初中毕业数学试卷
2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷(白卷)
2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷（白卷）一、单选题1．如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（）A．a与b B．b与d C．b与c D．c与d2．关于0+=，用文字语言可以描述为（）a bA．a b，互为倒数B．a b，互为负倒数C．a是b的绝对值D．a b，互为相反数3．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物BC的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（）∠B．当无人机远离BC水平飞行时，仰角增大A．仰角为BADC．俯角为CAD∠D．当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小4．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“○”的质量相等，则n的值为（）A．1B．2C．3D．45．如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（）A ．254cmB ．25cmC ．32cmD ．64cm 6．下列运算中，与()2222a b b ⋅-运算结果相同的是（ ）A ．()222b ab ⋅B ．238a b -+C ．()232a b -⋅D ．()322a b - 7．如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB 放置在数轴上，点A ，B 对应的数分别为5-，5，从点C ，D 两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C 对应的数为2-，则点D 在数轴上对应的数可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为1.910m ⨯，关于m 的描述，下列说法正确的是（ ）A ．m 为负数B ．4m =C ．m 等于19万的整数位数D ．当m 增加1时，原数扩大为原来的10倍 9．如图，在Rt 90ABC BAC AD ∠=︒V ，，是BC 边上的高，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB BC ，于点M ，N ，分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点E ，交AD 于点F ，下列说法不一定正确的是（ ）A ．ABE CBE ∠=∠B ．2ABE CAD ∠=∠C ．2BF DF =D ．AF AE =10．在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20名运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8，方差为3.64．后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩（即嘉嘉实际按19名运动员的成绩计算），且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是2s ，则（ ）A ．2 3.64s =B ．2 3.64s <C ．2 3.64s >D ． 3.64s =11．如图，若6a b =，则212ab b a a b a ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭的值在（ ）A ．第①段B ．第②段C ．第③段D ．第④段12．如图，矩形纸片ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点N 处，折痕AF 交DC 于点F ．若使四边形AECF 是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AE BE =；乙方案：连接EF EF AC ⊥，；丙方案：30BAC ∠=︒，其中正确的方案是（ ）A ．甲、乙、丙B ．只有乙、丙C ．只有甲、乙D ．只有甲、丙13．已知m n ，是方程2340x x --=的两根，求代数式()1352mn m m n mn -+--的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ）A ．嘉嘉，淇淇都对B ．嘉嘉对，淇淇不对C ．嘉嘉不对，淇淇对D ．嘉嘉，淇淇都不对14．如图，正六边形ABCDEF 和正六边形GHIJKL 均以点O 为中心，连接AG BH CI DJ EK FL ，，，，，（A ，G ，H 三点共线），若2,3CI IJ ==，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）AB ．5CD ．1915．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5y x =-+的图像与反比例函数()40y x x =>的图像交于A ，B 两点，P 是反比例函数图像上的一个动点，连接PA ，PB ，当PAB V 的面积为定值时，相应的点P 有且只有3个，则点P 到直线AB 的距离为（ ）A ．1BCD ．3216．如图，ABC V 内接于,O AC e 为O e 的直径，点D ，E 分别为O e 上的动点（不与点A ，点B ，点C 重合），且,D E B C F=为DE 的中点，连接OF ．若6,8A B B C ==，对于结论I ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）结论I ：连接,,,BD CD CE EB 必得到等腰梯形；结论Ⅱ：连接,AF AF 的最大值为8．A ．I ，Ⅱ都对B ．I ，Ⅱ都不对C ．I 对Ⅱ不对D ．I 不对Ⅱ对二、填空题17a 的值：．三、解答题18．如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD 的面积为25，小正方形EFGH 的面积为1．（1）如图2，连接DG CF BE AH ，，，得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为．（2）如图3，连接AC ，交BG 于点P ，交DE 于点M ，则AFP CGP S S -=△△．四、填空题19．已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各2m 只，将红、绿、蓝三种颜色的筷子分别放入甲、乙、丙桶中．（1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m 的值为；（2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出()1a a m <<只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出2a 只筷子放入甲桶中，其中有2x 只绿色筷子()0x a <<，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，则m x的值为．五、解答题20．如图是象棋盘的一部分，给每个棋盘格规定不同的数．一个棋子“象”从点A 出发向点B 行进（规定：象只能走“田”字格），会有两种不同的路线．(1)求“路线1”上第一步和第二步上数字的和；(2)若“路线2”上第一步两个数字的积大于第二步两个式子的和，求x的取值范围．21．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（m n）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的32．(1)求m与n的关系；(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．22．某校开展主题为“与书为友，悦读人生”的读书活动，以提升青少年的课外阅读兴趣．为了解学生课外阅读时间的情况，从七年级学生中随机抽取一部分学生对他们两周的课外阅读时间进行调查．信息一：图15是根据学生第一周的课外阅读时间绘制成的统计图表．信息二：在第二周调查时，发现第一周课外阅读时间为7h 的四名学生第二周课外阅读时间分别为8h 9h 9h 10h ，，，，其他学生的课外阅读时间不变． 根据上述信息，解答下列问题：(1)本次调查采取的调查方式是____________，a 的值为____________；(2)第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了多少？(3)从第一周课外阅读时间为7h 的四名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为9h 的概率．23．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程12y y ，（米）与测试时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：(1)求出线段OA 和线段CE 的解析式；(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇；(3)当25x ≤≤时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过30米的时间有多少分钟？ 24．如图1是对心曲柄滑块机构，如图2是对心曲柄滑块机构运动的模型示意图，滑块B 和曲柄OA 的端点O 在一条直线上，曲柄OA 从OC 开始绕回转中心O 逆时针整周转动的过程中，连杆AB 使滑块B 在直线OB 上往复运动．直线OB 与O e 交于C ，D 两点（点D 在点C 的左侧），连杆AB 在运动过程中与O e 的另一交点为点E ．曲柄OA 的长度为8dm ．当连杆AB 与O e 相切时，点C 恰好为OB 的中点．(1)求连杆AB 的长；(2)当曲柄OA 转动使得AB 首次与O e 相切时，求滑块B 在直线OB 上移动的距离；(3)如图3，当曲柄OA 转动，首次使得3AB BE =时，求曲柄OA 扫过的面积．25．如图，抛物线:L 2222y x mx m =+-+，M 为抛物线的顶点，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，且点P 的横坐标为m ．(1)求点M 的坐标（用含m 的式子表示）；(2)连接PM ，当线段PM 与抛物线L 只有一个交点时，求m 的取值范围；(3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点(),1P m -． ①求抛物线L 的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由；②若点(),0Q n 为x 轴上的动点，过Q 作直线2l x ⊥轴，将抛物线()2:222L y x mx m x n =+-+≤的图象记为1W ，将1W 沿直线2l 翻折后的图象记为2W ，当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n 的取值范围．26．如图1，在Rt ABC △，4AC BC ==，点D 是射线AB 上一动点，连接CD ，以CD 为边在CD 右侧作正方形CDEF ，连接BE BF ，．(1)若G为BC的中点，连接FG，求FG的最小值；(2)当点D在线段AB上运动时．①求EBF∠的度数；②连接CE交线段AB于点H，若43BE=，求BD的长；(3)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，延长AC交BF于点M，连接EM．若BD 直接写出sin BME∠的值．。
初中毕业考数学试卷及答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：将x=3代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得到f(3) = 3^2 - 23 + 1 = 4。
2. 下列哪个数是负数？（）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 2答案：A解析：负数是小于0的数，只有A选项的-1/2是负数。
3. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm答案：C解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长=底边长+两腰长=6cm+8cm+8cm=24cm。
4. 下列哪个图形是轴对称图形？（）B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A解析：轴对称图形是指通过某条直线将图形分成两部分，两部分完全重合。
正方形满足这个条件。
5. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的解为（）A. x1=2，x2=3B. x1=3，x2=2C. x1=-2，x2=-3D. x1=-3，x2=-2答案：A解析：通过因式分解或配方法解得方程的解为x1=2，x2=3。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为______。
答案：37解析：根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可得a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 13。
7. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则sinC的值为______。
答案：√3/2解析：在直角三角形中，sinC = 对边/斜边。
∠C=90°-∠B=60°，所以sinC = √3/2。
8. 若一个正方形的边长为a，则该正方形的面积为______。
解析：正方形的面积=边长×边长=a×a=a^2。
2024年福建省莆田市初中毕业班质量检查数学试卷 和答案
2024年莆田市初中毕业班质量检查试卷数学（满分150分；考试时间：120分钟）友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小华5月份体重增长2kg，记作+2kg．小颖体重减少1kg，记作A．+1kg B．-1kg C．-2kg D．-3kg2．2024年2月17日，全球首架C919大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是C919大型客机的实物图，其俯视图是A．B．C．D．3．在2023中国正能量网络精品征集展播活动中，《16频道》以世界听得懂、看得见的表达方式，讲述海军故事，诠释了人类命运共同体理念．海外传播量超过3000万次，数据3000万用科学记数法表示是A.3000×104B.3×106C.3×107D.3×1084．红团是莆田的特色小吃，在以下红团图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．5．下列运算结果为x3的是A．x+x2B．x4-x C．x·x2D．x6÷x26．将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若∠1＝105°，则∠2的度数为A．15°B．60°C．65°D．75°7．若a =20242-2023×2024，2024420252⨯-=b ，20222024⨯=c ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为A ．12B ．22C ．47D ．389．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，求作∠ACB 的三等分线．阅读以下作图步骤：(1)分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别交于点D ，E ，作直线DE交AB 于点F ，交AC 于点H ，画射线CF ；(2)以点C 为圆心，适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交CF 于点N ；(3)分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠BCF 的内部交于点G ，画射线CG ，则射线CF ，CG 即为所求．下列说法不正确的是A ．AF =CF B ．12FH CH=C ．CG ⊥ABD ．△BCF 为等边三角形10．为了解全班学生的身高情况，王老师测量了班上在场学生的身高，经计算后发现男生的平均身高是170cm ，女生的平均身高是160cm ，当天有两名学生缺课．第二天这两名学生均到校上课，老师也测量了他们的身高．有趣的是，重新计算后全班男、女生的平均身高都不变．下列说法正确的是A ．全班学生的平均身高不变B ．缺课的两名学生身高相同C ．若缺课的两名学生都是男生，则身高都是170cmD ．若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高170cm ，女生身高160cm 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2023年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷(解析版)
2023年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题-的意义可以是（）1.代数式7xA.7-与x的和B.7-与x的差C.7-与x的积D.7-与x的商【答案】C【解析】【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答．-的意义可以是7-与x的积．【详解】解：7x故选C．【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．2.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A.南偏西70︒方向B.南偏东20︒方向C.北偏西20︒方向D.北偏东70︒方向【答案】D【解析】【分析】根据方向角的定义可得答案．【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70︒方向．故选D．【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．3.化简233y x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是（）A.6xy B.5xy C.25x y D.26x y 【答案】A【解析】【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．【详解】解：2363362y y x x xy x x =⎛⎝⋅⎫= ⎪⎭，故选：A ．【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．4.1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，∴抽到的花色是黑桃的概率为17，抽到的花色是红桃的概率为37，抽到的花色是梅花的概率为17，抽到的花色是方片的概率为27，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选B ．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．5.四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时，对角线AC 的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】利用三角形三边关系求得04AC <<，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在ACD 中，2AD CD ==，∴2222AC -<<+，即04AC <<，当4AC BC ==时，ABC 为等腰三角形，但不合题意，舍去；若3AC AB ==时，ABC 为等腰三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6.若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（）A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除【答案】B【解析】【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：22(23)4k k +-(232)(232)k k k k =+++-3(43)k =+，3(43)k +能被3整除，∴22(23)4k k +-的值总能被3整除，故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为22()()a b a b a b -=-+通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．7.若a b ===（）A.2B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】把a b ==【详解】解：∵a b ==2==，故选：A ．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．8.综合实践课上，嘉嘉画出ABD △，利用尺规作图找一点C ，使得四边形ABCD 为平行四边形．图1~图3是其作图过程．（1）作BD 的垂直平分线交BD 于点O ；（2）连接AO ，在AO 的延长线上截取OC AO =；（3）连接DC ，BC ，则四边形ABCD 即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（）A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等【答案】C【解析】【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．【详解】解：根据图1，得出BD 的中点O ，图2，得出OC AO =，可知使得对角线互相平分，从而得出四边形ABCD 为平行四边形，判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是：对角线互相平分，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．9.如图，点18~P P 是O 的八等分点．若137PP P ，四边形3467P P P P 的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A.a b< B.a b = C.a b > D.a ，b 大小无法比较【答案】A【解析】【分析】连接1223,PP P P ，依题意得12233467PP P P P P P P ===，4617P P PP =，137PP P 的周长为131737a PP PP P P ++=，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ++=+，故122313b a PP P P PP +-=-，根据123PP P 的三边关系即可得解．【详解】连接1223,PP P P ，∵点18~P P 是O 的八等分点，即 1223345566778148PP P P P P P P P P P P P P P P =======∴12233467PP P P P P P P ===， 464556781178P P P P P P P P P P PP =+=+=∴4617P P PP =又∵137PP P 的周长为131737a PPPP P P ++=，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ++=+，∴()()34466737131737b a P P P P P P P P PP PP P P ++-++=+-()()12172337131737PP PP P P P P PP PP P P =+++-++122313PP P P PP =-+在123PP P 中有122313PPP P PP >+∴1223130b a PP P P PP -=+>-故选A ．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．10.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于129.4610km ⨯．下列正确的是（）A.12119.4610109.4610⨯-=⨯B.12129.46100.46910⨯-=⨯C.129.4610⨯是一个12位数D.129.4610⨯是一个13位数【答案】D【解析】【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．【详解】解：A.12119.4610109.4610⨯÷=⨯，故该选项错误，不符合题意；B.12129.46100.46910⨯-≠⨯，故该选项错误，不符合题意；C.129.4610⨯是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；D.129.4610⨯是一个13位数,正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．11.如图，在Rt ABC △中，4AB =，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF ，若16AMEF S =正方形，则ABC S = （）A.3B.3C.12D.16【答案】B【解析】【分析】根据正方形的面积可求得AM 的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边BC 的长，利用勾股定理求得AC 的长，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵16AMEF S =正方形，∴164AM ==，∵Rt ABC △中，点M 是斜边BC 的中点，∴28BC AM ==，∴22224438AC BC AB =-=-=，∴114438322ABC S AB AC =⨯⨯=⨯⨯= ，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．12.如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案．【详解】解：由题意画出草图，如图，平台上至还需再放这样的正方体2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键．13.在ABC 和A B C ''' 中，3064B B AB A B AC A C '''''∠=∠=︒====，，．已知C n ∠=︒，则C '∠=（）A.30︒B.n ︒C.n ︒或180n ︒-︒D.30︒或150︒【答案】C【解析】【分析】过A 作AD BC ⊥于点D ，过A '作A D B C ''''⊥于点D ¢，求得3AD A D ''==，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A 作AD BC ⊥于点D ，过A '作A D B C ''''⊥于点D ¢，∵306B B AB A B '''∠=∠=︒==，，∴3AD A D ''==，当B C 、在点D 的两侧，B C ''、在点D ¢的两侧时，如图，∵3AD A D ''==，4AC A C ''==，∴()Rt Rt HL ACD A C D '''≌△△，∴C C n '∠=∠=︒；当B C 、在点D 的两侧，B C ''、在点D ¢的同侧时，如图，∵3AD A D ''==，4AC A C ''==，∴()Rt Rt HL ACD A C D '''≌△△，∴'''A C D C n ∠=∠=︒，即'''180'''180A C B A C D n ∠=︒-∠=︒-︒；综上，C '∠的值为n ︒或180n ︒-︒．故选：C ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．14.如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆的半径为R ，根据机器人移动时最开始的距离为2AM CN R ++，之后同时到达点A ，C ，两个机器人之间的距离y 越来越小，当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．15.如图，直线12l l ∥，菱形ABCD 和等边EFG 在1l ，2l 之间，点A ，F 分别在1l ，2l 上，点B ，D ，E ，G 在同一直线上：若50α∠=︒，146ADE ∠=︒，则β∠=（）A.42︒B.43︒C.44︒D.45︒【答案】C【解析】【分析】如图，由平角的定义求得18034ADB ADE Ð=°-Ð=°，由外角定理求得，16AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°，根据平行性质，得16GIF AHD Ð=Ð=°，进而求得44EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°．【详解】如图，∵146ADE ∠=︒∴18034ADB ADE Ð=°-Ð=°∵ADB AHDαÐ=Ð+Ð∴503416AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°-°=°∵12l l ∥∴16GIF AHD Ð=Ð=°∵EGF GIFβÐ=Ð+Ð∴601644EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．16.已知二次函数22y x m x =-+和22y x m =-（m 是常数）的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A.2B.2mC.4D.22m 【答案】A【解析】【分析】先求得两个抛物线与x 轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令0y =，则220x m x -+=和220x m -=，解得0x =或2x m =或x m =-或x m =，不妨设0m >，∵()0m ，和()0m -，关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴()20m ，与原点关于点()0m ，对称，∴22m m =，∴2m =或0m =（舍去），∵抛物线22y x m =-的对称轴为0x =，抛物线22y x m x =-+的对称轴为222m x ==，∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二、填空题17.如图，已知点(3,3),(3,1)A B ，反比例函数(0)k y k x=≠图像的一支与线段AB 有交点，写出一个符合条件的k 的数值：_________．【答案】4（答案不唯一，满足39k ≤≤均可）【解析】【分析】先分别求得反比例函数(0)k y k x =≠图像过A 、B 时k 的值，从而确定k 的取值范围，然后确定符合条件k 的值即可．【详解】解：当反比例函数(0)k y k x=≠图像过(3,3)A 时，339k =⨯=；当反比例函数(0)k y k x =≠图像过(3,1)B 时，313k =⨯=；∴k 的取值范围为39k ≤≤∴k 可以取4．故答案为4（答案不唯一，满足39k ≤≤均可）．【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k 的值是解答本题的关键．18.根据下表中的数据，写出a 的值为_______．b 的值为_______．x结果代数式2n31x +7b21x x +a 1【答案】①.52②.2-【解析】【分析】把2x =代入得21x a x +=，可求得a 的值；把x n =分别代入31x b +=和211x x+=，据此求解即可．【详解】解：当x n =时，31x b +=，即31n b +=，当2x =时，21x a x +=，即221522a ⨯+==，当x n =时，211x x +=，即211n n +=，解得1n =-，经检验，1n =-是分式方程的解，∴()3112b =⨯-+=-，故答案为：52；2-【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．19.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l 上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l 平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中（1）α∠=______度．（2）中间正六边形的中心到直线l 的距离为______（结果保留根号）．【答案】①.30②.【解析】【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l 的距离转化为求ON OM BE =+，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出,OM BE 即可求解．【详解】解：（1）作图如下：根据中间正六边形的一边与直线l 平行及多边形外角和，得60ABC ∠=︒，906030A α∠=∠=︒-︒=︒，故答案为：30；（2）取中间正六边形的中心为O，作如下图形，由题意得：AG BF ∥，AB GF ∥,BF AB ⊥，∴四边形ABFG 为矩形，AB GF ∴=，,90BAC FGH ABC GFH ∠=∠∠=∠=︒ ，()Rt Rt SAS ABC GFH ≌，BC FH ∴=，在Rt PDE △中，1,DE PE ==，由图1知2AG BF PE ===，由正六边形的结构特征知：12OM =⨯=()112BC BF CH =-=，3tan 3BC AB BAC ∴==-∠，21BD AB ∴=-=，又1212DE =⨯= ，BE BD DE ∴=+=，ON OM BE ∴=+=故答案为：【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征．三、解答题20.某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：投中位置A 区B 区脱靶一次计分（分）312-在第一局中，珍珍投中A 区4次，B 区2次，脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A 区k 次，B 区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k 的值．【答案】（1）珍珍第一局的得分为6分；（2）6k =．【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；（2）根据题意列一元一次方程即可求解.