第三章第三节等比数列

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《等比数列性质》课件

等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩小，形状都保持一致。
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什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项的和。通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算填空题选择题解析题

第三节等比数列.doc

第三节等比数列【例1】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S 且9632S S S =+，求数列的公比)(R q q ∈【例2】设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，34234211,,1a b b b a a b a ==+==，分别求出}{n a 和}{n b 前10项的和10S 和10T【例3】已知这三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这个数。

【例4】（1）等比数列}{n a 中，128,66,6612121===+--n n n a a a a a a ，前n 项的和126=n S ，求n 和公比q（2）等差数列}{n a 中，21=a ，公差不为零，且1121,,a a a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于。

（3）设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若}{n S 是等差数列，则=q 。

【例5】设2>>y x ，且xyxy y x y x ,,,-+能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列。

【例6】设等比数列的首项为)0(>a a ，公比为)0(>q q ，前n 项的和为60，其中最大的一项为3122，又它的前n 2项的和为3720，求a 和q双基训练1、已知等比数列}{n a 中，9,1233-=-=S a ，那么首项1a 及公比q 分别为（） A 、2,3--B 、3,2--C 、2,3D 、3,22、三个数成等比数列，其和为14，各数平方和为84，则这三个数为（）A 、2，4，8B 、8，4，2C 、2，4，8或8，4，2D 、356,328,314- 3、已知数列}{n a 的前n 项和为)0(3的实数是不为a a S n n -=，那么数列}{n a （） A 、是等比数列B 、当a 不等于1时是等比数列C 、从第二项起成等比数列D 、从第二项起成等比数列或成等差数列4、在等比数列}{n a 中，3,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（） A 、14B 、16C 、18D 、205、等比数列}{n a 中，0>n a ，且965=a a ，则1032313log log log a a a +++ 等于（） A 、12B 、10C 、8D 、5log 23+6、设正数c b a ,,成等比数列，z y x ,,成等比数列，则+-+-y a c x c b lg )(lg )(=-z b a lg )( 。

等比数列PPT课件

例１在等比数列{an}中，a1 5，q 3，求 a2、a3、a4、a5．
巩
固
解 a2 a1 q 5 3 15,
知
a3 a2 q 15 3 45,
识
a4 a3 q 45 3 135,
典
a5 a4 q 135 3 405.
型
例
题
你能很快
写出这个数列的第9项吗？
等比数列
在等比数列 an 中，a3 6，q 2，试写出 a4、a6．
运用
12, 48．
知
识
强
写出等比数列 3， 6，12， 24，的第5项与第6项．
化
练
48， 96．
习
课后作业：说出下列等比数列的公比 8,16，32，64， 128， 256, ... ;
1，1，1, 1，1, 1，1,...;
探索新
若数列 an 为等比数列， q为公比，则 a1与q均不为
零，且有 an1 q 即 an
知
an1 an q
(6.5)
想一想:●等比数列与等差数列有何异同? 相同点: 1、都是从第2项开始 2、都是每一项与它前一项的关系不同点: 1、等差数列是后一项减前一项
等比数列是后一项比前一项 2、公差d可以为0，公比q不能为0.
6.3 等比数列定义
动手试一试请你做游戏: 把一张纸连续对折5次，试列出每次对折后纸的层数: 2，4，8, 16，32.
6.3 等比数列
创
设
某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后
情境
的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：
练习抢答:下列数列是否为等比数列?

高中数学(人教B版)选择性必修三：等比数列的定义【精品课件】

等比数列的定义
最新课程标准 1.理解等比数列的定义．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
[教材要点]
知识点一等比数列的概念 (1)文字语言：
一般地，如果一个数列{an}从第___2_____项起，每一项与它的前一项之比都等于_同__一__常__数_，那么这个数列{an}就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的___公__比___，公比通常用字母 q 表示 (q≠0)．
例 2 在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)若 an＝12，求 n.
解析：(1)因为 a5＝a3q2，所以 q2＝aa53＝14. 所以 q＝±12.
当 q＝12时，an＝a3qn－3＝32×12n－3＝28－n；当 q＝－12时，an＝a3qn－3＝32×－12n－3. 所以 an＝28－n 或 an＝32×－12n－3. (2)当 an＝12时，28－n＝12或 32×－12n－3＝12，解得 n＝9.
跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证{an} 是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋ 1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0. 又由 an＋1＝2an 知 an≠0，
(2)符号语言：
aan＋n 1＝q(q 为常数，q≠0，n∈N＋)．
状元随笔等比数列还可以用哪种符号语言表示？ [提示] aan－n1＝q(q 为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)．
知识点二等比数列的通项公式

