(英文PPT4)模糊控制讲义第二章(2.5 2.6)
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第2章模煳控制的数学基础1-资料
A={10，12，14，16，18，20}
* 表征法
表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。
上例中的集合A也可用表征法表示为
A={a|a为偶数，10≤a ≤20}
*特征函数法：
称
设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数
A(x)
μA（x）为集合A的特征函数。可简记为A（x）。
1, xA 0,xA
• 第二类是随机性数学模型 • 随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确
定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程 • 第三类是模糊性数学模型
• 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不 分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等
1）集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集 合。例如： “湖南大学的学生”可以 作为一个集合。集合通常用大写字母 A，B，……，Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也 称为个体。通常用小写字母a， b，……，z来表示。
* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。
2019/10/24
人工智能与模糊控制
7
2.1 清晰向模糊的转换
• 三类数学模型
• 第一类是确定性数学模型 • 确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系
明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就 是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。
年轻（x）
1
0 15 25
35 x
2019/10/24
人工智能与模糊控制
* 表征法
表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。
上例中的集合A也可用表征法表示为
A={a|a为偶数，10≤a ≤20}
*特征函数法：
称
设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数
A(x)
μA（x）为集合A的特征函数。可简记为A（x）。
1, xA 0,xA
• 第二类是随机性数学模型 • 随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确
定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程 • 第三类是模糊性数学模型
• 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不 分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等
1）集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集 合。例如： “湖南大学的学生”可以 作为一个集合。集合通常用大写字母 A，B，……，Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也 称为个体。通常用小写字母a， b，……，z来表示。
* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。
2019/10/24
人工智能与模糊控制
7
2.1 清晰向模糊的转换
• 三类数学模型
• 第一类是确定性数学模型 • 确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系
明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就 是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。
年轻（x）
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0 15 25
35 x
2019/10/24
人工智能与模糊控制
第2章 模糊控制- 控制系统
15
•
N
Z
P
-1
0
+1
x
输入论域的三级模糊空间分割
NB NM NS ZE PS PM PB
-1
0
+1 x
输入论域的七级模糊空间分割
16
双输入情况下， 模糊分割的例 子：
输 入 变 量 2
大 小
小 (������1 )
较大 (�中(������4 ) 中
规 则 的 形 式 ： 模 糊 条 件 语 句 (IF… THEN…)。 规则制定时需考虑的因素：规则的完整 性和兼容性等。 规则的表格表示：