【小问1详解】解：由题意得()4321426⨯+⨯+⨯-=(分)，答：珍珍第一局的得分为6分；【小问2详解】解：由题意得()()3311032613k k +⨯+--⨯-=+，解得：6k =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．21.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(1)a >．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为12,S S ．（1）请用含a 的式子分别表示12,S S ；当2a =时，求12S S +的值；（2）比较1S 与2S 的大小，并说明理由．【答案】（1）2132S a a =++，251S a =+，当2a =时，1223S S +=（2）12S S >，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到12,S S ，12S S +，将2a =代入用2a =a 表示12S S +的等式中求值即可；（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．【小问1详解】解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：21S a S a S ===甲乙丙，，，∴213232S S S S a a =++=++甲乙丙，2551S S S a =+=+乙丙，∴()()2212325183S S a a a a a +=++++=++，∴当2a =时，212282323S S +=+⨯+=；【小问2详解】12S S >，理由如下：∵2132S a a =++，251S a =+∴()()()222123251211S S a a a a a a -=++-+=-+=-∵1a >，∴()21210S S a -=->，∴12S S >．【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．22.某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？【答案】（1）中位数为3.5分，平均数为3.5分，不需要整改（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由3.5分变成4分【解析】【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．【小问1详解】解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；∴客户所评分数的中位数为：34 3.52+=(分)由统计图可知，客户所评分数的平均数为：1123364555 3.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分)∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，∴该部门不需要整改．【小问2详解】设监督人员抽取的问卷所评分数为x 分，则有：3.520 3.55201x ⨯+>+解得： 4.55x >∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，∵45<，∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，即加入这个数据之后，中位数是4分．∴与（1）相比，中位数发生了变化，由3.5分变成4分．【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键．23.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分，淇淇恰在点(0)B c ，处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．（1）写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；（2）若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．【答案】（1）1C 的最高点坐标为()32，，19a =-，1c =；（2）符合条件的n 的整数值为4和5．【解析】【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点(6,1)A 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a 的值；令0x =，即可求得c 的值；（2）求得点A 的坐标范围为()()5171 ，，，求得n 的取值范围，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线21:(3)2C y a x =-+，∴1C 的最高点坐标为()32，，∵点(6,1)A 在抛物线21:(3)2C y a x =-+上，∴21(63)2a =-+，解得：19a =-，∴抛物线1C 的解析式为21(3)29y x =--+，令0x =，则21(03)219c =--+=；【小问2详解】解：∵到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，∴点A 的坐标范围为()()5171 ，，，当经过()51，时，211551188n =-⨯+⨯++，解得175n =；当经过()71，时，211771188n =-⨯+⨯++，解得417n =；∴174157n ≤≤∴符合条件的n 的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．24.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，50cm AB =，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN GH ∥．计算：在图1中，已知48cm MN =，作OC MN ⊥于点C ．（1）求OC 的长．操作：将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当30ANM ∠=︒时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与 EQ的长度，并比较大小．【答案】（1）7cm ；（2）11cm 2；（3）253cm 3EF =， 25π=cm 6EQ ， EF EQ >．【解析】【分析】（1）连接OM ，利用垂径定理计算即可；（2）由切线的性质证明OE GH ⊥进而得到OE MN ⊥，利用锐角三角函数求OD ，再与（1）中OC 相减即可；（3）由半圆的中点为Q 得到90QOB ∠=︒，得到30QOE ∠=︒分别求出线段EF 与 EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：（1）连接OM ，∵O 为圆心，OC MN ⊥于点C ，48cm MN =，∴124cm 2MC MN ==，∵50cm AB =，∴125cm 2OM AB ==，∴在Rt OMC 中，7cm OC ===．（2）∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE GH⊥∵MN GH∥∴OE MN ⊥于点D ，∵30ANM ∠=︒，25cm ON =，∴125cm 22OD ON ==，∴操作后水面高度下降高度为：25117cm 22-=．（3）∵OE MN ⊥于点D ，30ANM ∠=︒∴60DOB ∠=︒，∵半圆的中点为Q ，∴ AQ QB =，∴90QOB ∠=︒，∴30QOE ∠=︒，∴tan cm 3EF QOE OE =∠⋅=， 30π2525π==cm 1806EQ ⨯⨯，∵()25π25325π50325π03666-==>，∴ EF EQ>．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．25.在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．（1）设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；（2）点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；（3）在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】（1）1l 的解析式为6y x =-+；2l 的解析式为15y x =-+；（2）①10,20x m y m =+=-；②3l 的解析式为30y x =-+，图象见解析；（3）538a c b+=【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ，再得出点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【小问1详解】设1l 的解析式为y kx b =+，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b=-⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式为6y x =-+；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x =-+；【小问2详解】①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了()10m -次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ；∴点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标为21010m m m +-=+，纵坐标为()21020m m m +-=-，∴10,20x m y m =+=-；②由于102030x y m m +=++-=，∴直线3l 的解析式为30y x =-+；函数图象如图所示：【小问3详解】∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线123,,l l l 上，∴()()(),6,,15,,30A a a B b b C c c -+-+-+，设直线AB 的解析式为y mx n =+，把A 、B 两点坐标代入，得615ma n a mb n b +=-+⎧⎨+=-+⎩，解得：9196m b a a n b a ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，∴直线AB 的解析式为9916a y x b a b a⎛⎫=-++- ⎪--⎝⎭，∵A ，B ，C 三点始终在一条直线上，∴991630a c c b a b a⎛⎫-++-=-+ ⎪--⎝⎭，整理得：538a c b +=；即a ，b ，c 之间的关系式为：538a c b +=．【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．26.如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中，8,11,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒，点M 在AD 边上，且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P ，设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >，连接A P '．（1）若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；（2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时，请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）．【答案】（1）见解析（2）①90CBD ∠=︒，13x =；②76或236（3）22816x x +【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到A M AM '=，A MP AMP '∠=∠，然后证明出()SAS A MP AMP 'V V ≌，即可得到A P AP '=；（2）①首先根据勾股定理得到2210BD AB AD =+=，然后利用勾股定理的逆定理即可求出90CBD ∠=︒；首先画出图形，然后证明出DNM DBA V V ∽，利用相似三角形的性质求出103DN =，83MN =，然后证明出PBN DMN V V ∽，利用相似三角形的性质得到5PB =，进而求解即可；②当P 点在AB 上时，2PQ =，A MP AMP '∠=∠，分别求得,BP AP ，根据正切的定义即可求解；②当P 在BC 上时，则2PB =，过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q ，延长MP 交AB 的延长线于点H ，证明PQB BAD ∽，得出4855PQ PB ==，3655BQ PB ==，进而求得AQ ，证明HPQ HMA ∽，即可求解；（3）如图所示，过点A '作A E AB '⊥交AB 于点E ，过点M 作MF A E '⊥于点F ，则四边形AMFE 是矩形，证明A PE MA F '' ∽，根据相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】∵将线段MA 绕点M 顺时针旋转()0180n n ︒<≤到MA '，∴A M AM'=∵A MA '∠的平分线MP 所在直线交折线AB BC -于点P ，∴A MP AMP'∠=∠又∵PM PM=∴()SAS A MP AMP 'V V ≌∴A P AP '=；【小问2详解】①∵8AB =，6DA =，90A ∠=︒∴10BD ==∵=BC ，12CD =∴(222210144BC BD +=+=，2212144CD ==∴222BC BD CD +=∴90CBD ∠=︒；如图所示，当180n =时，∵PM 平分A MA'∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBAV V ∽∴DN DM MN DB DA BA==∵2DM =，6DA =∴21068DN MN ==∴103DN =，83MN =∴203BN BD DN =-=∵90PBN NMD ∠=∠=︒，PNB DNM∠=∠∴PBN DMNV V ∽∴PB BN DM MN =，即203823PB =∴解得5PB =∴8513x AB PB =+=+=．②如图所示，当P 点在AB 上时，2PQ =，A MP AMP '∠=∠∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴22226810BD AB AD =+=+=，63sin 105AD DBA BD ∠===，∴2103sin 35BQ BP DBA ===∠，∴1014833AP AB BP =-=-=∴1473tan tan 46AP A MP AMP AM '∠=∠===；如图所示，当P 在BC 上时，则2PB =，过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q ，延长MP 交AB 的延长线于点H ，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∴PQB BAD∽∴PQ QB PB BA AD BD==即8610PQ QB PB ==∴4855PQ PB ==，3655BQ PB ==，∴465AQ AB BQ =+=∵,PQ AB DA AB⊥⊥∴PQ AD ∥，∴HPQ HMA ∽，∴HQ PQ HA AM=∴854645HQ HQ =+解得：9215HQ =∴922315tan tan tan 865HQ A MP AMP QPH PQ '∠=∠=∠===，综上所述，tan A MP '∠的值为76或236；【小问3详解】解：∵当08x <≤时，∴P 在AB 上，如图所示，过点A '作A E AB '⊥交AB 于点E ，过点M 作MF A E '⊥于点F ，则四边形AMFE 是矩形，∴AE FM =，4EF AM ==，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，∴90PA E FA M ''∠+∠=︒，又90A MF FA M ''∠+∠=︒，∴PA E A MF ''∠=∠，又∵90A EP MFA ''∠=∠=︒，∴A PE MA F '' ∽，∴A P PE A E MA A F FM''==''∵A P AP x '==，4MA MA '==，设FM AE y ==，A E h'=即44x x y h h y-==-∴4h y x=，()()44x y x h -=-∴()444h x x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭整理得22816x h x =+即点A '到直线AB 的距离为22816x x +．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．。
2023年黑龙江绥化中考数学试卷真题及答案详解(精校版)
．．．．．计算052-+的结果是（）．3-．74-6A ．．．．4．纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001为（）A ．9110-⨯．8110-⨯8110⨯5．下列计算中，结果正确的是（）．333()pq p q -=．322x x x x x ⋅+⋅=255=±．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125∠=︒，∠为（）A．55︒B．65︒7．下列命题中叙述正确的是（）A．若方差22s s>，则甲组数据的波动较小乙甲B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8．绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（）组别参赛者成绩A7080x≤<B8090x≤<C90100x≤<A．1B．10．某运输公司，运送一批货物，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需A．111 42x+=C．111 11 42x⎛⎫++= ⎪⎝⎭11．如图，在菱形ABCD中，以每秒2个单位长度沿折线AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示A．B．．．12．如图，在正方形ABCD中，点E为边的中点，连接AE，过点作BF AE⊥于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（）①2AB BF AE =⋅；②:BGF S S △△A ．0个B ．1个二、填空题13．因式分解：2x xy xz yz +--14．若式子5x x+有意义，则x 15．在4张完全相同的卡片上，分别标出混合在一起．再随机抽取一张，上的数字的概率是_________．16．已知一元二次方程2x x +=17．化简：222124x x x x x x +-⎛- --+⎝18．如图，O 的半径为2cm ，翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为19．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，C ∠子表示）20．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF 周长的最小值是______．21．在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）22．已知等腰ABC ，120A ∠=︒，2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒，得到A BC ''△，延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______．三、解答题23．已知：点P 是O 外一点．(1)尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(1)求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）(2)若从D点继续沿DE的方向走(1225．某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用租用一辆）．A型车每辆租金500元，坐满后共载客310人；3辆A型和(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，值时两车相距25千米．AD=，点F是26．已知：四边形ABCD为矩形，4AB=，3F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．(1)如图一，当点G 为CD 的中点时，求证：ADG FCG ≅△△．(2)如图二，过点C 作CE AF ⊥，垂足为E ．连接BE ，设BF x =，CE y =．求的函数关系式．(3)如图三，在（2）的条件下，过点B 作BM BE ⊥，交FA 的延长线于点M ．当时，求线段BM 的长．27．如图，MN 为⊙O 的直径，且15MN =，MC 与ND 为圆内的一组平行弦，弦MC 于点H ．点A 在¼MC上，点B 在»NC 上，90OND AHM ∠+∠=︒．(1)求证：MH CH AH BH ⋅=⋅．(2)求证： AC BC=．(3)在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧3sin 5CMN ∠=，求NG 的长．28．如图，抛物线21y ax bx =+函数6y kx =+的图象经过点B ．故选B．【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．4．A【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为菱形ABCD 中，60A ∠=︒，AB =∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，3BE =∵2,AM x AN x ==，∴2AM AB AN AE==，又A A ∠=∠∴AMN ABE∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴223MN AM AN x =-=，∴1123322y AN BE x x =⨯=⨯=综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．D【分析】①根据题意可得ABF ∠=BF AD AB AE=，又AB AD =,即可判断①；②设正方形的边长为明GAB GED ∽，根据相似三角形的性质求得别作,BF AE 的垂线，垂足分别为判断③．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADE ∠=∠=︒，AB AD=∵BF AE⊥∴90ABF BAF DAE∠=︒-∠=∠∴cos cos ABF EAD∠=∠即BF AD AB AE=，又AB AD =,∴2AB BF AE =⋅，故①正确；又∵BF AE⊥，∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点∴AC AO =，OC AB⊥又OA OC=∴OA OC AC ==，∴AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，OD∵ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，∴2AD AD'=∵(,)C a b ，∴2,AD a CD b =-=,∴24,2A D a C D b '''=-=，∴()224,0D a '-+∴C '(62,2)a b --故答案为：(62,2)a b --．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．20．333+##333+【分析】根据题意，证明CBE CAF ≌，进而得出对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O FC FD +取得最小值，即FC FD F C ''+=+【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC ∠=∠=︒作点C 关于AF 的对称点C '，连接在Rt AOC 中，30CAO ∠=︒，则则当,,D F C '三点共线时，FC FD +∵6CC AC '==，ACO C CD '∠=∠∴ACO C CD' ≌∴90C DC AOC '∠=∠=︒在C DC ' 中，22C D CC CD ''=-∴CDF 周长的最小值为CD FC +故答案为：333+．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∴112AM AB ==，BM CM ==∴23BC =，如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转∵120BAC ∠=︒，∴60DA B '∠=︒，30A EB '∠=︒，在Rt A BE ' 中，24A E A B ''==，2223BE A E A B ''=-=，∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∵ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，∴45ABA '∠=︒，∴180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒在A BD ' 中，1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒,在BFD △中，BDF CBC ∠'=∠=∴DF BF=在Rt DC F ' 中，30C '∠=︒∴3'3DF FC =∴323BC BF BF =+=∴33DF BF ==-∴2623DC DF '==-∴6232A D C D A C ''''=-=--综上所述，A D '的长度为423-故答案为：423-或423+．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含转的性质，分类讨论是解题的关键．23．(1)见解析(2)75EDF ∠=︒或105︒①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与则直线,PE PF 即为所求；（2）如图所示，点D 在O 上（点∵,PE PF 是O 的切线，∴90PEO PFO ∠=∠=︒，∴360909030EOF ∠=︒-︒-︒-︒=当点D 在优弧 EF 上时，EDF ∠=当点D 在劣弧 EF上时，EDF ∠=∴75EDF ∠=︒或105︒．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24．(1)河两岸之间的距离是203(2)5tan 2CPE ∠=过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM ∵30CBE ∠=︒∴3tan tan 303CM CBM PB ∠==︒=∴3MB a =，在Rt MCD △中，tan CM CDM MD∠=∴MD MC a==∴340BD MB MD a a =-=-=解得：20320a =+答：河两岸之间的距离是203+（2）解：如图所示，依题意，40(123PB BD DP =+=+∴()(203203MP MB PB =-=+-在Rt CMP △中，tan CM CPM MP ∠==∴90ABC ∠=︒，∵CE AF ⊥，∴90CEF ABC ∠=︒=∠，∵F F ∠=∠，∴CEF ABF △∽△，∴CE CF AB AF=，∵4AB =，BF x =，∴在Rt ABF 中，AF =∵四边形ABCD 为矩形，且∴3AD BC ==，MC 与ND 为一组平行弦，即：∴OND OMC Ð=Ð，OM OC =，∴OMC OCM ∠=∠，90OND AHM ∠+∠=︒，∴OCM AHM OCM Ð+Ð=Ð+Ð∴90HFC ∠=︒，∴OC AB ⊥，∴OC 是AB 的垂直平分线，∴ =AC BC．DG DG '=，G ND GND ¢Ð=Ð∴ 'DM DG =，∴DG DM ¢=，∴DG DM =，∴DGM 是等腰三角形，DE MN ⊥，∴GE ME =，DN CM ∥，∴CMN DNM Ð=Ð，MN 为直径，∴90MDN ∠=︒，∴90MDE EDN ∠+∠=︒，DE MN ⊥，∴90DEN ∠=︒，∴90DNM EDN Ð+Ð=°，∴sin sin sin EDM DNM Ð=Ð=在Rt MND △中，15MN =，∴3sin 5MD DNM MN Ð==，过点1E 作11E H x ⊥轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =∠=∠=︒=∠，又111190BE H E BH CBO ∠=︒-∠=∠，∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∵3333,90CE BE CNE E MB =∠=∠=︒，又33390BE M CE N E CN∠=︒-∠=∠∴33(AAS)CE N E BM △≌△∴3CN E M =，3BM E N=∵210BC =∴310E G BG ==∴325E B =在3Rt E NC △中，22233E C CN E N=+∴222(25)(6)CN CN =+-解得2CN =或4当4CN =时，3(2,2)E ，此时点E 在点F 右侧故舍去；∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC=∴CON 是等腰直角三角形∵45CHG ∠=︒，90GHP ∠=︒∴45PHD ∠=︒又PD CN⊥∴HPD 是等腰直角三角形。
2024年广西柳州市初中毕业升学考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.下列运算正确的是（）
A.5×(-3)=-15
B.(-7)÷(-3)=3
C.4×(-2)=-6
D.(-8)÷2=4
答案：A、B、D
2.关于直角三角形，下列说法正确的是（）
A.两组对边中，相等的那组构成直角
B.两组对边中，长度更短的那组构成直角
C.两组对边中，长度更长的那组构成直角
D.两组对边中，任意长度的那组构成直角
答案：A、C
3.下列四个数，最大的数是（）
A.-10
B.-3
C.5
D.12
答案：D
4.已知A∪B∪C={2,4,6,7,10}，则A∩B∩C={}
答案：{}
二、填空题（每小题4分，共16分）
5.三角形的三个内角的度数之和为_______
答案：180°
6.已知，3x-6，=18，则x=______
答案：12
7. 把半径为2cm的圆的面积写成平方厘米，则面积为_______
答案：12.56平方厘米
8.已知集合A={1,3,5}，集合B={5,7,9}，则A∩B=_______
答案：{5}
三、解答题（每小题10分，共50分）
9.（2024•广西柳州市）如图，a、b是直线L上的两点，P是L上一动点，PA⊥L，PA，=，AB，若，AB，=4，求，PB，的值
答案：
由于PA⊥L，PA、AB构成直角三角形，从而有：
PB=PA+AB=4+4=8
因此，PB，=8
10.（2024•广西柳州市）定义在实数集上的运算：若a、b是任意实数。
2023年四川省凉山州数学中考真题(原卷版和解析版)
凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分考试时间120分钟A 卷（共100分）第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1.下列各数中，为有理数的是（）A.B.3.232232223⋅⋅⋅C.π3D.2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A. B. C. D.3.若一组数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则数据1233,3,3,,3n x x x x ++++ 的方差是（）A.2B.5C.6D.114.下列计算正确的是（）A.248a a a ⋅= B.22423a a a += C.()362328a b a b = D.222()a b a b -=-5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（）A.51.44610⨯ B.61.44610⨯ C.70.144610⨯ D.71.44610⨯6.点()2,3P -关于原点对称的点P '的坐标是（）A.()2,3 B.()2,3-- C.()3,2- D.()2,3-7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，145,2120∠=︒∠=︒，则34∠+∠=（）A.165︒B.155︒C.105︒D.90︒8.分式21x xx --的值为0，则x 的值是（）A .B.1-C.1D.0或19.如图，在ABF △和DCE △中，点E 、F 在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加下列条件仍无法证明ABF DCE ≌△△的是（）A.AFB DEC ∠=∠B.AB DC =C.A D ∠=∠D.AF DE=10.如图，在等腰ABC 中，40A ∠=︒，分别以点A 、点B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN ，直线MN 与AC 交于点D ，连接BD ，则DBC ∠的度数是（）A.20︒B.30︒C.40︒D.50︒11.如图，在O 中，30OA BC ADB BC ⊥∠=︒=，，OC =（）A.1B.2C.23D.412.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.<0abcB.420a b c -+<C.30a c +=D.20am bm a ++≤（m为实数）第Ⅱ卷非选择题（共52分）二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13.计算()20( 3.14)21π-+-_________．14.已知21y my -+是完全平方式，则m 的值是_________．15.如图，ABCO 的顶点O A C 、、的坐标分别是()()()003012，、，、，．则顶点B 的坐标是_________．16.不等式组()5231131722x x x x⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和是_________．17.如图，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，将ACD 沿CD 折叠，当点A 落在点A '处时，恰好CA AB '⊥，若2BC =，则CA '=_________．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.先化简，再求值：()()()2(2)222x y x y x y y x y +-+--+，其中202312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20222y =．19.解方程：2211x x x =+-．20.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用A B C D 、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若某游客随机选择A B C D 、、、四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A 的概率．21.超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C E 、两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A D B F 、、、在同一直线上．点C 、点E 到AB 的距离分别为CD EF 、，且7m,895m CD EF CE ===，在C 处测得A 点的俯角为30︒，在E 处测得B 点的俯角为45︒，小型汽车从点A 行驶到点B 所用时间为45s ．（1）求,A B 两点之间的距离（结果精确到1m ）；（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A 行驶到点B 是否超速？并通过计算说明理由．（参考1.7≈≈）22.如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CAB ACB ∠=∠，过点B 作BE AB ⊥交AC 于点E ．（1）求证：AC BD ⊥；（2）若10AB =，16AC =，求OE 的长．B 卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23.已知2210x x --=，则3231052027x x x -++的值等于_________．24.如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．五、解答题（共4小题，共40分）25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？26.阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD 是矩形，AEF △是等腰直角三角形，记BAE ∠为α、FAD ∠为β，若1tan 2α=，则1tan 3β=．证明：设BE k =，∵1tan 2α=，∴2AB k =，易证()AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ==，∴,3FD k AD k ==∴1tan 33DF k AD k β===，若45αβ+=︒时，当1tan 2α=，则1tan 3β=．同理：若45αβ+=︒时，当1tan 3α=，则1tan 2β=．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线39y x =-与反比例函数(0)my x x=>的图象交于点A ，与x 轴交于点B ．将直线AB 绕点A 顺时针旋转45︒后的直线与y 轴交于点E ，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点A 作AN y ⊥轴于点N ，已知5OA =．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan tan BAM NAE ∠∠、的值；（3）求直线AE 的解析式．27.如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点F ，点P 是CD 延长线上一点，DE AP ⊥，垂足为点E ，∠∠EAD FAD =．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若4,2PA PD ==，求O 的半径和DE 的长．28.如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分考试时间120分钟A卷（共100分）第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1.下列各数中，为有理数的是（）A. B.3.232232223⋅⋅⋅ C.π3 D.【答案】A【解析】【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．【详解】解：A2=，是有理数，则此项符合题意；B、3.232232223⋅⋅⋅是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；C、π3是无理数，则此项不符合题意；D是无理数，则此项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．故选：B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．3.若一组数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则数据1233,3,3,,3n x x x x ++++ 的方差是（）A.2B.5C.6D.11【答案】A 【解析】【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变．【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为x ，现在的平均数为3x +，原来的方差22221121()()(2n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-=⎣⎦，现在的方差()()()22222121333333n S x x x x x x n ⎡⎤=+--++--+⋯++--⎣⎦，222121(()()n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，2=．故选：A ．【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．4.下列计算正确的是（）A.248a a a ⋅=B.22423a a a += C.()362328a b a b = D.222()a b a b -=-【答案】C 【解析】【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案．【详解】解：A ．246a a a ⋅=，故该选项错误，不合题意；B ．22223a a a +=，故该选项错误，不合题意；C ．()362328a b a b =，故该选项正确，符合题意；D ．222()2a b a ab b -=-+，故该选项错误，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（）A.51.44610⨯ B.61.44610⨯ C.70.144610⨯ D.71.44610⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：144.6万61.44610=⨯，故选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．6.点()2,3P -关于原点对称的点P '的坐标是（）A.()2,3 B.()2,3-- C.()3,2- D.()2,3-【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】解：点()2,3P -关于原点对称的点P '的坐标是()2,3-，故选D ．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”．7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，145,2120∠=︒∠=︒，则34∠+∠=（）A.165︒B.155︒C.105︒D.90︒【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.【详解】解：如图所示，AB CD ∥，光线在空气中也平行，13∠∠∴=，24180∠+∠=︒.145,2120︒∠=︒∠= ，345∴∠=︒，418012060∠=︒-︒=︒.344560105∴∠+∠=︒+︒=︒.故选：C .【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.8.分式21x x x --的值为0，则x 的值是（）A.0B.1-C.1D.0或1【答案】A【解析】【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．9.如图，在ABF △和DCE △中，点E 、F 在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加下列条件仍无法证明ABF DCE ≌△△的是（）A.AFB DEC∠=∠ B.AB DC = C.A D ∠=∠ D.AF DE=【答案】D【解析】【分析】根据BE CF =，可得BF CE =，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．【详解】解：∵BE CF =，∴BF CE =，∵B C ∠=∠，A 、添加AFB DEC ∠=∠，可利用角边角证明ABF DCE ≌△△，故本选项不符合题意；B 、添加AB DC =，可利用边角边证明ABF DCE ≌△△，故本选项不符合题意；C 、添加AD ∠=∠，可利用角角边证明ABF DCE ≌△△，故本选项不符合题意；D 、添加AF DE =，无法证明ABF DCE ≌△△，故本选项不符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10.如图，在等腰ABC 中，40A ∠=︒，分别以点A 、点B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN ，直线MN 与AC 交于点D ，连接BD ，则DBC ∠的度数是（）A.20︒B.30︒C.40︒D.50︒【解析】【分析】先根据等边对等角求出70ABC ∠=︒，由作图方法可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，则AD BD =，可得40ABD A ==︒∠∠，由此即可得到30DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．【详解】解：∵在等腰ABC 中，40A ∠=︒，AB AC =，∴180702A ABC ACB ︒-===︒∠∠∠，由作图方法可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AD BD =，∴40ABD A ==︒∠∠，∴30DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．11.如图，在O 中，30OA BC ADB BC ⊥∠=︒=，，OC =（）A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】【分析】连接OB ，由圆周角定理得60AOB ∠=︒，由OA BC ⊥得，60COE BOE ∠=∠=︒，CE BE ==，在Rt OCE 中，由sin 60CE OC =︒，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，30ADB ∠=︒ ，223060AOB ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒，OA BC ⊥，60COE BOE ∴∠=∠=︒，113322CE BE BC ===⨯，在Rt OCE 中，603COE CE ∠=︒=，，32sin 6032CE OC ∴==︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．12.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.<0abc B.420a b c -+< C.30a c += D.20am bm a ++≤（m为实数）【答案】C【解析】【分析】根据开口方向，与y 轴交于负半轴和对称轴为直线1x =可得00a c ><，，20b a =-<，由此即可判断A ；根据对称性可得当2x =-时，0y >，当=1x -时，0y =，由此即可判断B 、C ；根据抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，可得抛物线的最小值为a c -+，由此即可判断D ．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线1x =，∴12b a-=，∴20b a =-<，∴0abc >，故A 中结论错误，不符合题意；∵当4x =时，0y >，抛物线对称轴为直线1x =，∴当2x =-时，0y >，∴420a b c -+>，故B 中结论错误，不符合题意；∵当3x =时，0y =，抛物线对称轴为直线1x =，∴当=1x -时，0y =，∴0a b c -+=，又∵2b a =-，∴30a c +=，故C 中结论正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线1x =，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为2a b c a a c a c ++=-+=-+，∴2am bm c a c ++≥-+，∴20am bm a ++≥，故D 中结论错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．第Ⅱ卷非选择题（共52分）二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13.计算0( 3.14)π-+_________．【答案】【解析】【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．【详解】()03.14π-+11=+-=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键．14.已知21y my -+是完全平方式，则m 的值是_________．【答案】2±【解析】【分析】根据()2222a b a ab b ±=±+，计算求解即可．【详解】解：∵21y my -+是完全平方式，∴2m -=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：()2222a b a ab b ±=±+．15.如图，ABCO 的顶点O A C 、、的坐标分别是()()()003012，、，、，．则顶点B 的坐标是_________．【答案】()42，【解析】【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，且3BC OA ==，即可得到结果．【详解】解： 在ABCO 中，()00O ，，()30A ，，3BC OA ∴==，BC AO ∥，∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，()42B ∴，，故答案为：()42，．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质．16.不等式组()5231131722x x x x ⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和是_________．【答案】7【解析】【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．【详解】解：()5231131722x x x x ⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩①②，由①得：53>32x x ---，∴2>5x -，解得：5>2x -；由②得：2143x x -≤-，整理得：416x ≤，解得：4x ≤，∴不等式组的解集为：542x -<≤，∴不等式组的整数解为：2-，1-，0，1，2，3，4；∴()21012347-+-+++++=，故答案为：7【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．17.如图，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，将ACD 沿CD 折叠，当点A 落在点A '处时，恰好CA AB '⊥，若2BC =，则CA '=_________．【答案】【解析】【分析】由Rt ABC △，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，可知CD AD =，则ACD A ∠=∠，由翻折的性质可知，ACD A CD '∠=∠，A C AC '=，则ACD A CD A '∠=∠=∠，如图，记A C '与AB 的交点为E ，90CEA ∠=︒，由180CEA ACD A CD A '∠+∠+∠+∠=︒，可得30A ∠=︒，根据tan BC A C AC A'==∠，计算求解即可．【详解】解：∵Rt ABC △，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，∴CD AD =，∴ACD A ∠=∠，由翻折的性质可知，ACD A CD '∠=∠，A C AC '=，∴ACD A CD A '∠=∠=∠，如图，记A C '与AB 的交点为E ，∵CA AB '⊥，∴90CEA ∠=︒，∵180CEA ACD A CD A '∠+∠+∠+∠=︒，∴30A ∠=︒，∴tan BC A C AC A'===∠，故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.先化简，再求值：()()()2(2)222x y x y x y y x y +-+--+，其中202312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20222y =．【答案】2xy ，1【解析】【分析】根据()2222a b a ab b ±=±+，()()22a b a b a b +-=-，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．【详解】解：原式()2222244422x xy y x y xy y =++----2222244422x xy y x y xy y =++-+--2xy =．当202312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20222y =时，原式202320221222⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭=⨯1=．【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．19.解方程：2211x x x =+-．【答案】2x =【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+-方程两边同乘()()11x x +-，得()12x x -=，整理得，220x x --=，∴()()120x x +-=，解得：11x -=，22x =，检验：当=1x -时，()()110x x +-=，=1x -是增根，当2x =时，()()1130x x +-=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．20.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用A B C D 、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若某游客随机选择A B C D 、、、四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A 的概率．【答案】（1）600人（2）见解析（3）14【解析】【分析】（1）用选择B 景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；（2）先求出选则C 景区的人数和选择A 景区的人数占比，再求出选择C 景区的人数占比，最后补全统计图即可；（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择A 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：6010%600÷=人，∴本次参加抽样调查的游客有600人；【小问2详解】解：由题意得，选择C 景区的人数为60018060240120---=人，选择A 景区的人数占比为10180%060030%⨯=，∴选择C 景区的人数占比为120100%20%600⨯=补全统计图如下：【小问3详解】解：画树状图如下：由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择A 的结果数有3种，∴他第一个景区恰好选择A 的概率为31124=．【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键．21.超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C E 、两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A D B F 、、、在同一直线上．点C 、点E 到AB 的距离分别为CD EF 、，且7m,895m CD EF CE ===，在C 处测得A 点的俯角为30︒，在E 处测得B 点的俯角为45︒，小型汽车从点A 行驶到点B 所用时间为45s ．（1）求,A B 两点之间的距离（结果精确到1m ）；（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A 行驶到点B 是否超速？并通过计算说明理由．（参考1.7≈≈）【答案】（1）900m（2）小型汽车从点A 行驶到点B 没有超速．【解析】【分析】（1）证明四边形DCEF 为矩形，可得895m CE DF ==，结合30CAD ∠=︒，45EBF ∠=︒，7m CD EF ==，可得tan 30CD AD ==︒，7BF EF ==，再利用线段的和差关系可得答案；（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．【小问1详解】解：∵点C 、点E 到AB 的距离分别为CD EF 、，∴CD AB ⊥，EF AB ⊥，而CE AB ∥，∴90DCE ∠=︒，∴四边形DCEF 为矩形，∴895m CE DF ==，由题意可得：30CAD ∠=︒，45EBF ∠=︒，7m CD EF ==，∴tan 30CD AD ==︒，7BF EF ==，∴()8957900m AB AF BF AD DF BF =-=+-=+-=【小问2详解】∵小型汽车从点A 行驶到点B 所用时间为45s ．∴汽车速度为()90020m/s 45=，∵该隧道限速80千米/小时，∴80km/h ()80100022m/s 3600⨯=≈，∵2022<，∴小型汽车从点A 行驶到点B 没有超速．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．22.如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CAB ACB ∠=∠，过点B 作BE AB ⊥交AC 于点E ．（1）求证：AC BD ⊥；（2）若10AB =，16AC =，求OE 的长．【答案】（1）见详解（2）92【解析】【分析】（1）可证AB CB =，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；（2）可求6OB =，再证EBO BAO ∽ ，可得EO BO BO AO=，即可求解．【小问1详解】证明：CAB ACB ∠=∠ ，AB CB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥．【小问2详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，128OA AC ∴==，AC BD ^ ，BE AB ⊥，90AOB BOE ABE ∴∠=∠=∠=︒，OB ∴=6==，90EBO BEO ∠+∠=︒ ，90ABO EBO ∠+∠=︒，BEO ABO ∴∠=∠，EBO BAO ∴∽ ，EO BO BO AO ∴=，668EO ∴=解得：92OE =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．B 卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23.已知2210x x --=，则3231052027x x x -++的值等于_________．【答案】2023【解析】【分析】把2210x x --=化为：221x x =+代入降次，再把221x x -=代入求值即可．【详解】解：由2210x x --=得：221x x =+，221x x -=，3231052027x x x -++()23211052027x x x x =+-++22631052027x x x x =+-++2482027x x =-++()2422027x x =--+412027=-⨯+2023=，故答案为：2023．【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．24.如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．【答案】11+【解析】【分析】如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD =，再根据直角三角形的性质得到112OD AB ==，再由OC OD CD ≤+可得当O C D 、、三点共线时，OC有最大值，最大值为1+【详解】解：如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，∵ABC 是边长为2的等边三角形，∴2CD AB BC AB ==⊥，，∴1BD AD ==，∴CD ==，∵OM ON ⊥，即90AOB ∠=︒，∴112OD AB ==，∵OC OD CD ≤+，∴当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值，最大值为1+故答案为：1+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值是解题的关键．五、解答题（共4小题，共40分）25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．（2）最多能购买雷波脐橙40千克．【解析】【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x 元，y 元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；（2）设最多能购买雷波脐橙m 千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可．【小问1详解】解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x 元，y 元，则32782372x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①+②得；55150x y +=，则30x y +=③把③代入①得：18x =，把③代入②得：12y =，∴方程组的解为：1812x y =⎧⎨=⎩，答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．【小问2详解】设最多能购买雷波脐橙m 千克，则()181********m m +-≤，∴6240m ≤，解得：40m ≤，答：最多能购买雷波脐橙40千克．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．26.阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD 是矩形，AEF △是等腰直角三角形，记BAE ∠为α、FAD ∠为β，若1tan 2α=，则1tan 3β=．证明：设BE k =，∵1tan 2α=，∴2AB k =，易证()AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ==，∴,3FD k AD k==∴1tan 33DF k AD k β===，若45αβ+=︒时，当1tan 2α=，则1tan 3β=．同理：若45αβ+=︒时，当1tan 3α=，则1tan 2β=．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线39y x =-与反比例函数(0)m y x x =>的图象交于点A ，与x 轴交于点B ．将直线AB 绕点A 顺时针旋转45︒后的直线与y 轴交于点E ，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点A 作AN y ⊥轴于点N ，已知5OA =．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan tan BAM NAE ∠∠、的值；（3）求直线AE 的解析式．【答案】（1）12(0)y x x =>（2）1tan 3BAM ∠=，1tan 2NAE ∠=（3）112y x =+【解析】【分析】（1）首先求出点()3,0B ，然后设(),39A a a -，在Rt AOM △中，利用勾股定理求出4a =，得到()4,3A ，然后代入(0)m y x x=>求解即可；（2）首先根据()4,3A ，()3,0B 得到4MO =，3BO =，求出1MB =，3AM =，然后利用正切值的概念求出1tan 3BM BAM AM ∠==，然后证明出四边形NOMA 是矩形，得到45BAM NAE ∠+∠=︒，然后由1tan 3BAM ∠=即可求出1tan 2NAE ∠=；（3）首先根据矩形的性质得到4AN OM ==，3NO AM ==，然后利用1tan 2NAE ∠=求出2NE =，进而得到()0,1E ，然后设直线AE 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法将()0,1E 和()4,3A 代入求解即可．【小问1详解】将0y =代入39y x =-得，3x =，∴()3,0B ，∵直线39y x =-与反比例函数(0)m y x x =>的图象交于点A ，∴设(),39A a a -，∵AM x ⊥，5OA =，∴在Rt AOM △中，222OM AM AO +=，∴()222395a a +-=，∴解得14a =，275a =，∵点A 的横坐标要大于点B 的横坐标，∴275a =应舍去，∴4a =，∴()4,3A ，∴将()4,3A 代入(0)m y x x =>，解得12m =；∴反比例函数的解析式为12(0)y x x =>；【小问2详解】∵()4,3A ，()3,0B ，∴4MO =，3BO =，∴1MB =，3AM =，∵AM x ⊥，∴1tan 3BM BAM AM ∠==，∵AN y ⊥，90NOM ∠=︒，∴四边形NOMA 是矩形，∴90NAM ∠=︒，∵将直线AB 绕点A 顺时针旋转45︒后的直线与y 轴交于点E ，∴45BAE ∠=︒，∴45BAM NAE ∠+∠=︒，∵1tan 3BAM ∠=，∴1tan 2NAE ∠=；【小问3详解】∵四边形NOMA 是矩形，∴4AN OM ==，3NO AM ==，∵AN y ⊥，1tan 2NAE ∠=，∴12NE AN =，即142NE =，∴解得2NE =，∴1OE ON NE =-=，∴()0,1E ，∴设直线AE 的解析式为y kx b =+，∴将()0,1E 和()4,3A 代入得，143b x b =⎧⎨+=⎩，∴解得112b x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线AE 的解析式为112y x =+．【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．27.如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点F ，点P 是CD 延长线上一点，DE AP ⊥，垂足为点E ，∠∠EAD FAD =．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若4,2PA PD ==，求O 的半径和DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）O 的半径为3，DE 的长为65【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得90FAD ODA ∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得OAD ODA ∠=∠，从而可得90OAE ∠=︒，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）设O 的半径为r ，则OA OD r ==，2OP r =+，在Rt OAP △中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得PDE POA ，根据相似三角形的性质即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OA ，弦AB CD ⊥，90FAD ODA ∴∠+∠=︒，EAD FAD ∠=∠ ，90EAD ODA ∴∠+∠=︒，OA OD = ，OAD ODA ∠=∠∴，90EAD OAD ∴∠+∠=︒，即90OAE ∠=︒，AE OA ∴⊥，又OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线．【小问2详解】解：如图，连接OA ，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，2PD =Q ，2OP r ∴=+，在Rt OAP △中，222OA PA OP +=，即()22242r r +=+，解得3r =，3,5OA OP ∴==，,A DE AP E OA ⊥⊥ ，DE OA ∴∥，PDE POA ∴ ，DE PD OA OP ∴=，即235DE =，解得65DE =，所以O 的半径为3，DE 的长为65．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键．28.如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--+（2）①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；②()38-，或()45-，或)52--【解析】。
