高中数学-二次函数和幂函数夯基提能作业

合集下载

浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时62.4二次函数和幂函数夯基提能作业(含答案)

2.4 二次函数和幂函数A组基础题组1.函数f(x)=2x2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( )A.10B.14C.19D.20答案 C 由题意知=-1,所以m=-4,所以f(x)=2x2+4x+3,所以f(2)=19.2.(2019绍兴一中月考)命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.a<0或a≥3B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3D.0<a<3答案 A 若ax2-2ax+3>0恒成立,则a=0或,-1 ,可得0≤a<3,故当命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.3.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( )A.-2B.3C.-3D.2答案 A 依题意,知-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以-1-1),-1,解得- ,1,所以a+2b的值为-2,故选A.4.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为( )A.[-B.[1,C.[2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2转化为f(x)max-f(x)min≤2.由f(x)在(-∞,1)上是减函数,得--≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)≤2,解得-≤t≤,又t≥1,所以1≤t≤.故选B.5.已知函数f(x)=x2+x,x1,x2∈R,则下列不等式中一定成立的不等式的序号为.①f1≤1) f );②f1<1) f );③f1≥1) f );④f1>1) f ).答案①解析1) f )-f1=11-1-1=1-)≥0,故填①.6.(2019山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)= . 答案-1解析由题意得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,∴m=3或m=-1.当m=3时,f(x)=x-1,其定义域为[-6,6],f(x)在x=0处无意义,故舍去.当m=-1时,f(x)=x3,其定义域为[-2,2],满足题意,∴f m)=f -1)=(-1)3=-1.7.若f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为1,则4a+3b= .答案-3解析由题意可知,-1) 1,) 1,1) 1,即1-1,1,11,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|,所以2|1+b|≤1,解得-3≤b≤-1,另一方面|b|≤1等价于-1≤b≤1,所以b=-1,所以1-1,11,解得a=0.综上得 ,-1,故4a+3b=-3.8.二次函数y=x2+kx+k,k∈[4,6]的图象截x轴所得线段长度的取值范围是.答案[0,23]解析所求线段的长度为-=- )-,因为k∈[4,6],所以- )-∈[0,23].9.对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数a的取值范围是.答案(-1,3)解析问题等价于方程x2+ax+1=x无解,即x2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a-1)2-4<0⇒-1<a<3.10. 已知幂函数f(x)=m)-1(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,),试确定m的值,并求出满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 解析(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,∴m m+1)为偶数.∴函数f(x)=m)-1(m∈N*)的定义域为[ ,+∞),并且在定义域上为增函数.)∵函数f(x)的图象经过点(2,),∴=m)-1,∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得- , -1 , --1.解得1≤a<3.∴实数a的取值范围为1,3.11.设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),并与直线y=-a有交点.(1)求证:0≤<1;(2)若直线y=-a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D四点,且线段AB,BC,CD能构成钝角三角形,求的取值范围.解析(1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a,所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<<1.又因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a有交点.所以方程ax2+2bx+c+a=0有实根,故Δ=4b2-4a(c+a)=4b2+8ab≥0,所以4+8·≥0,解得≤-2或≥0,综上可得0≤<1.(2)易知A,D关于对称轴对称,B,C关于对称轴对称,所以|AB|=|CD|,设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD能构成钝角三角形,所以,,解得n<2m<n,故 2n<2m+n<(+1)n,所以2|BC|<|AD|<(+1)|BC|.设x1,x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两个根,所以|x1-x2|=|BC|= ·.设x3,x4是方程ax2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x3-x4|=|AD|= ·.所以2 ·< ·<(+1) ·,解得-1+<<-1+ 13.12.已知函数f(x)=-x|x-a|+1(x∈R).(1)当a=1时,求使f(x)=x成立的x的值;(2)当a∈(0,3)时,求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值. 解析(1)当a=1时,f(x)=-x|x-1|+1,x≥1时,-x(x-1)+1=x,∴x2=1,x=±1,∴x=1,x<1时,-x(1-x)+1=x,x=1,无解.综上,x=1.(2)f(x)=- x 1 x ),- x 1 x),作出示意图(图略),①当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上递减,故f(x)max=f(1)=a;②当1<a<2时,f(x)在[1,a]上递增,在[a,2]上递减,故f(x)max=f(a)=1;③当2≤a<3时,f(x)在1,上递减,在, 上递增,故f(x)max=f(2)=5-2a.综上,f(x)max=1),1 1),-3).B组提升题组1.设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则( )A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤2答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x2,所以|b|=|x1||x2|≤1≤1(当且仅当|x1|=|x2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b2-4ac,∠ACB=θ,则cosθ= ( )A.-B.-C.-D.-答案 A 如图所示.∵ AB =1)-1=-- ·=,∴ AD =,而|CD|=-=,∴ AC 2=|AD|2+|CD|2=+1 =1,∴cosθ= BC - AB·=1-=1-·1=-,故选A.3.下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2> c;② -b=1;③ -b+c= ;④ <b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③答案 B 因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2> c,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,所以2a-b= ,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c> ,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即 <b,④正确,故选B.4.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞, ]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a的取值范围.解析(1)易知f(x)在[1,a]上单调递减,所以1), )1,∴ = .(2)若f(x)在区间(-∞, ]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=f(1)=6-2a,因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,即f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-5+a2≤4,所以a2-2a-3≤0,得-1≤a≤3.(3)f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点,即x2-2ax+5=0在[1,3]上有解,所以2a=x+在[1,3]上有解,令h(x)=x+,易知h(x)=x+在[1,]上是减函数,在[,3]上是增函数,∵h 1)= ,h )=2,h(3)=13,∴ ≤h(x)≤6,所以2≤2a≤ ,∴≤a≤3.5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0).(1)记函数f(x)在[0,2]上的最大值为M,若M≤1,求a的最大值;(2)若对任意的x1∈[0,2],存在x2∈[0,2],使得f(x1)+f(x2)>3a,求的取值范围.解析 1)∵函数f(x)的图象过点(1,0),∴f 1)= +b+c= ,∴c=-a-b,∴f x)= x2+bx-a-b(a>0),易知f(x)的图象是开口向上的抛物线,∴M为f(0),f(2)中的较大者∴M≤1⇔ )--1, )3 1.∴ ≤2,即a≤1,故a的最大值为1.(2)由题意知,存在x2∈[0,2],使f(x)min+f(x2)>3a,∴f x)min+f(x)max>3a,由(1)知,f(x)=ax2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线x=-.①当-<0,即>0时,f(x)在[0,2]上单调递增,∴f x)min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a>3a,∴>0,符合题意.②当0≤-<1,即-2<≤0时,f(x)在 ,-上单调递减,在-, 上单调递增,且f(0)<f(2),∴f x)min+f(x)max=f-+f(2)=--a-b+3a+b=-+2a,由-+2a>3a,得-<<,∴-<≤0,符合题意.③当1≤-<2,即-4<≤-2时,f(x)在 ,-上单调递减,在-, 上单调递增,且f(0)≥f(2),∴f x)min+f(x)max=f-+f(0)=--a-b-a-b=--2a-2b,由--2a-2b>3a,得-4-<<-4+,∴-4<<-4+,符合题意.④当-≥2,即≤-4时,f(x)在[0,2]上单调递减,∴f x)min+f(x)max=f(2)+f(0)=3a+b-a-b=2a>3a,∴≤-4,符合题意.综上所述,<-4+或>-.。