19
输入变量������1 ������������ 输 入 变 量 ������2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
•
N
Z
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+1
x
输入论域的三级模糊空间分割
NB NM NS ZE PS PM PB
-1
0
+1 x
输入论域的七级模糊空间分割
16
双输入情况下， 模糊分割的例 子：
输 入 变 量 2
大 小
小 (������1 )
较大 (�中(������4 ) 中
规 则 的 形 式 ： 模 糊 条 件 语 句 (IF… THEN…)。 规则制定时需考虑的因素：规则的完整 性和兼容性等。 规则的表格表示：
19
输入变量������1 ������������ 输 入 变 量 ������2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
第二章模糊控制的理论基础精品PPT课件
若能把这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述， 并用语言表达出来，它就是一种定性的、不精确的控制规 则。如果用模糊数学将其定量化，就转化为模糊控制算法， 从而形成了模糊控制理论。
模糊控制在最近的短短十多年来发展如此迅速，应主 要归结于模糊控制器的一些明显的特点：
(1) 无需知道被控对象的数学模型 模糊控制是以人对被控系统的
例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是，若温 度高于某一设定值，操作者就减小给煤量，使之降温。 反之，若温度低于设定值，则加大给煤量，使之升温。 一个熟练的操作人员,凭借自己的经验和观察，经过大 脑的思维判断，给出控制量，可以手动操作达到较好的 控制效果。
以上过程包含了大量的模糊概念．如“高于”、“低于” 等等。而且操作者在观察温度的偏差时，偏差越大，给定的 变化也越大,设法使之变温越快。这里的“越高”、“越快” 也是模糊概念。因此，操作者的观察与思维判断过程，实际 上是一个模糊化及模糊计算的过程。
或者说B是A的一个子集，记为B A。
如果μB(u) =μA(u)，则称B=A。
模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集 合中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。
设A、B为U中两个模糊子集，隶属函数分别为μB(u) 和 μA(u)，则模糊集合的并、交、补运算可以如下定义：
定义2-4 模糊并集运算
A＝{ (u, A (u)) u U}
μA(u)称为u对A的隶属度，它表示论域U中的元素u隶属
于其模糊子集A的程度，它在[0, 1]闭区间内可以连续取值
μA(u)=1, 表示u 完全属于A μA(u)=0, 表示u 完全不属于A 0<μA(u)<1, 表示u 部分属于A
显然,μA(u)越接近于1, 表示u从属于A的程度越大， 反之,μA(u)越接近于0, 表示u从属于A的程度越小。
模糊控制在最近的短短十多年来发展如此迅速，应主 要归结于模糊控制器的一些明显的特点：
(1) 无需知道被控对象的数学模型 模糊控制是以人对被控系统的
例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是，若温 度高于某一设定值，操作者就减小给煤量，使之降温。 反之，若温度低于设定值，则加大给煤量，使之升温。 一个熟练的操作人员,凭借自己的经验和观察，经过大 脑的思维判断，给出控制量，可以手动操作达到较好的 控制效果。
以上过程包含了大量的模糊概念．如“高于”、“低于” 等等。而且操作者在观察温度的偏差时，偏差越大，给定的 变化也越大,设法使之变温越快。这里的“越高”、“越快” 也是模糊概念。因此，操作者的观察与思维判断过程，实际 上是一个模糊化及模糊计算的过程。
或者说B是A的一个子集，记为B A。
如果μB(u) =μA(u)，则称B=A。
模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集 合中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。
设A、B为U中两个模糊子集，隶属函数分别为μB(u) 和 μA(u)，则模糊集合的并、交、补运算可以如下定义：
定义2-4 模糊并集运算
A＝{ (u, A (u)) u U}
μA(u)称为u对A的隶属度，它表示论域U中的元素u隶属
于其模糊子集A的程度，它在[0, 1]闭区间内可以连续取值
μA(u)=1, 表示u 完全属于A μA(u)=0, 表示u 完全不属于A 0<μA(u)<1, 表示u 部分属于A
显然,μA(u)越接近于1, 表示u从属于A的程度越大， 反之,μA(u)越接近于0, 表示u从属于A的程度越小。
模糊控制系统课件
4.1 模糊控制器的基本结构及主要类型 4.1.1 模糊控制器的基本结构
（1）模糊化接口（Fuzzification）
所谓模糊化，就是通过传感器把被控对象的相关物理量 →电量，若传感器的输出量是连续的模拟量 A / D 数字量作 为计算机的输入测量值→标准化处理（即把其变化范围映射 到相应内部论域中，然后将内部论域中该输入数据转换成相 应语言变量的概念，并构成模糊集合）。