2022年甘肃省武威中考数学真题(解析版)
武威市2022年初中毕业、高中招生考试数学试卷考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.2-的相反数为（）A.2- B.2 C.2± D.12【答案】B【解析】【分析】根据相反数的概念得出答案．【详解】∵()22--=∴2-的相反数为2．故选：B【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相关概念是解本题的关键．2.若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是（）A.50°B.60°C.140°D.160°【答案】A【解析】【分析】用90°减去40°即可求解．【详解】解：∵40A ∠=︒，∴A ∠的余角=904050︒-︒=︒，故选A【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．3.不等式324x ->的解集是（）A.2x >- B.2x <- C.2x > D.2x <【答案】C【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．【详解】解：3x -2＞4，移项得：3x ＞4+2，合并同类项得：3x ＞6，系数化为1得：x ＞2．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．4.用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A.()213x += B.()216x += C.()213x -= D.()216x -=【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.若ABC DEF :△△，6BC =，4EF =，则AC DF =（）A.49B.94C.23 D.32【答案】D【解析】【分析】根据△ABC ∽△DEF ，可以得到,BC AC EF DF =然后根据BC =6，EF =4，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF:△△∴,BC AC EF DF = 6BC =，4EF =，∴AC DF =63=42故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6.2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（）A.完成航天医学领域实验项数最多B.完成空间应用领域实验有5项C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%【答案】B【解析】【分析】根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．【详解】解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C 选项不符合题意；D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF 的边长为（）A.2mmB.C.D.4mm 【答案】D【解析】AD，【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=12即可得到答案．【详解】连接CF与AD交于点O，∵ABCDEF为正六边形，∴∠COD=3606︒=60°，CO=DO，AO=DO=12AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形ABCDEF的边长为4mm，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（）A.11179x⎛⎫+=⎪⎝⎭B.11179x⎛⎫-=⎪⎝⎭C.()971x-= D.()971x+=【答案】A 【解析】【分析】设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．【详解】解：设经过x 天相遇，根据题意得：17x +19x =1，∴（17+19）x =1，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（ AB ）的长度为（）A.20mπ B.30m π C.40m π D.50mπ【答案】C【解析】【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ AB ）的长度．【详解】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，∴这段弯路（ AB ）的长度为：809040(m)180ππ⨯=，故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180n r l π=10.如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）A.3B.3C.33D.43【答案】B【解析】【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为33【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB =a ，由图2可知，△ABD 的面积为33∴△ABD 的面积23334a ==解得：a =3故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11.计算：323a a ⋅=_____________．【答案】53a 【解析】【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝323a a ⋅=53a ．故答案为：53a ．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．12.因式分解：34m m -=_________________．【答案】()()22m m m +-【解析】【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=m （m 2-4）=m （m +2）（m -2），故答案为：m （m +2）（m -2）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.若一次函数y =kx −2的函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，则k =_________（写出一个满足条件的值）．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数值y 随着自变量x 值的增大而增大得到k ＞0，写出一个正数即可．【详解】解：∵函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，∴k ＞0，∴k =2（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小是解题的关键．14.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =，4cm AC =，则BD 的长为_________cm ．【答案】8【解析】【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．【详解】解： 菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4，AC BD ∴⊥，12BO OD BD ==，AO =OC =12AC =25AB =Q ，224BO AB AO ∴=-=，28BD BO ∴==，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．15.如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．【答案】80【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝100°，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．16.如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．【答案】2【解析】【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，∴当t=2时，h取最大值20，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AE=2cm，∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），∵G是EF的中点，∴EG=BG=12 EF，∴∠BEG=∠ABD，∴∠BEG =∠BDC ，∴△EBF ∽△DCB ，∴EB BFDC CB =，∴469BF =，∴BF =6，∴EF ==cm ），∴BG =12EF （cm ），【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.-．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：原式==【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．20.化简：()2233322x x x x x x++÷-++．【答案】1【解析】【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．【详解】解：原式()()232323x x x x x x++=⋅-++33x x x+=-=1．【点睛】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，ABC ∠为直角．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE 交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．【答案】（1）见解析（2）DBG GBF FBE∠=∠=∠【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF ，EG ，可得BDF 和BEG 均为等边三角形，60DBF EBG ∠=∠=︒，进而可得30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒．【小问1详解】解：（1）如图：【小问2详解】DBG GBF FBE ∠=∠=∠．理由：连接DF ，EG 如图所示则BD =BF =DF ，BE =BG =EG 即BDF 和BEG 均为等边三角形∴60DBF EBG ∠=∠=︒∵90ABC ∠=︒∴30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF 和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】16.9m【解析】【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，在Rt△CBF中，∠CBF=35°，∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），∵AB=8.8m，∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，∴tan26.6°=0.78.8CF xAF x=+≈0.5，∴x=22，经检验：x=22是原方程的根，∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．【答案】（1）1 4（2）1 4【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是1 4；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为41164=．【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h ）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764636891010136783510【数据整理】将收集的30个数据按A ，B ，C ，D ，E 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A ．35t ≤<，B ．57t ≤<，C ．79t ≤<，D ．911t <≤，E ．1113t ≤≤，其中t 表示锻炼时间）；【数据分析】统计量平均数众数中位数锻炼时间（h）7.3m7根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m ___________；（2）补全频数分布直方图；（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．【答案】（1）6（2）见解析（3）340名；合理，见解析【解析】【分析】（1）由众数的定义可得出答案．（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．【小问1详解】由数据可知，6出现的次数最多，∴m=6．故答案为：6．【小问2详解】补全频数分布直方图如下：【小问3详解】863176006003403030++⨯=⨯=.答：估计有340名学生能完成目标；目标合理．理由：过半的学生都能完成目标．【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．25.如图，B ，C 是反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．（1）求此反比例函数的表达式；（2）求△BCE 的面积．【答案】（1）6 yx =（2）1【解析】【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．【小问1详解】解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），∴OA=1=AD，又∵CD=3，∴点C的坐标为（2，3），而点C（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=2×3=6，∴反比例函数的图象为y=6 x；【小问2详解】解：方程组16y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩的正数解为32xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（3，2），当x=2时，y=2-1=1，∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，∴EC=3-1=2，∴S △BCE =12×2×（3-2）=1，答：△BCE 的面积为1．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．26.如图，ABC 内接于O ，AB ，CD 是O 的直径，E 是DB 延长线上一点，且DEC ABC ∠=∠．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若DE =，2AC BC =，求线段CE 的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出90A ABC ∠+∠=︒，根据圆周角定理得到A D ∠=∠，推出90DCE ∠=︒，即可得出结论；（2）根据tan tan A D =得出12BC CE AC CD ==，再根据勾股定理得出CE 即可．【小问1详解】证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵BC BC =，∴A D ∠=∠，又∵DEC ABC ∠=∠，∴90D DEC ∠+∠=︒，∴90DCE ∠=︒，∴CD CE ⊥，∵OC 为O 的半径，∴CE 是O 的切线；【小问2详解】由（1）知CD CE ⊥，在Rt ABC △和Rt DEC △中，∵A D ∠=∠，2AC BC =，∴tan tan A D =，即12BC CE AC CD ==，∴2CD CE =，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，DE =∴()(2222CE CE +=，解得4CE =．【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．27.已知正方形ABCD ，E 为对角线AC 上一点．（1）【建立模型】如图1，连接BE ，DE ．求证：BE DE =；（2）【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ．①判断FBG △的形状并说明理由；②若G 为AB 的中点，且4AB =，求AF 的长．（3）【模型迁移】如图3，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ，BE BF =．求证：)1GE DE =．【答案】（1）见解析（2）①等腰三角形，见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据正方形的性质，证明()SAS ABE ADE ≅△即可．（2）①根据（1）的证明，证明∠FBG =∠FGB 即可．②过点F 作FH AB ⊥，垂足为H .利用三角函数求得FH ，AH 的长度即可．(3)证明)1GE EF FG BF DE DE =-=-=-=即可．【小问1详解】）证明：∵四边形ABCD 为正方形，AC 为对角线，∴AB AD =，45BAE DAE ∠=∠=︒.∵AE AE =，∴()SAS ABE ADE ≅△，∴BE DE =.【小问2详解】①FBG △为等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90GAD ∠=︒，∴90AGD ADG ∠+∠=︒.∵FB BE ⊥，∴90FBG EBG ∠+∠=︒，由（1）得ADG EBG ∠=∠，∴AGD FBG ∠=∠，又∵AGD FGB ∠=∠，∴FBG FGB ∠=∠，∴FBG △为等腰三角形.②如图1，过点F 作FH AB ⊥，垂足为H .∵四边形ABCD 为正方形，点G 为AB 的中点，4AB =，∴2AG BG ==，4=AD .由①知FG FB =，∴1GH BH ==，∴3AH AG GH =+=.在Rt FHG V 与Rt DAG △中，∵FGH DGA ∠=∠，∴tan tan FGH DGA ∠=∠，∴42FH AD GH AG ==，∴2FH =.在Rt AHF △中，AF ===【小问3详解】如图2，∵FB BE ⊥，∴90FBE ∠=︒.在Rt EBF △中，BE BF =，∴EF .由（1）得BE DE =，由（2）得FG BF =，∴)1GE EF FG BF DE DE =-=-=-=.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键．28.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线()()134y x x a =+-与x 轴交于A ，()4,0B 两点，点C 在y 轴上，且OC OB =，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE x ⊥轴，且1AE =时，求DP 的长；（3）连接BD ．①如图2，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；②如图3，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．【答案】（1）211344y x x =--（2）176（3）①420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；97【解析】【分析】（1）把点B 代入抛物线关系式，求出a 的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线()()1344y x x =+-可求出点A 的坐标，点C 的坐标，根据1AE =，利用三角函数，求出DE 的长，再求出点E 的坐标，根据点P 与点E 的横坐标相同，得出点P 的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P 的纵坐标，即可得出EP 的值，最后求出DP 的值即可；（3）①连接DG 交AB 于点M ，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，求出()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，得出点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，将其代入抛物线关系式，列出关于a 的方程，解方程，求出a 的值，即可得出G 的坐标；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，证明AEQ CDB ≅△△，得出EQ BD =，说明当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，先证明∠CAH =45°，算出AC 长度，即可求出CH 、AH ，得出HQ ，最后根据勾股定理求出CQ 的长度即可得出结果．【小问1详解】解：∵()4,0B 在抛物线()()134y x x a =+-上，∴()()143404a +-=，解得4a =，∴()()1344y x x =+-，即211344y x x =--；【小问2详解】在()()1344y x x =+-中，令0y =，得13x =-，24x =，∴()30A -,，3OA =，∵4OC OB ==，∴()0,4C ，∵1AE =，∴44tan 133OC DE AE CAO AE OA =⋅∠=⋅=⨯=，312OE OA AE =-=-=，∴()2,0E -，∵DE x ⊥轴，∴2P D E x x x ===-，∴()()13232442P y =-+--=-，∴32PE =，∴4317326DP DE PE =+=+=．【小问3详解】①连接DG 交AB 于点M ，如图1所示：∵BCD △与BFG 关于x 轴对称，∴DG AB ⊥，DM GM =，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，∴()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∵点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦在抛物线()()1344y x x =+-上，∴()()()1434343a a a -+--=-，解得13a =（舍去），243a =，∴420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，如图2所示：∵AE CD =，∴()SAS AEQ CDB ≅△△，∴EQ BD =，∴当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，∵OC OB ^，4OC OB ==，∴45CBA ∠=︒，BC =∵18018045CAH CAB EAQ CAB DCB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=︒，5AC ===，25222AH CH AC ===，22HQ AH AQ AH BC =+=+=+=，∴CQ ===，+．即BD CE【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形=，得出当C，的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ BD+=+最小，是解题的关键．E，Q三点共线时，BD CE EQ CE。
2023年湖北省黄石市中考数学真题试卷
机密★启用前黄石市2023年初中毕业生学业水平考试数学试题卷姓名: 准考证号：注意事项：1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考试时间为120分钟。
满分120分。
2. 考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题。
3. 所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效。
★祝考试顺利★一、选择题：本题共 10小题，每小题3分，共 30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 实数a 与b 在数轴上的位置如图1所示，则它们的大小关系是( ).A. a >bB. a =bC. a <b .D. 无法确定 2.下列图案中，()是中心对称图形3.下列运算正确的是( ).A. 3x ²+2x ²=6x ⁴B. (-2x ²)3=-6x ⁶C. x ³·x ²=x ⁶ D .- 6x ²y ³÷2x ²y ²=-3y 4. 如图2，根据三视图，它是由( )个正方体组合而成的几何体.A. 3B. 4C. 5D. 6 5. 函数 y =√xx−1的自变量x 的取值范围是( ).A. x ≥0B. x ≠1C. x ≥0且x ≠1D. x >16. 我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是: 9.1, 9.8, 9.1, 9.2, 9.9, 9.1, 9.9, 9.1, 这组数据的众数和中位数分别是( ). A. 9.1, 9.1 B. 9.1, 9.15 C. 9.1, 9.2 D. 9 .9, 9 .27. 如图3,已知点A(1,0), B(4,m ),若将线段AB 平移至CD,其中点C(-2,1), D(a ,n ), 则m -n 的值为( ). A. -3 B. -1 C. 1 D. 38. 如图4，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ， C 为圆心，大于 12BC 的长为半径画弧，两弧相交于E ，F 两点，EF 和 BC 交于点O ；②以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ； ③分别以点D ，C 为圆心，大于 12CD 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ,连接AM , AM 和CD 交于点N,连接ON.若 AB=9, AC=5, 则ON 的长为 ( ) . A. 2 B. 52 C. 4 D. 92数学试题卷 第1页(共4页)9. 如图5,有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD, 使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平. 再一次折叠纸片，使点A 落在 EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段 BN ，MN.观察所得的线段, 若AE=1, 则MN=( ). A.√32 B. 1 C. 2√33D. 2 10. 已知二次函数.y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象经过三点A(x ₁,y ₁), B(x ₂,y ₂), C(-3,0),且对称轴为直线：x =-1.有以下结论: ①a +b +c =0; ②2c +3b =0; ③当-2<x ₁<-1,0<x ₂<1时, 有 y ₁<y ₂;④对于任何实数k >0,关于x 的方程ax ²+bx +c =k (x +1)必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题:本题共8小题,第 11~14 小题每题3分,第 15~18小题每题4分, 共 28分. 11. 因式分解: x (y -1)+4(1-y )= .12. 计算: (−13)−2+(1−√2)0−2cos60∘=____________¯.13. 据《人民日报》( 2023年5月9日)报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番.其中18000 000用科学记数法表示为 .14. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务.如图6，当“神舟”十四号运行到地球表面P 点的正上方的F 点处时，从点F 能直接看到的地球表面最远的点记为Q 点，已知 PF=64009km , ∠FO Q =20°,( c os20°≈0.9,则圆心角∠PO Q 所对的弧长约为 km (结果保留π).15. 如图 7，某飞机于空中A 处探测到某地面目标在点B 处，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看到点B 的俯角为37°.飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D 时，地面目标此时运动到点E 处，从点E 看到点D 的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE 约为 米.(参考数据： tan37∘≈34,tan47.4∘≈10916. 若实数a 使关于x 的不等式组 {−2<x −1<3x −a >0的解集为-1<x <4，则实数a 的取值范围为_______数学试题卷 第2页(共4页)17. 如图8, 点A(a,5a )和B(b,56)在反比例函数. y=kx(k⟩0)的图象上,其中a>b>0.过点A作AC⊥x轴于点C,则△AOC的面积为_____;若△AOB的面积为154,则ab=__________.18. 如图9, 将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置,使点B'落在BC上, B'C'与CD交于点E.若AB=3, AD=4, BB′=32,则∠BAB'=_____(从“∠1,∠2,∠3”中选择一个符合要求的填空); DE=____________三、解答题：本题共 7小题，共62分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本小题7分)先化简，再求值：(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9,然后从1, 2, 3, 4中选择一个合适的数代入求值.20.(本小题8分)如图10,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN, AN与DM 相交于点P.(1)求证: △ABN≌△DAM;(2)求∠APM的大小21.(本小题8分)健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉.目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一.某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表成绩频数频率不及格(0≤x≤59) 6及格(60≤x≤74)20%良好(75≤x≤89)18 40%优秀(90≤x≤100)12(1) 请求出该班总人数；(2) 该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格□□□，求恰好得到的表格是889168的概率；(3) 设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b, c, d,若2a+3b+6c+4d=1275, 请求出该班全体学生最后得分的平均分, 并估计该校八年级学生体质健康状况.数学试题卷第3页(共4页)22.(本小题8分)关于x的一元二次方程x²+mx-1=0, 当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数. 宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.(1)求黄金分割数；(2)已知实数a, b满足: a²+ma=1, b²-2mb=4, 且b≠-2a,求ab的值;(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p²+np-1=q, q²+nq-1=p, 求pq-n的值.23.(本小题9分)某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件.设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z={15,0<x≤12mx+n,12<x≤20,其中x是正整数.当x=16时, z=14;当x=20时, z=13.(1) 求m,n的值;(2) 设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20.①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大? 最大的利润是多少万元?②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围.24.(本小题10分)如图11,AB为⊙O的直径,DA和⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点C在⊙O上,且CD⊥DA, AC交BF于点P.(1) 求证: CD是⊙O的切线;(2) 求证: AC·PC=BC²(3) 已知 BC²=3FP·DC,求AFAB的值.25.(本小题12分) 如图12，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两点 A(-3,0), B(4,0),与y轴交于点C(0,4).(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点P(x₀,y₀),其中y₀<0, 若∠CAO+∠ABP=90°,求x₀的值;(3)若点D,E分别是线段AC,AB上的动点,且AE=2CD,求CE+2BD的最小值.数学试题卷第4页(共4页)。
2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷(解析版)