12 二次函数与幂函数

(十二) 二次函数与幂函数A 级——夯基保分练1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 设幂函数f (x )＝x α， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14， ∴2α＝14，解得α＝－2，则f (x )＝x －2＝1x2，且x ≠0，∵y ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增， ∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)．2．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6D ．－6 解析：选C 由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1,2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6.3．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2.当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)；当a <0时，f (5)＝f (－1)<f (1)<f (2)，故最小的不可能是f (1)．4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A 、C 错误，D 满足要求；由B知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以对称轴x ＝－b2a<0，B 错误．5．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m 的取值范围是____________．解析：令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋2m －1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>0，1＋(m －2)＋2m －1<0，解得12<m <23.答案：⎝⎛⎭⎫12，23B 级——达标综合练6．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B ∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n 是偶数，n 2－3n <0，解得n ＝1.7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0.8．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D f (x )的对称轴为x ＝1，由f (x )在[0,1]上递减知a >0，且f (x )在[1,2]上递增，f (0)＝f (2)，∵f (m )≤f (0)，结合对称性，∴0≤m ≤2.9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 10．(2021·浙江新高考仿真卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 有关解析：选B 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意，①当a2<0，即a <0时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1；③当12≤a2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝⎛⎭⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2＜12，即0≤a ＜1时，M 取g ⎝⎛⎭⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．11．(2021·上海杨浦调研)函数f (x )＝x －12的定义域为____________．解析：因为函数f (x )＝x －12＝1x ，所以定义域为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)12．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是____________，且函数f (x )恒过点____________．解析：二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2. 由函数的解析式易得函数f (x )恒过定点(0,2)．答案：(－∞，－2] (0,2)13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立，则b 的取值范围为____________．解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0，有两根x 1，x 2， ∴4b <a 2，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b ，∵对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立， ∴(x 1－x 2)2≥1恒成立，∴a 2－1≥4b ， ∴b ≤－14，故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14 14．若二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________．解析：线段AB 的方程为x 3＋y3＝1(x ∈[0,3])，即y ＝3－x (x ∈[0,3])，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x ，y ＝－x 2＋mx －1，消去y 得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0，①由题意可得，方程①在x ∈[0,3]内有两个不同的实根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16>0，0≤m ＋12≤3，f (0)＝4≥0，f (3)＝10－3m ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <－5或m >3，－1≤m ≤5，m ≤103，所以3<m ≤103.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤3，103.答案：⎝⎛⎦⎤3，103 15．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]内的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)∵f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴f (x )的图象关于x ＝－1对称，∴设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h ， ∵函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴||x 1－x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝－h ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222－(k －2)24，∴k －22≤－1，即k ≤0，综上，实数k 的取值范围为(－∞，0]．C 级——拔高创新练16．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1， 2 ]C ．[2,3]D ．[1,2]解析：选B 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2，求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B ．17．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是____________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)18．已知f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1.(1)设m ＝2时，f (x )≤0的解集为A ，集合B ＝(a,2a ＋1](a ＞0)．若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式f (x )≤0的解集S ；(3)若存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1＝2x 2－5x ＋3.又f (x )≤0， ∴(x －1)(2x －3)≤0， ∴1≤x ≤32，∴A ＝⎣⎡⎦⎤1，32. ∵A ⊆(a,2a ＋1](a ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥32，a <1且a ＞0，∴14≤a <1.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，1.(2)∵f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1，f (x )≤0， ∴(x －1)[mx －(2m －1)]≤0，当m ＜0时，S ＝(－∞，1]∪⎣⎡⎭⎫2－1m ，＋∞；当m ＝0时，S ＝(－∞，1]；当0＜m ＜1时，S ＝⎣⎡⎦⎤2－1m ，1；当m ＝1时，S ＝{1}；当m ＞1时，S ＝⎣⎡⎦⎤1，2－1m . (3)∵f (x )＞－3mx ＋m －1，∴m >－xx 2＋1.令g (x )＝－x x 2＋1＝－1x ＋1x (x >0)，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x ≤12，∴－12≤g (x )<0，∵存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立， ∴m ＞[g (x )]min ，∴m >－12.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

高考数学总复习课时提升作业 2.6幂函数与二次函数

高考数学总复习2.6 幂函数与二次函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·铜陵模拟)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,且在(0,+∞)上是增加的,则m的值为( )A.2B.-1C.-1或2D.0【解析】选B.因为函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.又因为幂函数在(0,+∞)上是增加的,所以-5m-3>0,即m<-,所以m=-1,故选B.2.(2014·黄山模拟)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b【解析】选C.根据幂函数y=x0.5的单调性,可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1;根据对数函数y=log0.3x的单调性;可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.【加固训练】(2014·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( )A.2a>>(0.2)aB.(0.2)a>>2aC.>(0.2)a>2aD.2a>(0.2)a>【解析】选B.若a<0,则幂函数y=x a在(0,+∞)上是减少的,所以(0.2)a>>0.所以(0.2)a>>2a.3.函数y=x-的图像大致为( )【解析】选A.函数y=x-为奇函数.当x>0时,由x->0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,选A.4.(2015·淮南模拟)函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为( ) A.5 B.6C.8D.与a,b的值有关【解析】选A.①当a=0时,由f(-1)=f(3)可知b=0,此时f(x)=5,所以f(2)=5.②当a≠0时,因为函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),所以f(x)=ax2+bx+5的图像关于x==1对称,则f(2)=f(0)=5.5.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0) B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a≠0时,需解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上是减少的,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上是减少的,则a≠0,f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],所以a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线x=1. 所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.6.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0【解题提示】画出f(x)的大致图像,根据f(m)<0确定m的范围,从而确定m+1与0的关系,再根据f(x)的单调性判断.【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.7.(2015·新余模拟)对于函数f(x)=ax3+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2【解析】选D.因为f(1)=a+b+c,f(-1)=-a-b+c,所以f(1)+f(-1)=2c是偶函数,所以f(1),f(-1)不可能是一奇一偶,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是________.【解析】f(x)=在[0,+∞)上是增加的,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥. 答案:x≥【加固训练】若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是________.【解析】因为函数y=在定义域(0,+∞)上递减,所以即<a<.答案:9.(2015·九江模拟)已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(x)在[-1,2]上的最大值与最小值之差为________.【解析】令t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2+2(t-1)+3=t2+2,所以f(x)=x2+2,x∈[-1,2],故x=0时,f(x)min=2,x=2时,f(x)max=6,因此最大值与最小值之差为6-2=4. 答案:410.(2015·淮南模拟)已知函数f(x)=x2+mx+4,若对于任意x∈[1,2]时,都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.【解析】由x∈[1,2]时f(x)<0得x2+mx+4<0,即m<-,x∈[1,2],令g(x)=-,则g′(x)=≥0,x∈[1,2],所以g(x)在[1,2]上是增加的,所以g(x)min=g(1)=-5,所以m<-5.答案:(-∞,-5)(20分钟40分)1.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( )A. B. C. D.1【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈,所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1,所以m-n的最小值是1.2.(5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.【解析】将方程有两个不同的实根转化为两个函数图像有两个不同的交点.作出函数f(x)的图像,如图,由图像可知,当0<k<1时,函数f(x)与y=k的图像有两个不同的交点,所以所求实数k的取值范围是(0,1).答案:(0,1)3.(5分)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为________.【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像如图所示,结合图像可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈,故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像有两个交点.答案:4.(12分)(2015·大连模拟)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与f的大小.【解析】f(x)==1+=1+(x+2)-2,其图像可由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.所以该函数在(-2,+∞)上是减少的,在(-∞,-2)上是增加的,且其图像关于直线x=-2对称(如图).又因为-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,所以f(-π)>f.5.(13分)(能力挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.所以解得a=1,b=-2.所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.所以即所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x==1-.又a≥1,故1-∈.所以M=f(-2)=9a-2.m=f=1-.g(a)=M+m=9a--1.又g(a)在区间[1,+∞)上是增加的,所以当a=1时,g(a)min=.【加固训练】(2015·马鞍山模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x ≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请根据图像:(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间.(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上是增加的.(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),所以f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.综上,g(x)min=。

第5课二次函数与幂函数巩固练习

第5课二次函数与幂函数巩固练习一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.3．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为________．4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．5．若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则y ＝f (x 2－2x )的单调减区间为________．二保高考，全练题型做到高考达标1．若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝⎛⎭⎫8，14，则mn ＝________. 2．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是________．3．(2016·无锡调研)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m ＝________.4．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝________.5．(2015·南京调研)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．6．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.7．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 9．(2016·金陵中学检测)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(1) 求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)g (x )＝log 2[3－2x －f (x )]，求g (x )的定义域和值域．10．(2016·南师附中月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．2．已知二次函数f (x )＝x 2－x ＋k ，k ∈Z ，若函数g (x )＝f (x )－2在⎝⎛⎭⎫－1，32上有两个不同的零点，则f 2(x )＋2f (x )的最小值为________． 3．(2016·镇江四校联考)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．。