量化因子：K e
2n1 eH eL
， Kec
2n2 eH eL
，
比例因子：
Ku
uH uL 2m
注：误差和误差变化这两个变量的连续值与其论域中的离散值
并不是一一对应的。
（2）模糊推理机（Inference engine） 模糊推理机由知识库（数据库和规则库）与模糊
推理决策逻辑构成。这是基本部分。 ①知识库（Knowledge base）=数据库（Date base） +语言控制规则库（Rule base）
缺点：不同被控对象，控制规则不变，控制效果不好。
图4.3 简单模糊控制器的结构
⑵模糊自调整控制器----二维模糊控制器中加入修正因子
（规则自调整模糊控制器）
u e 1 e
低阶控制系统： >0.5 高阶控制系统： <0.5
当误差较大时，控制系统的主要任务是消除误差，加快响 应速度，这时对误差的加权应该大些；
的概念？ 3、常用的模糊控制器有哪些？ 4、二维FC的工作原理？优缺点？ 5、FC设计的两种实现方式及其特点？ 6、设计模糊控制器的步骤？
4.2模糊控制器的结构设计
4.2.1模糊控制器的结构设计 实质：模糊控制器输入语言变量及输出语言变量的选取和模糊控制器的不同
（1）模糊化接口（Fuzzification）
所谓模糊化，就是通过传感器把被控对象的相关物理量 →电量，若传感器的输出量是连续的模拟量 A / D 数字量作 为计算机的输入测量值→标准化处理（即把其变化范围映射 到相应内部论域中，然后将内部论域中该输入数据转换成相 应语言变量的概念，并构成模糊集合）。
量化因子：K e
2n1 eH eL
， Kec
2n2 eH eL
，
比例因子：
Ku
uH uL 2m
注：误差和误差变化这两个变量的连续值与其论域中的离散值
并不是一一对应的。
（2）模糊推理机（Inference engine） 模糊推理机由知识库（数据库和规则库）与模糊
推理决策逻辑构成。这是基本部分。 ①知识库（Knowledge base）=数据库（Date base） +语言控制规则库（Rule base）
缺点：不同被控对象，控制规则不变，控制效果不好。
图4.3 简单模糊控制器的结构
⑵模糊自调整控制器----二维模糊控制器中加入修正因子
（规则自调整模糊控制器）
u e 1 e
低阶控制系统： >0.5 高阶控制系统： <0.5
当误差较大时，控制系统的主要任务是消除误差，加快响 应速度，这时对误差的加权应该大些；
的概念？ 3、常用的模糊控制器有哪些？ 4、二维FC的工作原理？优缺点？ 5、FC设计的两种实现方式及其特点？ 6、设计模糊控制器的步骤？
4.2模糊控制器的结构设计
4.2.1模糊控制器的结构设计 实质：模糊控制器输入语言变量及输出语言变量的选取和模糊控制器的不同
模糊控制ppt课件
可编辑课件PPT
23
5. 建立模糊控制表 模糊控制规则可采用模糊规则表4-5来描述，共
49条模糊规则，各个模糊语句之间是或的关系，由第 一条语句所确定的控制规则可以计算出u1。同理，可 以由其余各条语句分别求出控制量u2,…,u49，则控制 量为模糊集合U可表示为
uu1u2 u49
可编辑课件PPT
规则模型化，然后运用推理便可对PID参数实现最佳
调整。
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32
由于操作者经验不易精确描述，控制过程中各种 信号量以及评价指标不易定量表示，所以人们运用 模糊数学的基本理论和方法，把规则的条件、操作 用模糊集表示，并把这些模糊控制规则以及有关信 息(如初始PID参数等)作为知识存入计算机知识库中 ，然后计算机根据控制系统的实际响应情况，运用 模糊推理，即可自动实现对PID参数的最佳调整，这 就是模糊自适应PID控制，其结构如图4-15所示。
可编辑课件PPT
31
随着计算机技术的发展，人们利用人工智能的
方法将操作人员的调整经验作为知识存入计算机中
，根据现场实际情况，计算机能自动调整PID参数，
这样就出现了智能PID控制器。这种控制器把古典的
PID控制与先进的专家系统相结合，实现系统的最佳
控制。这种控制必须精确地确定对象模型，首先将
操作人员（专家）长期实践积累的经验知识用控制
糊控制的维数。
可编辑课件PPT
10
（1）一维模糊控制器 如图所示，一维模糊控制器的 输入变量往往选择为受控量和输入给定的偏差量E。由 于仅仅采用偏差值，很难反映过程的动态特性品质， 因此，所能获得的系统动态性能是不能令人满意的。 这种一维模糊控制器往往被用于一阶被控对象。
可编辑课件PPT
智能控制02-模糊控制的数学基础ppt课件
x
5,
x 180
1,
x 150 x(150,180)
x 180
矮个子模糊集合 ppt精选版 高个子模糊集合 23
知识点:如何对变量进行模糊化
确定变量 定义变量的论域 定义变量的语言值(即模糊集合) 定义每个模糊集合的隶属函数
ppt精选版
24
An Example
1
速度：论域［0，200］
0
表 示 x完 全 不 属 于 A
A(x) 1
表 示 x完 全 属 于 A
0A(x)1 表 示 x部 分 属 于 A
ppt精选版
16
模糊集合的表示方法
Zadeh表示法 序偶表示法 隶属函数表示法
有限元素集合 连续元素集合
参见教材page13-14:例2-4,例2-5,例2-6.