2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为得到，，∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．3.如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，∴，∴B、C、D选项不符合题意，故选：A．4.下列数中，能使不等式成立的x的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．【详解】解：∵，∴．∴符合题意的是A故选A．5.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（）A.角平分线B.高线C.中位线D.中线【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B6.如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．故选：D．7.节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴，∴，当时，，故A不符合题意；当时，，故B不符合题意；∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．9.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（）A.1B.C.D.1或【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四边形是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】证明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四边形是平行四边形．故选：D．11.直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．【详解】解：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴，∴，∵，∴，故选：B．12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【答案】B【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．【详解】解：设，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．13.已知A为整式，若计算的结果为，则（）A.xB.yC.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得，对进行通分化简即可．【详解】解：∵的结果为，∴，∴，∴，故选：A．14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，，∴，∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，∴，∴，∴是的正比例函数，∵，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“□”表示5C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图：，∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图：∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．【答案】89【解析】【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．根据众数的定义求解即可判断．【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，89出现的次数最多，以上数据的众数为89．故答案为：89．18.已知a，b，n均为正整数．（1）若，则______；（2）若，则满足条件a的个数总比b的个数少______个．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由即可得到答案；（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．【详解】解：（1）∵，而，∴；故答案为：；（2）∵a，b，n均为正整数．∴，，为连续的三个自然数，而，∴，，观察，，，，，，，，，，，而，，，，，∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），故答案为：．19.如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．【详解】解：（1）连接、、、、，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点，，，是线段的五等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，∵点是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面积为，故答案为：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．【小问1详解】解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，∴，，，∴；【小问2详解】解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，∴，∴，解得：；21.甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．【答案】（1）（2）填表见解析，【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可；（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：当时，，，，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；【小问2详解】解：补全表格如下：∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，∴和为单项式的概率为．【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．22.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P 到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求的大小及的值；（2）求的长及的值．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；【小问2详解】解：∵，，∴，如图，过作于，∵，设，则，∴，解得：，∴，∴．23.情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，设，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，此时，，符合要求，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，此时，，∴，综上：的长为或．24.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当时，；当时，．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分（2）125（3）①130；②【解析】【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；（2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得；（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：．【小问1详解】解：当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；【小问2详解】解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时，，，由①②得，∴，∴，故不成立，舍；②时，，，由③④得：，∴，∴，∴，∴，故不成立，舍；③时，，，联立⑤⑥解得：，且符合题意，综上所述；【小问3详解】解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，∴由表格得到原始成绩为110及110以上人数为，∴合格率为：．【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键．25.已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；（3）设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．【答案】（1）（2）点B到的距离为；（3）①；②【解析】【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案；（2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案；（3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于，，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案．【小问1详解】解：如图，连接，，∵的半径为3，，∴，∴为等边三角形，∴，∴的长为；【小问2详解】解：过作于，过作于，连接，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴点B到的距离为；∵，，∴，∴，∴；【小问3详解】解：①如图，∵过点A的切线与垂直，∴过圆心，过作于，过作于，而，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如图，当为中点时，过作于，过作于，∴，∴，此时最短，如图，过作于，而，∵为中点，则，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴的最小值为．【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．26.如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当时，①求直线PQ的解析式；②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】（1），（2）两人说法都正确，理由见解析（3）①；②或（4）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点；（3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可；（4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线过点，顶点为Q．∴，解得：，∴抛物线为：，∴；小问2详解】解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，当时，∴，∴在上，∴嘉嘉说法正确；∵，当时，，∴过定点；∴淇淇说法正确；【小问3详解】解：①当时，，∴顶点，而，设，∴，解得：，∴为；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），∴，∴交点，交点，由直线，设直线为，∴，解得：，∴直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，同理当直线过点，直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，【小问4详解】解：如图，∵，，∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，∴四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，∵，，∴的横坐标为，∵，，∴横坐标为，∴，解得：；【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．。
2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题(含解析)
2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学温馨提示：1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A.95.210⨯ B.110.5210⨯ C.95210⨯ D.105.210⨯3.将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A.100︒B.105︒C.115︒D.120︒4.下列计算正确的是（）A.235a a a+= B.222()a b a b+=+ C.632a a a÷= D.()236a a=5.在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误．．的是（）A.为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差2 2.5S=甲，2 2.3S=乙，则发挥稳定的是甲6.解不等式组()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.7.如图，是正n 边形纸片的一部分，其中l m ，是正n 边形两条边的一部分，若l m ，所在的直线相交形成的锐角为60︒，则n 的值是（）A.5B.6C.8D.108.某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数3941334047A.120B.200C.6960D.96009.等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A.17或13B.13或21C.17D.1310.如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A.61︒B.63︒C.65︒D.67︒11.用1块A 型钢板可制成3块C 型钢板和4块D 型钢板；用1块B 型钢板可制成5块C 型钢板和2块D 型钢板．现在需要58块C 型钢板、40块D 型钢板，问恰好用A 型钢板、B 型钢板各多少块？如果设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，则可列方程组为（）A.32404558x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.35404258x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.34585240x y x y +=⎧⎨+=⎩12.如图，ABC 中，1AB BC ==，72C ∠=︒．将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C ''△，点B'与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点．若点C '恰好落在BC 边上，下列结论：①点B 在旋转过程中经过的路径长是15π；②B B A C '∥；③BD C D '=；④AB B B AC BD'=．其中正确的结论是（）A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④13.如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A.a b +B.a b -C.abD.a b-14.如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =-+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A.1m n +=B.1m n -=C.1mn = D.1mn=二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.请写出一个比小的整数_____________16.因式分解：233am a -=______．17.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为65︒，则古树AB 的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈，cos650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）．18.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：收割机编号A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是________．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.（1()0π12sin 602+++︒+-；（2）已知230a a --=，求代数式2(2)(1)(3)a a a -+-+的值．20.如图，在ABC 中，D 是AB 中点．（1）求作：AC 的垂直平分线l （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l 交AC 于点E ，连接DE 并延长至点F ，使2EF DE =，连接BE CF ，．补全图形，并证明四边形BCFE 是平行四边形．21.某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：平均数众数中位数80c78解决问题（1）表格中的=a ______；b =______；c =______；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；（3）学校要从91分的A ，B ，C ，D 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率．22.一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？23.在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．（1）已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N -，()30,2N -中，是点M 等和点的有_____；（2）若点()3,2M -的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值；（3）已知，双曲线1ky x=和直线22y x =-，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x -<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =-上，求点P 的坐标．24.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．25.如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A 处沿水滑道下滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；（2）如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离12OE =米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．26.数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：AD AF =；（2）探究DF DE 与ADDC的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DFDE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DFDE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；（3）拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出APAD的值（用含m ，n 的式子表示）．参考答案一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形，故A 选项正确；B ．不是轴对称图形，故B 选项错误；C ．不是轴对称图形，故C 选项错误；D ．不是轴对称图形，故D 选项错误．故选：A ．2.【答案】D【解析】解：1052000000000 5.210=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：如图所示：由题意得：3230∠=∠=︒∴1180345105∠=︒-∠-︒=︒故选：B ．4.【答案】D【解析】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、()222222a b a ab b a b +=++≠+，故此选项不符合题意；C 、6332a a a a ÷=≠，故此选项不符合题意；D 、()236a a =，故此选项符合题意．故选：D ．5.【答案】D【解析】解：A 、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；B 、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；C 、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；D 、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差22.5S =甲，22.3S =乙，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；故选：D ．6.【答案】C【解析】解：()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②解不等式①得，2x <，解不等式②得，3x ≥-，所以，不等式组的解集为：32x -≤<，在数轴上表示为：故选：C ．7.【答案】B【解析】解：如图，直线l m 、相交于点A ，则60A ∠=︒，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴1806012602︒-︒∠=∠==︒，∴360660n ︒==︒，故选：B．8.【答案】D 【解析】解：334047160009600200++⨯=，∴视力不低于4.8的人数是9600，故选：D ．9.【答案】C【解析】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．10.【答案】B【解析】解：∵半径OC AB ⊥，∴ AC BC=，∴42AOC BOC ∠=∠=︒，84AOB ∠=︒，∵ AC AC=，∴1212D AOC ∠=∠=︒，∴63OED AOB D ∠=∠-∠=︒，故选：B ．11.【答案】C【解析】解：设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，由题意得：35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：C ．12.【答案】A【解析】解：∵AB BC =，72C ∠=︒，∴72BAC C ∠=∠=︒，180236ABC C ∠︒=︒-∠=，由旋转的性质得36AB C ABC ︒'∠=∠=，72B AC BAC ︒''∠=∠=，72AC B C ''∠︒=∠=，72AC B ADC ︒''∠=∠=，AC AC '=，∴72AC C C '∠=∠=︒，∴36CAC '∠=︒，∴36CAC BAC ''∠=∠=︒，∴723636B AB '∠=︒-︒=︒，由旋转的性质得AB AB '=，∴()118036722ABB AB B ''∠=∠=︒-︒=︒，①点B 在旋转过程中经过的路径长是36111805ππ⋅=；①说法正确；②∵36B AB ABC '∠=∠=︒，∴B B A C '∥；②说法正确；③∵18027236DC B '∠=︒-⨯︒=︒，∴36DC B ABC '∠=∠=︒，∴BD C D '=；③说法正确；④∵36BB D ABC '∠=∠=︒，72B BD BAC '∠=∠=︒，∴B BD BAC '∽△△，∴AB B B AC BD'=．④说法正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A ．13.【答案】A【解析】解：数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，,∴AM a b a b =+-=、()BM b a b a =-+=-，∵AM BM >，∴原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0b >且a b <，∴0a b +>，0a b -<，00ab a b <-<，，故运算结果一定是正数的是a b +．故选：A ．14.【答案】B【解析】解：如图，连接AC 、BD 交于点E ，过点A 作MN y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MN ⊥于点N ，四边形ABCD 是正方形，AC ∴、BD 互相平分，AB AD =，90BAD ∠=︒，90BAN DAM ∴∠+∠=︒，90DAM ADM ∠+∠=︒，BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒ ，BA AD =，(AAS)ANB DMA ∴ ≌．AM NB ∴=，DM AN =．点A 、C 的横坐标分别为m 、n ，24(,)A m m ∴+-，2()4,C n n -+．(2m n E +∴，2282m n -+-，2(0,)4M m +-，设(0,)D b ，则22(,)8B m n m n b ++---，2()4,N m n m ++-，24BN n b ∴=-+-，AM m =，AN n =，24DM m b =-+．又AM NB =，DM AN =，24n m b +--∴=，24n m b =-+．24b n m ∴=--+．2244n m n m ∴=---+．∴()()m n m n m n +-=+．点A 、C 在y 轴的同侧，且点A 在点C 的右侧，0m n ∴+≠．1m n ∴-=．故选：B ．二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.【答案】1（或2）【解析】23=<<= ，满足条件的数为小于或等于2的整数均可.16.【答案】()()311a m m +-【解析】解：()()()223331311am a a m a m m -=-=+-，故答案为：()()311a m m +-．17.【答案】11.5【解析】解：如图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 的延长线于点M ，∴四边形ACDM 是矩形，∴10DM AC ==米，∵45BDM ∠=︒，65ADM ∠=︒，90M ∠=︒，∴BDM 是等腰直角三角形，∴10BM DM ==米，在Rt ADM △中，tan 10tan 6510 2.14521.45AM DM ADM =⋅∠=⋅︒≈⨯≈（米），∴21.451011.4511.5AB AM BM =-=-=≈（米），∴古树AB 的高度约为11.5米．故答案为：11.5．18.【答案】C【解析】解：同时启动A ，B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，得到C 比A 快；同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，得到B 比D 快；同时启动A 、B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动A ，E 两台收割机，所需的时间为18小时，得到E 比B 快；同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，同时启动D ，E 两台收割机，所需的时间为22小时，得到C 比E 快．综上，收割最快的一台收割机编号是C ．故答案为：C ．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.【答案】（1）6；（2）7．【解析】解：（1）原式331222=++⨯+42=+-，6=；（2）∵230a a --=，∴23a a -=，∴()()()2213a a a -+-+224423a a a a =-+++-，2221a a =-+，()221a a =-+，231=⨯+，7=．20.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【小问1详解】解：直线l 如图所示，；【小问2详解】证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E 为AC 的中点，∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，12DE BC =，∵2EF DE =，即：12DE EF =，∴EF BC =，∵EF BC ∥，∴四边形BCFE 是平行四边形．21.【答案】（1）5；2；75（2）78；80（3）A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．【解析】【小问1详解】解：根据收集的数据知5a =；2b =；出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则75c =；故答案为：5；2；75；【小问2详解】解：∵由统计图可知中位数为78分，∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．故答案为：78；80；【小问3详解】解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，共有12种等可能结果，A ，B 两名队员恰好同时被选中的情况有2种，∴A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为21126==，答：A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．22.【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；（2）15天的工期，两队最多能修复公路105千米．【解析】【小问1详解】解：设甲队平均每天修复公路x 千米，则乙队平均每天修复公路()3x +千米，由题意得60903x x =+，解得6x =，经检验，6x =是原方程的解，且符合题意，39x +=，答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；【小问2详解】解：设甲队的工作时间为m 天，则乙队的工作时间为()15m -天，15天的工期，两队能修复公路w 千米，由题意得()69153135w m m m =+-=-+，()215m m ≥-，解得10m ≥，∵30-<，∴w 随m 的增加而减少，∴当10m =时，w 有最大值，最大值为310135105w =-⨯+=，答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．23.【答案】（1）()14,2N 和()30,2N -；（2）5b =；（3）()4,2--或()2,4．【解析】【小问1详解】解：由()1,3M ，()14,2N 得，12125x x y y +=+=，∴点()14,2N 是点M 的等和点；由()1,3M ，()23,1N -得，124x x +=，122y y +=，∵1212x x y y +≠+，∴()23,1N -不是点M 的等和点；由()1,3M ，()30,2N -得，12121x x y y +=+=，∴()30,2N -是点M 的等和点；故答案为：()14,2N 和()30,2N -；【小问2详解】解：设点N 的横坐标为a ，∵点N 是点()3,2M -的等和点，∴点N 的纵坐标为()325a a +--=+，∴点N 的坐标为(),5a a +，∵点N 在直线y x b =+上，∴5a a b +=+，∴5b =；【小问3详解】解：由题意可得，0k >，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A B 、，如图，由12y y <时x 的取值范围是4x >或20x -<<，可得点A 的横坐标为4，点B 的横坐标为2-，把4x =代入2y x =-得，422y =-=，∴()4,2A ，把()4,2A 代入1k y x =得，24k =，∴8k =，∴反比例函数解析式为18y x =，设8,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 的横坐标为n ，∵点Q 是点P 的等和点，∴点Q 的纵坐标为8m n m +-，∴8,Q n m n m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点Q 在直线22y x =-上，∴82m n n m +-=-，整理得，820m m -+=，去分母得，2280m m +-=，解得14m =-，12m =，经检验，4,2m m =-=是原方程的解，∴点P 的坐标为()4,2--或()2,4．24.【答案】（1）见解析（2）5OM =【解析】【小问1详解】证明：连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 如图，∵,90,AB BC ACB =∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴90,CBD ∠=︒∴904545,DBE CBD ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴45,EPD DBE ∠=∠=︒∴224590,DOE DPE ∠=∠=⨯︒=︒∵,EF CD ∥∴90,FEO DOE ∠=∠=︒即,OE EF ⊥∵OE 是O 的半径，∴EF 是O 的切线；【小问2详解】解：∵90DBC ∠=︒，1tan 2BCD ∠=，∴12DB BC =，∵,BC AC =∴12DB AC =，∵,DMB CMA ∠=∠A DBM ∠=∠，∴DBM ACM ∽ ，∴12BM DM DB AM CM AC ===，∵BM =，∴2AM BM ==∴AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴(2222AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，CD ==∴CO DO ==又12DM CM =，∴2,CM DM =∴2DM DM CD +==∴DM =∴OM OD DM =-==25.【答案】（1）()217388y x =++（2）①此人腾空后的最大高度是258米，解析式为()2125388y x =--+；②此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内，理由见解析（3）这条钢架的长度为米【解析】【小问1详解】解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且过点()0,2B ，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()2738y a x =++，将()0,2B 代入，得：()272038a =++，即998a =，18a ∴=，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()217388y x =++；【小问2详解】解：① 人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为()218y x b c =-++，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于点()0,2B 成中心对称，()7250233,2288⨯--=⨯-=，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，即253,8b c ==，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+，令0y =，则()21253088x --+=，即()2325x -=∴8x =或2x =-（舍去，不符合题意），∴点()8,0D ，8OD ∴=，12OE =，43DE OE OD ∴=-=>，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；【小问3详解】解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令()2173488y x =++=，即()2325x +=，2x ∴=（舍去，不符合题意）或8x =-，()8,4M ∴-，设BM 所在直线的解析式为y kx b '=+，将()()8,4,0,2M B -代入得：248b k b =⎧⎨=-+''⎩，解得：214b k =-'⎧⎪⎨=⎪⎩，∴BM 所在直线的解析式为124y x =-+，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H， 这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为14y x n =-+，联立()21417388y x n y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，即()21173488x n x -+=++，整理得：281680x x n ++-=，该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，()2Δ8411680n ∴=-⨯⨯-=，∴0n =即该钢架所在直线的解析式为14y x =-，∴点H 与点O 重合， ()1824GN =-⨯-=，8NO =，90GNO ∠=︒，GH ∴==∴这条钢架的长度为米．26.【答案】（1）见解析（2）①73DF DE =②2DF DE m n=，证明见解析（3）2AP n AD m =【解析】【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE BC ⊥，∴90BEF CED ∠=∠=︒，∴90F B ∠=︒-∠，90CDE C ∠=︒-∠，且CDE ADF ∠=∠，∴F ADF ∠=∠，∴AD AF =；【小问2详解】解：①当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =，∴总结规律得：DF DE 是AD DC 的2倍，∴当76AD DC =时，14763DF DE ==；②当AD m DC n =时，猜想2DF DE m n =，证明：作AG EF ⊥于点G ，∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m DE DC n ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；【小问3详解】2AP n AD m=，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m=，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，∴2AP AP n AD AF m ==．。
