同轴线
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第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴线是一种双导体传输线， 如图所示。 同轴线是一种双导体传输线 ， 如图所示 。 同轴线按 结构可分为两种：硬同轴线和同轴电缆。 结构可分为两种 ：硬同轴线和同轴电缆。 硬同轴线内外 导体之间媒质通常为空气，内导体用高频介质垫圈支撑。 导体之间媒质通常为空气， 内导体用高频介质垫圈支撑。 同轴电缆的内外导体之间填充高频介质， 同轴电缆的内外导体之间填充高频介质， 内导体由单根 或多根导线组成， 或多根导线组成， 外导体由铜线编织而 成，外面再包一层软 塑料等介质。 塑料等介质。
nπ Kc = b−a
n = 1,2, L
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
三、同轴线尺寸选择 1. 单模(TEM)传输 最小工作波长应满足：
λmin > λc (TE11 ) ≈ π (a + b )
即：
λmin (a + b ) ≤ π
2. 功率容量 根据传输功率一般表达式 1 ∗ v P = Re ∫ ( Et × H t ).z dS s 2
(2.6-40) (2.6-42)
如果介质为空气：
2 Ebr a 2 b ln Pbr = 120 a
b 对上式求导分析可得： a ≈ 1.65 时，功率容量Pbr最大。
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
3. 同轴线的衰减常数 同轴线是双导体传输线，通常介质损耗很小，一般只 计算导体衰减常数： 1 1 Rs ( + ) R a b Np / m αc ≈ ≈ b 2Z c 2η ln a 对上式求导分析可得： b a ≈ 3.6 时，衰减常数最小。
H z = 0 , Ez ≠ 0
根据圆波导分析结论：
cos mϕ − jβz E z = [ B1 J m ( K c r ) + B2 N m ( K c r )]C sin mϕ e
(2.6-16)
第2章wenku.baidu.com规则金属波导
2-6 同轴线
边界条件为：r=a和r=b时，Ez=0，由此可得：
nπ 2 Kc = n = 1,2, L λc (TM mn ) ≈ （b − a ) n b−a 最低次模TM01模的截止波长为
λc (TM 01 ) ≈ 2(b − a )
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
2. TE模 TE波型
Ez = 0 , H z ≠ 0
根据圆波导分析结论：
cos mϕ − jβz H z = [C1 J m ( K c r ) + C2 N m ( K c r )]D sin mϕ e 根据式（2.2-21a）： v 1 v Et = 2 ( jωµz × ∇ t H z ) Kc
v ∇ r Er (r , ϕ ) = 0 v ∇ ϕH ϕ (r , ϕ ) = 0
2 t 2 t
根据同轴线电场和磁场沿圆周方向均匀分布的特点， 根据同轴线电场和磁场沿圆周方向均匀分布的特点， 展开后整理有： 展开后整理有：
∂ 2 Er 1 ∂Er Er + − 2 =0 2 ∂r r ∂r r ∂ 2 H ϕ 1 ∂H ϕ H ϕ + − 2 =0 2 ∂r r ∂r r
v ∇ E (r , ϕ ) = 0 v ∇ H (r , ϕ ) = 0
2 t 2 t
(2.6-3) (2.6-4)
边界条件： 边界条件：
r = a, r = b处： Eϕ = H r = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴波导场方程与静态场一致，根据电磁场理论， 同轴波导场方程与静态场一致，根据电磁场理论，同 模电场只有E 轴TEM模电场只有 r分量，磁场只有 φ分量，因此 模电场只有 分量，磁场只有H 分量，因此2.6-3、 、 4式可简化为： 式可简化为： 式可简化为
可得：
1 ∂Er β E0 a − jβz β Hϕ = = e = Er − jωµ ∂z ωµ r ωµ
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
η＝ µ / ω
E 0 a − jβz Hϕ = e ηr
(二) 同轴线中 二 同轴线中TEM模的特性参量 模的特性参量 对于TEM波， β＝K = ω µε 至此：
Er = A
ϕ
H
r 1 = B r
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
电场分量系数： 设z=0，r=a处电场Er=E0，考虑到纵向传播因子，则有：
E0 a − jβz Er = e r
磁场分量系数： 根据 有：
v v ∇ × E = − jωµH
v ∂Er ∇× E = ∂z v v ϕ = − jωµϕH ϕ
0 l
2π
2πE0 a
η
e
− jβz
内外导体间电压：
U = ∫ Er dr = ∫
a
b
b
a
E0 a b − jβz − jβ z dre = E0 a ln e r a
特性阻抗：
U b 138 b 60 Zc = = ln = lg I εr a εr a
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
