第20章 位移法

第20章 位移法
20.1 位移法的基本概念 20.2 位移法的典型方程 20.3 位移法计算举例 20.4 对称性的利用 小结
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
20.1 位移法的基本概念
将结构拆散并用单跨超静定梁的转角位移方程求解各杆的杆端弯矩 时，除了需知道各杆刚节点（相当于固定端）的转角，还要求知道 各杆端（不论刚接或铰接）的线位移，以确定杆件的侧移。在用位 移法解题时，基本未知量就是指要求得结构各杆端内力所需要的独 立节点的转角和独立的节点的线位移。
因为：R11=r11Z1 (见下图）
C
ø B
所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11
Z1 = ø B (c) A ø B R11 ø B B R1P q (d) A C A C Z1 = １ ø B
r11
B
ø B
C
B
3、解题示例
A ø B
q ø B l C A 2EI/l
Z1 = 1 4EI/l B 3EI/l 2 M1图 ql/8 B Mp图 C
上式可写为
i M AB 4i A 2i B 6 l
i M BA 2i A 4i B 6 l
在求A端弯矩时，习惯上将A端叫近端，而B端叫远端；在求B端弯矩 时，将B端叫近端，A端叫远端，则上两式可表述为： 杆端弯矩等于近端转角的4i倍，远端转角的2i倍与相对线位移的6i/l 倍的叠加。至于杆端的剪力，可用杆的平衡方程求出。
R11
R1
代入位移法方程
R1 R1F R11 0
用叠加原理得
R1 r111 R1F 0
r11
R1F
基本结构在单位位移 1 1 单独作用下，附加刚臂中 的约束力矩；
M BA 0
3i 3i A 2 l l 一端固定另一端定向支座： FSAB FSBA
M AB i A ,
M BA i A
FSAB FSBA 0
以上由杆端位移引起的杆端力计算公式，
称为转角位移方程。方程中各项的系数称为刚度系数。
（2）由荷载求杆端力：
用力法可以很方便地求出任何荷载作用时的杆端弯矩和剪力，分别 F F F F 用 M AB 、 M、 、 表示，叫杆端弯矩和杆端剪力。 F FSAB SBA BA
A B A B
结点或支座
杆端
⑵ 杆端位移(结点位移)正负号的规定 角位移： 设顺时针方向为正,反之为负。
M>0
M<0
杆端相对线位移： 设使杆件沿顺时针方向转时为正,反之为负。
位移法的基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：
拆成 搭接成
结构
杆件
结构
第一步
第二步
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。 即：建立杆件的刚度方程。
单跨超静定梁的杆端内力
本节讨论单跨超静定梁由荷载、杆端位移（包括线位移及角位移）产生 的杆端内力（包括杆端弯矩及杆端剪力）。 1.杆端内力与杆端位移的正负号规定 （1）杆端弯矩：将图示单跨梁（图a）从端部截开（图b）。对杆段AB， 杆端弯矩规定为绕杆端顺时针转向为正，逆时针转向为负。与此相应，对
节点A或B，则绕节点绕逆时针转向为正，顺时针转向为负。
X1 4
X2 2
EI EI EI A 2 B 6 2 l l l
EI EI EI A 4 B 6 2 l l l

l l X1 X 2 B 6 EI 3EI l
l X3 0 EA
X3 0
i 令：
EI ，称为线刚度，注意到X1 、 X 2 即为杆端弯矩M AB ， M BA l
B 3ql/28 Q图
C
B
M图
3ql/7
20.1.3 基本方程的建立
连续梁
位移法方程 R1 0 叠加法
基本结构
1）基本结构在荷载单独作用下，节点B处于锁住状态。先求出基本结 构在荷载作用下BC杆的杆端力，之后可求出附加刚臂的约束力矩 R1F 。
B 单独作用下，即使基本结构的节点B发生角 2）基本结构在基本未知量 位移 1 (1 B ) 。这时可求出杆件BA和BC的杆端力，便可知附加刚臂 的约束力矩 R11。
b)
位移法基本结构
支座移动时超静定结构的内力计算 例 图示超静定梁，设支座A发生转角，作梁的弯矩图。 解： 1)建立基本体系。 原结构为一次超静定结构 2)建立力法典型方程 。 原结构在B处无竖向位移
11 X 1 1C 0
3)画 M 1 图。 计算系数和自由项
1 1 2 l3 ( l l l) EI 2 3 3 EI
B 与△。 座A、B处分别发生位移 A 、
这是个3次超静定问题，取简支梁为基本结构。位移条件为
1 A
2 B
3 0
力法方程为
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 1 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C 2 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3C 3
1 角2 线
2角1线
1角2线
2角2线
1 角1 线
1 角1 线
20.1.2 基本结构
位移法的基本结构是在原结构上增加与基本未知量相对应的附加约束， 得到一个超静定杆的综合体。
图示的位移法基本结构，它是在节点C增加了与节点C相对应的约束
（以控制节点C的转动），叫附加刚臂；在节点C或D增加与线位移相 对应的水平链杆（以控制节点C、D的水平位移），叫附加链杆。
B
l
Z1 A
原结构
q
B ø B
ql/8 C
2
ø B
C
A
基本体系
4 EI 3 EI 7 EI r11 l l l
ql/14
A ql/28
2 2
r11 Z1 R1 p 0
R1 P
ql/8 C A
2
ql 2 8
ql 2 3 R1 p ql Z1 8 7 EI r11 56EI l 4ql/7