2024年湖北省武汉市中考数学试题(含答案)
2024年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟．2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．5．认真阅读答题卡上的注意事项．预祝你取得优异成绩！一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件【答案】A【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A ．3.如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故选：B ．4.国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A.50.310⨯B.60.310⨯ C.5310⨯ D.6310⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：5300000310=⨯，故选：C ．5.下列计算正确的是（）A.236a a a ⋅= B.()1432a a = C.()2236a a = D.()2211a a +=+【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.()4312a a =，故该选项正确，符合题意；C.()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；D.()22121a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．6.如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D ．7.小美同学按如下步骤作四边形ABCD ：①画MAN ∠；②以点A 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，D ；③分别以点B ，D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C ；④连接BC ，CD ，BD ．若44A ∠=︒，则CBD ∠的大小是（）A.64︒B.66︒C.68︒D.70︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD 是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：作图可得AB AD BC DC ===∴四边形ABCD 是菱形，∴,AD BC ABD CBD ∠=∠ ∵44A ∠=︒，∴44MBC A ∠=∠=︒，∴()()11180180446822CBD MBC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．8.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A.19B.13 C.49D.59【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．【详解】解：列树状图如图所示，共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，∴至少一辆车向右转的概率是59，故选：D ．9.如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A.63B.223C.32D.22【答案】A 【解析】【分析】延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF，即可证得()SAS ADC EBC ≌，进而可求得cos 452AC AE =︒⋅=60AFC ∠=︒，结合三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠=︒∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒∴BD 是O 的直径，∴90DCB ∠=︒∴DCB △是等腰直角三角形，∴DC BC =∵BE AD=∴()SAS ADC EBC ≌∴ACD ECB ∠=∠，AC CE =,∵2AB AD +=∴2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒∴90ACE ∠=︒∴ACE △是等腰直角三角形∴cos 45AC AE =︒⋅=∵60ABC ∠=︒∴60AFC ∠=︒∵90FAC ∠=︒∴26sin 603AC CF ==︒∴1623OF OC CF ===故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．10.如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++ 的值是（）A.1-B.0.729- C.0 D.1【答案】D 【解析】【分析】本题坐标规律，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出123911190y y y y y y +++++= ，进而转化为求1020y y +，根据题意可得100y =，201y =，即可求解．【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴0.1 1.90.2 1.80.9 1.11222+++==⋅⋅⋅=，∴123911190y y y y y y +++++= ，∴12319201020y y y y y y y +++++=+ ，而()101,0A 即100y =，∵32331y x x x =-+-，当0x =时，1y =-，即()0,1-，∵()0,1-关于点()1,0中心对称的点为()2,1，即当2x =时，201y =，∴12319201020011y y y y y y y +++++=+=+= ，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11.中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作_________℃．【答案】2-【解析】【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作2-℃．，故答案为：2-．12.某反比例函数ky x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是__________．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小，∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．13.分式方程131x x x x +=--的解是______．【答案】3x =-【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以()()31x x --完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．【详解】解：131x x x x +=--，等号两边同时乘以()()31x x --，得()()()131x x x x -=-+，去括号，得2223x x x x -=--，移项、合并同类项，得3x =-，经检验，3x =-是该分式方程的解，所以，该分式方程的解为3x =-．故答案为：3x =-．14.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是__________m ．（参考数据：tan632︒≈）【答案】51【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，根据tan632︒≈，求出51m DC AD =≈，即可求解．【详解】解：延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D，如图，由题可知，102m BD =，设AD x =，∵45DCA ∠=︒∴DC AD x ==∴102tan632BD DC x︒==≈∴51mDC AD =≈∴1025151m AB BD AD =-=-≈故答案为：51．15.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E ，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是___________．【答案】221(1)k k +-【解析】【分析】作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG =，通过四边形MNPQ 是正方形，推出45EMG PMN ∠=∠=︒，得到1EG MG ==，然后证明AEG ABN ∽，利用相似三角形对应边成比例，得到111AE AG AB BN AN k ===+，从而表示出AG ，MN 的长度，最后利用2122AB BN AN S ==+和222S MN a ==表示出正方形ABCD 和MNPQ 的面积，从而得到12S S ．【详解】解：作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG = 四边形MNPQ 是正方形45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=︒1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中，EAG BAN ∠=∠，90AGE ANB ∠=∠=︒AEG ABN ∴ ∽AE EG AGAB BN AN∴==(1)BE kAE k => (1)AB AE BE AE k ∴=+=+111AE AG AB BN AN k ∴===+1BN k∴=+由题意可知，ABN DAM△≌△1BN AM k∴==+11AG AM GM k k∴=-=+-=111AG AG k AN AM MN k a k ∴===++++21a k ∴=-2211AN AG GM MN k k k k∴=++=++-=+∴正方形ABCD 的面积222221222(1)()(1)(1)S AB BN AN k k k k k ==+=+++=++，正方形MNPQ 的面积2222222(1)(1)(1)S MN a k k k ===-=+-222221(1)(1)(1)(1)k k k k S S +++-∴=1k > 2(1)0k ∴+≠22121(1)k S S k +-∴=【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．16.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>；③若1a =-，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】②③④【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴11022m -+-<<，即可判断①，根据()1,1-，(),1m 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过()1,1-得出2c b =+，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴111224m -+-<≤-，解不等式，即可求解．【详解】解：∵2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．∴对称轴为直线122bm x a -+=-=，11022m-+-<<，∵02bx a =-<，a<0∴0b <，故①错误，∵01m <<∴()11m -->，即()1,1-，(),1m 两点之间的距离大于1又∵a<0∴1x m =-时，1y >∴若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>，故②正确；③由①可得11022m-+-<<，∴1022b-<<，即10b -<<，当1a =-时，抛物线解析式为2y x bx c=-++设顶点纵坐标为224444ac b c b t a ---==-∵抛物线2y x bx c =-++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，∴11b c --+=∴2c b =+∴()222224411122144444c b b ct b c b b b --+===+=++=++-∵10b -<<，104->，对称轴为直线2b =-，∴当0b =时，t 取得最大值为2，而0b <，∴关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无解，故③正确；④∵a<0，抛物线开口向下，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，又12124x x x +=>-，∴点()11,A x y 离14x =-较远，∴对称轴111224m -+-<≤-解得：102m <≤，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17.求不等式组3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1-【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得：2x >-解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x -<≤，∴整数解为：1,0,1-18.如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．（1）求证：C ABE DF ≌△△；（2）连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】（1）见解析（2）添加AF BE =（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB CD =，B D ∠=∠，结合已知条件可得DF BE =，即可证明C ABE DF ≌△△；（2）添加AF BE =，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AD BC =，B D ∠=∠，∵AF CE =，∴AD AF BC CE -=-即DF BE =，在ABE 与CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CDF ≌；【小问2详解】添加AF BE =（答案不唯一）如图所示，连接EF．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即AF BE ∥，当AF BE =时，四边形ABEF 是平行四边形．19.为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a 2151b 06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m ，n 的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．【答案】（1）60m =，15n =，众数为3分（2）该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人【解析】【分析】本题考查了样本估计总体，求众数，频数分布表与扇形统计图；（1）根据成绩为2分的人数除以占比，求得m 的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得18a =，进而求得9b =，即可得出n 的值；（2）根据得分超过2分的学生的占比乘以900，即可求解．【小问1详解】解：依题意，156025%m ==（人），6030%18a =⨯=（人），6012181569b =----=（人），∴9%100%15%60n =⨯=，∴15n =，∵3分的人数为18个，出现次数最多，∴众数为3分，【小问2详解】解：181290045060+⨯=（人）答：该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人.20.如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．（1）求证：AB 与半圆O 相切；（2）连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．【答案】（1）见解析（2）45【解析】【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，根据等腰三角形三线合一可知，AO BC ⊥，AO 平分BAC ∠，结合AC 与半圆O 相切于点D ，可推出ON OD =，得证；（2）由题意可得出OAC COD ∠=∠，根据OF OD =，在Rt ODC △中利用勾股定理可求得OD 的长度，从而得到OC 的长度，最后根据CD sin OAC sin COD OC∠=∠=即可求得答案．【小问1详解】证明：连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，如图ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点AO BC ∴⊥，AO 平分BAC∠AC 与半圆O 相切于点DOD AC∴⊥由ON AB⊥ ON OD∴=AC ∴是半圆O 的切线【小问2详解】解：由（1）可知AO BC ⊥，OD AC⊥90AOC ∴∠=︒，90ODC ∠=︒18090OAC OCA AOC ∴∠+∠=︒-∠=︒，18090COD OCA ODC ∠+∠=︒-∠=︒OAC COD∴∠=∠sin sin CD OAC COD OC∴∠=∠=又 OF OD =，2CF =∴在Rt ODC △中，4CD =，2OC OF FC OD =+=+ 222OC CD OD =+，∴222(2)4OD OD +=+解得：3OD =442325CD CD sin OAC sin COD OC OD ∴∠=∠====++21.如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD 上画点E ，使ECB ACB ∠=∠；（3）在图（2）中，先画点F ，使点A 绕点F 顺时针旋转90︒到点C ，再画射线AF 交BC 于点G ；（4）在（3）的基础上，将线段AB 绕点G 旋转180︒，画对应线段MN （点A 与点M 对应，点B 与点N 对应）．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析（4）作图见解析【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．（1）作矩形HBIC ，对角线HI 交BC 于点D ，做射线AD ，即可；（2）作OP BC ∥,射线AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，即可；（3）在AC 下方取点F ，使AF CF ==ACF △是等腰直角三角形，连接CF ，AF ，AF 交BC于点G ，即可；（4）作OP BC ∥，交AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，即可．【小问1详解】如图，作线段HI ，使四边形HBIC 是矩形，HI 交BC 于点D ，做射线AD ，点D 即为所求作；【小问2详解】如图，作OP BC ∥,作AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，点E 即为作求作；【小问3详解】如图，在AC 下方取点F ，使AF CF ==CF ，连接并延长AF ，AF 交BC 于点G ，点F ，G 即为所求作；【小问4详解】如图，作OP BC ∥，交射线AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，线段MN 即为所求作．22.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】（1）①115a =-，8.1b =；②8.4km （2）2027a -<<【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）①将()9,3.6代入即可求解；②将2115y x x =-+变为2115151524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即可确定顶点坐标，得出 2.4km y =，进而求得当 2.4km y =时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可；（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得227a =-，即可求解．【小问1详解】解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km ∴抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+均经过点()9,3.6∴3.6819a =+，13.692b=-⨯+解得115a =-，8.1b =．②由①知，18.12y x =-+，2115y x x=-+∴22111515151524y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴最大值15km4y =当151.352.4km 4y =-=时，则212.415x x -+=解得112x =，23x =又∵9x =时， 3.6 2.4y =>∴当 2.4km y =时，则418. 2.12x +=-解得11.4x =()11.438.4km -=∴这两个位置之间的距离8.4km ．【小问2详解】解：当水平距离超过15km 时，火箭第二级的引发点为()9,819a +，将()9,819a +，()15,0代入12y x b =-+，得181992a b +=-⨯+，10152b=-⨯+解得7.5b =，227a =-∴2027a -<<．23.问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF 的值．【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：55【解析】【分析】问题背景：根据矩形的性质可得90AB CD EBF C =∠=∠=︒，，根据点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，可得12BE BF AB BC ==，即可得证；问题探究：取BD 的中点H ，连接,EH HC ，得EH 是ABD △的中位线，根据已知条件可得EH 平行且等于FC ，进而可得EFCH 是平行四边形，得EF HC ∥，则GFB HCB ∠=∠，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB HC =，进而可得HBC HCB ∠=∠，等量代换可得GBF GFB ∠=∠，等角对等边，即可得证；问题拓展：过点F 作FM AD ⊥，则四边形MFCD 是矩形，连接AF ，根据已知以及勾股定理得出55AM AF =；根据（2）的结论结合已知可得GA GF GB ==，证明EF 垂直平分AB ，进而得出FA FB =，证明AFG BFG ≌，进而证明BEG FMA ∽，进而根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】问题背景：∵四边形ABCD 是矩形，∴90AB CD EBF C =∠=∠=︒，，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点∴12BE BF AB BC ==，即12BE BF CD BC ==，∴BCD FBE ∽△△；问题探究：如图所示，取BD 的中点H ，连接,EH HC ，∵E 是AB 的中点，H 是BD 的中点，∴12EH AD =，EH AD∥又∵2AD CF =，∴EH CF =，∵AD BC ∥，∴EH FC∥∴四边形EHCF 是平行四边形，∴EF CH∥∴GFB HCB∠=∠又∵90BCD ∠=︒，H 是BD 的中点，∴12HC BD BH==∴HBC HCB∠=∠∴GBF GFB ∠=∠，∴GB GF =；问题拓展：如图所示，过点F 作FM AD ⊥，则四边形MFCD 是矩形，连接AF ，∵2AD CF CD ==，∴12AM MD FC AD ===，设2AD a =，则2MF CD a ==，AM a=在Rt AMF 中，AF ==，∵AG FG =，由（2）BG FG=∴AG BG =，又∵E 是AB 的中点，∴EF 垂直平分AB∴AF BF =，90BEG ∠=︒，在,AFG BFG 中，AG BG GF GF FA FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AFG BFG ≌设GBF GFB α∠=∠=，则GAF GFA α∠=∠=∴2BGE GBF GFB α∠=∠+∠=，又∵AD BC∥∴2MAF AFB GFA GFB α∠=∠=∠+∠=∴MAF EGB∠=∠又∵90BEG AFM ∠=∠=︒∴BEG FMA ∽∴55EG EG AM GF BG AF ====．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24.抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥，交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ，求点P 的坐标；（3）如图（2），点D 与原点O 关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点G ，连接FG ．若90EGF ∠=︒，求直线DE 的解析式．【答案】（1）()1,0A ，()5,0B -，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）92,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭（3）152y x =--【解析】【分析】（1）分别令,0x y =，解方程，即可求解；（2）分别求得直线,AC BC ，根据PQ AC ∥得出PQ 的解析式，设215,222P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进而求得Q 点的坐标，进而根据BC 平分线段PQ ，则PQ 的中点在直线BC 上，将点M 的坐标代入直线BC 解析式，即可求解．（3）过点G 作TS x ∥轴，过点,E F 分别作TS 的垂线，垂足分别为,T S ，证明ETG GSF ∽，得出ET FS GS TG ⋅=⋅，先求得点D 的坐标，设直线EF 的解析式为11y k x =，直线ED 的解析式为225y k x =-，联立抛物线解析式，设,E F x e x f ==，G x g =，根据一元二次方程根与系数的关系，得出5ef =-，5eg =，224e g k +=-，进而求得,ET FS ，代入ET FS GS TG ⋅=⋅，化简后得出5e g +=-，即2245k -=-，进而即可求解．【小问1详解】解：由215222y x x =+-，当0x =时，52y =-，则50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭当0y =，2152022x x +-=解得：125,1x x =-=∵A 在B 的右边∴()1,0A ，()5,0B -，【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠将()1,0A ，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得，52k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：5252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线AC 的解析式为5522y x =+∵PQ AC∥设直线PQ 的解析式为152y x b =+∵P 在第三象限的抛物线上设215,222P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，()50t -<<∴215152222t b t t +=+-∴2115222t b t =--∴2150,222t Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设PQ 的中点为M ，则22352,22t t t M ⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭由()5,0B -，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BC 的解析式为152y k x =-，将()5,0B -代入得，15052k =--，解得：112k =-∴直线BC 的解析式为1522y x =--，∵BC 平分线段PQ ，∴M 在直线BC 上，∴22351522222t t t +--⨯-=解得：122,0t t =-=（舍去）当2t =-时，21592222t t +-=-∴92,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：如图所示，过点G 作TS x ∥轴，过点,E F 分别作TS 的垂线，垂足分别为,T S，∴90T S EGF ∠=∠=∠=︒∴90EGT FGS GFS∠=︒-∠=∠∴ETG GSF∽∴ET TG GS FS=即ET FS GS TG⋅=⋅∵点D 与原点O 关于点50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，∴()0,5D -,设直线EF 的解析式为11y k x =，直线ED 的解析式为225y k x =-联立直线EF 与抛物线解析式11215222y k xy x x =⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得，2112222k xx x =+-，即()21152022x k x +--=联立直线ED 与抛物线解析式222515222y k x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得，22125222k x x x -=+-即()22152022x k x +-+=设,E F x e x f ==，G x g =，∴5ef =-，5eg =，224e g k +=-，∴f g=-()()221515122422222ET e e g g e g e g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭，()()221515122422222FS f f g g f g f g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭∵ET FS GS TG⋅=⋅∴()()()()()()114422g e f g e g e g f g f g --=++-⨯++-，将f g =-代入得：5e g +=-∴2245k -=-，∴21 2k=-，∴直线DE解析式为152y x=--．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2023辽宁省辽阳市中考数学真题试卷和答案
