，f（x）=0．当x＜时，f（x）＜0；当x＞时，f（x）＞0．所以a=0．…（6分）（Ⅱ）f（x）＜m2﹣4m．因为f（x）的最小值为﹣3，所以问题等价于﹣3＜m2﹣4m．解得m＜1，或m＞3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
2016年高考数学(新课标版) 专题06 三角化简求值 含解析
2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】 热点六 三角化简求值 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】；2.【2013⋅新课标全国】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）5【答案】D ；【解析】因为225cos 10A -=,且锐角△ABC,故1cos 5A =,故2222cos a b c bc A =+-,解得5b =.3.【2014高考全国1文】若0tan >α,则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 【答案】C 【解析】试题分析：由sin tan 0cos ααα=>,可得：sin ,cos αα同正或同负,即可排除A 和B,又由sin 22sin cos ααα=⋅,故sin 20α>.4.【2014全国1高考理】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C5.【2015全国1理】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.A.．12- D ．12B.原式sin 20cos10cos 20sin10=+=1sin 302=.故选D ． 【热点深度剖析】三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查． 2013年试题主要考查三角恒等变换,及倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力. 2014年的试题文主要考查三角函数的同角的三角函数关系,理科考查三角函数的同角的三角函数关系,三角恒等变换.2015主要考查两角和与差的三角函数公式.通过三年试题来看,二倍角公式,同角的三角函数关系是考试的重点．从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、三角形中三角恒等变化,向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题．预测2016年会加大对三角客观题考查的力度,同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角恒等变换是考查重点． 【重点知识整合】 一．三角函数诱导公式1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2nπα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号； 2.对于形如3,()22a a k Z ππ±±∈即满足2nπα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把α看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤：(1)负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于360的角时,可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时,可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角. 二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±. 变形式：()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式：()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ；()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.三．二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；二倍角的正切公式:tan 2α= 22tan 1tan αα- .2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用,⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换. 【应试技巧点拨】1. 利用诱导公式求值：给角求值的原则和步骤 (1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数,然后求值,其步骤为：给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系,若出现2π的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 4. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 5.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧.6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等. (2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定,θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.【考场经验分享】1．在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点．OP r =一定是正值．2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k ∈Z)的形式时,需要对k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负．4.