第2节 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化

T
T
T
由于 是非零复向量，必有
x1 x1 x 2 x2
故
T
x n xn 0
.
R.
注 （1）对称矩阵的特征值未必是实数．
（2）特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵． （3）反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
即 故
(1 2 ) 0.
T 1 2
1T 2 [1 , 2 ] 0.
即1 与 2正交.
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
定理3：对n 阶实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使
T 1 AT diag(1 , 2 ,
其中 1 , 2 ,
, n )
性质2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证：设 1 , 2 是A的两个不同特征值 ，
1 , 2分别是属于 1 , 2 的特征向量．
则
11T 2 (11 )T 2 ( A1 )T 2 1T AT 2
1T ( A 2 ) 1T (2 2 ) 21T 2
把它们按 Schmidt 正交化过程化成两两正交的单位特
征向量 1 ,2 ,
,n .
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
(iii)以1 ,2 ,
,n为列向量构成正交矩阵T，则有
T 1 AT 为对角形．
例3．设
2 2 0 A 2 1 2 0 2 0
, m .
i E A x 0,
的特征向量）.
i 1,2,
,m
的一个基础解系（此即A的属于 i 的全部线性无关
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则
矩阵A可对角化；否则A不可对角化. 4°以这些解向量为列，作一个n阶方阵P，则P可逆，
定理2 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化
属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数
等于该特征值的重数.
例 1. 设
0 0 1 A 1 1 a 1 0 0
问 a 为何值时，A可对角化？
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
对角化的判断 步骤:
1°求出矩阵A的全部互不相等的特征值 1 , 2 , 2°对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
其重数 n1 , n2 ,
, nm 必满足
ni n ; i 1
, iki ( i 1,2, , m)
m
, m R,
(ii) 对每个 i ，解齐次线性方程组 (i E A) x 0
i1 , i 2 , 求出它的一个基础解系：
它是A的属于特征值 i 的特征向量．
定义1：矩阵A是一个 n 阶方阵，若存在可逆矩阵
P ，使 P 1 AP 为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则
称矩阵A可对角化. 定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化
A 有 n 个线性无关的特征向量.
推论 若n阶矩阵A有n个不同特征值，则A可对角化.
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
其中 x i 为 xi 的共轭复数，
又由A实对称，有 A A, AT A,
于是
T
A A A
T T T T T
A A A
( ) 0
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
2 2 E A 2 2 4 2 4 2
1
2 7
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得A的特征值是2，2，-7 .
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 2 x1 0 2 4 4 x 2 0 2 4 4 x 0 3
T
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
所以A可对角化.
2 0 1 令 P 1 , 2 , 3 0 1 2 1 1 2 2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 7
则
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
的一个基础解系: 1 2,0,1 , 2 0,1,1
T
T
对于特征值－7，求出齐次方程组
8 2 2 x1 0 2 5 4 x2 0 2 4 5 x 0 3
的一个基础解系: 3 (1,2, 2)
P 1 AP 就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的
互不相等的特征值.
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2 P 1 AP 为对角矩阵. 这里 A 2 2 4 2 4 2
解: A的特征多项式为
二、实对称矩阵的对角化
性质1 设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数．
证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2 x n
满足
A .
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
令
x1 x2 , xn
, n 为 A 的全部特征值.
注： ①实对称矩阵一定可以对角化（与对角矩阵
相似），且正交相似于对角矩阵.
② 对于实对称矩阵A，使T 1 AT diag(1 , 2 , 成立的正交矩阵不是唯一的．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
, n )
实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
1 , 2 , (i) 求出A的所有不同的特征值：
求一正交矩阵T，使 T 1 AT 为对角矩阵．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
例4．设
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
1）求一可逆矩阵P，使 P 1 AP 成对角形； 2) 求一正交矩阵T，使 T 1 AT 成对角形．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件
二、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
一、矩阵可对角化的条件