2023年本溪铁岭辽阳市初中毕业生学业考试数学试卷※ 考试时间120分钟 试卷满分150分考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．第一部分 选择题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2的绝对值是（ ）A. 12- B. 12 C. 2- D. 22. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. 2323a a a +=B. 743a a a ÷=C. ()2224a a -=-D. ()2236b b =5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.401.501.601.70180人数/名13231.则这10名运动员成绩的中位数是（ ）A. 1.50mB. 1.55mC. 1.60mD. 1.65m6. 如图，直线,CD EF 被射线,OA OB 所截，CD EF ∥，若1108∠=°，则2∠度数为（ ）A. 52︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 了解某种灯泡的使用寿命B. 了解一批冷饮的质量是否合格C. 了解全国八年级学生的视力情况D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多8. 某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（ ）A. 1201201 1.5x x += B. 1201201 1.5x x -= C. 1201201.51x x =- D. 1201201.51x x =+9. 如图，在Rt ABC 中，9053C AB BC ∠=︒==，，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB AC ，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A. 35 B. 34 C. 43 D. 5310. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm AB =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动，到点B 停止运动，同时动点Q 从点A的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在射线的AB ．设点P 的运动时间为()s x ，菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. 截止到2023年4月底，我国5G 网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，5G 移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为___________．12. 分解因式：3244a a a -+=__．13. 如图，等边三角形ABC 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往ABC ∆内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．14. 若关于x 的一元二次方程210x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____.15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 顶点坐标分别是()()()()00102312O A B C -，，，，，，，，若四边形OA B C '''与四边形OABC 关于原点O 位似，且四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，则第一象限内点B '的坐标为___________．的16. 如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点,B D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且2AC AO =，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为___________．17. 如图，在三角形纸片ABC 中，,20AB AC B =∠=︒，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B '处，当B D BC '⊥时，BAD ∠的度数为___________．18. 如图，线段8AB =，点C 是线段AB 上的动点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，连接CD ，在AB 的上方作Rt DCE ∆，使90,30DCE E ∠=∠= ，点F 为DE 的中点，连接AF ，当AF 最小时，BCD ∆的面积为___________．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：2211124x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A （优秀）；B （良好）；C （中）；D （合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次抽样调查的学生共有___________名；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B 等级的学生有多少名？（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 某礼品店经销A ，B 两种礼品盒，第一次购进A 种礼品盒10盒，B 种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A 种礼品盒6盒，B 种礼品盒5盒，共花费1200元（1）求购进A ，B 两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A 种礼品盒多少盒？22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）五、解答题（满分12分）23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y （台）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x （元）…506070…月销量y （台）…908070…（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？六、解答题（满分12分）24. 如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．（1）求证：EF 与O 相切；（2）若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．七、解答题（满分12分）25. 在Rt ABC ∆中，90°ACB ∠=，CA CB =，点O 为AB 中点，点D 在直线AB 上（不与点,A B 重的合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ⊥，过点E 作EF l ⊥，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．（1）如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；（2）如图，当点D 线段AB上时，求证：CG BD +=；（3）连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC =时，请直接写出12S S 的值．八、解答题（满分14分）26. 如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点()40B ，，与y 轴交于点()04C ，，点E 在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH x 轴，交抛物线于点H ，点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形EFGH 的周长为11时，求线段EH 的长；（3）点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N的坐标．在2023年本溪铁岭辽阳市初中毕业生学业考试数学试卷※ 考试时间120分钟试卷满分150分考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．第一部分选择题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2的绝对值是（ ）A.12- B. 12C. 2-D. 2【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】解：2的绝对值是是2，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B 、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，故选：C ．【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．4. 下列运算正确的是（ ）A. 2323a a a += B. 743a a a ÷= C. ()2224a a -=- D. ()2236b b =【答案】B【解析】【分析】按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可．【详解】解：A 、2323a a a +≠，故本选项不符合题意；B 、743a a a ÷=，故本选项符合题意；C 、()2222444a a a a -=-+≠-，故本选项不符合题意；D 、()222396b b b =≠，故本选项不符合题意；故选：B ．是【点睛】此题考查了整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算，解答本题的关键是熟练掌握各运算法则．5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.40 1.50 1.60 1.70 1.80人数/名13231则这10名运动员成绩的中位数是（ ）A. 1.50mB. 1.55mC. 1.60mD. 1.65m 【答案】C【解析】【分析】按照求中位数的方法进行即可．【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是1.60 ，1.60，则中位数为：1.60 1.60 1.60(m)2+= 故选：C ．【点睛】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．6. 如图，直线,CD EF 被射线,OA OB 所截，CD EF ∥，若1108∠=°，则2∠的度数为（ ）A. 52︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒【答案】C【解析】【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．【详解】解：∵1108∠=︒，∴31108∠=∠=︒；∵CD EF ∥，∴23180∠+∠=︒，∴2180372∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 了解某种灯泡的使用寿命B. 了解一批冷饮的质量是否合格C. 了解全国八年级学生的视力情况D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多【答案】D【解析】【分析】根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可．【详解】解：A 、适合抽样调查，故不符合题意；B 、适合抽样调查，故不符合题意；C 、适合抽样调查，故不符合题意；D 、适合全面调查，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全面调查即普查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．8. 某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（ ）A. 1201201 1.5x x += B. 1201201 1.5x x -= C. 1201201.51x x =- D. 1201201.51x x =+【答案】B【解析】【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．【详解】解：设慢车的速度是km/h x ，则快车的速度为1.5km/h x ，依题意得1201201 1.5x x-=，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．9. 如图，在Rt ABC 中，9053C AB BC ∠=︒==，，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB AC ，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A. 35 B. 34 C. 43 D. 53【答案】D【解析】【分析】过点D 作DM AB ⊥于M ，由勾股定理可求得4AC =，由题意可证明ADC ADM △≌△，则可得4AM AC ==，从而有1BM =，在Rt DMB 中，由勾股定理建立方程即可求得结果．【详解】解：过点D 作DMAB ⊥于M ，如图，由勾股定理可求得4AC ==，由题中作图知，AD 平分BAC ∠，∵DM AB AC BC ⊥⊥，，∴DC DM =，∵AD AD =，∴Rt Rt ADC ADM △≌△，∴4AM AC ==，∴1BM AB AM =-=；设BD x =，则3MD CD BC BD x ==-=-，在Rt DMB 中，由勾股定理得：2221(3)x x +-=，解得：53x =，即BD 的长为为53；故选：D ．【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．10. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm AB =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动，到点B 停止运动，同时动点Q 从点A 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x ，菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x ，一个角为60︒的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．【详解】解：作PD AC ⊥于点D ，作⊥QE AB 于点E ，由题意得AP x =，AQ =，∴cos30AD AP =⋅︒=，∴12AD DQ AQ ==，∴PD 是线段AQ 的垂直平分线，∴30PQA A ∠=∠=︒，∴60QPE ∠=︒，PQ AP x ==，∴12QE AQ x ==，PQ PN MN QM x ====，当点M 运动到直线BC 上时，此时，BMN 是等边三角形，∴113AP PN BN AB ====，1x =；当点Q 、N 运动到与点C B 、重合时，∴1322AP PN AB ===，32x =；当点P 运动到与点B 重合时，∴3AP AB ==，3x =；∴当01x <≤时，2y x x x ==，当312x <≤时，如图，作FG AB ⊥于点G ，交QM 于点R ，则32BN FN FB x ===-，33FM MS FS x ===-，)33FR x =-，∴())22133332y x x x x x =-⋅--=-，当332x <<时，如图，作HI AB ⊥于点I ，则3BP PH HB x ===-，)3HI x =-，∴())21332y x x x x =⋅--=+，综上，y 与x 之间函数关系的图象分为三段，当01x <≤时，是开口向上的一段抛物线，当312x <≤时，是开口向下的一段抛物线，当332x <≤时，是开口向上的一段抛物线，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. 截止到2023年4月底，我国5G 网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，5G 移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为___________．【答案】86.3410⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数，根据此形式表示即可．【详解】解：8634000000 6.3410=⨯；故答案为：86.3410⨯【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n 与a 的值．12. 分解因式：3244a a a -+=__．【答案】2(2)a a -【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：3244a a a -+，2(44)a a a =-+，2(2)a a =-．故答案：2(2)a a -．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．13. 如图，等边三角形ABC 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往ABC ∆内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．【答案】59【解析】【分析】根据概率的计算方法即可求解．【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，∴一粒米落在阴影区域的概率为59；故答案为：59．为【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．14. 若关于x 的一元二次方程210x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】k <-34【解析】【分析】根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k 的一元一次不等式进行求解即可.【详解】根据题意得，224(1)4(1)0b ac k -=--+>，解得：k <-34，故答案为：k <-34.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记240b ac ->方程有两个不相等的实数根， 240b ac -=方程有两个相等的实数根，240b ac -<方程没有实数根， 240b ac -≥方程有实数根是解题的关键.15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是()()()()00102312O A B C -，，，，，，，，若四边形OA B C '''与四边形OABC 关于原点O 位似，且四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，则第一象限内点B '的坐标为___________．【答案】()46，【解析】【分析】根据位似图形的概念得到四边形OA B C '''和四边形OABC 相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，∴四边形OA B C '''和四边形OABC 的相似比为2:1，∵()23B ，，∴第一象限内点 ()2232B '⨯⨯，，即()46B '，，故答案为：()46，．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16. 如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点,B D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且2AC AO =，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为___________．【答案】6【解析】【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥，∴CD y ⊥轴，AD OF ∥，则k DF a OF a ==，，∵AD OF ∥，∴CDA CFO △∽△，∴CD AD AC CF OF OC==，∵2AC AO =，∴23AC OC =，∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==，∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．17. 如图，在三角形纸片ABC 中，,20AB AC B =∠=︒，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B '处，当B D BC '⊥时，BAD ∠的度数为___________．【答案】25︒或115︒【解析】【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．【详解】解：由折叠的性质得：ADB ADB '∠=∠；∵B D BC '⊥，∴90BDB '∠=︒；①当B '在BC 下方时，如图，∵360ADB ADB BDB ''∠+∠+∠=︒，∴1(36090)1352ADB ∠=⨯︒-︒=︒，∴18025BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒；②当B '在BC 上方时，如图，∵90ADB ADB '∠+∠=︒，∴190452ADB ∠=⨯︒=︒，∴180115BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒；综上，BAD ∠的度数为25︒或115︒；故答案为：25︒或115︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．18. 如图，线段8AB =，点C 是线段AB 上的动点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，连接CD ，在AB 的上方作Rt DCE ∆，使90,30DCE E ∠=∠= ，点F 为DE 的中点，连接AF ，当AF 最小时，BCD ∆的面积为___________．【解析】【分析】连接CF BF ，，B F ，C D 交于点P ，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF ，60ABF ∠=︒为定角，可得点F 在射线BF 上运动，当AF BF ⊥时，AF 最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ，，B F ，C D 交于点P ，如图，∵90DCE ∠= ，点F 为DE 的中点，∴FC FD =，∵30E ∠= ，∴60FDC ∠=︒,∴FCD 是等边三角形，∴60DFC FCD ∠=∠=︒；∵线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，∴BC BD =，∵FC FD =，∴BF 垂直平分CF ，60ABF ∠=︒，∴点F 在射线BF 上运动，∴当AF BF ⊥时，AF 最小，此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒，∴142BF AB ==；∵1302BFC DFC ∠=∠=︒，∴90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒，∴122BC BF ==，∵112PB BC ==，∴由勾股定理得PC ==，∴2CD PC ==，∴11122BCD S CD PB =⋅=⨯=△【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F 的运动路径是关键与难点．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：2211124x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中3x =．【答案】2x +，5．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：2211124x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()21212222x x x x x x x --+⎛⎫=-÷ ⎪--+-⎝⎭()()22121x x x x x +-+=⋅-+2x =+，当3x =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A （优秀）；B （良好）；C （中）；D （合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次抽样调查的学生共有___________名；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B 等级的学生有多少名？（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）60 （2）见解析（3）估计本次竞赛获得B 等级的学生有480名；（4）所选2人恰好是一男一女的概率为23．【解析】【分析】（1）根据A 组人数以及百分比计算即可解决问题；（2）求出C 组人数，画出条形图即可解决问题；（3）利用样本估计总体即可；（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．【小问1详解】解：1830%60÷=（名）答：本次抽样调查的学生共有60名；故答案为：60；小问2详解】解：C 组人数为：601824315---=（名），补全条形图如图所示：；【小问3详解】解：估计本次竞赛获得B 等级的学生有：24120048060⨯=（名），答：估计本次竞赛获得B 等级的学生有480名；【小问4详解】解：画树状图如下：【机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：238=12P =【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 某礼品店经销A ，B 两种礼品盒，第一次购进A 种礼品盒10盒，B 种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A 种礼品盒6盒，B 种礼品盒5盒，共花费1200元（1）求购进A ，B 两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A 种礼品盒多少盒？【答案】（1）A 礼品盒的单价是100元，B 礼品盒的单价是120元；（2）至少购进A 种礼品盒15盒．【解析】【分析】（1）设A 礼品盒的单价是a 元，B 礼品盒的单价是b 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设购进A 礼品盒x 盒，则购进B 礼品盒(40)x -盒，根据题意列不等式即可得到结论．【小问1详解】解：设A 礼品盒的单价是a 元，B 礼品盒的单价是b 元，根据题意得：10152800651200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：100120a b =⎧⎨=⎩，答：A 礼品盒的单价是100元，B 礼品盒的单价是120元；【小问2详解】解：设购进A 礼品盒x 盒，则购进B 礼品盒(40)x -盒，根据题意得：10012040()0450x x +-≤，解得：15x ≥，∵x 为整数，∴x 的最小整数解为15，∴至少购进A 种礼品盒15盒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）【答案】（1）登山缆车上升的高度450m DE =；（2）从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min .【解析】【分析】（1）过B 点作BC AF ⊥于C ，BE DF ⊥于E ，则四边形BEFC 是矩形，在Rt ABC △中，利用含30度的直角三角形的性质求得BC 的长，据此求解即可；（2）在Rt BDE △中，求得BD 的长，再计算得出答案．【小问1详解】解：如图，过B 点作BC AF ⊥于C ，BE DF ⊥于E ，则四边形BEFC 是矩形，在Rt ABC △中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，300m AB =，∴1150m 2EF BC AB ===，∴()600150450m DE DF EF =-=-=，答：登山缆车上升的高度450m DE =；【小问2详解】解：在Rt BDE △中，9053DEB DBE ∠=︒∠=︒，，450m DE =，∴()450562.5m sin 530.8DE BD ===︒，∴从山底A 处到达山顶D 处大约需要：()300562.519.37519.4min 3060+=≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．五、解答题（满分12分）23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y （台）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x （元）…506070…月销量y （台）…908070…（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？【答案】（1）140y x =-+（2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设销售利润为W 元，列出W 关于x 的函数关系式，即可求得最大利润．【小问1详解】解：由题意设(0)y kx b k =+≠，由表知，当50x =时，90y =；当60x =时，80y =；以上值代入函数解析式中得：50906080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1140k b =-⎧⎨=⎩，所以y 与x 之间的函数关系式为140y x =-+；【小问2详解】解：设销售利润为W 元，则(40)(40)(140)W x y x x =-=--+，整理得：21805600W x x =-+-，由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则4080x ≤≤，∵10-<，2(90)2500W x =--+，∴当90x ≤时，W 随x 的增大而增大，∴当80x =时，W 有最大值，且最大值为2400；答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．六、解答题（满分12分）24. 如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．（1）求证：EF 与O 相切；（2）若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．【答案】（1）见解析 （2）245BC =．【解析】分析】（1）利用圆周角定理得到2EOB EAB ∠=∠，结合已知推出CAB EOB ∠=∠，再证明OFE ABC ∽△△，推出90OEF C ∠=∠=︒，即可证明结论成立；（2）设O 半径为x ，则1=+OF x ，在Rt OEF △中，利用正弦函数求得半径的长，再在Rt ABC △中，解直角三角形即可求解．【【小问1详解】证明：连接OE ，∵ =BE BE ，∴2EOB EAB ∠=∠，∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；【小问2详解】解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，。
2023年甘肃省武威市中考数学真题(答案解析)