重视三角函数的“三变”： “三变”是“变角”,“ 变名”,“ 变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．4．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角如()ββαα-+=,()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.5．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.6．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化.7．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 8．变为主线、抓好训练变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律.针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.三角函数求值中要特别注意角的范围,如根据21cos2sin2αα-=求sinα的值时,sinα=中的符号是根据角的范围确定的,即当α的范围使得sin0α≥时,取正号,反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．9.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题与填空题的中间位置,但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理,如果一时想不到化简的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响,因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,学生应有必胜的信心.【名题精选练兵篇】ns s i2cos B ＋2sin B =,B.tanα=2,则=． B ． C ． D ．=sinαcosα===,tanx=,（+x ．B ．C ．D ．tanx=+x==+ ++=,10．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】已知sin 2cos αα=,则tanα=2tan则= 【答案】：∵tanα=2tan,======== ,故答案为：．sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【解析】由题意3sin 5α=-,因为α是第三象限的角,所以4cos 5α=-,因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------. 13. 【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期联合考试】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点()1,2P --,则sin 2θ 等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】D.【解析】根据任意角的三角函数的定义,sin θ=,cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ==.14. 【宿迁市2015届高三年级摸底考试】若1cos()33απ-=,则sin(2)απ-6的值是 ． 【答案】97-. 【解析】9719121)3(cos 2)322cos()2322sin()62sin(2-=-⨯=--=-=+-=-παπαππαπα.15. 【浙江省效实中学2015届高三上学期期末考试】化简：22cos ()12πα--=A ．cos αB ．cos α-C ．cos 2αD ．cos 2α- 【答案】D 【解析】22cos ()12πα--=ααπαπ2cos )2cos()2(2cos -=-=-,答案D.16. 【拉萨中学高三年级（2015届）第三次月考试卷】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，, 8732sin =θ,则θsin =（ ）A. 53B. 54C. 47D. 43或47【答案】D.17. 若202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,cos()42πβ-=则cos()2βα+= A ．33B ．33-C ．935 D ．96-【答案】C. 【解析】因为202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,所以4344παππ<+<,且322)4sin(=+απ；又因为cos()42πβ-=且02<<-βπ,所以2244πβππ<-<,且36)24sin(=-βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+,所以)24sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+935363223331=⨯+⨯=．故应选C. 18. 【北京101中学2014—2015学年度高三第一学期期中模拟】在ABC ∆中,若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 .【答案】2【解析】因为C B A cos cos 2sin =,所以()2tan tan cos sin cos sin sin cos cos 2=+⇒+=+=C B B C C B C B C B【名师原创测试篇】1. 若锐角θ满足3sin 5θ=,则tan(2)4πθ-的值为（ ） A.1731 B.1625 C.3117- D.2516- 【答案】A2. 已知1sin 22α=,则11tan tan 2αα-=____． 【答案】2【解析】由已知得2222sin cos 2tan 1sin 2sin cos 1tan 2ααααααα===++,所以11tan tan 2αα-=2211tan 1tan 2tan 2tan 2tan ααααα-+-==． 3. 已知第三象限角α的终边经过点P ()3,4a a ,则cos α=( ) A.35 B.45 C.35- D.45- 【答案】C【解析】由题可得,因为角α是第三象限角,所以0a <,根据三角函数的概念可得33cos 55a a α===--,故选C. 4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果S 的值为（ ）C.12- D.12cos3。