等比数列的前n项和公式同步练习

《第三节等比数列》同步练习（课时2等比数列的前n项和公式(2)）一、基础巩固知识点1等比数列前n项和推导方法(错位相减法)的应用1.[2022江西南昌三校高二下期末联考]已知等差数列{a n}满足a2=2,a4=4,正项等比数列{b n}满足首项为1,前3项和为7.(1)求{a n}与{b n}的通项公式;(2)求{a n b n}的前n项和S n.2.已知数列{a n}满足a1=1,2S n=3a n-4n(n≥2).(1)证明:数列{a n+2}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;,求数列{b n}的前n项和T n.(2)设b n=log3(a n+2)a n+2知识点2等比数列前n项和的实际应用3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”则该人最后一天走的路程为()A.24里B.12里C.6里D.3里4.某学生在体育训练时弄伤了膝关节,医生给他开了一些消炎药,并叮嘱他每天早上8点和晚上8点各服用一片药片.现知该药片每片220 mg,该学生的肾脏每12小时从体内代谢出这种药的60%,且如果这种药在体内的残留量超过386 mg,就会产生副作用.(1)该学生早上8点第一次服药,问第二天早上8点服完药时,药在他体内还残留多少?(2)该学生若长期服用该药会不会产生副作用?二、能力提升1.已知等比数列{a n}的前n项和S n=3n+a,则实数a的值为()A.3B.1C.-3D.-12.[2022陕西安康高三上联考]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a3=5,S4=20,则S8−2S4=()S6−S4−S2A.9B.10C.12D.173.[2022安徽宣城高二期末]如图,若干个正方体形状的积木摆成塔形平放于桌面上,上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点,最下面的正方体的棱长为1,如果所有正方体积木露在外面的面积之和超过8.8,则正方体的个数至少是()A.5B.6C.7D.84.(多选)[2022湖北荆州监利高二期末]一个弹性小球从100 m的高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的3再落下.设它第n次着地时,经过的总路程为S n,则当n≥3时,下4面说法正确的是()A.S n≤650B.S n<700C.S n的最小值为725D.S n的最小值为25025.计算机病毒的危害性很大,它一直是计算机科学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该文件就不断地感染其他未被病毒感染的文件.计算机科学家们研究了计算机病毒传染指数C0,即一个感染病毒的文件在一分钟内平均所传染的文件数.某台计算机有105个文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有1个感染病毒的文件,该计算机病毒的传染指数C0=2,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中不正确的是()A.在第3分钟内,该计算机病毒新感染了18个文件B.经过5分钟,该计算机共有243个感染病毒的文件C.10分钟后,该计算机处于瘫痪状态D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被病毒感染的文件数构成公比为2的等比数列6.[2022山东聊城高二期末]下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中,着色的正方形的个数依次构成一个数列{a n}的前4项,则数列{a n}的一个通项公式为.7.[2022湖北武汉十九中高二期末]设等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1=2S n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在a n与a n+1之间插入n个实数,使这n+2个数依次组成公差为d n的等差数列,设数列{1 d n }的前n项和为T n,求证:T n<158.8.数列{a n}中,a1=-12,2a n=a n-1-n-1(n≥2,n∈N*),设b n=a n+n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{nb n}的前n项和T n;(3)若c n=(12)n-a n,P n为数列{c n2+c n+1c n2+c n}的前n项和,求不超过P2 022的最大的整数.参考答案一、基础巩固1.解析 (1)设等差数列{a n}的公差为d,由a2=2,a4=4,可得a1+d=2,a1+3d=4,解得a1=1,d=1,所以a n=1+n-1=n.设正项等比数列{b n}的公比为q,q>0,则b1=1,b1+b1q+b1q2=7,所以1+q+q2=7,得q=2,所以b n=2n-1.(2)由(1)可得a n b n=n×2n-1,所以S n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1, 则2S n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,两式相减可得-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=1−2n1−2-n×2n=(1-n)×2n-1, 所以S n=1+2n(n-1).2.解析(1)因为数列{a n }满足a 1=1,2S n =3a n -4n (n ≥2), 所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=32a n -2n -32a n -1+2(n -1)=32a n -32a n -1-2, 所以12a n =32a n -1+2,所以a n =3a n -1+4, 所以a n +2=3(a n -1+2). 因为a 1+2=3,所以数列{a n +2}是首项为3,公比为3的等比数列, 所以a n +2=3n ,所以a n =3n -2. (2)b n =log 3(a n +2)a n +2=log 33n 3n=n 3n, 所以T n =13+232+333+…+n3n , 又13T n =132+233+334+…+n 3n+1, 两式相减,得23T n =13+132+133+…+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n 3n+1=12−12·3n −n3n+1,所以T n =34−2n+34·3n. 3.C 由题意知,该人每天行走的里数构成一个等比数列,设为{a n }(n ∈N *),公比q =12,S 6=a 1(1−126)1−12=378,所以a 1=192,所以a 6=192×125=6.