第8章 代数方程和常微分方程求解

M文件运行结果： 采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015






对于二维方程组图解，其解就是两条函数曲线的 交点所对应的坐标数值。如果只有1个交点（或切 点），则表示该方程组有1个解；如果有2个交点， 则表示该方程组有2个解；如果没有交点，则表示 该方程没有解。 例8-1 用图解法求解二维联立方程。 a=-2;b=2; % 定义横轴区间 ezplot('x^2+y^2-1.69',[a,b]); axis 'equal'; % 控制坐标轴比例相等 hold on;grid on; ezplot('2.4*x^3-y+1.5',[a,b]); line([a,b],[0,0]);line([0,0],[b,a]); xlabel('\bf x');ylabel('\bf y'); title('\bf 二维代数方程组的图解法')










x 例8-4 求解一维非线性方程f x a r c t a n x e 0 % 求解单变量x非线性方程 x0=0.1; % 解的初值 [xz,fz,flag]=fzero('atan(x)+exp(x)',x0); disp(' 求解成功性判断参数：'), flag disp(' 非线性方程的解：'),xz disp(' 非线性方程解的函数值：'),fz M文件运行结果： 求解成功性判断参数： flag = 1 非线性方程的解： xz = -0.6066 非线性方程解的函数值： fz = -1.1102e-016



x xy a 0 2 y xy b 0
2




% 二维非线性方程组的解析解 syms a b x y; f1='x^2-x*y-a'; f2='y^2-x*y+b'; disp(' 二维非线性方程组的解析解：') [X,Y]=solve(f1,f2,'x,y') M文件运行结果： 二维非线性方程组的解析解： x = a/(a-b)^(1/2) -a/(a-b)^(1/2) Y = 1/(a-b)^(1/2)*b -1/(a-b)^(1/2)*b




% 线性方程组的数值解 AA=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11]; bb=[5;-2;-2;0]; % 线性方程组常数向量 disp(' 采用矩阵左除求出线性方程组的解：') xx=AA\bb disp(' 采用矩阵求逆求出线性方程组的解：') zx=inv(AA)*bb disp(' 计算残量：') r=AA*zx-bb disp(' 计算残量的模：') R=norm(r)
8.1 代数方程求解


8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解 法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一 维方程或二维方程组。 对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点 所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该 方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没 有解。 例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的 图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内 与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个 实根。


8.1.3 线性方程组的数值解
最简便方法是使用矩阵左除或是矩阵求逆的方法， 求解线性方程组AX=b。 X= A\b X=inv(A)*b 其中，A是方程组的系数矩阵，b是常数向量，X是 解析解。 例8-3 求线性方程组的数值解 x1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 x x 4 x 2 1 2 3 4 2 x1 3 x 2 x 3 5 x 4 2 3 x1 x 2 2 x 3 11 x 4 0


8.1.4 非线性方程的数值解
1、一维非线性方程 对于一维非线性方程求解，可以看作是单变量的 极小化问题，通过不断缩小搜索区间来逼近一维 问题的真解。因此，可以使用一维非线性方程优 化解函数来求解。其调用格式是： [x,fx,flag]=fzero(fun,x0) 其中，输入参数中：fun是非线性方程的函数表达 式；x0是根的初值； 输出参数中：x是非线性方程的数值解；fx是数值 解的函数值；返回参数flag>0时，表示求解成功， 否则求解出现问题。 函数fzero所使用的算法为二分法、secant法和逆 二次插值法的组合。


gtext('\bf f_1=x^2+y^2-1.3^2'); gtext('\bf f_2=2.4x^3-y+1.5');


8.1.2 代数方程的解析解
求非线性方程或方程组解析解的函数调用格式： X=solve(fun,x) 其中，fun是符号方程的函数表达式，x是自变量， X是解析解。 应当指出，函数solve(fun,x)也可以用于求线性 方组的解析解。 例8-2 求非线性解方程组解析解
第8章 代数方程和常微分方程求解


Hale Waihona Puke Baidu
代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所 组成的方程，它包括有理方程和无理方程。代数 方程 f 0的解称为 fX 0的根或零点， X 其求解一般是通过代数几何来进行。 微分方程是含有一个或是多个导数的方程。只有 一个自变量及其导数的微分方程称为常微分方程； 包含两个以上自变量及其偏导数的微分方程称为 偏微分方程。 工程上许多物理规律，设计过程的模拟和评价， 凡是涉及质量和能量运动设计分析的问题，都最 终归结到微分方程。