ppt精选版
A1A(u)
ppt精选版
32
模糊集合运算举例
例：设论域为{u1,u2,u3,u4,u5}的两模糊集合分别为
A0.20.710.5, u1 u2 u3 u4
B0.10.30.810.5 u1 u2 u3 u4 u5
求
A B ,A B ,A ,和 B
完成教材P15:例2-7的练习
ppt精选版
33
模糊运算的性质
2.2 Fuzzy Sets
模糊集合是模糊控制的数学基础
经典集合 模糊集合
有明确分界限的元素 的组合
描绘模糊语言概念
ppt精选版
9
A＝{1,3,5,7, 9}
Classical Sets B={2,4,6,8,10}
十九世纪末，康托建立了经典集合理论 集合
具有某种特定属性的对象的全体。 通常用大写字母A, B, C, …表示
模糊控制的理论基础.ppt
模糊控制还需要解决的问题
1、人的知识和经验的表达；
2、知识推理的方法；
3、人的知识的获得和总结； 4、模糊控制系统稳定性判据； 5、模糊控制系统的学习； 6、模糊控制系统的分析；
7、模糊控制系统的设计方法
模糊控制系统人性化——模糊控制容忍噪声的干 扰和元器件的变化——模糊控制适应性好
第二节 模糊集合论基础
(u )/u
i 1 F i
n
i
例2-2 考虑论域U={0,1,2,……10}和模糊集F”接近 于0的整数“，它的隶属度函数表示法
F 1 . 0 / 0 0 . 9 / 1 0 . 75 / 2 0 . 5 / 3 0 . 2 / 4 0 . 1 / 5
2、序偶表示法：
输出模糊集的精确化——将模糊控制量转化为清晰的、确定的输出控制量。
模糊控制技术需要解决的具体问题
1、模糊控制器的构造：单片机、集成电路、可编程控制器 (PLC)； 2、模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法； 3、模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术（A/D和 D/A技术）； 4、实现模糊控制系统的软技术（仿真软件）； 5、模糊控制器和被控对象的匹配技术（依赖人们的经验）。
0 x 0 F 1 x0 100 1 2 x
可以算出u(5)=0.2； u(10)=0.5; u(20)=0.8；表示5属 于大于零的程度为0.2，也就意味5算不上是远远大 于0的数。
若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以有以下 三种表示方法： 1、查德表示法 即： F
1965年，Zadeh提出模糊集理论——模糊控制理论（以模 糊集合为数学基础）； 1974年，E.H.Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机 和锅炉控制方面的研究； 模糊控制依赖操作者的经验；（传统的控制依赖于微分 方程组等）； 改善模糊控制性能最有效的方法是优化模糊控制规则； 模糊规则是通过将人的操作经验转化为模糊语言形式获 取的，带有一定的主观性。
智能控制模糊控制PPT课件
同时期，Mamdani和Ostergaard分别将模糊控制成功地应用 于蒸汽机和水泥窑的控制，为模糊理论的发展展现了光明 的前景。
机械结构力学及控制国家2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段
上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。
识别
输入的烹饪功能命令，口感命令
都是模糊的概念，带有人类思维
执行级
的命令。
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
机械结构力学及控制国家重点实验室
8
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？
计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
输入参数越来越直接，越来越智能。
机械结构力学及控制国家重点实验室
4
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 一个小问题
随着社会文明的进步，社会分工越来越明确。于是对 于大部分人来说，做饭能力。。。
排骨怎么烧？
机械结构力学及控制国家重点实验室
特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
机械结构力学及控制国家重点实验室
13
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。
机械结构力学及控制国家2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段