二、同轴线中的高次模 在同轴线中，除传输TEM主模外，还可能传输高次 模—TE模和TM模。但在实际应用中，一般不用高次模 传输功率，而采用主模TEM工作。 分析方法与圆波导类似。但由于内导体半径不为零， 圆波导分析过程中的诺依曼函数要保留。 1. TM模 TM波型
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
在同轴线中即可传输无色散的TEM波，也可能存 波 在同轴线中即可传输无色散的 在有色散的TE和 在有色散的 和TM波。 波 柱坐标下，同轴波导中的场可表示为： v v v v E ( r , ϕ ) = r E r ( r , ϕ ) + ϕ Eϕ ( r , ϕ ) + z E z ( r , ϕ ) v v v v H (r ,ϕ ) = r H r (r ,ϕ ) + ϕH ϕ (r ,ϕ ) + z H z (r ,ϕ ) 同轴波导中的场满足柱坐标形式的齐次赫姆霍茨方程：
2m Kc = a+b
m = 1,2, L λc (TE mn ) ≈
π ( a + b)
m
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
最低次模TE11模的截止波长为
λc (TE11 ) ≈ π (a + b)
高次模TE0n模的截止波数和截止波长为
2π 2 λc = ≈ (b − a ) Kc n
高次模TE01与TM11，以及TM01具有相同的截止波长 2(b-a)，为简并模。 TE11是包括TE和TM波型在内的所有高 次模中截止波长最长的模。
v v 2 ∇ E (r , ϕ ) + K c E (r , ϕ ) = 0 v v 2 2 ∇ t H (r , ϕ ) + K c H (r , ϕ ) = 0
2 t
其中，纵向场分量Ez、Hz满足下面的波动方程： ∇ t2 E z ( r , ϕ ) + K c2 E z ( r , ϕ ) = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴线传输功率为： 1 v ∗ v P = Re ∫ [(r Er ) × (ϕH ϕ ) ].z dS s 2 代入场分量表示式，整理得： πE02 a 2 b P= ln η a 由于r=a处电场强度最大，设同轴线介质击穿强度为Ebr：
2 πEbr a 2 b Pbr = ln η a
综合上述尺寸选择影响因素，通常采取折衷尺寸 b a ≈ 2.3 ， 相应于同轴线特性阻抗为50欧。或者根据特殊要求，结合单 模传输要求，选择较大的功率容量或者较小的衰减系数。
J m ( K c a ) N m ( K c b) − J m ( K c b) N m ( K c a ) = 0
(2.6-17)
上述方程为同轴线TM模本征值方程，其解有无穷多个， 表明同轴线中的TM波形有无穷多个(TMmn，m=0,1,...； n= 1,2...)。该方程为超越方程，求解困难，一般采用图解法或数 值方法。 同轴线TMmn模的截止波数和截止波长近似为
′ ′ ′ ′ J m ( K c a ) N m ( K c b) − J m ( K c b) N m ( K c a ) = 0
(2.6-27)
上述方程为同轴线TE模本征值方程，其解有无穷多个， 表明同轴线中的TE波形有无穷多个(TEmn，m=0,1,…； n= 1,2…)。该方程为超越方程，求解困难，一般采用图解法或 数值方法。 同轴线TEmn模（m≠0）的截止波数和截止波长近似为
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
上述两个方程通解为： 上述两个方程通解为：
1 E r = A + A ′r r 1 H ϕ = B + B ′r r
根据电磁场关于同轴线场分布结论，同轴线电场 根据电磁场关于同轴线场分布结论，同轴线电场Er和 磁场H 与半径r成反比 上面二式中右边第二项系数为零， 成反比， 磁场 φ与半径 成反比，上面二式中右边第二项系数为零， 即： 1
(2.6-24)
可得：
cos mϕ − jβz jωµ ∂H z jωµ ′ ′ Eϕ = 2 = 2 [C1 J m ( K c r ) + C2 N m ( K c r )]D sin mϕ e K c ∂r Kc
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
边界条件为：r=a和r=b时，Eφ=0，由此可得：
∇t2 H z (r , ϕ ) + K c2 H z (r , ϕ ) = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
一、同轴线传输主模—TEM模 同轴线传输主模 模 (一) TEM模的场分量和场结构 一 模的场分量和场结构 同轴线传输的主模是TEM模，这种模Kc=0，λc=∞， 模 这种模K =0，λc=∞， 同轴线传输的主模是 同时E =0， =0， 同时Ez=0，Hz=0，TEM模横向场分布函数满足二维拉普拉 模横向场分布函数满足二维拉普拉 斯方程： 斯方程：
E0 a − jβz Er = e r
其它特性参数：
K c = 0 λc = ∞
λ λp = = = f β εr 1 ω v = vg = v p = =
vp 2π
β
µε
εr
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴线中TEM模的场结构如图：
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