高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第二章函数第四节二次函数与幂函数 Word版含解析

第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.(2016西安模拟)函数y=的图象大致是( )2.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的范围为( )A.a≤-5B.a≤5C.a≥-5D.a≥53.(2017安阳实验中学月考)已知f(x)=ax2-x-c,若f(x)>0的解集为(-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象是( )4.(2016聊城模拟)已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的大致图象是( )5.若a<0,则下列不等式成立的是( )A.2a>>0.2aB.0.2a>>2aC.>0.2a>2aD.2a>0.2a>6.已知点(,2)在幂函数y=f(x)的图象上,点在幂函数y=g(x)的图象上,若f(x)=g(x),则x= .7.若二次函数f(x)=mx2-mx-1,且f(x)<0的解集为R,则实数m的取值范围是.8.已知二次函数y=x2+2kx+3-2k,则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为.9.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.10.(2017四川资阳中学期末)已知幂函数f(x)=(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.B组提升题组11.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<012.(2016四川资阳模拟)已知函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是( )A.1,2]B.(0,1]C.(0,2]D.1,+∞)13.已知函数f(x)=-x2+x在区间m,n](n>m)上的值域是3m,3n],则m= ,n= .14.已知函数f(x)=mx2+(2-m)x+n(m>0),当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则f= .15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,求函数g(x)在1,2]上的最小值.16.(2015雅安模拟)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求证:-2<<-1;(2)若x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C y==,其定义域为R,排除A,B,又0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.2.C y=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-≤,∴a≥-5,故选C.3.C由f(x)>0的解集为(-2,1),可知函数y=f(x)的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,故选C.4.D因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,且c<0,所以f(0)=c<0,函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.5.B因为a<0,所以y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以0.2a>>2a.6.答案±1解析由题意,设f(x)=xα,则2=()α,得α=2;设g(x)=xβ,则=(-)β,得β=-2.由f(x)=g(x),得x2=x-2,解得x=±1.7.答案(-4,0)解析由题意知解之得-4<m<0.8.答案y=x2-2x+5解析y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以图象的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3).因为-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x2-2x+5. 9.解析(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,所以Δ=b2-4a=0.所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2.所以f(x)=(x+1)2.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=+1-.由g(x)的图象知:要满足题意,则≥2或≤-1,即k≥6或k≤0,∴所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪6,+∞).10.解析(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,m与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数.∴函数f(x)=(m∈N*)的定义域为0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2)∵函数f(x)的图象经过点(2,),∴=,∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得解得1≤a<.∴实数a的取值范围为.B组提升题组11.C f(x)图象的对称轴为x=-,f(0)=a>0,f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.12.A f(x)=(x-1)2+3,∴f(1)=3,f(0)=f(2)=4.作出函数的图象如图所示,由图可以看出当1≤m≤2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3.故选A.13.答案-4;0解析f(x)=-x 2+x图象的对称轴为x=1,则f(x)的最大值为f(1)=,于是3n≤,即n≤,所以对称轴x=1在区间m,n]的右侧,所以函数f(x)=-x2+x在区间m,n]上单调递增,故解得(舍去)或14.答案-解析由题意得:|f(0)|≤1⇒|n|≤1⇒-1≤n≤1;|f(1)|≤1⇒|2+n|≤1⇒-3≤n≤-1,因此n=-1,∴f(0)=-1,f(1)=1.由f(x)的图象可知:要满足题意,则图象的对称轴为直线x=0,∴2-m=0,m=2,∴f(x)=2x2-1,∴f=-.15.解析(1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=(3)由(2)知g(x)在1,2]上的解析式为g(x)=x2-2x-2ax+2,该二次函数图象的对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在1,2]上的最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为g(x)在1,2]上的最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在1,2]上的最小值.综上,在x∈1,2]上,g(x)min=16.解析(1)证明:当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,b+c=0,则f(0)·f(1)=c(2b+c)=bc=-b2≤0,与已知矛盾,因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,即<0,从而-2<<-1.(2)由于x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,则x1+x2=-,x1x2=-,那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=·++=+,∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)2<,∴≤|x1-x2|<,即|x1-x2|的取值范围是.。

高三数学之双基限时训练：幂函数与二次函数

学必求其心得，业必贵于专精错误!巩固双基,提升能力一、选择题1．函数y＝x错误!的图像是（）A。

B.C.D.解析：由幂函数的性质知:①图像过(1，1）点，可排除A、D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C，从而选B。

答案：B2．已知幂函数f(x）＝xα的图像经过点错误!，则f（4）的值为（) A．16 B.错误! C.错误!D．2解析：由已知，得错误!＝2α，即2α＝2错误!,∴α＝－错误!.∴f（x）＝x错误!。

∴f（4)＝4错误!＝错误!.答案:C3．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈［0,1］．若f（x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ）A．－1 B．0C．1 D．2解析：f(x)＝－x2＋4x＋a在x∈［0，1］上的最小值为f(0)＝a,故a＝－2.∴f（x)＝－x2＋4x－2，它在［0，1]上的最大值为f（1)＝－12＋4×1－2＝1，选C.答案：C4．设f(x)＝|2－x2|,若0＜a＜b，且f（a）＝f（b)，则ab的取值范围是( )A．（0,2）B．(0，2]C．(0，4］D．(0,错误!］解析:∵f（x)＝｜2－x2|且f(a)＝f(b),∴｜2－a2｜＝｜2－b2｜。

由f(x）＝|2－x2｜的图像可知2－a2＝b2－2。

∴a2＋b2＝4＞2ab.∴ab＜2.又∵ab＞0，∴ab∈（0，2）．答案：A5．(2013·江南十校联考)已知函数f(x）＝错误!若f（2－a2）＞f （a），则实数a的取值范围是( )A．(－∞,－1）∪（2，＋∞）B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2）∪(1,＋∞）的图像如图．解析：函数f(x)＝｛x2＋4x，x≥04x－x2，x＜0知f（x）在R上为增函数．故f（2－a2)＞f（a）,即2－a2＞a.解得－2＜a＜1。

答案:C6．(2013·江西师大附中月考)方程mx2－（m－1）x＋1＝0在区间(0,1)内有两个不同的实数根,则m的取值范围为( ）A．m＞1B．m＞3＋2错误!C．m＞3＋2错误!或0＜m＜3－错误!D．3－2错误!＜m＜1解析:令f（x)＝mx2－(m－1）x＋1，则f(x）的图像恒过定点(0，1），由题意可得错误!解得m＞3＋2错误!.选B。

苏教版高中数学必修一高考一轮理二次函数与幂函数一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

二次函数与幂函数分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，02．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.答案 323．(2013·泰州测试)当a ＝________时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．解析 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a ＜－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.答案－14．设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析当a ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a ，于是由a ≤f (x )min ，得a ≤3＋2a ⇒a ≥－3，所以－3≤a ≤－1；当a ＞－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，于是由a ≤f (x )min ，得a ≤2－a 2⇒－2≤a ≤1，所以，－1＜a ≤1. 综上，得－3≤a ≤1. 答案 [－3,1]5．(2012·苏州模拟)给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤. 答案 ①④⑤6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．解析由题设y ＝a (x －6)2＋11，过点(4,7)，得a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11，则每年平均利润为y x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－10＋12，当且仅当x ＝5时，取“＝”．答案 5二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝x |x －2|. (1)写出f (x )的单调区间； (2)解不等式f (x )＜3；(3)设0＜a ≤2，求f (x )在[0，a ]上的最大值．解 (1)f (x )的图象如图所示，所以f (x )的增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，减区间为[1,2]．(2)当x ＝3时，f (3)＝3，所以f (x )＜3的解集为(－∞，3)． (3)因为0＜a ≤2，所以当0＜a ≤1时，f (x )在[0，a ]上的最大值为f (x )max ＝f (a )＝2a －a 2；当1＜a ≤2时，f (x )在[0，a ]上的最大值为f (x )max ＝ 1.综上得f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －a 2，0<a ≤1，1，1＜a ≤2.8．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )＜b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解 (1)∃x ∈R ，f (x )＜bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b ＜0⇒ (－b )2－4b ＞0⇒b ＜0或b ＞4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ＞0，即m ＜－255或m ＞255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，F 0＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F 0＝1－m 2≥0⇒－1≤m ＜－255；综上所述：实数m 的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞)分层训练B 级创新能力提升1．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，0≤b ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－2<a ≤0，b ＝2，所以动点(a ，b )的轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，面积为4. 答案 42．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析设二次函数的解析式为：f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7.∴a ＝－4，故f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋403．(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为________．解析由二次函数的图象可得a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0两根分别为x 1，x 2，则A (x 1,0)，B (x 2,0)．由AC ⊥BC ，可得(x 1－t ，－2)·(x 2－t ，－2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋4＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋4＝c a ＋b a t ＋t 2＋4＝at 2＋bt ＋c a＋4＝0.因为at 2＋bt ＋c ＝2，所以2a ＋4＝0，解得a ＝－12.答案－124．(2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝|2x －3|，若0＜2a ＜b ＋1，且f (2a )＝f (b ＋3)，则T ＝3a 2＋b 的取值范围为________．解析由0＜2a ＜b ＋1，且f (2a )＝f (b ＋3)，得0＜2a ≤32≤b ＋3，于是由|4a －3|＝|2b ＋3|，得3－4a ＝2b ＋3，所以b ＝－2a ，∴2a ＜－2a ＋1，a ＜14，所以T ＝3a 2＋b ＝3a 2－2a ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －132－13.又0＜2a ≤32，所以0＜a <14，所以T ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0 5．(2012·盐城检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－2a ，c ＝a .所以f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a .g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1.又g (a )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a ＝1时，g (a )min ＝314. 6．(2012·无锡调研)已知13≤a ≤1，若f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )． (1)求g (a )的函数表达式；(2)判断g (a )的单调性，并求出g (a )的最小值．解 (1)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1的对称轴为直线x ＝1a，而13≤a ≤1，所以1≤1a≤3. 所以f (x )在[1,3]上，N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a.①当1≤1a ≤2时，即12≤a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5.②当2＜1a ≤3时，即13≤a ＜12时，M (a )＝f (1)＝a －1.所以g (a )＝M (a )－N (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋1a －6，12≤a ≤1，a ＋1a －2，13≤a ＜12.(2)g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12上单调递减，故g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.。