上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。
识别
输入的烹饪功能命令，口感命令
都是模糊的概念，带有人类思维
执行级
的命令。
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
机械结构力学及控制国家重点实验室
8
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？
计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
输入参数越来越直接，越来越智能。
机械结构力学及控制国家重点实验室
4
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 一个小问题
随着社会文明的进步，社会分工越来越明确。于是对 于大部分人来说，做饭能力。。。
排骨怎么烧？
机械结构力学及控制国家重点实验室
特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
机械结构力学及控制国家重点实验室
13
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。
人工智能控制技术课件：模糊控制
直接输出精确控制，不再反模糊化。
模糊集合
模糊控制是以模糊集合论作为数学基础。经典集合一般指具有某种属性的、确定的、
彼此间可以区别的事物的全体。事物的含义是广泛的,可以是具体元素也可以是抽象
概念。在经典集合论中,一个事物要么属于该集合,要么不属于该集合,两者必居其一,
没有模棱两可的情况。这表明经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。
1000
1000
9992
9820
的隶属度 1 =
= 1，其余为： 2 =
= 0.9992， 3 =
=
1000
1000
1000
9980
9910
0.982， 4 =
= 0.998， 5 =
= 0.991，整体模糊集可表示为：
1000
1000
1
0.9992
0.982
0.998
《人工智能控制技术》
模糊控制
模糊空基本原理
模糊控制是建立在模糊数学的基础上，模糊数学是研究和处理模糊性现
象的一种数学理论和方法。在生产实践、科学实验以及日常生活中，人
们经常会遇到模糊概念(或现象)。例如，大与小、轻与重、快与慢、动与
静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，
度是2 ，依此类推，式中“+”不是常规意义的加号，在模糊集中
一般表示“与”的关系。连续模糊集合的表达式为：A =
)( /其中“” 和“/”符号也不是一般意义的数学符号，
在模糊集中表示“构成”和“隶属”。
模糊集合
假设论域U = {管段1，管段2，管段3，管段4，管段5}，传感器采
1+|
模糊集合
模糊控制是以模糊集合论作为数学基础。经典集合一般指具有某种属性的、确定的、
彼此间可以区别的事物的全体。事物的含义是广泛的,可以是具体元素也可以是抽象
概念。在经典集合论中,一个事物要么属于该集合,要么不属于该集合,两者必居其一,
没有模棱两可的情况。这表明经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。
1000
1000
9992
9820
的隶属度 1 =
= 1，其余为： 2 =
= 0.9992， 3 =
=
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9980
9910
0.982， 4 =
= 0.998， 5 =
= 0.991，整体模糊集可表示为：
1000
1000
1
0.9992
0.982
0.998
《人工智能控制技术》
模糊控制
模糊空基本原理
模糊控制是建立在模糊数学的基础上，模糊数学是研究和处理模糊性现
象的一种数学理论和方法。在生产实践、科学实验以及日常生活中，人
们经常会遇到模糊概念(或现象)。例如，大与小、轻与重、快与慢、动与
静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，
度是2 ，依此类推，式中“+”不是常规意义的加号，在模糊集中
一般表示“与”的关系。连续模糊集合的表达式为：A =
)( /其中“” 和“/”符号也不是一般意义的数学符号，
在模糊集中表示“构成”和“隶属”。
模糊集合
假设论域U = {管段1，管段2，管段3，管段4，管段5}，传感器采
1+|
模糊控制
模糊控制中文名称：模糊控制英文名称：fuzzy control利用模糊数学的基本思想和理论的控制方法。
在传统的控制领域里，控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键，系统动态的信息越详细，则越能达到精确控制的目的。