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⒌ Direchlet 函数定义为：D(t ) = ⎨1t ∈ Q，关于函数 D (t ) 的性质叙述不正确的是（ 0 t ∈ Q⎩ ⒎ 把函数 y = A s in(ωx + φ)(ω > 0,| φ |< ) 的图象向左平移 个单位得到 y = f (x ) 的图象（如6B ． 63D .C . -池 州 一 中 2016-2017学年度高三月考数 学 试 卷 ( 理科 )第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.⒈ 已知 M = {x | y = x 2 - 1} ， N = { y | y = x 2 - 1} ，则 M N = （ ）A ． ∅B ．RC ．MD ．N⒉ 设 a = 30.5 , b = log 2, c = cos 32π 3，则（ ）A ． c < b < aB ． a < b < cC ． c < a < bD ． b < c < a⒊ 设 [ x ] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y = lg[x] 的定义域为 ()A ． (0, +∞)B ． [1,+∞)C ． (1,+∞)D ． (1,2)⒋ 设 a 为实数，函数 f ( x ) = x 3 + ax ( x ∈ R) 在 x = 1 处有极值，则曲线 y = f ( x ) 在原点处的切线方程为()A ． y = -2xB ． y = -3xC ． y = 3xD ． y = 4xR ）A ． D(t ) 的值域为 {0,1}B ． D(t ) 为偶函数C ． D(t ) 不是周期函数D ． D(t ) 不是单调函数⒍ 命题“函数 y = f ( x )(x ∈ M ) 是奇函数”的否定是（）A ． ∃x ∈ M , f (- x ) ≠ - f ( x )B ． ∀x ∈ M , f (- x ) ≠ - f ( x )C ． ∀x ∈ M , f (- x ) = - f ( x )D ． ∃x ∈ M ， f (- x ) = - f ( x )π π23图），则 ϕ = （）A ． - ππ ππ 3⒏ 已知向量 a = 6 ， b = 3 ， a ⋅ b = -12 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是（ ）A ． -4B ． 4C ． -2D ． 2⎧⎛ 1 ⎫x⒐ 设函数 f (x)= ⎨⎝ 3 ⎪⎭ ⎩. 1 . - 1 + . 1 + . - + ⒑ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f ⎛ - + x ⎫⎪ = f ⎛ + x ⎫⎪ .当 x ∈ ⎛ 0, ⎫⎪ 时，⒒已知函数 f ( x ) = ⎨⎧log x ⎩ 3 x ≤ 0 ，则 f [ f ( ⒔ 已知 α ∈ ⎛ ， ⎫⎪ ， tan (α - 7π ) = - ，则 sin α＋cos α =.( )（Ⅱ）若方程 f (x) - k = 0 在区间 ⎡⎢0,⎤⎥ 上有实数根，求 k 的取值范围.(a > 0, b > 0) 的图象形如汉字“囧” .⎪ - 8 x <0⎪ x 2 +x - 1 x ≥ 0 ，若 f (a)＞1 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A （- 2，） B （- ∞， 2）（， ∞） C（， ∞） D （- ∞， 1）（0， ∞）3 3 3 ⎝ 2⎭⎝ 2⎭⎝ 2 ⎭f ( x ) = ln (x 2 - x + 1)，则函数 f ( x ) 在区间[0,6]上的零点个数是()A ．3B ．5C ．7D ．9第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，计 25 分.x4 x > 0 116)] = .⒓ 一物体沿直线以 v(t) = 2t - 3 （ t 的单位：秒， v 的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻 t = 0 到 5 秒运动的路程 s 为米.π 3π 3 ⎝ 2 2 ⎭4⒕ 已知含有 4 个元素的集合 A ，从中任取 3 个元素相加，其和分别为 2， 0 ， 4 ，3，则A =.⒖ 函数 f (x) =b，故称其为“囧函数”下列命题正确 x - a的是.①“囧函数”的值域为 R ；②“囧函数”在 (0, +∞) 上单调递增； ③“囧函数”的图象关于 y 轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象至少有一个交点.三、解答题：本大题共 6 小题，计 75 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. ⒗（本小题满分 12 分）已知向量 m = 2cosx, - 3sin 2x ， n = (cos x,1) ，设函数 f ( x ) = m ⋅ n , x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间；π ⎣ 2 ⎦'3，求∆ABC的面积.⒘（本小题满分12分）已知命题p:实数x满足-2≤1-x-13≤2；命题q：实数x满足x2-2x+(1-m2)≤0(m>0)，若⌝p是⌝q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.⒙（本小题满分13分）已知f(x)=x⋅e x，f(x)=f'(x)，f(x)=f(x)，…，f(x)=f'(x)(n∈N*).01021n(n-1)（Ⅰ）请写出的f(x)表达式（不需证明）；n（Ⅱ）求f(x)的极小值y=f(x)；n n n n（Ⅲ）设g(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g(x)的最大值为a，f(x)的最小值为b，试求a-bn n n的最小值.⒚（本小题满分12分）已知∆ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，设向量m=(a,b)，n=(sin B,sin A)，p=(b-2,a-2).