高中数学《二次函数和幂函数》提能作业有答案

2.4 二次函数和幂函数A 组基础题组1.函数f(x)=2x 2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( ) A.10B.14C.19D.20答案 C 由题意知m 4=-1,所以m=-4,所以f(x)=2x 2+4x+3,所以f(2)=19.2.(绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a<0或a ≥3B.a ≤0或a ≥3C.a<0或a>3D.0<a<3答案 A 若ax 2-2ax+3>0恒成立,则a=0或,可得0≤,<3,故当命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a ≥3.3.已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x ≤4},则a+2b 的值为( ) A.-2B.3C.-3D.2答案 A 依题意,知-1,4为方程x 2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以,解得,所以a+2,的值为,2,故选A. 4.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x 2-2tx+1,且对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2,则实数t 的取值范围为( ) A.[-√2,√2] B.[1,√2] C.[2,3] D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2转化为f(x)max -f(x)min ≤2.由f(x)在(-∞,1)上是减函数,得--2m 2≥1,即t ≥1,从而有t-0≥t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t 2,故有1-(1-t 2)≤2,解得-√2≤t ≤√2,又t ≥1,所以1≤t ≤√2.故选B. 5.已知函数f(x)=x 2+x,x 1,x 2∈R,则下列不等式中一定成立的不等式的序号为 . ①f (m 1+m 22)≤m (m 1)+f(m 2)2;②f (m 1+m 22)<m (m 1)+f(m 2)2; ③f (m 1+m 22)≥m (m 1)+f(m 2)2;④f (m 1+m 22)>m (m 1)+f(m 2)2.答案 ① 解析m (m 1)+f(m 2)2-f (m 1+m 22)=m 12+m 1+m 22+m 22-(m 1+m 22)2-m 1+m 22=(m 1-m 2)24≥0,故填①.6.(山西一模)已知函数f(x)=x 2-m是定义在区间[-3-m,m 2-m]上的奇函数,则f(m)= . 答案 -1解析由题意得m 2-m=3+m,即m 2-2m-3=0, ∴m=3或m=-1.当m=3时,f(x)=x -1,其定义域为[-6,6],f(x)在x=0处无意义,故舍去.当m=-1时,f(x)=x 3,其定义域为[-2,2],满足题意, ∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.7.若f(x)=x 2+ax+b(a,b ∈R),x ∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= .答案 -32解析由题意可知,,即,而|1-a+b|+|1,a,b|≥2|1+b|,,,2|1+b|≤1, 解得-32≤b ≤-12,另一方面|b|≤12等价于-12≤b ≤12, 所以b=-12,所以,解得a=0. 综上得,故4a+,,=-32.8.二次函数y=x 2+kx+k,k ∈[4,6]的图象截x 轴所得线段长度的取值范围是 . 答案 [0,2√3]解析所求线段的长度为√m 2-4k =√(m -2)2-4,因为k ∈[4,6],所以√(m -2)2-4∈[0,2√3].9.对于定义在R 上的函数f(x),若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x 2+ax+1没有不动点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-1,3)解析问题等价于方程x 2+ax+1=x 无解,即x 2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a -1)2-4<0⇒-1<a<3. 10. 已知幂函数f(x)=m (m2+m)-1(m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,√2),试确定m 的值,并求出满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围. 解析 (1)m 2+m=m(m+1),m ∈N *,而m 与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数. ∴函数f(x)=m (m2+m)-1(m ∈N *)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2)∵函数f(x)的图象经过点(2,√2), ∴√2=2(m 2+m)-1,∴m 2+m=2.解得m=1或m=-2. 又m ∈N *,∴m=1. 由f(2-a)>f(a-1)得, 解得1≤a,32.∴实数a 的取值范围为,.11.设二次函数f(x)=ax 2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),并与直线y=-a 有交点. (1)求证:0≤mm <1;(2)若直线y=-a 与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D 四点,且线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形,求m m的取值范围.解析 (1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a, 所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<mm <1.又因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a 有交点. 所以方程ax 2+2bx+c+a=0有实根, 故Δ=4b 2-4a(c+a)=4b 2+8ab ≥0,所以4(m m )2+8·mm ≥0,解得m m ≤-2或mm≥0,综上可得0≤mm <1.(2)易知A,D 关于对称轴对称,B,C 关于对称轴对称, 所以|AB|=|CD|, 设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形, 所以,解得n<2m,√2n, 故 2n<2m+n<(√2+1)n, 所以2|BC|<|AD|<(√2+1)|BC|.设x 1,x 2是方程ax 2+2bx+c+a=0的两个根,所以|x 1-x 2|=|BC|=√4(m m )2+8·mm .设x 3,x 4是方程ax 2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x 3-x 4|=|AD|=√4(m m )2+8·mm +8.所以2√4(m m )2+8·m m <√4(m m )2+8·m m +8<(√2+1)√4(m m )2+8·mm ,解得-1+√24<mm <-1+√153. 12.已知函数f(x)=-x|x-a|+1(x ∈R). (1)当a=1时,求使f(x)=x 成立的x 的值;(2)当a ∈(0,3)时,求函数y=f(x)在x ∈[1,2]上的最大值. 解析 (1)当a=1时,f(x)=-x|x-1|+1, x ≥1时,-x(x-1)+1=x,∴x 2=1,x=±1,∴x=1, x<1时,-x(1-x)+1=x,x=1,无解. 综上,x=1.(2)f(x)=,作出示意图(图略),①当0<a≤,时,f(x)在[1,2]上递减,故f(x)max=f(1)=a;②当1<a<2时,f(x)在[1,a]上递增,在[a,2]上递减,故f(x)max=f(a)=1;③当2≤a<3时,f(x)在,上递减,在,上递增,故f(x)max=f(2)=5-2a.综上,f(x)max=,B组提升题组,.设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则( ) A.|a|≥1 B.|b|≤1 C.|a+2b|≥2 D.|a+2b|≤2答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x2,所以|b|=|x1||x2|≤(|m1|+|m2|2)2≤1(当且仅当|x1|=|x2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b2-4ac,∠ACB=θ,则cosθ=( )A.m-4m+4B.√m-√m+2C.m+4m-4D.√m+√m-2答案 A 如图所示.∵|AB|=√(m1+m2)2-4m1m2=√(-mm )2-4·mm=√mm,∴|AD|=√m2m,而|CD|=|4mm-m24m |=m4m,∴|AC|2=|AD|2+|CD|2=m4m2+m216m2=m2+4Δ16m2,∴cosθ=|mm|2+|BC|2-|AB|22|mm|·|mm|=1-|mm|22|mm|2=1-mm22·m2+4Δ16m2=m-4m+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③答案 B 因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-m2m=-1,所以2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B. 4.(镇海中学月考)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a 的取值范围. 解析 (1)易知f(x)在[1,a]上单调递减,所以, ∴a=2.,2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,则a ≥2, 所以当x ∈[1,a+1]时,f(x)min =f(a)=5-a 2, f(x)max =f(1)=6-2a,因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, 即f(x)max -f(x)min ≤4,即6-2a-5+a 2≤4, 所以a 2-2a-3≤0,得-1≤a ≤3.(3)f(x)=x 2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点,即x 2-2ax+5=0在[1,3]上有解,所以2a=x+5m 在[1,3]上有解, 令h(x)=x+5m ,易知h(x)=x+5m在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数,∵h(1)=6,h(√5)=2√5,h(3)=143,∴2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a ≤6,∴√5≤a ≤3. 5.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0). (1)记函数f(x)在[0,2]上的最大值为M,若M ≤1,求a 的最大值;(2)若对任意的x 1∈[0,2],存在x 2∈[0,2],使得f(x 1)+f(x 2)>32a,求mm 的取值范围. 解析 (1)∵函数f(x)的图象过点(1,0), ∴f(1)=a+b+c=0,∴c=-a-b,∴f(x)=ax 2+bx-a-b(a>0), 易知f(x)的图象是开口向上的抛物线, ∴M 为f(0),f(2)中的较大者 ∴M≤1⇔,∴2a≤2,即a ≤1,故a 的最大值为1.(2)由题意知,存在x 2∈[0,2],使f(x)min +f(x 2)>32a, ∴f(x)min +f(x)max >32a,由(1)知,f(x)=ax 2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线x=-m2m. ①当-m 2m <0,即mm >0时,f(x)在[0,2]上单调递增, ∴f(x)min +f(x)max =f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a>32a, ∴mm >0,符合题意. ②当0≤-m 2m <1,即-2<m m≤0时,f(x)在,上单调递减,在,上单调递增,且f(0)<f(2), ∴f(x)min +f(x)max =f (-m2m )+f(2)=-m 24m -a-b+3a+b=-m 24m +2a, 由-m 24m +2a>32a,得-√2<m m <√2,∴-√2<mm ≤0,符合题意. ③当1≤-m 2m <2,即-4<mm≤-2时,f(x)在,上单调递减,在,上单调递增,且f(0)≥f(2),∴f(x)min +f(x)max =f (-m 2m )+f(0)=-m 24m -a-b-a-b=-m 24m -2a-2b,由-m 24m -2a-2b>32a,得-4-√2<mm <-4+√2,∴-4<mm <-4+√2,符合题意.④当-m 2m ≥2,即mm ≤-4时,f(x)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)min +f(x)max =f(2)+f(0)=3a+b-a-b=2a>32a, ∴mm≤-4,符合题意.综上所述,mm <-4+√2或mm>-√2.。