轴向电流：
I = ∫ H ϕ dl = ∫ H ϕ rdϕ =
2-6 同轴线
同轴线是一种双导体传输线， 如图所示。 同轴线是一种双导体传输线 ， 如图所示 。 同轴线按 结构可分为两种：硬同轴线和同轴电缆。 结构可分为两种 ：硬同轴线和同轴电缆。 硬同轴线内外 导体之间媒质通常为空气，内导体用高频介质垫圈支撑。 导体之间媒质通常为空气， 内导体用高频介质垫圈支撑。 同轴电缆的内外导体之间填充高频介质， 同轴电缆的内外导体之间填充高频介质， 内导体由单根 或多根导线组成， 或多根导线组成， 外导体由铜线编织而 成，外面再包一层软 塑料等介质。 塑料等介质。
nπ Kc = b−a
n = 1,2, L
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
三、同轴线尺寸选择 1. 单模(TEM)传输 最小工作波长应满足：
λmin > λc (TE11 ) ≈ π (a + b )
即：
λmin (a + b ) ≤ π
2. 功率容量 根据传输功率一般表达式 1 ∗ v P = Re ∫ ( Et × H t ).z dS s 2
(2.6-40) (2.6-42)
如果介质为空气：
2 Ebr a 2 b ln Pbr = 120 a
b 对上式求导分析可得： a ≈ 1.65 时，功率容量Pbr最大。
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
3. 同轴线的衰减常数 同轴线是双导体传输线，通常介质损耗很小，一般只 计算导体衰减常数： 1 1 Rs ( + ) R a b Np / m αc ≈ ≈ b 2Z c 2η ln a 对上式求导分析可得： b a ≈ 3.6 时，衰减常数最小。
H z = 0 , Ez ≠ 0
根据圆波导分析结论：
cos mϕ − jβz E z = [ B1 J m ( K c r ) + B2 N m ( K c r )]C sin mϕ e
(2.6-16)
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2-6 同轴线
边界条件为：r=a和r=b时，Ez=0，由此可得：
nπ 2 Kc = n = 1,2, L λc (TM mn ) ≈ （b − a ) n b−a 最低次模TM01模的截止波长为
λc (TM 01 ) ≈ 2(b − a )
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
2. TE模 TE波型
Ez = 0 , H z ≠ 0
根据圆波导分析结论：
cos mϕ − jβz H z = [C1 J m ( K c r ) + C2 N m ( K c r )]D sin mϕ e 根据式（2.2-21a）： v 1 v Et = 2 ( jωµz × ∇ t H z ) Kc
v ∇ r Er (r , ϕ ) = 0 v ∇ ϕH ϕ (r , ϕ ) = 0
2 t 2 t
根据同轴线电场和磁场沿圆周方向均匀分布的特点， 根据同轴线电场和磁场沿圆周方向均匀分布的特点， 展开后整理有： 展开后整理有：
∂ 2 Er 1 ∂Er Er + − 2 =0 2 ∂r r ∂r r ∂ 2 H ϕ 1 ∂H ϕ H ϕ + − 2 =0 2 ∂r r ∂r r
v ∇ E (r , ϕ ) = 0 v ∇ H (r , ϕ ) = 0
2 t 2 t
(2.6-3) (2.6-4)
边界条件： 边界条件：
r = a, r = b处： Eϕ = H r = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴波导场方程与静态场一致，根据电磁场理论， 同轴波导场方程与静态场一致，根据电磁场理论，同 模电场只有E 轴TEM模电场只有 r分量，磁场只有 φ分量，因此 模电场只有 分量，磁场只有H 分量，因此2.6-3、 、 4式可简化为： 式可简化为： 式可简化为
可得：
1 ∂Er β E0 a − jβz β Hϕ = = e = Er − jωµ ∂z ωµ r ωµ
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
η＝ µ / ω
E 0 a − jβz Hϕ = e ηr
(二) 同轴线中 二 同轴线中TEM模的特性参量 模的特性参量 对于TEM波， β＝K = ω µε 至此：
Er = A
ϕ
H
r 1 = B r
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
电场分量系数： 设z=0，r=a处电场Er=E0，考虑到纵向传播因子，则有：
E0 a − jβz Er = e r
磁场分量系数： 根据 有：
v v ∇ × E = − jωµH
v ∂Er ∇× E = ∂z v v ϕ = − jωµϕH ϕ
0 l
2π
2πE0 a
η
e
− jβz
内外导体间电压：
U = ∫ Er dr = ∫
a
b
b
a
E0 a b − jβz − jβ z dre = E0 a ln e r a
特性阻抗：
U b 138 b 60 Zc = = ln = lg I εr a εr a
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