故该人最后一天走的路程为6里.4.解析(1)设该学生第n 次服药后,药在他体内的残留量为a n mg,则a 1=220,a 2=220+a 1×(1-60%)=220+220×0.4=308, a 3=220+a 2×(1-60%)=220+308×0.4=343.2.因为第二天早上是该学生第三次服药,所以服药后,药在该学生体内的残留量为343.2 mg . (2)由(1)得a n =220+0.4a n -1(n ≥2). 设a n -x =0.4(a n -1-x ),得x =1 1003,即a n -1 1003=0.4(a n -1-1 1003)(n ≥2),所以{a n -1 1003}是以a 1-1 1003为首项,0.4为公比的等比数列,所以a n -1 1003=(a 1-1 1003)·0.4n -1<0, 所以a n <1 1003<386. 综上,该学生长期服用该药不会产生副作用. 二、能力提升1.D 方法一由题意,得a 1=S 1=3+a ,a 2=S 2-S 1=6,a 3=S 3-S 2=18,因为a 1,a 2,a 3成等比数列,所以62=(3+a )×18,解得a =-1.方法二设等比数列{a n }的公比为q ,则S n =a 1(1−q n )1−q =A (q n -1),其中A =-a11−q .由S n =3n +a 可知A =1,a =-A =-1.2.B设等比数列{a n }的公比为q.因为S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+a 3+a 2+a 4=a 1+a 3+q (a 1+a 3)=(1+q )(a 1+a 3)=5(1+q )=20,所以q =3,则S 8−2S 4S 6−S 4−S 2=(S 8−S 4)−S 4(S 6−S 2)−S 4=q 4S 4−S 4q 2S 4−S 4=q 4−1q 2−1=q 2+1=10. 3.B 由题设,从下到上正方体的棱长构成公比为√22的等比数列,设为{a n },则a 1=1,a n =(√22)n -1.设从下到上正方体积木露在外面的面积构成数列{S n },则S 1=92a 12,…,S n -1=92a n−12,S n =5a n 2,所以S 1+…+S n -1+S n =92(a 12+…+a n−12)+5a n 2=92(1−12n−11−12)+52n−1=9-42n−1≥8.8,所以82n ≤15,即2n ≥40,可得n >5,故正方体的个数至少是6.4.BC 由题可知,第一次着地时,S 1=100;第二次着地时,S 2=100+200×34;第三次着地时,S 3=100+200×34+200×(34)2;……则第n 次着地时,S n =100+200×34+200×(34)2+…+200×(34)n -1=100+200[34+(34)2+…+(34)n -1]=100+600[1-(34)n -1],显然S n <700.又S n 递增,n ≥3,故当n =3时,S n 取得最小值,为7252.故选BC.5.D 设第n +1分钟之内病毒新感染的文件数为a n +1,前n 分钟内病毒新感染的文件数之和为S n ,则a n +1=2(S n +1),且a 1=2.由a n +1=2(S n +1),可得当n ≥2时,a n =2(S n -1+1),所以a n +1-a n =2a n ,所以a n +1=3a n ,又a 2=2(a 1+1)=6=3a 1也满足上式,所以每分钟内新被病毒感染的文件数构成以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n =2×3n -1,a 3=2×33-1=18,即在第3分钟内,该计算机病毒新感染了18个文件,故说法A 正确,说法D 不正确;经过5分钟,该计算机被病毒感染的文件数为1+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1+2×(1−35)1−3=35=243,故说法B 正确;10分钟后,计算机被病毒感染的文件数为1+a 1+a 2+…+a 10=1+2×(1−310)1−3=310>12×105,所以计算机处于瘫痪状态,故说法C 正确.故选D .6.a n =8n −17解析由题图分析可知a 1=1,a 2=a 1×8+1=8+1,a 3=a 2×8+1=82+8+1,依次类推,a n =8n -1+8n -2+…+1,数列{8n -1}是首项为1,公比为8的等比数列,所以a n =1−8n 1−8=8n −17. 7.解析(1)a n +1=2S n +1,① 当n ≥2时,a n =2S n -1+1,②①-②,得a n +1-a n =2a n ,即a n +1=3a n (n ≥2), 所以{a n }是公比为3的等比数列, 又a 2=2a 1+1=3a 1,得a 1=1,所以a n =1·3n -1=3n -1. (2)由题意知d n =a n+1−a n n+1=3n −3n−1n+1=2·3n−1n+1,所以1d n=n+12·3n−1,所以T n =22×30+32×31+42×32+…+n2×3n−2+n+12×3n−1,③13T n =22×31+32×32+…+n−12×3n−2+n 2×3n−1+n+12×3n,④ 由③-④,得23T n =1+12×31+12×32+…+12×3n−1−n+12×3n=1+16[1−(13)n−1]1−13−n+12×3n =1+14−14×(13)n -1-n+12×3n =54−2n+54×3n, 所以T n =158−2n+58×3n−1<158. 8.解析(1)将2a n =a n -1-n -1两边都加2n ,得2(a n +n )=a n -1+(n -1), 所以a n +nan−1+(n−1)=12,即b nbn−1=12(n ≥2,n ∈N *),又b 1=a 1+1=12,所以数列{b n }是首项为12,公比为12的等比数列. (2)由(1)知,b n =(12)n , 所以nb n =n ·(12)n =n 2n ,所以T n =12+222+323+424+…+n−12n−1+n2n ,①12T n =122+223+324+425+…+n−12n +n 2n+1,② ①-②得12T n =12+122+123+124+…+12n −n2n+1=1-12n −n2n+1, 所以T n =2-2+n2n .(3)由(2)及题目条件,得a n =b n -n =(12)n -n ,所以c n =n ,所以c n 2+c n+1c n2+cn =n 2+n+1n 2+n =1+1n(n+1)=1+1n−1n+1.P 2 022=(1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)+…+(1+12 021−12 022)+(1+12 022−12 023)=2 023-12 023,所以不超过P 2 022的最大的整数是2 022.。