高考数学二次函数与幂函数习题WORD版

3.2 二次函数与幂函数基础篇固本夯基考点一二次函数1.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,5)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,则“a>b>c ”是“函数f(x)=ax 2+bx+c 有两个零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(多选)(2022届广东普宁段考,10)已知函数f(x)=x 2-3x-4,则( ) A.函数f(x)的图象与x 轴有两个不同交点 B.函数f(x)有最大值 C.对任意x ∈R, f(x)≥-254恒成立 D.∃x ∈R,使得函数f(x)=π 答案 ACD3.(2021南京秦淮中学开学考,3)已知a,b,c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 答案 A4.(2019上海春,10,5分)如图,正方形OABC 的边长为a(a>1),函数y=3x 2的图象交AB 于点Q,函数y=x−12的图象交BC 于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a 的值为 . 答案√35.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)= . 答案 x 2+14(答案不唯一)6.(2022届校际联考,13)设函数f(x)=x 2+bx+3的图象关于y 轴对称,且其定义域为[-1,2a],则a+b 的值为 . 答案127.(2022届河北保定重点高中月考,19)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时, f(x)=-x 2+2x. (1)求函数f(x)在R 上的解析式; (2)解关于x 的不等式f(x)<3.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x,由f(x)是定义在R 上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x 2+2x,且f(0)=0.综上, f(x)={−x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+2x,x <0.(2)当x>0时,-x 2+2x<3恒成立;当x=0时,0<3显然成立;当x<0时,x 2+2x<3,即x 2+2x-3<0,解得-3<x<1,此时-3<x<0.综上,x>-3,即不等式的解集为(-3,+∞).考点二幂函数1.(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象.已知n 分别取±2,±12四个值,与曲线C 1,C 2,C 3,C 4相应的n 依次为( ) A.2,12,-12,-2 B.2,12,-2,-12C.-12,-2,2,12D.-2,-12,12,2 答案 A2.(2021河北唐山二模,3)不等式(12)x≤√x 的解集是( ) A.[0,12] B.[12,+∞)C.[0,√22] D.[√22,+∞) 答案 B3.(多选)(2022届江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=x a(a ∈R)的图象上,则下列结论可能成立的是( )A.{m >0n >0B.{m <0n <0C.{m <0n >0D.{m >0n <0答案 ABC4.(2022届山东师范大学附中月考,7)已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-a.∀x 1∈[1,5),∃x 2∈[1,5),使得f(x 1) ≥g(x 2)成立,则实数a 的取值范围是( ) A.{a|a ≥1} B.{a|a ≥-23} C.{a|a ≥31} D.{a|a ≥7} 答案 A5.(2022届广东普通高中10月质检,15)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,2√2),则函数f(x-1)-f 2(x)的最大值为 . 答案 -346.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= . 答案 -17.(2022届河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)x a是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=log a (x+m)的单调增区间为 .7.答案 (1,+∞)综合篇知能转换考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法1.(2022届广东深圳六校联考二,2)若不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},则二次函数y=2bx 2+4x+a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A.-1,-7 B.0,-8C.1,-1D.1,-7 答案 D2.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案433.(2022届河北保定重点高中月考,20)设函数f(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R),已知f(x)<0的解集为(-1,3). (1)求b,c 的值;(2)若函数g(x)=f(x)-ax 在区间[0,2]上的最小值为-4,求实数a 的值.解析 (1)由f(x)<0的解集为(-1,3)可知x=-1,x=3是x 2+bx+c=0的解,故{−1+3=−b,−1×3=c,解得b=-2,c=-3.(2)g(x)=f(x)-ax=x 2-(a+2)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a+22. (i)当a+22≥2,即a ≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)min =g(2)=-2a-3=-4,解得a=12(舍); (ii)当a+22≤0,即a ≤-2时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,g(x)min =g(0)=-3≠-4(舍); (iii)当0<a+22<2,即-2<a<2时,函数g(x)在[0,2]上先减后增,g(x)min =g (a+22)=-3-(a+2)24=-4,解得a=-4(舍)或a=0.综上,a=0.考法二一元二次方程根的分布1.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)={x 2+2ax +a,x ≤0,−x 2+2ax −2a, x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 (4,8)2.(2022届山东烟台莱州一中测试,21)已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c,且满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x+1. (1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x 的方程f(x)-m=0在x ∈[-1,2]上有解,求实数m 的取值范围; (3)当x ∈[t,t+2](t ∈R)时,求函数f(x)的最小值(用t 表示).解析 (1)∵f(x+1)-f(x)=2x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,∴{2a =2,a +b =1,解得a=1,b=0,又f(0)=2,∴c=2,∴f(x)=x 2+2.(2)由f(x)-m=0得,方程x 2+2=m 在x ∈[-1,2]上有解,如图,则2≤m ≤6,∴m 的取值范围为[2,6]. (3)∵x ∈[t,t+2],∴①t ≥0时, f(x)的最小值为f(t)=t 2+2;②t<0且t+2>0,即-2<t<0时,f(x)的最小值为f(0)=2;③t+2≤0,即t ≤-2时, f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2+2=t 2+4t+6.综上,t ≥0时, f(x)的最小值为t 2+2;-2<t<0时, f(x)的最小值为2;t ≤-2时, f(x)的最小值为t 2+4t+6. 3.(2021山西吕梁一模(理),17)设a 为实数,函数f(x)=√|x +a|−a -x. (1)若a=1,求f(x)的定义域;(2)若a ≠0,且f(x)=a 有两个不同的实数根,求a 的取值范围.解析 (1)当a=1时, f(x)=√|x +1|−1-x,由|x+1|-1≥0,即|x+1|≥1,解得x ≤-2或x ≥0,所以f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)f(x)=a 即√|x +a|−a =x+a,设x+a=t,t ≥0,可得√t −a =t 有2个不同的实数根.整理得a=t-t 2(t ≥0)有2个不同的实数根,即直线y=a(a ≠0)与y=t-t 2的图象在t ∈[0,+∞)上有两个不同的交点,如图,由y=t-t 2=-(t −12)2+14∈(−∞,14]得,a ∈(0,14).创新篇守正出奇创新 “新定义型”函数1.(2022届皖豫名校联盟体第一次考试,13)19世纪德国数学家狄利克雷提出的“狄利克雷函数”,在现代数学的发展过程中有着重要意义,已知狄利克雷函数的表达式为D(x)={1,x 为有理数,0,x 为无理数,则D(1+D(π))+D(π+D(1))= . 答案 12.(2022届山东鱼台一中第一次月考,22)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x 0,满足f(-x 0)=-f(x 0),则称f(x)为“M 类函数”.(1)设f(x)=2x+m 是定义在[-1,1]上的“M 类函数”,求实数m 的最小值;(2)若f(x)={log 2(x 2−2mx),x ≥2,−3,x <2为定义域上的“M 类函数”,求实数m 的取值范围.解析 (1)因为f(x)=2x+m 是定义在[-1,1]上的“M 类函数”,所以存在实数x 0∈[-1,1],满足f(-x 0)=-f(x 0),即方程2x 0+2−x 0+2m=0在[-1,1]上有解.令t=2x 0,t ∈[12,2],则m=-12(t +1t ),因为g(t)=-12(t +1t )在[12,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以当t=12或t=2时,m 取最小值-54. (2)由x 2-2mx>0对x ≥2恒成立,得m<1.因为若f(x)={log 2(x 2−2mx),x ≥2,−3,x <2为定义域上的“M 类函数”,所以存在实数x 0,满足f(-x 0)=-f(x 0).①当x 0≥2时,-x 0≤-2,所以-3=-log 2(x 02-2mx 0),所以m=12x 0-4x 0,因为函数y=12x-4x在[2,+∞)是增函数,所以m ≥-1.②当-2<x 0<2时,-2<-x 0<2,所以-3=3,矛盾.③当x 0≤-2时,-x 0≥2,所以log 2(x 02+2mx 0)=3,所以m=-12x 0+4x 0,因为函数y=-12x+4x在(-∞,-2]上是减函数,所以m ≥-1.综上所述,实数m 的取值范围是[-1,1).。

高考数学 24 二次函数与幂函数提素能高效训练新人教A版理 (1)

"【优化探究】2015高考数学 2-4 二次函数与幂函数提素能高效训练新人教A 版理 "[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：二次函数的图象顶点在x 轴上，∴Δ＝0，可得t ＝－4. 答案：A2．已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，指数大的幂函数的函数值就大，则a>b. 综上所述，可知c<b<a. 答案：A3．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( ) A ．f(－2)<f(0) <f(2) B ．f(0)<f(－2)<f(2) C ．f(0)<f(2)<f(－2) D ．f(2)<f(0)<f(－2)解析：∵f(1＋x)＝f(－x)， ∴(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴x 2＋(2＋b)x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f(0)<f(2)<f(－2)．答案：C4．(2014年惠州模拟)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f(2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：设f(x)＝x a，由其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f(2)＝log 4212＝14.故选A. 答案：A5.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m<3B ．0C ．1D ．2解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．答案：C6．设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x<g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f(x)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：令x<g(x)，即x 2－x －2>0，解得x<－1或x>2；令x ≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x<－1或x>2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f(x)≤f(－1)，即－94≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 答案：D 二、填空题7．若二次函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________．解析：由已知a>0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c>0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号． ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：28．已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1，当a>1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a<0时，y max ＝1－a.根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1. 答案：2或－19．当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：34三、解答题10．已知函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解析：∵函数f(x)＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.11．(2014年玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解析：f(x)＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a)2＋a －a 2. 当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.12．(能力提升)已知f(x)＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f(x)．解析：∵f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a . ①当a 2≥1，即a ≥2时，f(x)取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a<2时，x ＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f(x)取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]，a＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x 2＋5x －10516或f(x)＝－4x 2－20x －5.[B 组因材施教·备选练习]1．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－(1＋4m 2)2mx <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0，因为8m 2x2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m28m2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m<－12或m>12(舍去)，故m<－12.答案：A2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f(x)|＝|2x－1|与y ＝g(x)＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A 、B 之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．因此h(x)有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2014年济南模拟)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足f(0)＝f(1)＝0，且f(x)的最小值是－14.(1)求f(x)的解析式；(2)设函数h(x)＝ln x －2x ＋f(x)，若函数h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f(0)＝0，∴c ＝0，∵f(1)＝0，∴b ＝－a ，∴f(x)＝ax 2－ax ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－a 4，又f(x)的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x.(2)由(1)得h(x)＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x(x>0)， ∴h ′(x)＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x.易知函数h(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1>12，m －1≤1，∴32<m ≤2.。