武威市2023年初中毕业、高中招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【解析】解：9的算术平方根是3，故选C2.【答案】A【解析】解：等式两边乘以2b ，得6ab =，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B4.【答案】D【解析】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．5.【答案】C【解析】解：∵BD 是等边ABC 的边AC 上的高，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒，∵DB DE =，∴30DBE DEB ∠=∠=︒，故选C6.【答案】A【解析】去分母得()21x x +=，解方程得2x =-，检验:2x =-是原方程的解，故选A ．7.【答案】B【解析】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF GH ⊥，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵2FH AB ==，4GE BC ==，∴菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=．故选：B8.【答案】D【解析】解：A 选项，年龄范围为9899-的人数为10人，对应的百分比为10%，则可得1010%100÷=（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；B 选项，由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则1005%5m =⨯=，故选项正确，不符合题意；C 选项，由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293-岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在9293-岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；D 选项，《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697-岁的人数估计有112200242100⨯=人，故选项错误，符合题意．故选：D ．9.【答案】B【解析】解：如图，过B 作BQ ⊥平面镜EF ，∴90QBE QBF ∠=∠=︒，ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠，而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒，∴5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠，∴20CBQ ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，故选B ．10.【答案】C【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==，运动路程为0或4，结合函数图象可得(4,M ，故选C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.【答案】()21a x -【解析】解：()()2222211ax ax a a x x a x -+=-+=-，故答案为：()21a x -12.【答案】2-（答案不唯一，合理即可）【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224144160c c ∆=-⨯⨯=->，解得14c <，当2c =-时，满足题意，故答案为：2-（答案不唯一，合理即可）13.【答案】10907-【解析】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．14.【答案】35【解析】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为:35．15.【答案】【解析】解：在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=∠=︒，DF CD ⊥Q ，90DFC ∴∠=︒，9060DFC DCF ∴∠=︒-∠=︒，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ,FAD ADF ∴∠=∠11,23AF DF CF AC ∴===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC ∴=--=，12EF AE ∴=，在Rt ABE △中，cos3032AB AE ==︒12EF AE ∴==故答案为：16.【答案】5π【解析】150********n r l πππ⨯⨯===故填：5π．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】32⨯==-=18.【答案】21x -<≤【解析】解：解不等式组：6234x x x x >--⎧⎪⎨+≤⎪⎩①②，解不等式①，得2x >-．解不等式②，得1x ≤．因此，原不等式组的解集为21x -<≤．19.【答案】4ba b+【解析】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +--=-⋅+-+-22a b a b a b a b+-=-++4b a b =+．20.【答案】见解析【解析】解：如图，即点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．理由如下：如图，连接,,,,,,,AE DE AC DC OE OH OG AH ，由作图可得： AB BC CD==，且OA OB AB ==，∴AOB 为等边三角形，60AOB ∠=︒，同理可得：60BOC COD ∠=∠=︒，∴180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线，AD 为直径，∴=90ACD ∠︒，设CD x =，而30DAC ∠=︒，∴2AD x =，AC =，由作图可得：DE AE AC ===，而OA OD x ==，∴⊥EO AD ，OE ==，∴由作图可得AG AH ==，而OA OH x ==，∴22222OA OH x AH +==，∴90AOH =︒∠，同理90AOG DOG DOH ∠=︒=∠=∠，∴点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．21.【答案】（1）13（2）19【解析】（1）P （小亮抽到卡片A ）13=．（2）列表如下：小刚小亮A B C A(),A A (),A B (),A C B (),B A (),B B (),B C C(),C A (),C B (),C C 或画树状图如下：共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C 的结果有1种，所以，P （两人都抽到卡片C ）19=．22.【答案】新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm【解析】解：过点A 作AH MN ⊥，垂足为H ．由题意得，35ABH DBN ∠=∠= ，22ACH ECN ∠=∠= ，在Rt AHB △中，tan tan 350.70AH AH AH BH ABH ==≈∠︒．在Rt AHC 中，tan tan 220.40AH AH AH CH ACH ==≈∠︒．∵CH BH BC -=，∴90.400.70AH AH -=，∴()8.4cm AH =．答：新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm ．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.【答案】（1）16（2）35（3）八年级，理由见解析【解析】（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，由统计图知A 组4人，B 组10人，C 组10人，则中位数在C 组，第20、21位的成绩分别是16，16，则中位数是1616162+=；故答案为：16；（2）解：612003540+⨯=(人)，这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，故答案为：35；（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．24.【答案】（1）()3,2B（2）32n m =-+（3）863y x =-【解析】（1）解：∵点()3,B a 在反比例函数()60y x x =>的图象上，∴623a ==，∴()3,2B ．（2）∵点()3,2B在一次函数y mx n =+的图象上，∴32m n +=，即32n m =-+．（3）如图，连接OB ．∵192OAB B S OA x =⋅⋅=△，∴1392OA ⋅⨯=，∴6OA =，∴()0,6A -，∴6n =-，∴326m -+=-，∴83m =，∴一次函数的表达式为：863y x =-．25.【答案】（1）见解析（2）245【解析】（1）证明：∵ AC AC=，∴ADC B ∠=∠．∵OB OC =，∴B OCB ∠=∠．∵CO 平分BCD ∠，∴OCB OCD ∠=∠，∴ADC OCD ∠=∠．∵CE AD ⊥，∴90ADC ECD ∠+∠=︒，∴90OCD ECD ∠+∠=︒，即CE OC ⊥．∵OC 为O 的半径，∴CE 是O 的切线．（2）连接OD ，得OD OC =，∴ODC OCD ∠=∠．∵OCD OCB B ∠=∠=∠，∴ODC B ∠=∠，∵CO CO =，∴OCD OCB ≌，∴CD CB =．∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴3sin 1065AC AB B =⋅=⨯=，∴8CB ==，∴8CD =，∴324sin sin 855CE CD ADC CD B =⋅∠=⋅=⨯=．26.【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；（2DF BD =+，理由见解析；（3）【解析】（1）①证明：∵ABC 和BDE 都是等边三角形，∴AB BC =，BE BD =，60ABC EBD ∠=∠=︒，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴()SAS ABE CBD ≅△△．∴AE CD =．②AD DF BD =+．理由如下：∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =．∵AE CD =，∴AE DF =．∴AD AE DE DF BD =+=+．（2DF BD =+．理由如下：如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒．∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴22DE BD =．∵ABC 是直角三角形，AB AC =，∴=45ABC ∠︒，2AB BC =，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴sin sin ABE CBD ∠=∠，∴AE CD AB BC=，∴AE BC CD AB ⋅=⋅，∴22AE CD =．∴22222222AD AE DE =+=+=+，即DF BD =+．（3）∵33BD CD DF ==，34DF DF DF =+=，∵AD =2DF DC ==，∴6BD =．如图，过点A 作AH BD ⊥于点H ．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，BC ==∴2222AF AC BC ===．∴cos5HF AFB AF ∠===．27.【答案】（1）23y x x=-+（2）四边形OCPD 是平行四边形，理由见解析（3）【解析】（1）解：∵抛物线2y x bx =-+过点()4,4B -，∴1644b -+=-，∴3b =，∴23y x x =-+；（2）四边形OCPD 是平行四边形．理由：如图1，作PD OA ⊥交抛物线于点D ，垂足为H ，连接PC ，OD ．∵点P 在y x =-上，∴OH PH =，45POH ∠=︒，连接BC ，∵4OC BC ==，∴OB =，∵BP =，∴OP OB BP =-=，∴22222OH PH ===，当2D x =时，4322D DH y ==-+⨯=，∴224PD DH PH =+=+=，∵()0,4C -，∴4OC =，∴PD OC =，∵OC x ⊥轴，PD x ⊥轴，∴PD OC ∥，∴四边形OCPD 是平行四边形；（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ．在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，∵4OC BC ==，BC OC ⊥，∴45CBP ∠=︒，∴CBP MOQ ∠=∠，∵BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =，∴()SAS CBP MOQ △≌△，∴CP MQ =，∴CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），∴CP BQ +的最小值为MB ，∵454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴MB ==即CP BQ +的最小值为．。
2023年江苏省盐城市中考数学试卷(含答案)
盐城市二〇二三年初中毕业与升学考试（中考）数 学 试 卷注意事项：1. 本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分。
考试形式为闭卷。
2. 本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题。
3. 所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，让意题号必须对应，否则不给分。
4. 答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题上。
一、 选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.下列数中，属于负数的是（ ） A.2023B.-2023C.12023D.02.在平面直角坐标系中，点()1,2A 在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.4.下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm ），其中能搭成一个三角形的是（ ） A.5，7，12B.7，7，15C.6，9，16D.6，8，125.2023年5月21日，盐城市家长学校总校五月课堂正式开讲，直播点击量达105000人次.数据105000用科学记数法表示为（ ） A.51.0510⨯B.410.510⨯C.60.10510⨯D.61.0510⨯6.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）A. B. C. D.7.小华将一副三角板（90C D ∠=∠=︒，30B ∠=︒，45E ∠=︒）按如图所示的方式摆放，其中AB EF ∥，则∠1的度数为（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°8.如图，关于x 的函数y 的图象与x 轴有且仅有三个交点，分别是（-3，0），（-1，0），（3，0），对此，小华认为：①当0y >时，31x -<<-；②当3x >-时，y 有最小值；③点(),1P m m --在函数y 的图象上，符合要求的点P 只有1个；④将函数y 的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 在英文句子“Happy Teachers' Day ！”中，字母“a ”出现的频数为__________. 10.因式分解：2x xy -=__________.11.在ABC △中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，10cm BC =，则DE 的长为__________cm.12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________.13.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________.14.如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB 表示“铁军”雕塑的高，点B ，C ，D 在同一条直线上，且60ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，17.5CD m =，则线段AB 的长约为__________m. 1.7≈）15.如图，在Rt ABC △中，90∠︒，60B ∠=︒，3BC =，将ABC △绕点C 逆时针旋转到EDC △的位置，点B 的对应点D 首次落在斜边AB 上，则点A 的运动路径的长为_________.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 都在反比例函数()0ky x x=>的图象上，延长AB 交y 轴于点C ，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，连接BD 并延长，交x 轴于点E ，连接CE .若2AB BC =，BCE △的面积是4.5，则k 的值为_________.三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：()1014cos6052π-⎛⎫+︒-- ⎪⎝⎭.18.解不等式4233x x --<，并把它的解集在数轴上表示出来.19.先化简，再求值：()()()2333a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-.20.随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A 和省级公路B 两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C 、高速公路D 和城市高架E 三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A 的概率为_________. （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率.21.如图，AB AE =，BC ED =，B E ∠=∠. （1）求证：AC AD =.（2）用直尺和圆规作图：过点A 作AF CD ⊥，垂足为F .（不写作法，保留作图痕迹）22.盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头.某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图. （注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）解答下列问题：（1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________°； ②在折线统计图中，近6_________头. （2）填表：（3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法. 23.课堂上，老师提出了下面的问题： 已知30a b >>，a M b =，13a Nb +=+，试比较M 与N 的大小. 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较21x +与21x -的大小.小华：∵()()()222121121110x x x x x +--=+-+=-+>，∴2121x x +>-.老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ …（1）请用“作差法”完成老师提出的问题. （2）比较大小：2368__________2265.（填“>”“=”或“<”）24.如图，在ABC △中，O 是AC 上（异于点A ，C ）的一点，O 恰好经过点A ，B ，AD CB ⊥于点D ，且AB 平分CAD ∠. （1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由.（2）若10AC =，8DC =，求O 的半径长.25.某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）.（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价.（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买m 本硬面笔记本（m 为正整数）5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价.26.定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 【初步理解】（1）现有以下两个函数：①21y x =-；②2y x x =-，其中，_________为函数1y x =-的轴点函数.（填序号） 【尝试应用】（2）函数y x c =+（c 为常数，0c >）的图象与x 轴交于点A ，其轴点函数2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为点B .若14OB OA =，求b 的值. 【拓展延伸】 （3）如图，函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的图象与x 轴、y 轴分别交于M ，C 两点，在x 轴的正半轴上取一点N ，使得ON OC =.以线段MN 的长度为长、线段MO 的长度为宽，在x 轴的上方作矩形MNDE .若函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的轴点函数2y mx nx t =++的顶点P 在矩形MNDE 的边上，求n 的值.27.综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD 先沿对角线BD 折叠，展开后再折叠，使点B 落在对角线BD 上，点B 的对应点记为B '，折痕与边AD ，BC 分别交于点E ，F . 【活动猜想】（1）如图2，当点B '与点D 重合时，四边形BEDF 是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】（2）如图3，当4AB =，8AD =，3BF =时，求证：点A '，B '，C 在同一条直线上. 【深入探究】（3）如图4，当AB 与BC 满足什么关系时，始终有A B ''与对角线AC 平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设AC 与BD ，EF 分别交于点O ，P ，试探究三条线段AP ，B D '，EF 之间满足的等量关系，并说明理由.2023年江苏省盐城市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）【9题答案】 【答案】3 【10题答案】 【答案】()x x y 【11题答案】【12题答案】 【答案】59【13题答案】 【答案】7人 【14题答案】 【答案】15 【15题答案】【16题答案】 【答案】6三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【17题答案】 【答案】3 【18题答案】【答案】1x <，数轴见详解 【19题答案】【答案】226a ab +，4- 【20题答案】 【答案】（1）12 （2）16【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析 【22题答案】【答案】（1）14.4︒，1585 （2）3980 （3）见解析【答案】（1）M N > （2）< 【24题答案】【答案】（1）见解析 （2）O 的半径长为154． 【25题答案】【答案】（1）甲商店硬面笔记本的单价为16元 （2）乙商店硬面笔记本的原价18元 【26题答案】【答案】（1）①；（2）5b =或3-；（3）1n =或n =或14n =【27题答案】【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3）BC =，证明见解析；（42()AP B D '=+，理由见解析。
初中毕业补考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. 0D. -52. 若a，b是方程2x^2-3x+1=0的两个实数根，则a+b的值是（）A. 2B. 3C. 1D. -13. 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，则f(2)的值是（）A. 7B. 9C. 5D. 114. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）5. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 3xB. 3x > 2xC. 2x ≥ 3xD. 3x ≥ 2x6. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7. 在一次函数y=kx+b中，若k>0，b>0，则函数的图像（）A. 经过第一、二、四象限B. 经过第一、二、三象限C. 经过第一、三、四象限D. 经过第一、二、三、四象限8. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=3/xC. y=3x^2D. y=x^39. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若OA=4cm，OB=6cm，则AC的长度是（）A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm10. 下列关于勾股定理的说法中，正确的是（）A. 勾股定理适用于所有直角三角形B. 勾股定理只适用于直角三角形C. 勾股定理适用于所有锐角三角形D. 勾股定理适用于所有钝角三角形二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a，b是方程x^2-4x+3=0的两个实数根，则a^2+b^2的值是______。
12. 已知函数f(x)=2x-3，则f(-1)的值是______。
13. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点是______。
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初三下册数学试卷注意事项：本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内。
每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．2(3)-的值是……………………………………………………………………………………………【 】 A ．9 B.－9 C ．6 D ．－6 2．如图，直线l 1∥l 2，则α为…………………………………………【 】 A ．150° B ．140° C ．130° D ．120° 3．下列运算正确的是……………………………………………………【 】 A ．234a a a = B ．44()a a -= C ．235a a a +=D ．235()a a =4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．5 5．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为…………………………【 】A ．3，B ．2，C ．3，2D ．2，3 6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演 出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是…………【 】 A ．45 B ．35 C ．25 D ．157．某市2008年国内生产总值（GDP ）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是…………………………【 】 A ．12%7%%x +=B ．(112%)(17%)2(1%)x ++=+C ．12%7%2%x +=D ．2(112%)(17%)(1%)x ++=+8．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是………………………………………【 】9．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为…………【 】A ．2B ．3C ．4D ．510．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是……………………………………………【 】 A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 ． 12．因式分解：2221a b b ---= ．13．长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．14．已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：|2-|o 2o 12sin30((tan 45)-+-+ 【解】16．如图，MP 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于点A 、B ，弦AC ∥MP ，求证：MO ∥BC ． 【证】四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…… （1）猜想并写出第n 个等式； 【猜想】（2）证明你写出的等式的正确性． 【证】18．如图，在对Rt △OAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O ′A ′B ′． （1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．【解】五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；【解】（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；【解】（2）求xy的值．【解】六、（本题满分12分）21．某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4:17:15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？【解】（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？【解】（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．【解】七、（本题满分12分）22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；【证】（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝AF＝3，求FG的长．【解】八、（本题满分14分）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．72° 12．(1)(1)a b a b ++-- 13． 14．2y x x =+，21133y x =-+三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式＝2131+-+………………………………………………………6分＝1…………………………………………………………………8分16．证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB∴∠MOP ＝∠B …………………………………………………………6分 故MO ∥BC ．……………………………………………………………8分四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）猜想：11⨯=-++n nn n n n ……………………………………………3分 （2）证：右边＝12+-+n n n n ＝12+n n ＝左边，即11⨯=-++n nn n n n ……8分 18．解：（1）……………………4分（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P （x ，y ）2O 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）y 经轴翻折（-2x ，2y ）4向右平移个单位（24x -+，2y ）5向上平移个单位（24x -+，25y +）…………8分说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．解：（1）菱形图案水平方向对角线长为230cos 310o ⨯⨯＝30cm按题意，6010)1231(2630=-⨯+=L cm ……………………………5分 （2）当=d 20cm 时，设需x 个菱形图案，则有：6010)1(2030=-⨯+x …………………………………………………8分解得300=x即需300个这样的菱形图案．…………………………………………10分20．解：（1）…………………………5分说明：其它正确拼法可相应赋分．（2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++………………8分因为y ≠0，整理得：01)(2=-+yxy x解得：215-=y x （负值不合题意，舍去）……………………………………10分 解法二：由拼成的矩形可知：yxy y x y x =+++)(…………………………………8分以下同解法一．……………………………………………………………………10分 六、（本题满分12分） 21．解：（1）第①组频率为：196%0.04-=∴第②组频率为：0.120.040.08-=这次跳绳测试共抽取学生人数为：120.08150÷=人 ∵②、③、④组的频数之比为4:17:15可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12．………6分 （2）第⑤、⑥两组的频率之和为0.160.080.24=+=由于样本是随机抽取的，估计全年级有9000.24216⨯=人达到跳绳优秀………9分（3）10061101212051130451402415012150x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈127次…………12分七、（本题满分12分） 22．（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）……2分以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B∴△AMF ∽△BGM ．………………………………………………………………6分（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝7分又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴283AM BM BG AF ===………………………………………………9分又4AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-=∴53FG ===……………………………………………12分八、（本题满分14分） 23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分。