第三节等比数列及其前n项和

a4 =8,即q=2,则前n项和 c a4=8,从而q3= {an}是递增的等比数列,∴a1<a4,∴a1=1, a1
栏目索引
a1 (1 q n ) n Sn= =2 -1. 1 q
(2)因为等比数列{an}中,a10· a11=a9· a12, 所以由a10a11+a9a12=2e5,可得a10· a11=e5. 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1· a2· …· a20)=ln(a10· a11)10=10ln(a10· a11)=10· ln e5=5 0. (3)由题可知q≠-1,故由等比数列的性质知,S3、S6-S3、S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6),
n a1 an q a (1 q ) = 1 =1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn= . 1 q 1 q
栏目索引
n 1-1 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 = (
5 2
5 4
S an
)
A.4n-1
栏目索引
1 所以c1=a1-1=- ≠0, 2
所以数列{cn}是等比数列.
1 1 1 (2)由(1)知cn= · = , 2 2 2
n 1
n
1 所以an=cn+1=1- , 2
n
n
1 所以bn=an-an-1= (n≥2). 2
等比数列的基本运算 )
1 C.1或- 2
1 D. 8
典例1 (1)在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为 ( A.1

2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案

即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。

等比数列课件

1．等比数列的通项公式：an＝ a1qn－1 ，推广形式：an＝am·qn－m (n，m∈N*)．
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公比为 q .
3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数·_a_l ，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·an＝ a2k .
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)，从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·an＝ak2(m，n， k∈N*)．证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2.
∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
问题在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2. ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解由(1)知{an＋1}是等比数列．