高考数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本文

第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:则不等式f(|x|)≤2的解集是( )A.{x|-4≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|-≤x≤}D.{x|0<x≤}2.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( )A.-2B.3C.-3D.23.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a4.已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2), f(4), f(5)的大小关系为( )A. f(5)>f(-2)>f(4)B. f(4)>f(5)>f(-2)C. f(4)>f(-2)>f(5)D. f(-2)>f(4)>f(5)5.(2017江西南昌一模)已知函数f(x)=x2+ax+b的图象过坐标原点,且满足f(-x)=f(-1+x),则函数f(x)在[-1,3]上的值域为( )A.[0,12]B.C. D.6.二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3),则它的解析式为.7.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为.8.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是.9.(2018福建福州质检)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.10.已知函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时, f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.B组提升题组1.已知函数f(x)=x2+2ax+3在(-∞,1]上单调递减,当x∈[a+1,1]时, f(x)的最大值与最小值之差为g(a),则g(a)的最小值为( )A. B.1 C. D.22.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.A 由题意知=,∴α=,∴f(x)=,由|x≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4.2.A 依题意,-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,所以解得所以a+2b=-2,故选A.3.A ∵<,指数函数y=在R上单调递减,故<.又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,∴<<,即b<c<a,故选A.4.B 因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).5.B 因为函数f(x)=x2+ax+b的图象过坐标原点,所以f(0)=0,所以b=0.因为f(-x)=f(-1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴为x=-,所以a=1,所以f(x)=x2+x=-,所以函数f(x)在上为减函数,在上为增函数,故当x=-时,函数f(x)取得最小值-.又f(-1)=0, f(3)=12,故函数f(x)在[-1,3]上的值域为.故选B.6.答案y=x2-2x+3解析由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=.所以y=(x-3)2=x2-2x+3.7.答案-1或3解析由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,所以当x∈R时, f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.8.答案解析二次函数图象的对称轴为直线x=,且f=-, f(3)=f(0)=-4,由图象得m∈.9.解析(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,所以Δ=b2-4a=0.所以4a2-4a=0,因为a≠0,所以a=1,所以b=2.所以f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=+1-.由题意可知,≥2或≤-1,即k≥6或k≤0.所以实数k的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).10.解析要使f(x)≥0恒成立,则函数在区间[-2,2]上的最小值不小于0,设f(x)的最小值为g(a).①当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,故此时a不存在;②当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=f=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;③当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,又a<-4,故-7≤a<-4.综上得-7≤a≤2.B组提升题组1.B 函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴是x=-a,因为函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以-a≥1,即a≤-1,且函数f(x)=x2+2ax+3在区间[a+1,1]上单调递减,所以f(x)max=f(a+1)=(a+1)2+2a(a+1)+3=3a2+4a+4, f(x)min=f(1)=2a+4,所以g(a)=f(a+1)-f(1)=3a2+2a,a∈(-∞,-1],且函数g(a)的图象的对称轴为a=-,所以g(a)在(-∞,-1]上单调递减,所以g(a)min=g(-1)=1,故选B.2.答案解析由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一平面直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,m∈.3.解析(1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)若x>0,则-x<0,∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在[1,2]上的最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为g(x)在[1,2]上的最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在[1,2]上的最小值.综上,当x∈[1,2]时,g(x)min=4.解析(1)由题易知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.因为当x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].。

高中数学高考总复习----二次函数与幂函数知识讲解及巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----二次函数与幂函数知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数（一）函数的图象与性质（（1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根基本初等函数图象与性质一次函数二次函数幂函数常数函数2.二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2.求二次函数的最值一般要数形结合。

考点二、幂的运算(1)，，；(2)，，。

考点三、幂函数的图象与性质1.幂函数在第一象限的图象特征2.幂函数性质：（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。

【典型例题】类型一：基本函数的解析式问题例1．已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.【解析】用待定系数法求，选择适当的二次函数的形式。

方法一：设（），则，且对称轴，即，∴，∵，∴∴方法二：∵，∴二次函数的图象的对称轴为，可设所求函数为（），∵截轴上的弦长为，∴的图像过点和，∴，即（1）又∵的图像过点，∴（2）（1）（2）联立，解得，，∴，即.方法三：∵的图象对称轴，又,∴与轴的交点为和，故可设（），由可得.∴，即.【总结升华】二次函数的形式有以下三种：（1）一般形式：（），（2）顶点式（或称配方式）（），（3）零点式（或称双根式）（），（前提：有根）对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

22.1.1 二次函数(作业)(夯实基础+能力提升)(原卷版)

22.1.1 二次函数（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·湖南娄底·九年级期末）若2(2)34y a x x =--+是二次函数，则a 的取值范围是（）A ．2a ¹B ．0a >C ．0a <D ．0a ¹2．（2022·全国·九年级课时练习）对于y =ax 2+bx +c ，有以下四种说法，其中正确的是（）A ．当b =0时，二次函数是y =ax 2+cB ．当c =0时，二次函数是y =ax 2+bxC ．当a =0时，一次函数是y =bx +cD ．以上说法都不对3．（2022·浙江·九年级专题练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A ．y ＝2x ﹣5B ．y ＝ax 2+bx +cC ．h ＝22t D ．y ＝x 2+1x4．（2022·全国·九年级）对于y ＝ax 2+bx +c ，有以下四种说法，其中正确的是（）A ．当b ＝0时，y ＝ax 2+c 是二次函数B ．当c ＝0时，y ＝ax 2+bx 是二次函数C ．当a ＝0时，y ＝bx +c 是一次函数D ．以上说法都不对5．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（）A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m6．（2022·全国·九年级课时练习）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y 元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是（）A ．y ＝30000（1+2x ）B ．y ＝30000+2xC ．y ＝30000（1+x 2）D ．y ＝30000（1+x ）27．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y ＝m 22mm x +++4是二次函数，则m 的值为（）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．18．（2022·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y ＝100（1﹣x ）B ．y ＝100﹣x 2C ．y ＝100（1+x ）2D ．y ＝100（1﹣x ）2二、填空题9．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．10．（2022·江苏淮安·九年级期末）函数213m y x x -=+-是二次函数，则m ＝_____．11．（2022·浙江·九年级专题练习）如果函数y ＝（m ﹣2）24m m x +-是二次函数，则m 的值为 __．12．（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3（m 为常数）．（1）当m _______时，该函数为二次函数；（2）当m _______时，该函数为一次函数．三、解答题14．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；(2)一个半径为10cm 的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S （cm 2）是方孔边长x （cm ）的函数；(3)有一块长为60m 、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S （cm 2）是草坪宽度a （m ）的函数．【能力提升】一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）边长为5的正方形ABCD ，点F 是BC 上一动点，过对角线交点E 作EG ⊥EF ，交CD 于点G ，设BF 的长为x ，△EFG 的面积为y ，则y 与x 满足的函数关系是（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上都不是二、填空题2．（2022·全国·九年级课时练习）定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ¹）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．3．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，设BC ＝x ，AD ＝y ，当x 时，y 关于x 的函数解析式为 _____．4．（2022·广西贺州·九年级期末）当m =_________时，函数321m y x x =+-是二次函数．三、解答题5．（2021·全国·九年级课时练习）已知平行四边形的高与底边的比是:2:5h a =，用表达式表示平行四边形的面积S 与它的底边a 的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．6．（2021·全国·九年级课时练习）写出等边三角形的面积S 与其边长a 之间的关系式，并分别计算当a =，2时三角形的面积．7．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（a +1） 21ax ++（a ﹣2）x （a 为常数），求a 的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(2,5)P -．(1)求b 的值；(2)设11(,)P m y 、22(1,)P m y +、33(2,)P m y +均在该函数图象上，①当4m =时，1y 、2y 、3y 能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，1y 、2y 、3y 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．。

【优化探讨】2021高考数学 2-4 二次函数与幂函数提素能高效训练新人教A版理 (1)