然而，对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以正确的描述系统的动态，于是工程师便利用各种方法来简化系统动态，以达成控制的目的，但却不尽理想。
换言之，传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力，但对于过于复杂或难以精确描述的系统，则显得无能为力了。
因此便尝试着以模糊数学来处理这些控制问题。
简介自从Zadeh发展出模糊数学之后，对于不明确系统的控制有极大的贡献，自七○年代以后，便有一些实用的模糊控制器相继的完成，使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步，在此将对模糊控制理论做一番浅介。
概述图3.13.1概念图3.1为一般控制系统的架构，此架构包含了五个主要部分，即:定义变量、模糊化、知识库、逻辑判断及反模糊化，底下将就每一部分做简单的说明：(1) 定义变量也就是决定程序被观察的状况及考虑控制的动作，例如在一般控制问题上，输入变量有输出误差E与输出误差之变化率CE，而控制变量则为下一个状态之输入U。
其中E、CE、U统称为模糊变量。
(2) 模糊化（fuzzify）将输入值以适当的比例转换到论域的数值，利用口语化变量来描述测量物理量的过程，依适合的语言值（linguisitc value）求该值相对之隶属度，此口语化变量我们称之为模糊子集合（fuzzy subsets）。
(3) 知识库包括数据库（data base）与规则库（rule base）两部分，其中数据库是提供处理模糊数据之相关定义；而规则库则藉由一群语言控制规则描述控制目标和策略。
(4) 逻辑判断模仿人类下判断时的模糊概念，运用模糊逻辑和模糊推论法进行推论，而得到模糊控制讯号。
此部分是模糊控制器的精髓所在。
(5) 解模糊化（defuzzify）将推论所得到的模糊值转换为明确的控制讯号，做为系统的输入值。
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We can find from the above example that how does fuzzy mathematics describe the fuzzy conception in real world in the form of math. Using this method, we can handle the fuzzy conception in computer.
2.6.2 Operation of fuzzy relation
Characteristics of fuzzy relation:
1 自反性
x X
Every element in diagonal
R ( x, x) 1
of fuzzy matrix is 1.
RT R
2 对称性
Example 2.6.1 Two people have the fuzzy relations:
“similitude” 自反性（Y）对称性（Y）传递性（N） “enemy” “love”
自反性（N）对称性（Y）传递性（N）
自反性（Y）对称性（?）传递性（?）
“younger” 自反性（N）对称性（N）传递性（Y）
Example 2.5.1:
0.7 0.5 R 0.9 0.2
0.4 0.3 S 0.6 0.8
R S, R S, R ?
C
Notes: A fuzzy matrix and its complement are not complementary events similar with fuzzy sets.
3 Contain: R S R ( x, y) S ( x, y),( x, y) X Y 4 Equal:
R S R ( x, y) S ( x, y),( x, y) X Y
c
T
5 Complement: R Rc ( x, y) 1 R ( x, y),( x, y) X Y 6 Transpose: R R ( y, x) R ( x, y),( x, y) X Y
Y y1 , y2 ,, ym ~ An element rij in fuzzy matrix R means the relation between the ith element x i in X and the jth element y j
in Y .
~ R ( xi , y j ) rij
RU ( S T ) ?
0.4 0.3 S 0.6 0.8
(R S ) (R T ) ?
0.7 0.6 T 0.5 0.7
2.5.efinition:
R nm [0,1]
R (rij )
Example 2.5.5:
0.2 0.5 1 Q 0.7 0.1 0.8
0 .6 0.5 R 0 .4 1 0 .1 0 .9
Q R?