第三节等比数列及其前n项和-高考状元之路

第三节等比数列及其前n 项和预习设计基础备考知识梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的比等于那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示．2．等比数列的通项公式设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为q ，则它的通项=n a3．等比中项若，则G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：.m n a a = *).,(N m n ∈(2)若}{n a 为等比数列，且*),,,(1N n m i k n m k ∈⋅+=+，则(3)若}{},{n n b a （项数相同）是等比数列，则),0}({=/λλn a }}{{},{},1{2nn n n n n b a b a a a ⋅仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列}{n a 的公比为),0(=/q q 其前n 项和为⋅n s6．等比数列前n 项和的性质若公比不为-1的等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 则,n s n n n n s s s s 232,--仍成等比数列，其公比为典题热身1．已知等比数列}{n a 满足,6,33221=+=+a a a a 则=7a64.A 81.B 128.c243.D 答案：A2．在正项等比数列}{n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a a ( ) 32.A 64.±B 64.C 256.D答案：C3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且h a a a a ==22593,2.则1a 等于（）21.A 22.B 2.C 2.D 答案：B4．(2011．山东济宁一模)在数列}{n a 中，n n ca a =+1（c 为非零常数），且前n 项和为,3k s n n +=则实数A 的值为（）0.A 1.B 1.-c 2.D答案：C5．(2011．上海春高考)若n s 为等比数列}{n a 的前n 项和，,082=+as a 则=36s s 答案：-7 课堂设计方法备考题型一等比数列有关基本量的计算【例1】已知}{n a 为等比数列，,320,2423=+=a a a 求}{n a 的通项公式，题型二等比数列的判定与证明【例2】已知数列}{n a 和}{n b 满足：432,11-+==+n a a a n n λ，n n b )1(-=),213(+-n a n 其中A 为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数⋅,λ数列}{n a 不是等比数列；(2)证明：当18-=/λ时，数列}{n b 是等比数列，答案：C3．（2010．全国I ）已知各项均为正数的等比数列*}{a 中，,10,5987321==a a a a a a 则=654a a a ( ) 25.A 7.B 6.C 24.D答案：A4．(2010．广东高考)已知数列}{n a 为等比数列，n s 是它的前n 项和，若,2.132a a a =且4a 与72a 的等差中项为,45则=5s ( ) 35.A 33.B 31.C 29.D答案：C5．(2010．辽宁高考)设}{n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和．若,7,1342==S a a 则=5s ( )215.A 431.B 433.C 217.D 答案：B高效作业技能备考一、选择题1．（2011．菱湖模拟）在等比数列}{n a 中，,21=a 前n 项和为,n s 若数列}1{+n a 也是等比数列，则n s 等于 ( )n A 2. n B 3. 13.-n C 12.1-+n D答案：A2．（2010．安徽高考）设}{n a 是任意等比数列，若它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )Y Z X A 2.=+ )(2)(.X Z X Y Y B -=- XZ Y C =2. )()(.X Z X X Y Y D -=- 答案：D3．（2011．广东汕头模拟）记等比数列}{n a 的前n 项和为n s 若,18,263==S s 则510s s等于( ) 3.-A 5.B 31.-c 33.D答案：D4．（2011．天津和平区质检）在正项等比数列}{n a 中，<+1n a ,5,6,6482=+=⋅a a a a a n 则75a a等于( ) 65.A 56.B 32.C 23.D 答案：D5．（2011．天津滨海新区五校联考）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比,1=/q 设=+=Q a a p ),log (log 2175.055.0,2log 935.0a a +P 与Q 的大小关系是( ) Q P A ≥. Q P B <. Q p c ≤. Q P D >.答案：D6．（2011．杭州联考）等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,011,01,110099100991<-->->a a a a a 给出下列结论：i q 10<<①;0110199<-a a ②100T ③的值是n T 中最大的；④使1>n T 成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是( )①②④.A ②④.B ①②.c ①②③④.D二、填空题7．若数列*}{a 满足；),(2,111⋅∈==+N a a a n n π则=5a ；前8项的和=8s （用数字作答）答案：16 2558．设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为,n s 则=44a S 答案：159．设}{n a 是公比为q 的等比数列，,1||>q 令=+=n a b n n (1,...),2,1若数列}{n b 有连续四项在集合,19,23,53{--}82,37中，则=q 6答案：-9三、解答题10．（2011．课标全国卷）已知等比数列}{n a 中，,311=a 公比⋅=31q n s )1(为}{n a 的前n 项和，证明：;21n n a s -= (2)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}{n b 的通项公式．11．(2010．陕西高考)已知}{n a 是公差不为零的等差数列，,11=a 且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项；(2)求数列}2{n a 的前n 项和⋅n s12. (2011．安徽高考)在数l 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作,n T 再令.1,lg ≥=n T a n n(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设,tan tan 1+⋅=n n n a a b 求数列}{n b 的前n 项和⋅n s。

高中数学数列等比数列PPT课件

情
比数列时，必有b2＝ac.
典例
2．如果四个实数成等比数列，能否将其设为qa3，qa，
探究
aq，aq3?
课后作
· 提知
【提示】当公比大于 0 时，可以设为qa3，aq，aq，
业
能
aq3，当公比小于 0 时，不能这样设．
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落实
1．(人教 A 版教材习题改编)已知{an}是等比数列，
验 ·
· 固基
a2＝2，a5＝14，则公比 q 等于(
)
明考情
础
A．－12
B．－2
C．2
1 D.2
典例
【解析】由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12.
课
探
后
究
作
· 提
【答案】 D
业
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自主
2．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5
高
自主
3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是
考体
落实
正数，且a3a11＝16，则a5＝(
)
验 ·
·
明
固基
A．1 B．2 C．4 D．8
考情
础
【解析】 ∵a3a11＝16＝a72，且a7＞0，∴a7＝4，由于a7＝a5·q2，∴4＝4a5，则a5＝1.
典
【答案】 A
考情
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，
S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为___q_n____；当公

新高考数学第三节等比数列

解得qa＝1＝21，，
所以 Sn＝a111－－qqn＝2n－1，an＝a1qn－1
＝2n－1，所以Sann＝22nn－－11＝2－21－n，故选 B．
法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为aa65－－aa43＝aa4311－－qq22＝aa43＝2142＝2，所以 q＝2，
a11－qn
所以Sann＝
答案：C
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则
Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
()
C．2－2n－1
D．21－n－1
解析：法一：设等比数列{an}的公比为 q，则由
a5－a3＝a1q4－a1q2＝12， a6－a4＝a1q5－a1q3＝24，
等比数列的性质及应用
考向1 等比数列项的性质应用
(1)已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a24＝π，则tan(a3·a5)＝
A． 3
B．－ 3
()
C．－
3 3
D．± 3
(2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋
a7＋a8＝
()
A．12
[逐点清]
1．(多选) (选择性必修第二册31页练习1题改编)已知数列{an}是等比数列，那么下列
数列一定是等比数列的是
()
A．a1n C．{an＋an＋1}
B．log2a2n D．{an＋an＋1＋an＋2}
解析：等比数列{an}的通项an＝1时，log2a
2 n
＝0，数列{log2a
2 n
}不是等比数列；等比
S2 ＝a111－－qq2＝a11＋q＝4，列的前n项和公式，得S4＝a111－－qq4＝a11＋q1＋q2＝4222－ 2，