端之间的距离在变形前后保持不变，从而减少了结构中独立的节点
线位移数目。
结构的独立节点线位移的数目等于刚架的层数。 独立节点线位移数目还可用铰化节点法来确定：把原结构的所有刚节点均 改为铰节点，固定端支座改为固定铰支座，得到一个相应的铰化体系。若 铰化后的体系为几何不变，则原结构的所有节点均无线位移。若铰化后的 体系是可变体系或瞬变体系，用增设链杆的方法使之成为几何不变体系， 而所需增设的最少链杆数目就是原结构独立的节点线位移数目。
A
2i A
B
4i B
B
M AB
A
6i l
B
θA
B 且AB杆的B端产生竖向位移 当A端产生角位移 A ,B端产生角位移 6i 6i M BA 4i B 2i A M AB 4i A 2i B l l
2）一端固定另一端铰支的单跨梁
A B A
2
f BA
ql 2 12
M
f BA
pl 8
M
f AB
ql 2 8
B
M
f BA
3 pl f M AB 0 16
f M BA 0
梁端弯矩： 对杆端而言弯矩绕杆端顺时针方向为正,逆时针方向为负;
对结点或支座而言,则顺时针方向为负,逆时针方向为正.如图 梁端剪力：使杆件有顺时针方向转的趋势为正,反之为负.(与前面规定相同)
11
1C F R C (l ) l
4)求解多余未知力 l3 3 EI X1 X 1 l 0 l2 3 EI 5)绘制弯矩图 M M 1 X1
M AB l 3 EI 3 EI l2 l
M BA 0
2. 等截面直杆的杆端力 （1）由杆端位移求杆端力：如图所示为两端固定的等截面直杆。今设支
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位移之间的关系。 即：建立结构的位移法基本方程。
位移法典型方程及计算步骤 一、解题思路
q (a)
A
l A
ø B
B
ø B
C Z1 = ø B R=0 q B ø B C
l
ø B q ø B C (b’) A
(b)
B
ø B
Z1 = ø B
(c)
A
ø B B ø B
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1 Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
不考虑各杆长度的改变. 如果把所有的刚结点(包括固定支 座)都改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的 独立结点线位移的数目. Z1 Z2 Z3
基本未知量,基本结构确定举例
EI
如何确定基本未知量举例：
11
1 1 2 1 l 1 l EI 2 3 3EI
22
1 1 2 1 l 1 l EI 2 3 3EI
33
1 11 l l EA EA
1 1 1 1 l 1 l EI 2 3 6 EI
AB BA
其正负号规定为：使杆端连线顺时针转向为正，逆时针转向为负。 图示的相对线位移△ ，均为正值。
杆端相对线位移一般很小，将△视为垂直杆轴，近似计算：弦转角 / l
单跨梁的形常数：(是位移法绘 M i 图的依据,是力矩分配法中计算转动刚度的依据)
1)两端固定的单跨梁： (图中虚线为变形曲线）
B
Δ
M BA i A
M BA i A
f f M BA M Ab 单跨梁的载常数(固端弯矩)： MP 可直接查表3-2 ,是位移法绘 图的依据.
(考试时一般给出)
(查表时,应注意灵活运用)
q
B
A
p
B
q
A A
Biblioteka Baidu
p
B
A
M
f AB
ql 12
pl M f M AB 8 附: ⑴ 杆端力正负号的规定:
4i A
2i B
θB
Δ
M BA
时有：
6i l
θA
B
M AB 3i A
M AB
3i l
Δ
当A端产生角位移 A ,且AB杆的B端产生竖向位移 Δ 时有： 3i M AB 3i A M BA 0 l 3）一端固定另一端定向支座的单跨梁 A θA 当A端产生角位移 A 时有： M AB i A M AB i A
图b所示的杆端弯矩均为正值。
（2）杆端剪力：绕着其所作用的隔离体顺时针转向为正，逆时针转向 为负。图示的剪力 FSAB 、FSBA 均为正值。
（3）杆端转角：杆端转角规定顺时针转向为正，逆时针转向为负。 B 均为正值。 图示的A、B端转角位移 A 、
（4）杆端相对线位移：杆件两端相对线位移用△表示，如将B端相对于 A端的线位移记为 AB ， A端相对B端的线位移记为 BA。显然有
由杆端弯矩求杆端剪力 由
M
A
0,
M
B
0
可解得 FSAB FSBA 6 A 6 B 12
i l
i l
i 2 l
对于一端固定另一端铰支座和一端固定另一端定向支座的杆件，与上面 的解算类似，用力法可解得：
一端固定另一端铰支座：
M AB 3i A 3i , l
12 21
13 31 23 32 0
1 1C F RC l l
1 2 C F R C l l
3C 0
代入力法方程，得
l l X1 X2 A 3EI 6 EI l
20.1.1 基本未知量
1. 独立的节点角位移未知量 根据变形连续条件，结构中刚节点处各杆的杆端转角都相等，且等于
该刚节点的转角。
独立的节点角位移基本未知量的个数等于结构的刚节点数。
2. 独立的节点线位移未知量 在一般情况下，每个节点均可能有水平和竖向两个位移。不考虑受 弯构件的轴向变形，并设弯曲变形是微小的，于是认为受弯直杆两
(c’) C
q C
A
ø B
R11 ø B B
C
(d)
A
R1P q B (d’)A
B
C
以图（b’）、（c’）（d’）分别 代替图（b）、（c）、（d）：
(a)原结构： A
l (b)基本体系： A
q ø B
B ø B l Z1 = ø B R=0 q B ø B
C
1、基本体系 2、平衡条件 R11+R1P=0