Notes: (popularly)
Q R RQ
(Q R) S (Q S ) ( R S )
2.5.4 Transpose of fuzzy matrix
2.5.1 Basic definitions of fuzzy matrix
If ( i n , j m ), there exist rij [0,1], then means R (rij ) nm is a fuzzy matrix. Usually, nm m all the fuzzy matrixes ( rows, lines). n
1 rij rij 0 rij
R
is called the support matrix of
R
.
Notes: The support matrix R is a Boolean matrix.
2.5.2 Support of fuzzy matrix
Example 2.5.4:
2.6.2 Operation of fuzzy relation
Example 2.6.2
1 0.2 0 R 0.2 1 0.1 0 0.1 1
1 0.2 0 1 0.2 0 1 0.2 0.1 R R 0.2 1 0.1 0.2 1 0.1 0.2 1 0.1 R 0 0.1 1 0 0.1 1 0.1 0.1 1
2.6.1 Definition of fuzzy relation
Fuzzy relation can described by fuzzy matrix when X and Y are finite set. When X Y , it is called the fuzzy relation in X .
CHAPTER 2 Fuzzy Mathematics
2.5 Fuzzy Matrix
2.6 Fuzzy Relation
2.5 Fuzzy Matrix
2.5.1 Basic definitions of fuzzy matrix
2.5.2 Support of fuzzy matrix 2.5.3 Composition of fuzzy matrix
sik (qij r jk ),1 i n,1 k l
j 1
m
The composition of fuzzy matrix is also called as multiplication of fuzzy matrix.
2.5.3 Composition of fuzzy matrix
2.6.2 Operation of fuzzy relation
R and S are two fuzzy relations in X Y .
1 Union:
R S [ R ( x, y), S ( x, y)],( x, y) X Y
2 Intersection: R S [ R ( x, y), S ( x, y)],( x, y) X Y
1
0.8 0.2
0.8
1 0.8
0.2
0.8 1
0.1
0.2 0.8
X
160 170
180
0
0.1
0.2
0.8
1
2.6.1 Definition of fuzzy relation
1 0 .8 R 0 .2 0 .1 0 0 1 0.8 0.2 0.1 0 .8 1 0 .8 0 . 2 0 .2 0 .8 1 0 .8 0 .1 0 .2 0 .8 1 0 .8 0 .2 0.1
( x, y) X X
R ( x, y) R ( y, x)
3 传递性
RR R
R ( x, z ) [ R ( x, y ) R ( y, z )]
y
( x, y), ( y, z ), ( x, z ) X X
2.6.2 Operation of fuzzy relation
Example 2.5.2:
O, E, R M nm
0.7 0.5 R 0.9 0.2
R R c , R RC ?
2.5.1 Basic definitions of fuzzy matrix
Example 2.5.3:
R, S , T nm
0.7 0.5 R 0.9 0.2
3 Complement:
R (1 rij ) nm
c
4 Contain: rij sij (i 1,2,, n; j 1,2,, m) RS 5 Equal:
rij sij (i 1,2,, n; j 1,2,, m)
RS
2.5.1 Basic definitions of fuzzy matrix
height and weight is in table.
2.6.1 Definition of fuzzy relation
Fuzzy relation between height and weight
~ R
140
Y
40 1 50 0.8 60 0.2 70 0.1 80 0
150
0.8
0.2 0.1
2.6.1 Definition of fuzzy relation
2.6.2 Operation of fuzzy relation 2.6.3 Composition of fuzzy relation
2.6.1 Definition of fuzzy relation
Relation: A subset R of a Cartesian product of X and Y , is called a dualistic relation from X to Y (or relation for short).
X x1 , x2 ,, xn
2.6.1 Definition of fuzzy relation
Example 2.5.6
X is the space of height in an area and Y is the space
of weight.
X ,150,160,170,180 ,(cm), 140 Y 40,50,60,70,80 ,(kg), the relation between
2.5.4 Transpose of fuzzy matrix