2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案

即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、a n、q、n、S n、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和、已知3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中、a 1＝1、a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和、若S m ＝63、求m . [解] (1)设{a n }的公比为q 、由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2、解得q ＝0(舍去)、q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1、则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188、此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1、则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64、解得m ＝6. 综上、m ＝6.抓住基本量a 1, q 、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12、公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14、故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1、b 1＝0、4a n ＋1＝3a n －b n ＋4、4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列、{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )、即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1、所以{a n ＋b n }是首项为1、公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8、即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1、所以{a n －b n }是首项为1、公差为2的等差数列． (2)由(1)知、a n ＋b n ＝12n －1、a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12、 b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。

等比数列知识点总结PPT

02
03
定义
等比数列的极限是指当等比数列的项数趋于无穷大时，数列的通项趋于的某个常数。
性质
等比数列的极限存在且唯一，当且仅当公比的绝对值小于1。此时，极限值为首项除以(1-公比)。
应用
等比数列的极限在数学分析、概率论等领域有着广泛的应用，如求解某些无穷级数的和等。
等比数列与其他知识点的综合应用
06
等比数列常见误区与解题技巧
常见误区及避免方法
误区一
忽视等比数列的首项和公比是否为零。在解决等比数列问题时，必须注意等比数列的首项和公比都不能为零，否则会导致数列无
法构成或计算错误。
误区二
混淆等比数列的求和公式与通项公式。等比数列的求和公式和通项公式是解决等比数列问题的关键，混淆两者会导致计算错误。
02
等比数列求和公式
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
有限项求和公式
01
等比数列前n项和公式：$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
02
特别地，当$r = 1$时，前n项和公式变为：$S_n = na_1$。
技巧三
构造等比数列求解。对于一些看似不是等比数列的问题，可以通过构造等比数列的方法，将其转化为等比数列问题进行求解。
经典例题解析
01 例题一
已知等比数列{an}中，a1=2， q=3，求a4。
02 解析
根据等比数列的通项公式 an=a1*q^(n-1)，将a1=2， q=3，n=4代入公式，可得 a4=2*3^(4-1)=54。
利用求和公式进行数学推导和证明。

等比数列教学课程设计

等比数列教学课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握等比数列的定义、通项公式及性质，能够准确理解和运用相关数学符号；2. 使学生能够运用等比数列的知识解决实际问题，如求和、求项数等；3. 让学生了解等比数列在实际生活中的应用，如金融、科学计算等领域。

技能目标：1. 培养学生运用等比数列性质进行数列分析、推理和计算的能力；2. 培养学生通过观察、分析等比数列问题，提出解题策略并进行有效求解的能力；3. 培养学生运用等比数列知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识和实践能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情，增强学生对等比数列知识点的学习动力；2. 培养学生团队合作精神，通过小组讨论、互助学习等方式，使学生学会倾听、尊重和接纳他人的意见；3. 培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、自主探究的良好习惯。

课程性质：本课程为数学学科的基础课程，是学生在学习数列知识过程中的重要环节。

学生特点：学生处于具备一定数学基础知识和逻辑推理能力的年级，对数列的概念有一定了解，但对等比数列的深入理解和应用尚需引导和培养。

教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动参与课堂讨论，关注学生的个体差异，提高学生的数学素养和应用能力。

在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，以便进行有效的教学设计和评估。

二、教学内容1. 等比数列的定义与性质- 等比数列的概念及数学表示；- 等比数列的通项公式；- 等比数列的常见性质及证明。

2. 等比数列的应用- 求等比数列的前n项和公式；- 求等比数列的项数；- 等比数列在实际问题中的应用案例分析。

3. 等比数列与其他数列的关系- 等比数列与等差数列的区别与联系；- 等比数列与多项式数列的互化；- 等比数列在数学分析中的应用。

教学大纲安排：第一课时：等比数列的定义与性质- 引入等比数列的概念；- 探讨等比数列的通项公式；- 分析等比数列的常见性质及证明。

高中数学等比数列课件(完整版).ppt

演示课件
数列定义公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●

等比数列复习ppt课件

A．63
B．64
C．127
D．128
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
解析：由 a1＝1，a5＝16，得 q4＝aa51＝16，q＝2，S7＝ a111－－qq7＝127.
解析：对等比数列{an}有 S2、S4－S2、S6－S4 成等比数列，
∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24， ∴S6－S4＝2642＝96，S6＝S4＋96＝126.
答案：126
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
答案：34
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
要点点拨
1．常数列与等差数列、等比数列的关系常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为零时，才是等比数列．
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3＝________.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2， ∴{an}的公比 q≠1. 由a111－－qq6÷a111－－qq3＝12，得 q3＝－12， ∴SS93＝11－－qq39＝34.
第三节等比数列
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