"【优化探讨】2021高考数学 2-4 二次函数与幂函数提素能高效训练新人教A 版理"[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的极点在x 轴上，那么t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：二次函数的图象极点在x 轴上，∴Δ＝0，可得t ＝－4. 答案：A2．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如下图，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：由幂函数的图象特点知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，指数大的幂函数的函数值就大，那么a>b. 综上所述，可知c<b<a. 答案：A3．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(1＋x)＝f(－x)，那么以下不等式中成立的是( ) A ．f(－2)<f(0) <f(2) B ．f(0)<f(－2)<f(2) C ．f(0)<f(2)<f(－2) D ．f(2)<f(0)<f(－2)解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴x 2＋(2＋b)x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12. ∴f(0)<f(2)<f(－2)．答案：C4．(2021年惠州模拟)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，那么log 4f(2)的值为( )B ．－14C ．2D ．－2解析：设f(x)＝x a ，由其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f(2)＝log 4212＝14.应选A.答案：A5.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如下图，那么m 的值为( ) A ．－1<m<3 B ．0 C ．1D ．2解析：从图象上看，由于图象只是原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2别离代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，知足要求．答案：C6．设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x<g x ，g x －x ，x≥g x ，那么f(x)的值域是( ) ∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)∪(2，＋∞)解析：令x<g(x)，即x 2－x －2>0，解得x<－1或x>2；令x≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x<－1或x>2，x 2－x －2，－1≤x≤2.当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；当－1≤x≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f(x)≤f(－1)，即－94≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)答案：D 二、填空题7．假设二次函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，那么a ＋c 的最小值为________．解析：由已知a>0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c>0. ∴a ＋c≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号．∴a ＋c 的最小值为2. 答案：28．已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，那么a 的值为________．解析：f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1，当a>1时，y max ＝a ；当0≤a≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a<0时，y max ＝1－a.依照已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a>1，a ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1. 答案：2或－19．当x≥0，y≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x≥0，y≥0，x ＝1－2y≥0知0≤y≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：34三、解答题10．已知函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解析：∵函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.11．(2021年玉林模拟)是不是存在实数a ，使函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 的概念域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？假设存在，求a 的值；假设不存在，说明理由．解析：f(x)＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a)2＋a －a 2. 当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.12．(能力提升)已知f(x)＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f(x)．解析：∵f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线极点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a<2时，x ＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f(x)取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]，a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x 2＋5x －10516或f(x)＝－4x 2－20x －5. [B 组因材施教·备选练习]1．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，那么实数m 的取值范围是( )解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－1＋4m 22mx <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，因此x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，因此1>1＋4m 28m 2，解得m<－12或m>12(舍去)，故m<－12.答案：A2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，那么h(x)A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f(x)|＝|2x －1|与y ＝g(x)＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右边)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右边，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A 、B 之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．因此h(x)有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2021年济南模拟)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 知足f(0)＝f(1)＝0，且f(x)的最小值是－14.(1)求f(x)的解析式；(2)设函数h(x)＝ln x －2x ＋f(x)，假设函数h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f(0)＝0，∴c ＝0，∵f(1)＝0，∴b ＝－a ， ∴f(x)＝ax 2－ax ＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－a4，又f(x)的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x.(2)由(1)得h(x)＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x(x>0)， ∴h′(x)＝1x ＋2x －3＝2x －1x －1x.易知函数h(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1>12，m －1≤1，∴32<m≤2.。

高考数学2.6幂函数与二次函数课时提升作业理试题

卜人入州八九几市潮王学校【全程复习方略】2021高考数学幂函数与二次函数课时提升作业理北师大一、选择题1.(2021·模拟)m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,那么()(A)y1<y2<y3(B)y3<y2<y1(C)y1<y3<y2(D)y2<y1<y32.(2021·模拟)函数y=x 13的图像是()3.函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,那么m的取值范围是()(A)[1,+∞) (B)[0,2](C)[1,2] (D)(-∞,2]4.假设f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,那么f(m+1)的值是()(A)正数(B)负数(C)非负数(D)不能确定正负5.P=2−32,Q=(25)3,R=(12)3,那么P,Q,R的大小关系是()(A)P<Q<R (B)Q<R<P(C)Q<P<R (D)R<Q<P6.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是()7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是减少的,那么实数a的取值范围是()(A)[-3,0) (B)(-∞,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0]8.(2021·模拟)对于任意a ∈[-1,1],函数f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,那么x 的取值范围是() (A)(1,3) (B)(-∞,1)∪(3,+∞)(C)(1,2) (D)(3,+∞)9.(2021·模拟)设b>0,二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图像为以下之一. 那么a 的值是()(A)1(B)−1−√52 (C)-1(D)−1+√52 10.(才能挑战题)假设不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立,那么a 的最小值是() (A)0 (B)2 (C)-52 (D)-3二、填空题11.假设二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值为9,那么这个二次函数的解析式是. 12.假设二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],那么该函数的解析式f(x)=.13.(2021·模拟)关于x 的方程x 2+a|x|+a 2-9=0只有一个实数解,那么实数a 的值是. 14.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x 恒有f(2+x)=f(2-x),假设f(1-2x 2)<f(1+2x-x 2),那么x 的取值范围是. 三、解答题15.(才能挑战题)函数f(x)=3ax 2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0. (1)求证:-2<b a<-1. (2)假设x 1,x 2是方程f(x)=0的两个实根,求|x 1-x 2|的取值范围.答案解析1.【解析】选A.y=x 2-2x=(x-1)2-1. 那么函数在[1,+∞)上是增加的,∵m>2,∴1<m-1<m<m+1,∴y 1<y 2<y 3.2.【解析】选B.在第一象限内,类比y=x12的图像知选B. 3.【解析】选C.y=(x-1)2+2,由x 2-2x+3=3得x=0或者x=2,∴1≤m ≤2.4.【解析】选B.f(x)=(x-12)2+a-14,其对称轴为x=12,而-m,m+1关于12对称, 故f(m+1)=f(-m)<0.5.【解析】选B.由函数y=x 3在R 上是增函数知,(25)3<(12)3, 由函数y=2x 在R 上是增函数知,2−32>2-3=(12)3,∴Q<R<P.6.【解析】选D.对于选项A,C,都有{−b 2a <0,c <0,∴abc<0,故排除A,C.对于选项B,D,都有-b 2a >0,即ab<0,那么当c<0时,abc>0.7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a ≠0时,需{a <0,−a−32a≤−1,解得-3≤a<0, 综上可得-3≤a ≤0.【误区警示】此题易无视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x 的函数误认为是二次函数.8.【解析】选B.f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x 2-4x+4, 令g(a)=(x-2)a+x 2-4x+4, 由题意知{g(1)>0,g(−1)>0,即{x 2−3x +2>0,x 2−5x +6>0,解得x>3或者x<1.9.【解析】选C.由b>0知,二次函数对称轴不是y 轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③2-1=0且a<0,∴a=-1.10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x 2+1, ∵x ∈(0,12],∴g(a)为增加的. 当x=12时满足:12a+14+1≥0即可,解得a ≥-52.方法二:由x 2+ax+1≥0得a ≥-(x+1x )在x ∈(0,12]上恒成立, 令g(x)=-(x+1x ),那么知g(x)在(0,12]上是增加的, ∴g(x)max =g(12)=-52,∴a ≥-52. 11.【解析】设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,当x=1时,y max =-9a=9,∴a=-1,∴y=-(x+2)(x-4)=-x 2+2x+8. 答案:y=-x 2+2x+8 12.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,那么一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],那么最大值为4,可求2a 2,即可求出解析式.【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx 2+(2a+ab)x+2a 2是偶函数,那么其图像关于y 轴对称. ∴2a+ab=0,∴b=-2或者a=0(舍去).∴f(x)=-2x 2+2a 2,又f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a 2=4,f(x)=-2x 2+4. 答案:-2x 2+4 13.【解析】设f(x)=x 2+a|x|+a 2-9, 那么f(-x)=(-x)2+a|-x|+a 2-9 =x 2+a|x|+a 2-9=f(x), 即函数f(x)是偶函数.由题意知,f(0)=0,那么a 2-9=0, ∴a=3或者a=-3,经检验a=3符合题意,a=-3不合题意,故a=3.答案:314.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,那么间隔对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,∴|1-2x 2-2|<|1+2x-x 2-2|, 即|2x 2+1|<|x 2-2x+1|, ∴2x 2+1<x 2-2x+1,∴-2<x<0. 答案:(-2,0)15.【解析】(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又b+c=0,那么f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c 2<0与矛盾. 因此a ≠0,那么f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,即(b a +1)(b a +2)<0,从而-2<b a<-1. (2)x 1,x 2是方程f(x)=0的两个实根,那么x 1+x 2=-2b 3a ,x 1x 2=-a+b 3a , 那么(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =(-2b 3a )2+4×a+b 3a =49·(b a )2+43·b a +43 =49(b a +32)2+13. ∵-2<b a <-1,∴13≤(x 1-x 2)2<49, ∴√33≤|x 1-x 2|<23, 即|x 1-x 2|的取值范围是[√33,23).。