二、同轴线中的高次模 在同轴线中，除传输TEM主模外，还可能传输高次 模—TE模和TM模。但在实际应用中，一般不用高次模 传输功率，而采用主模TEM工作。 分析方法与圆波导类似。但由于内导体半径不为零， 圆波导分析过程中的诺依曼函数要保留。 1. TM模 TM波型
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
在同轴线中即可传输无色散的TEM波，也可能存 波 在同轴线中即可传输无色散的 在有色散的TE和 在有色散的 和TM波。 波 柱坐标下，同轴波导中的场可表示为： v v v v E ( r , ϕ ) = r E r ( r , ϕ ) + ϕ Eϕ ( r , ϕ ) + z E z ( r , ϕ ) v v v v H (r ,ϕ ) = r H r (r ,ϕ ) + ϕH ϕ (r ,ϕ ) + z H z (r ,ϕ ) 同轴波导中的场满足柱坐标形式的齐次赫姆霍茨方程：
2m Kc = a+b
m = 1,2, L λc (TE mn ) ≈
π ( a + b)
m
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
最低次模TE11模的截止波长为
λc (TE11 ) ≈ π (a + b)
高次模TE0n模的截止波数和截止波长为
2π 2 λc = ≈ (b − a ) Kc n
高次模TE01与TM11，以及TM01具有相同的截止波长 2(b-a)，为简并模。 TE11是包括TE和TM波型在内的所有高 次模中截止波长最长的模。
v v 2 ∇ E (r , ϕ ) + K c E (r , ϕ ) = 0 v v 2 2 ∇ t H (r , ϕ ) + K c H (r , ϕ ) = 0
2 t
其中，纵向场分量Ez、Hz满足下面的波动方程： ∇ t2 E z ( r , ϕ ) + K c2 E z ( r , ϕ ) = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴线传输功率为： 1 v ∗ v P = Re ∫ [(r Er ) × (ϕH ϕ ) ].z dS s 2 代入场分量表示式，整理得： πE02 a 2 b P= ln η a 由于r=a处电场强度最大，设同轴线介质击穿强度为Ebr：
2 πEbr a 2 b Pbr = ln η a
综合上述尺寸选择影响因素，通常采取折衷尺寸 b a ≈ 2.3 ， 相应于同轴线特性阻抗为50欧。或者根据特殊要求，结合单 模传输要求，选择较大的功率容量或者较小的衰减系数。
J m ( K c a ) N m ( K c b) − J m ( K c b) N m ( K c a ) = 0
(2.6-17)
上述方程为同轴线TM模本征值方程，其解有无穷多个， 表明同轴线中的TM波形有无穷多个(TMmn，m=0,1,...； n= 1,2...)。该方程为超越方程，求解困难，一般采用图解法或数 值方法。 同轴线TMmn模的截止波数和截止波长近似为
′ ′ ′ ′ J m ( K c a ) N m ( K c b) − J m ( K c b) N m ( K c a ) = 0
(2.6-27)
上述方程为同轴线TE模本征值方程，其解有无穷多个， 表明同轴线中的TE波形有无穷多个(TEmn，m=0,1,…； n= 1,2…)。该方程为超越方程，求解困难，一般采用图解法或 数值方法。 同轴线TEmn模（m≠0）的截止波数和截止波长近似为
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
上述两个方程通解为： 上述两个方程通解为：
1 E r = A + A ′r r 1 H ϕ = B + B ′r r
根据电磁场关于同轴线场分布结论，同轴线电场 根据电磁场关于同轴线场分布结论，同轴线电场Er和 磁场H 与半径r成反比 上面二式中右边第二项系数为零， 成反比， 磁场 φ与半径 成反比，上面二式中右边第二项系数为零， 即： 1
(2.6-24)
可得：
cos mϕ − jβz jωµ ∂H z jωµ ′ ′ Eϕ = 2 = 2 [C1 J m ( K c r ) + C2 N m ( K c r )]D sin mϕ e K c ∂r Kc
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
边界条件为：r=a和r=b时，Eφ=0，由此可得：
∇t2 H z (r , ϕ ) + K c2 H z (r , ϕ ) = 0
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
一、同轴线传输主模—TEM模 同轴线传输主模 模 (一) TEM模的场分量和场结构 一 模的场分量和场结构 同轴线传输的主模是TEM模，这种模Kc=0，λc=∞， 模 这种模K =0，λc=∞， 同轴线传输的主模是 同时E =0， =0， 同时Ez=0，Hz=0，TEM模横向场分布函数满足二维拉普拉 模横向场分布函数满足二维拉普拉 斯方程： 斯方程：
E0 a − jβz Er = e r
其它特性参数：
K c = 0 λc = ∞
λ λp = = = f β εr 1 ω v = vg = v p = =
vp 2π
β
µε
εr
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
同轴线中TEM模的场结构如图：
第2章 规则金属波导
2-6 同轴线
轴向电流：
I = ∫ H ϕ dl = ∫ H ϕ rdϕ =