第三节等比数列

第三节等比数列【最新考纲】 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的符号表达式为ɑn ＋1ɑn＝q(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果ɑ、G 、b 成等比数列，那么G 叫做ɑ与b 的等比中项．那么G ɑ＝bG，即G 2＝ɑb ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：ɑn ＝ɑ1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ɑ1（q ＝1）ɑ1（1－q n ）1－q ＝ɑ1－ɑn q 1－q （q ≠1）.3．等比数列的性质(1)对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则ɑm ·ɑn ＝ɑp ·ɑq ＝ɑ2k .(2)通项公式的推广：ɑn ＝ɑm q n －m (m ，n ∈N *)．(3)公比不为－1的等比数列{ɑn }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．(4)若数列{ɑn }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λɑn }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1ɑn ，{ɑ2n }，{ɑn ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫ɑn b n (λ≠0)仍是等比数列．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足ɑn ＋1＝q ɑn (n ∈N *，q 为常数)的数列{ɑn }为等比数列．( )(2)G 为ɑ，b 的等比中项⇔G 2＝ɑb.( )(3)如果{ɑn }为等比数列，b n ＝ɑ2n －1＋ɑ2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{ɑn }的通项公式是ɑn ＝ɑn ，则其前n 项和为S n ＝ɑ（1－ɑn ）1－ɑ.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．对任意等比数列{ɑn }，下列说法一定正确的是( ) A ．ɑ1，ɑ3，ɑ9成等比数列 B ．ɑ2，ɑ3，ɑ6成等比数列 C ．ɑ2，ɑ4，ɑ8成等比数列 D ．ɑ3，ɑ6，ɑ9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k(m ，n ，k ∈N ＋)，则ɑm ，ɑk ，ɑn 成等比数列．答案：D3．(2017·广州一模)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋52解析：本题主要考查数列的概念与表示．因为a 3，12a 5，a 4成等差数列，所以a 5＝a 3＋a 4，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以a 5＝a 3·q 2＝a 3(1＋q )，所以1＋q ＝q 2且q ＞0，解得q ＝5＋12，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 5（a 3＋a 5）q＝1q ＝15＋12＝5－12.答案：A4．(2015·广东卷)若三个正数ɑ，b ，c 成等比数列，其中ɑ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．解析：∵ɑ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ɑ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b ＞0，∴b ＝1. 答案：15．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{ɑn }中，ɑ1＝2，ɑn ＋1＝2ɑn ，S n为{ɑn }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．解析：∵ɑ1＝2，ɑn ＋1＝2ɑn ，∴数列{ɑn }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2（1－2n ）1－2＝126，∴n ＝6.答案：6一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式．两个防范1．由ɑn ＋1＝q ɑn (q ≠0)，并不能断言{ɑn }为等比数列，还要验证ɑ1≠0.2．应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况致误．三种方法等比数列的三种判定方法1．定义：ɑn ＋1ɑn ＝q(q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{ɑn }是等比数列．2．通项公式：ɑn ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{ɑn }是等比数列．3．等比中项法：ɑ2n ＋1＝ɑn ·ɑn ＋2(ɑn ·ɑn ＋1·ɑn ＋2≠0，n ∈N *)⇔{ɑn }是等比数列．一、选择题1．(经典再现)设首项为1，公比为23的等比数列{ɑn }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2ɑn －1B ．S n ＝3ɑn －2C ．S n ＝4－3ɑnD ．S n ＝3－2ɑn 解析：在等比数列{ɑn }中， S n ＝ɑ1－ɑn q 1－q ＝1－ɑn ·231－23＝3－2ɑn .答案：D2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{ɑn }满足ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，则ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 解析：∵ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21.∴1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝q 2(ɑ1＋ɑ3＋ɑ5)＝2×21＝42.