2021年3月新高考数学复习资料§3.3二次函数与幂函数试题及参考答案

§3.3二次函数与幂函数基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一二次函数的图象与性质1.若二次函数y＝kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,2)【参考答案】A2.已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax2+bx+c的图象可能是()【参考答案】D考点二幂函数3的图象大致是()3.函数y＝√x2【参考答案】C4.函数f(x)＝(m2-m-1)·x m2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为()A.2B.3C.4D.5【参考答案】A5.已知幂函数f(x)的图象过点(2,√2),则f(4)的值为.【参考答案】2综合篇知能转换【综合集训】考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)1.二次函数f(x)满足f(x+2)＝f(-x+2), f(0)＝3, f(2)＝1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.[2,+∞)C.(0,2]D.[2,4] 【参考答案】D2.已知函数f(t)＝log 2(2-t)+√t -1的定义域为D. (1)求D;(2)若函数g(x)＝x 2+2mx-m 2在D 上存在最小值2,求实数m 的值.【试题解析】(1)由题意知{2-t >0,t -1≥0,解得1≤t<2,故D ＝[1,2).(2)g(x)＝x 2+2mx-m 2＝(x+m)2-2m 2,此二次函数图象的对称轴为直线x ＝-m.①当-m ≥2,即m ≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;②当1<-m<2,即-2<m<-1时,g(x)在[1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min ＝g(-m)＝-2m 2≠2,m 值不存在; ③当-m ≤1,即m ≥-1时,g(x)在[1,2)上单调递增, 此时g(x)min ＝g(1)＝1+2m-m 2＝2,解得m ＝1.综上,m ＝1.考法二一元二次方程根的分布3.已知一元二次方程x 2+mx+3＝0(m ∈Z )有两个实数根x 1,x 2,且0<x 1<2<x 2<4,则m 的值为( ) A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 【参考答案】A4.方程x 2+ax-2＝0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.(-235,+∞) B.(1,+∞)C.[-235,1] D.(-∞,-235) 【参考答案】C5.已知方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0.(1)当该方程有两个负根时,求实数a 的取值范围;(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a 的取值范围. 【试题解析】由题意知,Δ＝4(a+2)2-4(a 2-1)＝16a+20.(1)∵方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0有两个负根,∴{Δ＝16a +20≥0,x 1+x 2＝-2(a +2)<0,x 1x 2＝a 2-1>0,解得{ a ≥-54,a >-2,a >1或a <-1, 即a>1或-54≤a<-1.∴实数a 的取值范围是[-54,-1)∪(1,+∞).(2)∵方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0有一个正根和一个负根, ∴f(0)＝a 2-1<0,解得-1<a<1, ∴实数a 的取值范围是(-1,1).考法三幂函数的图象及性质的应用6.已知a ＝0.40.3,b ＝0.30.4,c ＝0.3-0.2,则( ) A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 【参考答案】A7.若幂函数y ＝x -1,y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为( )A.-1<m<0<n<1B.-1<n<0<mC.-1<m<0<nD.-1<n<0<m<1 【参考答案】D8.已知点(a,12)在幂函数f(x)＝(a-1)x b的图象上,则函数f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数【参考答案】A9.幂函数y ＝x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a,y ＝x b的图象三等分,即有BM ＝MN ＝NA,那么a-1b＝( )A.0B.1C.12D.2 【参考答案】A【5年高考】考点一二次函数的图象与性质1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)＝x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关【参考答案】B2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)＝12(m-2)x 2+(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减,那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【参考答案】B3.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R ,函数f(x)＝ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 【参考答案】43考点二幂函数4.(2018上海,7,5分)已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3}.若幂函数f(x)＝x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α＝ .【参考答案】-1教师专用题组考点一二次函数的图象与性质1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)＝ax 2+bx+c(a 为非零整数··),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f(x)上【参考答案】A2.(2013重庆,3,5分)√(3-a)(a +6)(-6≤a ≤3)的最大值为( ) A.9 B.92 C.3 D.3√22【参考答案】B3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c ＝0且使|2a+b|最大时,3a -4b +5c的最小值为 .【参考答案】-24.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)＝x 2+ax+b(a,b ∈R ),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b 满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.【试题解析】(1)证明:由f(x)＝(x +a 2)2+b-a 24,得图象的对称轴为直线x ＝-a 2.由|a|≥2,得|-a 2|≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)＝max{|f(1)|,|f(-1)|}. 当a ≥2时,由f(1)-f(-1)＝2a ≥4, 得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2. 当a ≤-2时,由f(-1)-f(1)＝-2a ≥4, 得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|＝|f(1)|≤2,|1-a+b|＝|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3, 由|a|+|b|＝{|a +b|,ab ≥0,|a -b|,ab <0,得|a|+|b|≤3.当a ＝2,b ＝-1时,|a|+|b|＝3, |f(x)|＝|x 2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)＝2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二幂函数5.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)＝x a(x>0),g(x)＝log a x 的图象可能是( )【参考答案】D6.(2014上海,9,4分)若f(x)＝x 23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是.【参考答案】(0,1)【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2020届河南南阳一中第一次月考,9)已知点(m,9)在幂函数f(x)＝(m-2)x n的图象上,设a＝f(m-13),b＝f(ln13),c＝f(√22),则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【参考答案】A2.(2020届宁夏青铜峡高级中学第一次月考,7)若函数f(x)＝ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()A.(-14,+∞) B.[-14,+∞)C.[-14,0) D.[-14,0]【参考答案】D3.(2019届辽宁部分重点高中联考,8)函数y＝1-|x-x2|的图象大致是()【参考答案】C4.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y＝x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是()A.[0,1]B.[1,2]C.[0,2]D.[2,4]【参考答案】D5.(2020届广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±12四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为()A.2,12,-12,-2B.2,12,-2,-12C.-12,-2,2,12D.-2,-12,12,2 【参考答案】A6.(2018山东德州期中,8)已知f(x)＝ax 2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c 且a ≠0),若a+b+c ＝0,x 1、x 2为f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|的取值范围为( )A.(32,2√3) B.(2,2√3) C.(1,2) D.(1,2√3) 【参考答案】A7.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)＝(m 2-m-1)x 4m9-m 5-1是幂函数,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0,若a,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于 D.无法判断【参考答案】A二、多项选择题(每题5分,共15分)8.(改编题)已知点(2,12)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域内每个区间内的单调减函数D.定义域内每个区间内的单调增函数【参考答案】AC9.(改编题)已知二次函数f(x)＝x 2-bx+c 满足f(0)＝3,对任意x ∈R 都有f(1+x)＝f(1-x)成立,则( ) A.函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称 B.c ＝3 C.b ＝2D.f(x)＝x 2-2x+3 【参考答案】ABCD10.(改编题)幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3,√3),则( ) A.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.f(x)＝x 12D.f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数【参考答案】BC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x ∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x 3,则a 的取值范围是 . 【参考答案】(-∞,-1]12.(2020届广东揭阳三中第一次月考,14)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(12,√22),则log 2 f(2)的值为 .【参考答案】1213.(2020届上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x 2-ax-1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y ＝[(a-1)x-1](x 2-ax-1);丙:分别研究两个函数y 1＝(a-1)x-1与y 2＝x 2-ax-1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 . 【参考答案】32四、解答题(共25分)14.(2020届山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(-4-x), f(0)＝3,若x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|＝2.(1)求f(x)的解析式; (2)若x>0,求g(x)＝xf(x)的最大值. 【试题解析】(1)∵二次函数满足f(x)＝f(-4-x), ∴f(x)图象的对称轴为x ＝-2,∵x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|＝2, ∴{x 1＝-3,x 2＝-1或{x 1＝-1,x 2＝-3,设f(x)＝a(x+3)(x+1)(a ≠0).由f(0)＝3a ＝3得a ＝1,∴f(x)＝x 2+4x+3.(2)由(1)得g(x)＝x f(x)＝x x 2+4x+3＝1x+3x+4, ∵x>0,∴1x+3x +4≤4+2√3＝1-√32. 当且仅当x ＝3x,即x ＝√3时等号成立. ∴g(x)的最大值是1-√32.15.(2019甘肃甘谷第一中学第一次检测,20)已知函数g(x)＝x 2-(m-1)x+m-7. (1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m 的取值范围;(2)若在区间[-1,1]上,函数y ＝g(x)的图象恒在y ＝2x-9的图象上方,求实数m 的取值范围. 【试题解析】(1)g(x)图象的对称轴为x ＝m -12,因为函数g(x)在[2,4]上具有单调性,所以有m -12≤2或m -12≥4,所以实数m 的取值范围是m ≤5或m ≥9.(2)因为在区间[-1,1]上,函数y ＝g(x)的图象恒在y ＝2x-9的图象上方, 则x 2-(m-1)x+m-7>2x-9在[-1,1]上恒成立,即x 2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,令f(x)＝x 2-(m+1)x+m+2,x ∈[-1,1],则f(x)min >0,当m+12≤-1,即m ≤-3时, f(x)min ＝f(-1)＝2m+4>0,解得m>-2,无解; 当-1<m+12<1,即-3<m<1时, f(x)min ＝f (m+12)＝-m 24+12m+74>0,此时1-2√2<m<1;当m+12≥1,即m ≥1时, f(x)min ＝f(1)＝2>0,此时m ≥1.综上,实数m的取值范围是m>1-2√2.思路分析(1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,令f(x)＝x2-(m+1)x+m+2,求出函数图象的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.。