（Ⅰ）若m//n，求证：∆ABC为等腰三角形；（Ⅱ）若m⊥p，边长c=2，∠C=π⒛（本小题满分12分）求平行四边形 ANPM 和三角形 ABC 的面积之比ANPM . x < 0（其中 k 和 h 均为常数）；⎧ +如图 ,在 ∆ABC 中,设 AB = a , AC = b , AP 的中点为 Q , BQ 的中点为 R , CR 的中点恰为P .（Ⅰ）若 AP =λa +μb ,求 λ 和 μ 的值;（Ⅱ）以 AB , AC 为邻边, AP 为对角线,作平行四边形 ANPM ,SS∆ABC21.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) 在 R 上有定义，对任意实数 a > 0 和任意实数 x ，都有 f (ax) = af ( x ) . （Ⅰ）证明 f (0) = 0 ；（Ⅱ）证明 f ( x ) = ⎨kx⎩hx x ≥ 0（Ⅲ）当（Ⅱ）中k > 0 的时，设 g (x) = 1 f (x) + f (x) ( x > 0) ，讨论 g ( x ) 在（0， ∞）内的单调性.3 ≤ 2k π + π ，解得 - + k π , + k π ⎥ (k ∈ z) 上单调递减。
即 f ( x) 在每一个闭区间 ⎢-（Ⅱ）由 f ( x) - k = 0 ，得 k = f ( x) ，故 k 在 y = f ( x)( x ∈ ⎢0,π 3⎦2 ,3 ≤ 2 x + ∴ - 1 ≤ cos(2 x + ) ≤ ∴- 1 ≤ y ≤ 2,即 k ∈ [-1,2]17．解：令 A = ⎨ x -2 ≤ 1 - ≤ 2⎬ = {x -2 ≤ x ≤ 10} 3 x x 2 - 2 x + (1- m 2 ) ≤ 0 (m > 0)池州一中 2017 届高三第三次月考(10 月)数学（理科）答案一、选择题：题号答案1D2A3C4B5C6A7C8A9B10D二、填空题题号 11 12 13 14 15答案19 10- 1 5{0,1, - 1,3}③⑤三、解答题⒗（本小题满分 12 分）解： f ( x ) = m ⋅ n = 2cos 2 x - 3sin 2 x = cos2 x - 3sin 2 x + 1 = 2cos(2 x +π3 ) + 1（Ⅰ） T = 2π 2= π ，由 2k π ≤ 2 x +ππ 6 + k π ≤ x ≤ π3 + k π (k ∈ z ) ，⎡ π ⎤ ⎣ 6⎦⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎥) 的值域内取值即可.0 ≤ x ≤ π ∴ ππ 4≤ π ,3 3π 13 2⎧ ⎩ x - 1 ⎫⎭B = {}= {x 1 - m ≤ x ≤ 1 + m (m > 0)}∵ “若 ⌝p 则 ⌝q ”的逆否命题为 “若 q 则 p ”,又 ⌝p 是 ⌝q 的必要不充分条件，∴ q 是 p 的必要不充分条件，∴A ⇒ B ，故 ⎨1 - m ≤ -2 ⇒ m ≥ 9 ⎪10 ≤ 1 + m ) 2 ∴ S = 1 m p = ( )⎧m > 0 ⎪⎩18．解：（Ⅰ） f ( x ) = ( x + n)e x (n ∈ N * ) n（Ⅱ） f ' ( x ) = ( x + n + 1)⋅ e x (n ∈ N * )n令f ' ( x ) = 0, x = -n -1n当x > -n - 1时, f '( x ) > 0, 当x < -n - 1时, f ' ( x ) < 0nn∴ f ( x ) 在 (-∞, -n - 1) 上单调递减，在 [-n - 1,+∞ )上单调递增。
n故 f ( x )n极小值= f (-n - 1) = -e -(n +1) ；n（Ⅲ） g ( x ) = -( x + n + 1)2 + n 2 - 6n + 9 ≤ n 2 - 6n + 9 (当x = -n - 1时取最小值 )n∴ a = n 2 - 6n + 9 ，由（Ⅱ）知 b = -e -(n +1) ，从而令 h(n) = a - b = n 2 - 6n + 9 + e -(n +1)h '(n) = 2n - 6 - e -(n +1) 在 [1,+∞ )上为增函数，且 h '(n) ≥ h(1) = -4 - e -2 < 0而 h '(3) = -e -4 < 0 h '( 4 = - e -5 >∴∃ x ∈ (3,4) ，使得 h '( x ) = 0则 h (n ) 在 [1, x ]上单调递减，在 [x , +∞)上单调递增，而 h (3) = e -4 ， h(4) = 1 + e -5 > h(3)∴ (a - b )max= e-419.【解析】证明：（Ⅰ）∵ m ∥ n ，∴ a sin A = b s in B ，即 a ⋅ a b = b ⋅2R 2R，其中 R 是 ∆ABC 外接圆半径， a = b --------（5 分）∴∆ A BC 为等腰三角形 --------（6 分）uv uv 解（Ⅱ）由题意可知 m ⊥ n0,即a(b - 2) + b (a - 2) = 0 ，∴ a + b = ab --------（8 分）由余弦定理可知， 4 = a 2 + b 2 - ab = (a + b )2 - 3ab即(ab)2 - 3ab - 4 = 0∴ a b =4 舍去 a b = -1---------（10 分）1π ab sin C = ⋅ 4 ⋅ s in = 3 ………………………（12 分）2 2 320．（1）解：∵Q 为 AP 中点，∴ QP = 1⎪⎪ 7 ⎪⎪ 2ANPM = AN ⋅ AM ⋅ sin A S ABC 2⎩ ⎩⎪f ( ( ( ( 综合②、③、④得 f (x ) = ⎨λuAP = a + ⋅ bP 为 CR 中点，2 2 2∴ PR = CP = AP - AC = λ a + (u - 1)b同理： RQ = BR = 1 1 1 λ μ 1 λ μBQ = ( A Q - AB) = ( a + b - a ) = ( - 1)a + b2 2 2 2 2 2 2 4（2） Sλ μ 1 λ μ而 QP + PR + RQ = 0 ∴ a + b + λa + (μ - 1)b + ( - 1)a + b = 02 2 2 2 4⎧ λ 1 λ ⎧ 2+ λ + ( - 1) = 0 λ =2 2即 ⎨ ⇒⎨⎪ μ + μ - 1 + μ = 0 ⎪μ = 4 ⎪ 2 4 7= 1AB ⋅ AC ⋅ s i n A∴ S SAN ⋅ AM ⋅ s in A AN AM 2 4 16ANPM = = 2 ⋅ ⋅ = 2 ⨯ ⨯ =1 AB AC 7 7 49 ABC AB ⋅ AC ⋅ s in A221. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。