故选B. 答案：B3．已知等比数列{ɑn }的公比为正数，且ɑ3ɑ9＝2ɑ25，ɑ2＝2，则ɑ1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 解析：由等比数列的性质得ɑ3ɑ9＝ɑ26＝2ɑ25，∵q ＞0，∴ɑ6＝2ɑ5，q ＝ɑ6ɑ5＝2，ɑ1＝ɑ2q ＝ 2.答案：C4．已知数列{ɑn }满足log 3ɑn ＋1＝log 3ɑn ＋1(n ∈N *)，且ɑ2＋ɑ4＋ɑ6＝9，则log 13(ɑ5＋ɑ7＋ɑ9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3ɑn ＋1＝log 3ɑn ＋1(n ∈N *)，得log 3ɑn ＋1－log 3ɑn ＝1，即log 3ɑn ＋1ɑn＝1，解得ɑn ＋1ɑn＝3，所以数列{ɑn }是公比为3的等比数列．因为ɑ5＋ɑ7＋ɑ9＝(ɑ2＋ɑ4＋ɑ6)q 3，所以ɑ5＋ɑ7＋ɑ9＝9×33＝35.所以log 13(ɑ5＋ɑ7＋ɑ9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B5．(2016·河北石家庄调研)已知各项均为正数的等比数列{ɑn}中，ɑ4与ɑ14的等比中项为22，则2ɑ7＋ɑ11的最小值为() A．16 B．8 C．2 2 D．4解析：∵ɑ4与ɑ14的等比中项为22，∴ɑ4·ɑ14＝ɑ7·ɑ11＝(22)2＝8，∴2ɑ7＋ɑ11≥22ɑ7ɑ11＝22×8＝8，∴2ɑ7＋ɑ11的最小值为8.答案：B6．数列{ɑn}中，已知对任意n∈N*，ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋…＋ɑn＝3n－1，则ɑ21＋ɑ22＋ɑ23＋…＋ɑ2n等于()A．(3n－1)2 B.12(9n－1)C．9n－1 D.14(3n－1)解析：∵ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn＝3n－1，n∈N*，n≥2时，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，ɑn＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，ɑ1＝2适合上式，∴ɑn＝2·3n－1，故数列{ɑ2n}是首项为4，公比为9的等比数列，因此ɑ21＋ɑ22＋…＋ɑ2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1)．答案：B 二、填空题7．(2014·安徽卷)数列{ɑn }是等差数列，若ɑ1＋1，ɑ3＋3，ɑ5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．解析：设数列{ɑn }的公差为d ，则ɑ1＝ɑ3－2d ，ɑ5＝ɑ3＋2d ，由题意得，(ɑ1＋1)(ɑ5＋5)＝(ɑ3＋3)2，即(ɑ3－2d ＋1)·(ɑ3＋2d ＋5)＝(ɑ3＋3)2，整理，得(d ＋1)2＝0，∴d ＝－1，则ɑ1＋1＝ɑ3＋3，故q ＝1. 答案：18．等比数列{ɑn }的前n 项和为S n ，若ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋ɑ4＝1，ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＋ɑ8＝2，S n ＝15，则项数n ＝________．解析：ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＋ɑ8＝(ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋ɑ4)q 4＝q 4＝2， ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋ɑ4＝ɑ1（1－q 4）1－q ＝－ɑ11－q ＝1，∴ɑ11－q ＝－1，又S n ＝15，即ɑ1（1－q n ）1－q ＝15，∴q n ＝16，又q 4＝2.∴n ＝16. 答案：169．(2016·郑州一检)已知等比数列{ɑn }，前n 项和为S n ，ɑ1＋ɑ2＝34，ɑ4＋ɑ5＝6，则S 6＝________．解析：由条件可设该等比数列首项为ɑ1，公比为q ，则由ɑ4＋ɑ5＝(ɑ1＋ɑ2)q 3可得q ＝2，代入ɑ1＋ɑ2＝34可得ɑ1＝14，故S 6＝ɑ1（1－q 6）1－q＝634. 答案：634三、解答题10．在等比数列{ɑn }中，ɑ2＝3，ɑ5＝81. (1)求ɑn ；(2)设b n ＝log 3ɑn ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{ɑn }的公比为q ，依题意，得⎩⎨⎧ɑ1q ＝3，ɑ1q 4＝81，解得⎩⎨⎧ɑ1＝1，q ＝3.因此，ɑn ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3ɑn ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.11．数列{ɑn }的前n 项和记为S n ，ɑ1＝t ，点(S n ，ɑn ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{ɑn }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4ɑn ＋1，c n ＝ɑn ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n .解：(1)∵点(S n ，ɑn ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴ɑn ＋1＝3S n ＋1，ɑn ＝3S n －1＋1(n ＞1，且n ∈N *)， ɑn ＋1－ɑn ＝3(S n －S n －1)＝3ɑn ，∴ɑn＋1＝4ɑn，n＞1，ɑ2＝3S1＋1＝3ɑ1＋1＝3t＋1，∴当t＝1时，ɑ2＝4ɑ1，数列{ɑn}是等比数列．(2)在(1)的结论下，ɑn＋1＝4ɑn，ɑn＋1＝4n，b n＝log4ɑn＋1＝n，c n＝ɑn＋b n＝4n－1＋n，T n＝c1＋c2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝4n－13＋n（n＋1）2.。

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